Количество решений системы линейных уравнений не зависит от взаимного (6 видео)

Содержание

Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений
Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.
Немного теории.
Системы линейных алгебраических уравнений
Основные определения
Формы записи СЛАУ
Критерий совместности СЛАУ
Формулы Крамера
Однородные системы
Неоднородные системы
Презентация по алгебре на тему «Решение систем линейных уравнений тремя способами» (7 класс)
Описание презентации по отдельным слайдам:
🎬 Видео

Видео:Количество решений системы линейных уравненийСкачать

Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений

Разделы: Математика

Цель урока: сформировать умение по виду системы двух линейных уравнений с двумя переменными определять количество решений системы.

Задачи:

Образовательные:
- повторить способы решения систем линейных уравнений;
- связать графическую модель системы с количеством решений системы;
- найти связь между соотношением коэффициентов при переменных в системе и количеством решений.
Развивающие:
- формировать способности к самостоятельным исследованиям;
- развивать познавательный интерес учащихся;
- развивать умение выделять главное, существенное.
Воспитательные:
- воспитывать культуру общения; уважение к товарищу, умение достойно вести себя. закреплять навыки работы в группе;
- формировать мотивацию на здоровый образ жизни.

Тип урока: комбинированный

I. Организационный момент (нацелить учащихся на урок)

– На предыдущих уроках мы научились решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными разными способами. Сегодня на уроке нам предстоит ответить на вопрос: «Как, не решая систему уравнений определить, сколько же решений она имеет?», поэтому тема урока называется «Исследование системы линейных уравнений с двумя переменными на количество решений ». Итак, начнём урок. Соберёмся с силами. В четыре приёма глубоко вдохнём воздух через нос и в пять приёмов с силой выдохнем, задувая воображаемую свечку. Повторим это 3 раза. Очень быстро активизируем свой мозг. Для этого интенсивно промассажируем межбровную точку: указательным пальцем правой руки делаем 5 круговых движений в одну сторону и в другую. Повторим это 2-3 раза.

II. Проверка домашнего задания (коррекция ошибок)

Показать решение системы разными способами:

А) методом подстановки;
Б) Методом сложения;
В) по формулам Крамера;
Г) Графически.

Пока на доске готовятся к ответам по домашнему заданию, с остальными учениками начинается подготовка к следующему этапу урока.

III. Этап подготовки к усвоению нового материала (актуализация опорных знаний)

– Если вы знаете ответы на вопросы, но вдруг растерялись и всё сразу забыли, попробуйте собраться, убедить себя, что вы всё знаете и у вас всё получится. Хорошо помогает обыкновенный массаж всех пальцев. Во время обдумывания массажируйте все пальчики от основания к ногтю.

– Что называют системой двух уравнений?

– Что значит решить систему линейных уравнений?
– Что является решением системы линейных уравнений?
– Будет ли пара чисел (– 3; 3) решением системы уравнений:

– Расскажите, в чём суть каждого известного вам способа решения систем линейных уравнений с двумя переменными. (Рекомендуется общение в парах)

Ответы учеников сопровождаются показом слайдов 1-14 (Презентация) учителем. (можно одним из учеников). Проверяем домашнее задание (слушаем ответы учеников у доски).

Учитель: Для решения специфических систем уравнений существует ещё один способ, называется он методом подбора решения. Попробуйте, не решая подобрать решение системы уравнений: . Объясните суть метода.

– Найдите решение системы уравнений:

а) б) в)

– Дано уравнение a + b =15, добавьте такое уравнение, чтобы решением полученной системы была пара чисел (– 12; 27)
Перечислите ещё раз все способы решения систем линейных уравнений, с которыми вы познакомились.

IV. Этап усвоения новых знаний (исследовательская работа)

– Прежде чем переходить к следующему этапу урока, немного отдохнём.
Сидя на стуле – расслабьтесь, примите позу пиджака, висящего на вешалке,
«Постреляйте» глазами в соседей. А затем вспомним про «царственную осанку»: спина прямая, мышцы головы без напряжения, выражение лица очень значительное, соберёмся с мыслями, для чего сделаем массаж межбровной точки или пальчиков и приступим к дальнейшей работе.

Учитель: Мы научились решать системы линейных уравнений с двумя переменными разными способами и знаем, что система таких уравнений может иметь:

А) одно решение;
Б) не иметь решений;
В) много решений.

