Комплексно сопряженное число примеры уравнений (4 видео)

Содержание

Что такое комплексно сопряженные числа
Определение комплексно сопряженных чисел
Свойства комплексно сопряженных чисел
Комплексно сопряженные числа
Свойства комплексно сопряженных чисел
Решение уравнений с комплексными числами
💡 Видео

Видео:КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА ДЛЯ ЧАЙНИКОВ ЗА 7 МИНУТСкачать

Что такое комплексно сопряженные числа

В данной публикации мы рассмотрим, что такое комплексно сопряженные числа, а также перечислим их основные свойства. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Видео:Сопряженные комплексные числа. ПримерСкачать

Определение комплексно сопряженных чисел

Дано комплексное число . Комплексно сопряженным к нему является число (для обозначения используется черточка сверху).

Таким образом, у комплексно сопряженных чисел действительные части одинаковые, а мнимые отличаются по знаку.

Пример:
Для числа комплексно сопряженным является .

Геометрическая интерпретация

Если перенести комплексно сопряженные числа на комплексную плоскость, то они будут зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси (RE).

Видео:Математика без Ху!ни. Комплексные числа, часть 1. Введение.Скачать

Свойства комплексно сопряженных чисел

1. Если z = z , значит число z является действительным.

Пример:
z = 2, значит , следовательно , т.е. .

2. Модули комплексно сопряженных чисел равны, т.е. . А так как такие числа на комплексной плоскости зеркальны, то их аргументы отличаются по знаку.

3. Сумма комплексно сопряженных чисел – это действительное число: .

4. Произведение комплексно сопряженных чисел равняется квадрату их модуля и является действительным числом: .

Модуль считается так:

5. Для и справедливо:

6. Для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ :

Видео:комплЕксные ЧИСЛА решение примеров МАТЕМАТИКАСкачать

Комплексно сопряженные числа

Если $z=a+b i$, то число $overline=a-b i$ называется комплексным сопряженным к числу $z$ .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу $z=2-i$ есть число $overline=2+i$ .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Видео:Тригонометрическая форма комплексного числаСкачать

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если $z=overline$, то можно сделать вывод, что рассматриваемое число $z$ является действительным.

Например. $z=2 in R Rightarrow overline=2$ и $z=overline$

2) Для любого комплексного числа $z$ сумма $z+overline=2 operatorname z$ — действительное число.

Например. Пусть $z=2-3 i$, тогда $overline=2+3 i$, а тогда

$z+overline=2-3 i+(2+3 i)=2-3 i+2+3 i=2+2=4 in R$

3) Для произвольного комплексного числа $z=a+b i$ произведение $z cdot overline=|z|^ in R$ .

Например. Пусть $z=2-3 i$, комплексно сопряженное к нему число $overline=2+3 i$, тогда произведение

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: $|z|=|overline|$, а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

5) $overline <z_pm z_>=overline_ pm overline_$

6) $overline <z_cdot z_>=overline<z_> cdot overline_$

9) Если $z=a+b i$ и $overline=a-b i$ — комплексно сопряженные числа, то

Видео:Комплексные корни квадратных уравнений. 11 класс.Скачать

Решение уравнений с комплексными числами

Итак, необходимо решить уравнение с комплексными переменными, найти корни этого уравнения. Рассмотрим принцип решения комплексных уравнений, научимся извлекать корень из комплексного числа.

Для того, чтобы решить уравнение n-й степени с комплексными числами, используем общую формулу:

где |z| — модуль числа, φ = arg z — главное значение аргумента, n — степень корня, k — параметр, принимает значения : k = .

Пример 1. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня третьей степени из комплексного числа

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени n комплексного числа z. Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения.

Пример 2. Найти все корни уравнения

Найдем дискриминант уравнения:

Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня. Вычислим корень из дискриминанта:

Найдем корни уравнения:

Ответ:

Пример 3. Найти все корни уравнения

Выразим z из уравнения:

Все корни заданного уравнения являются значениями корня четвертой степени из комплексного числа

Вновь используем общую формулу для нахождения корней уравнения n степени комплексного числа z.
n = 4 — количество корней данного уравнения. k = . Найдем модуль комплексного числа:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2, 3 найдем все 4 корня уравнения:

Пример 4. Найти корни уравнения

Решение кубического уравнения комплексными числами:

Воспользуемся общей формулой для вычисления корней степени 3 комплексного числа z.

Найдем все необходимые значения для формулы:

Подставим найденные значения в формулу:

Последовательно подставляя вместо k значения 0, 1, 2 найдем три корня исходного уравнения:

Домашнее задание: Самостоятельно составить и решить уравнение с комплексными числами.

Условия: переменная z должна быть «спрятана» и представлена в качестве аргумента тригонометрической функции косинуса. Чтобы привести данное уравнение к привычной форме, нужно «вытащить» z, а для этого необходимо помнить, как решаются тригонометрические уравнения,а также знать, как применять свойства логарифмической функции от комплексного числа.

После того, как мы решили тригонометрическое уравнение с комплексным числом, получаем «голый» z, который представлен в качестве аргумента обратной тригонометрической функции. Чтобы преобразовать данное выражение, нужно использовать формулу разложения арккосинуса в логарифм.

Вместо z — выражение (3i/4) и дальше все делаем по приведенной выше формуле, преобразовывая выражение под корнем, используя свойства мнимой единицы i.

Как быть далее? Теперь будем использовать формулу для решения выражения с натуральным логарифмом.

Для того чтобы найти корни логарифмического уравнения, нужно найти модуль комплексного числа |z| и его аргумент φ = arg z. По сути, перед нами чисто мнимое число.

Теперь предлагаем ознакомиться с формулами, которые могут пригодиться при решении уравнений или неравенств с комплексными числами. Это формулы, где комплексное число выступает в роли аргумента тригонометрической функции, логарифмической функции или показательной функции.