Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении каких уравнений (4 видео)

Тесты по теме: «Комплексные числа»

Содержание

Просмотр содержимого документа «Тесты по теме: «Комплексные числа»»
Урок-семинар «Комплексные числа»
ПЛАН УРОКА
1. Историческая справка
2. Работа по группам
3. Выступление учащихся с задачами повышенной сложности (3 чел.)
4. Работа по группам
Ход урока
1. Историческая справка
Проверочная работа по теме : «Комплексные числа»
Содержимое разработки
🎥 Видео

Просмотр содержимого документа
«Тесты по теме: «Комплексные числа»»

Тест «Комплексные числа»

Часть I. Выберите один правильный ответ.

1. На множестве действительных чисел не выполнима операция:

а) деления чисел

б) возведения в степень отрицательного числа

в) извлечения арифметического корня из отрицательного числа

г) сравнения чисел

2. Комплексные числа были введены для получения дополнительных возможностей при решении:

а) систем линейных уравнений

б) квадратных уравнений

в) уравнений высших степеней

г) тригонометрических уравнений

3. Что представляет собой число i:

а) число, квадратный корень из которого равен – 1

б) число, квадрат которого равен – 1

в) число, квадратный корень из которого равен 1

г) число, квадрат которого равен 1

а) действительных чисел

в) иррациональных чисел

г) комплексных чисел

5. Термин «мнимые числа» ввел:

6. Из предложенных чисел выберите чисто мнимое число:

а) вещественной частью комплексного числа

б) мнимой частью комплексного числа

в) тригонометрической формой комплексного числа

г) алгебраической формой комплексного числа

10. На координатной плоскости число изображается:

а) точкой или радиус-вектором

в) плоской геометрической фигурой

г) заштрихованной частью плоскости

11. Модулем комплексного числа называется:

а) данное комплексное число без учета знака

б) расстояние от начала координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

в) расстояние от осей координат до точки, в виде которой отображается комплексное число

г) сумма вещественной и мнимой части

12. Модуль комплексного числа z= 4 + 3i равен:

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Урок-семинар «Комплексные числа»

Разделы: Математика

Тема “комплексные числа” традиционно считается сложной для изучения. Завершая проходящую через весь школьный курс линию последовательного расширения числовых множеств, она связана и с другим не менее важным разделом – решение уравнений – и вместе с тем даёт возможность установления теснейших связей с геометрией. Богатое идейное и логическое содержание этой темы реализуется в задачах сравнительно высокого технического уровня.

Урок-семинар является последним завершающим в изучении темы “комплексные числа”.

Цели урока

Применение знаний, полученных в ходе изучения темы “Комплексные числа” при решении нестандартных задач.
Развитие познавательного интереса через привлечение исторического материала и прикладных задач.
Систематизация знаний, умений и навыков учащихся по теме “Комплексные числа” через разбор различных методов задач.
Активизация мыслительной деятельности учащихся.

Видео:Комплексные числа в ЕГЭ! Это просто!😱 С самого нуля до решения задачи из проекта ЕГЭ-2022 года!Скачать

ПЛАН УРОКА

1. Историческая справка

2. Работа по группам

Формируются несколько групп по 3-4 человека в каждой. Им задаются задания, подобранные таким образом, чтобы привлекался материал из различных разделов математики: условие равноудалённости точки от любых точек плоскости, определение модуля комплексного числа, уравнение окружности (задача №1); использование теоремы Виета для многочлена второй степени, изображение комплексных чисел на комплексной плоскости (задача №2); задание с параметром и определение аргумента комплексного числа (задача №3); использование формулы Муавра для возведения комплексного числа в n-ю степень (задача №4).

3. Выступление учащихся с задачами повышенной сложности (3 чел.)

Задачи предложены из экзаменационных работ.

4. Работа по группам

В каждой группе по 2 учащихся.

Для учащихся предоставляются семь задач. Цель которых одна — изобразить на комплексной плоскости все такие числа z, которые удовлетворяют различным заданным условиям. Здесь учащиеся должны упростить заданное выражение, получить либо уравнение, либо неравенство. Затем построить графики и найти нужный на доске. В это время на доске находятся все графики. Все графики различны. Они такие как: парабола, окружность, гипербола, круг, прямая , часть “кольца” и полуплоскость. Каждой задаче соответствует буква. В результате учащиеся должны получить определённое слово. (Это слово – отлично).

Учителем приводится задача по физике, в которой можно использовать теорию комплексных чисел.
В конце семинара проводится самостоятельная работа.
Самостоятельная работа состоит из шести задач. Эти задачи составлены по возрастанию степени сложности. Ученикам необходимо набрать нужное количество баллов, чтобы получить “5”, “4” или “3”.
Подводится итог урока, сообщаются оценки учащимся.

Видео:Комплексные числа в уравненияхСкачать

Ход урока

1. Историческая справка

Если говорить об эволюции понятия числа, надо сказать, что не всегда первым толчком к расширению понятия числа были непосредственно практические потребности людей, в узком смысле этого слова. Комплексные числа, как и отрицательные, возникли из внутреннего развития математической науки, из практики решения алгебраических уравнений.

Уже в VII в.н.э. было установлено, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения – положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел квадратные корни извлечь нельзя: нет такого числа х, чтобы х 2 = -9.

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. Первым учёным, предложившим ввести числа новой природы, был Джорж Кордано. Он предложил ·= a. Кордано назвал такие величины “чисто отрицательными” или даже “софистически отрицательными”, считая их бесполезными и стремился не применять их.

И всё-таки пришлось допустить такие корни в науку, когда другой итальянский учёный Бомбелли в 1572 году выпустил книгу, в которой были установлены первые правила арифметических операций над комплексными числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

Название “мнимые числа” ввёл в 1637году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века – Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginare (мнимый) для обозначения числа (мнимой единицы); этот символ вошёл во всеобщее употребление.