А нельзя ли, не прибегая к решению, ответить на вопрос: сколько же решений имеет система уравнений? Сейчас мы с вами проведём небольшое исследование.
Для начала разобьемся на три исследовательские группы. Составим план нашего исследования, ответив на вопросы:

1) Что представляет собой графическая модель системы линейных уравнений с двумя переменными?
2) Как могут располагаться две прямые на плоскости?
3) Как зависит количество решений системы от расположения прямых?

(После ответов учащихся используем слайды 6-10 Презентации.)

Учитель: Значит основа нашего исследования состоит в том, чтобы по виду системы понять, как располагаются прямые.
Каждая исследовательская группа решает эту задачу на конкретной системе уравнений по плану (Приложение 1).
Система для группы №1.

Система для группы №2.

Система для группы №3.

На выполнение работы даётся 5 минут, затем делимся своими выводами с одноклассниками. (Приложение 2), а также обращаемся к слайдам 15-17 Презентации.

V. Релаксация

Предлагаю отдохнуть, расслабиться: физкультминутка или психологический тренинг. (Приложение 3)

VI. Закрепление нового материала

А) Первичное закрепление

Используя полученные выводы, ответьте на вопрос: сколько решений имеет система уравнений

а) б) в)

Итак, прежде чем решать систему, можно узнать, сколько она имеет решений.

Б) решение более сложных задач по новой теме

1) Дана система уравнений

– При каких значениях параметра a данная система имеет единственное решение?

(Работа выполняется в группах по 4 человека: пары поворачиваются друг к другу)

– При каких значениях параметра a данная система не имеет решений?
– При каких значениях параметра данная система уравнений имеет много решений?

2) Дано уравнение – 2x + 3y = 12

Добавьте ещё одно уравнение так, чтобы система этих уравнений имела:

А) одно решение;
Б) бесконечно много решений.

3) Провести полное исследование системы уравнений на наличие её решений:

VII. Рефлексия. Методика «Мухомор»

На дополнительной доске (или на отдельном плакате) нарисован круг, разбитый на секторы. Каждый сектор – это вопрос, рассмотренный на уроке. Ученикам предлагается
поставить точку:

ближе к центру, если ответ на вопрос не вызывает сомнения;
в середину сектора, если сомнения есть;
ближе к окружности, если вопрос остался не понятым; (Приложение 4)

VIII. Домашнее задание

Алгебра-7, под редакцией Теляковского. Параграфы 40-44, №1089,1095а), решать любым способом.
Выяснить, при каком значении a система имеет одно решение, много решений, не имеет решений

– Итак: наш урок подошёл к концу. Приготовим себя к перемене: сцепите руки замком, положите их на затылок. Положите голову на парту, резко сядьте прямо, примите «царственную» позу. Повторите это ещё раз.

– Урок окончен. Всем спасибо. Подойдите к доске и сделайте отметку на предложенном рисунке. До свидания.

Видео:Система уравнений не имеет решений или имеет бесчисленное множество решенийСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Алгебраическое определение количества решений системы линейных уравнений | Алгебра IСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
Метод Гаусса, матричный метод, метод Крамера, исследование на совместность (теорема Кронекера-Капелли), определение количества решений, нахождение нормальной фундаментальной системы решений.

С помощью данной математической программы вы можете решить и исследовать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Ввод дробного числа в виде десятичной дроби.
При вводе десятичной дроби, целую часть от дробной части можно отделять точкой или запятой :
Ввод: -2.34
Результат: ( -234 )

Ввод: -1,15
Результат: ( -115 )

Ввод дробного числа в виде обыкновенной дроби.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: $$ -frac $$

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: 5&8/3
Результат: $$ 5frac $$
Помните, что на ноль делить нельзя!

RND CFracNum Fill RND int Fill Start MathJax
Сюда ввести строку с GET параметрами :

Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Немного теории.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Системы линейных алгебраических уравнений

Основные определения

Система (m) линейных алгебраических уравнений с (n) неизвестными (сокращенно СЛАУ) представляет собой систему вида
( left< begin a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_1 \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_2 \ cdots \ a_x_1 + a_x_2 + cdots + a_x_n = b_m end right. tag )

Уравнения системы называют алгебраическими потому, что левая часть каждого из них есть многочлен от (n) переменных ( x_1 , ldots x_n ), а линейными потому, что эти многочлены имеют первую степень.