В течение XVIII века продолжалось осуждение арифметической природы мнимостей, возможности дать им геометрическое истолкование.

Постепенно развилась техника операций над комплексными числами. На рубеже XVII-XVIIIв.в. была построена общая теория корней n-й степени сначала из отрицательных, а потом из любых комплексных чисел, основанная на следующей формуле английского математика А. Муавра: =.

В конце XVIII-начале XIX в.было получено геометрическое истолкование комплексных чисел. Датчанин Вессель, француз Арган и немец Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой М(а,в) на координатной плоскости. Позднее оказалось, что ещё удобнее изображать число не самой точкой, а вектором , идущим в эту точку из начала координат.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные. С помощью комплексных чисел исследуется течение воды, полёт ракет и самолётов. Они применяются при вычерчивании географических карт, и многих других науках.

Работа по группам.

I. Множество Е состоит из всех комплексных чисел z, таких, что, . Найдите все такие числа z_о, что для любых z₁ и z₂ из Е

9х 2 +9у 2 = (х+4) 2 + (у-8) 2

9х 2 – х 2 – 8х – 16 + 9у 2 – у 2 + 16у – 64 =0

8х 2 – 8х – 16 + 8у 2 + 16у – 64 =0

х 2 – х – 2 + у 2 + 2у – 8 =0

(х – 0,5) 2 + (у + 1) 2 = 11,25

Окружность с центром (0,5; -1)

II. Пусть Р(z) – многочлен второй степени. Известно, что его корнями являются числа -1 и i, а Р(0) = 2. Изобразите на комплексной плоскости множество всех комплексных чисел, таких, что P(z) – действительное число.

Решение.

Заменим многочлен второй степени в общем виде на b.

Т.к -1 и i – корни, то по теореме Виета

P(z) = a(z 2 + (1-i)z – i)

; a = 2i

; c = – 2i 2 ; с = 2

P(z)= P(x + yi)= 2i(x + yi) 2 + (2i + 2)(x + yi) + 2=

= 2i(x 2 +2xyi + y 2 i 2 ) + 2xi + 2x + 2yi 2 + 2yi + 2=

= 2x 2 i + 4xyi 2 – 2y 2 i + 2xy + 4x + 2yi 2 + 4yi +2=

= (– 4xy + 2x + 2 – 2y) + (2x 2 – 2y 2 + 2x + 2y)i

Т.к. по условию P(x + yi) – действительное число, то

x 2 – y 2 + x + y = 0

(x – y)(x + y) + (x + y) = 0

Две прямые

III. Среди всех комплексных чисел z, таких, что , есть ровно одно число, аргумент которого равен . Найдите это число.

Т.к. аргумент равен , то его действительная и мнимая части противоположны. Причём действительная часть со знаком “-”, а мнимая “+”, тогда z = – x +xi, x > 0

(2 – x) 2 + (x – 3) 2 = a 2

4 – 4x + x 2 + x 2 – 6x + 9 = a 2

2(x – 2,5) 2 – 12,5 + 13 = а 2

2(x – 2,5) 2 = а 2 – 0,5

(x – 2,5) 2 = 0,5(а 2 – 0,5)

По условию ровно одно число удовлетворяет этому соотношению. Значит, уравнение должно иметь кратный корень, что возможно только лишь при (а – число неотрицательное).

Ответ: z = – 2,5 + 2,5i

IV. Пусть . Найдите модуль и один из аргументов числа

Ответ:

Изобразить на комплексной плоскости чисел z, удовлетворяющие условиям и получить слово.

Решение.

Парабола

Пусть М – совокупность всех точек комплексной плоскости, таких что (ReU) 2 + (ZnU) 2 = 1. изобразить на чертеже множество всех точек вида: U = Z + i + 1

Решение.

Z= x + yi : U=x + yi + 1=(x + 1) + (y + 1)i

(x + 1) 2 + (y + 1) 2 = 1

Окружность с R=1, центр (-1;1)

Решение.

Круг с центром (0;2) R=1

полуплоскость

Найти равнодействующую двух сил в 30 Н и 40 Н, действующих на точку тела под углом 30 0 друг другу.

Решение

Будем считать, что точка приложения сил совпадает с началом координат, а сила сонаправлена с действительной осью. Тогда силе соответствует действительное число 30, а силе комплексное число Откуда модуль равнодействующей будет равен

Найдите

Ответ:

2. При каких числа и будут равными?

z = y – 3 + x 2 i – 2i = (y – 3) + (x 2 – 2)

Для того, чтобы числа были равными необходимо решить систему:

3. Представить число в тригонометрической форме

а) (4 б)

б) (5 б)

4. Составить уравнение наименьшей степени с действительными коэффициентами, имеющие корни х₁= – 1; х₂= 3+4i (5 б).

(x+1)(x – 3 – 4i)(x – 3+4i) = 0

Ответ: х 3 – 5х 2 + 19х + 25 = 0

5. Решить уравнение на множестве комплексных чисел 10х 4 + 39х 3 + 49х 2 + 39х + 10 = 0 (6 б).

1) 2)

Ответ:

6. Найти все действительные значения а, при которых уравнение имеет только комплексные корни

(a – 3)z 4 – 2(3a – 4)z 2 + 7a + 6 = 0 (10 б)

Получим уравнение (a – 3)t 2 – 2(3a – 4)t + 7a + 6 = 0

Таким образом, это уравнение имеет два действительных корня t₁, t₂. Для того, чтобы у исходного уравнения корни были комплексными, необходимо, чтобы t₁, t₂ были отрицательными.

По теореме Виета, если t₁ и t₂ – отрицательные, то