Числа (a_ in mathbb ) называют коэффициентами СЛАУ. Их нумеруют двумя индексами: номером уравнения (i) и номером неизвестного (j). Действительные числа ( b_1 , ldots b_m ) называют свободными членами уравнений.

СЛАУ называют однородной, если ( b_1 = b_2 = ldots = b_m = 0 ). Иначе её называют неоднородной.

Решением СЛАУ, да и вообще всякой системы уравнений, называют такой набор значений неизвестных ( x_1^circ, ldots , x_n^circ ), при подстановке которых каждое уравнение системы превращается в тождество. Любое конкретное решение СЛАУ также называют её частным решением.

Решить СЛАУ — значит решить две задачи:
— выяснить, имеет ли СЛАУ решения;
— найти все решения, если они существуют.

СЛАУ называют совместной, если она имеет какие-либо решения. В противном случае её называют несовместной. Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку нулевой набор значений её неизвестных всегда является решением.

Если СЛАУ (1) имеет решение, и притом единственное, то её называют определенной, а если решение неединственное — то неопределенной. При (m=n), т.е. когда количество уравнений совпадает с количеством неизвестных, СЛАУ называют квадратной.

Формы записи СЛАУ

Кроме координатной формы (1) записи СЛАУ часто используют и другие её представления.

Рассматривая коэффициенты (a_) СЛАУ при одном неизвестном (x_j) как элементы столбца, а (x_j) как коэффициент, на который умножается столбец, из (1) получаем новую форму записи СЛАУ:
( begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_1 + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_2 + ldots + begin a_ \ a_ \ vdots \ a_ end x_n = begin b_1 \ b_2 \ vdots \ b_m end )
или, обозначая столбцы соответственно ( a_1 , ldots , a_n , b ),
( x_1 a_1 + x_2 a_2 + ldots + x_n a_n = b tag )

Таким образом, решение СЛАУ (1) можно трактовать как представление столбца (b) в виде линейной комбинации столбцов ( a_1, ldots, a_n ). Соотношение (2) называют векторной записью СЛАУ.

Поскольку (A ;,; X) и (B) являются матрицами, то запись СЛАУ (1) в виде (AX=B) называют матричной. Если (B=0), то СЛАУ является однородной и в матричной записи имеет вид (AX=0).

Приведенные рассуждения показывают, что задачи :
а) решения СЛАУ (1)
б) представления столбца в виде линейной комбинации данных столбцов
в) решения матричных уравнений вида (AX=B)
являются просто различной формой записи одной и той же задачи.

Критерий совместности СЛАУ

«Триединство» форм записи СЛАУ позволяет легко получить критерий совместности СЛАУ. Напомним, что содержательный смысл это понятие имеет для неоднородных СЛАУ (однородные СЛАУ всегда совместны).

Матрицу
( A = begin a_ & a_ & cdots & a_ \ a_ & a_ & cdots & a_ \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ end )
называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ (1), а матрицу
( (A|B) = left( begin a_ & a_ & cdots & a_ & b_1 \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_2 \ vdots & vdots & ddots & vdots & vdots \ a_ & a_ & cdots & a_ & b_m end right) )
расширенной матрицей СЛАУ (1). Расширенная матрица полностью характеризует СЛАУ. Это означает, что по этой матрице однозначно (если сохранить обозначения для неизвестных) восстанавливается сама СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли. Для совместности СЛАУ (AX=B) необходимо и достаточно, чтобы ранг её матрицы (A) был равен рангу её расширенной матрицы ( (A|B) ).

Формулы Крамера

Теорема. СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет решение, и притом единственное, которое определяется по формулам Крамера :
$$ x_i = frac ;,quad i=overline tag $$
где (Delta_i) — определитель матрицы, получающейся из матрицы (A) заменой (i)-го столбца на столбец свободных членов.

Следствие. Однородная СЛАУ с квадратной невырожденной матрицей имеет единственное решение — нулевое.

Если матрица СЛАУ не является квадратной невырожденной, то формулы Крамера не работают и приходится использовать другие методы нахождения решений.

Однородные системы

Теорема. Если столбцы ( X^, X^, ldots , X^ ) — решения однородной СЛАУ (AX=0), то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Естественно попытаться найти такие решения ( X^, ldots , X^ ) системы (AX=0), чтобы любое другое решение этой системы представлялось в виде их линейной комбинации и притом единственным образом. Оказывается, что это всегда возможно и приводит к следующему определению.

Определение. Любой набор из (k=n-r) линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной СЛАУ (AX=0), где (n) — количество неизвестных в системе, а (r) — ранг её матрицы (A), называют фундаментальной системой решений этой однородной СЛАУ.

При исследовании и решении однородных систем линейных алгебраических уравнений будем использовать следующую терминологию. Если в матрице (A) однородной СЛАУ (AX=0) фиксировать базисный минор, то ему соответствуют базисные столбцы и, следовательно, набор неизвестных, отвечающих этим столбцам. Указанные неизвестные называют базисными, или зависимыми, а остальные неизвестные — свободными, или независимыми.

Теорема. Пусть дана однородная СЛАУ (AX=0) с (n) неизвестными и ( textA = r ). Тогда существует набор из (k=n-r) решений ( X^, ldots , X^ ) этой СЛАУ, образующих фундаментальную систему решений.

Если в фундаментальной системе решений все значения независимых неизвестных равны нулю, кроме одного, которое равно единице, то такую систему решений называют фундаментальной нормальной системой решений.

Следствие. С помощью нормальной фундаментальной системы решений однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой :
$$ X = c_1X^ + ldots + c_kX^ $$
где постоянные ( c_i ;, quad i=overline ), принимают произвольные значения.

Следствие. Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы её матрица была вырождена.

Неоднородные системы

Рассмотрим произвольную СЛАУ (AX=B). Заменив столбец (B) свободных членов нулевым, получим однородную СЛАУ (AX=0), соответствующую неоднородной СЛАУ (AX=B). Справедливо следующее утверждение о структуре произвольного решения неоднородной СЛАУ.

Теорема. Пусть столбец (X^circ) — некоторое решение СЛАУ (AX=B). Произвольный столбец (X) является решением этой СЛАУ тогда и только тогда, когда он имеет представление (X = X^circ + Y ), где (Y) — решение соответствующей однородной СЛАУ (AY=0).

Следствие. Пусть (X’) и (X») — решения неоднородной системы (AX=B). Тогда их разность ( Y = X’ — X» ) является решением соответствующей однородной системы (AY=0).

Эта теорема сводит проблему решения СЛАУ к случаю однородной системы: чтобы описать все решения неоднородной СЛАУ, достаточно энать одно её решение (частное решение) и все решения соответствующей однородной СЛАУ.

Чтобы решить неоднородную систему, надо, во-первых, убедиться, что она совместна (например, по теореме Кронекера-Капелли), а во-вторых, найти частное решение (X^circ) этой системы, чтобы свести её к однородной системе.

Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Пусть (X^circ) — частное решение СЛАУ (AX=B) и известна фундаментальная система решений ( X^, ldots , X^ ) соответствующей однородной системы (AX=0). Тогда любое решение СЛАУ (AX=B) можно представить в виде $$ X = X^circ + c_1 X^ + c_2 X^ + ldots + c_k X^ $$
где ( c_i in mathbb ;, quad i=overline ).
Эту формулу называют общим решением СЛАУ.

Видео:Количество решений системы уравнений. УпражнениеСкачать

Презентация по алгебре на тему «Решение систем линейных уравнений тремя способами» (7 класс)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 300 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решение систем линейных уравнений тремя способами:
Графический способ.
Способ подстановки.
Способ сложения.
Учитель математики
А. Н. Соснин
УВК ШГ № 20
Кыргызстан. г. Бишкек

Определение:
Уравнение вида ax + by + c = 0 , где a, b, c — числа (коэффициенты), называется линейным уравнением с двумя переменными x и y. Графиком линейного уравнения является прямая линия. 2x+3y-7=0; 12y=3x и т.п. линейные уравнения.
Системой линейных уравнений с двумя переменными называется такая система уравнений, которая в своём составе имеет два и более линейных уравнений с двумя переменными. Решением системы линейных уравнений называется такая пара чисел, которая является решением всех уравнений, входящих в данную систему.
2x+3y+6=0;
2y=3x-1
Пара значений (x;y), которая сразу является решением обоих уравнений системы, называются решением системы.
Решением данной системы является пара чисел :
𝒙=𝟑; 𝒚= −𝟒.
Решить систему — значит, найти все её решения или установить, что их нет.

Количество решений системы линейных уравнений:
1. Если прямые пересекаются в одной точке, то координаты этой точки — единственное решение заданной системы.
2. Если прямые параллельны, значит, система не имеет решений (система несовместна).
3. Если прямые совпадают, значит, система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённа).
Количество решений системы линейных уравнений зависит от взаимного расположения их графиков.

Пусть карандаш cто́ит x ₽ а тетрадь y ₽ . Тогда два карандаша и три тетради сто́ят (2x+3y) ₽ .
А две тетради дороже чем три карандаша на (2y-3x) ₽ . По условию два карандаша и три тетради сто́ят 19 ₽ , а две тетради дороже чем три карандаша на 4 ₽ .
Составим и решим систему уравнений:
Известно, что два карандаша и три тетради cто́ят 19 ₽, а две тетради дороже чем три карандаша на 4 ₽ . Сколько стоят пять карандашей и шесть тетрадей?
2x+3y=19
2y-3x=4

Графический способ.
2x+3y=19
2y-3x=4
Выразим в обоих уравнениях y через x:
Подставим в оба уравнения вместо x произвольную пару чисел и найдём значения y.
y= 19−2𝑥 3
y= 4+3𝑥 2
y= 19−2•5 3 =3
y= 4+3•0 2 =2
x 5 8
y 3 1
x 0 4
y 2 8
Ⅰ
Ⅱ
y= 19−2•8 3 =1
y= 4+3•4 2 =8

Построим в прямоугольной системе координат
графики этих уравнений:

5
8
1
5
8
2
3
4
0
2
Находим точку пересечения прямых и определяем её
координаты: Ответ: x=2 y=5.
Карандаш стоит 2 ₽ . Тетрадь стоит 5 ₽ .
5 карандашей и 6 тетрадей стоят 5•2 + 6•5=40 ₽. Ответ: 40 ₽ стоит вся покупка.

Выразим в одном из уравнений y через x
(или x через y):
Подставим в одно из уравнений вместо x (или y) полученное выражение.
Решим полученное уравнение.
y= 4+3𝑥 2
2x+3× 4+3𝑥 2 =19

Подставим в любое из уравнений вместо x полученное значение:
Ответ: x=2; y=5.

Способ подстановки.
Следовательно: карандаш стоит 2 ₽ . Тетрадь стоит 5 ₽.
5 карандашей и 6 тетрадей стоят
5•2 + 6•5=40 ₽.
Ответ: 40 ₽ стоит вся покупка.

Способ сложения.
2x+3y=19
2y-3x=4
Умножим почленно одно из уравнений
или оба на такое число (или числа) чтобы
коэффициенты перед любой из переменных
стали противоположными:
Выполним почленное сложение обоих уравнений:
x=2 y=5.
2x+3y=19 |×3
2y-3x=4 |×2
6x+9y=57
4y-6x=8
6x-6x+9y+4y=57 +8
13y=65
y=65/13
y=5
Подставим полученное число в любое из уравнений:
2•5-3x=4,
10-3x=4,
-3x=4-10,
-3x=-6,
x= −6 −3 ,
x=2.
Карандаш стоит 2 ₽ . Тетрадь стоит 5 ₽ .
5 карандашей и 6 тетрадей стоят 5•2 + 6•5=40 ₽.
Ответ: 40 ₽ стоит вся покупка.

Способ сложения (повышенной сложности).
Избавимся от знаменателей умножив все элементы
первого уравнения на 2 а второго на 3,
а затем выполним группировку:
2,5𝑥−2𝑦 2 −2𝑥−3=0
3𝑥−2𝑦 3 =3𝑥−4
2,5𝑥−2𝑦 2 −2𝑥−3=0 2,5𝑥−2𝑦−4𝑥−6=0
3𝑥−2𝑦 3 =3𝑥−4 3𝑥−2𝑦=9𝑥−12
3𝑥−2𝑦−9𝑥=−12
2,5𝑥−2𝑦−4𝑥=6
-1,5𝑥−2𝑦=6
-6𝑥−2𝑦=−12
Для получения противоположных коэффициентов при y умножим все элементы второго
уравнения на (-1). Получим:
-1,5𝑥−2𝑦=6
6𝑥+2𝑦=12
сложив почленно левые и правые части обоих уравнений получим:
6𝑥-1,5x+2𝑦-2y=12+6,
4,5𝑥=18,
𝑥= 18 4,5 ,
𝑥=4.
Подставив в одно из конечных уравнений вместо x число 4 получим:
6•4+2𝑦=12,
24+2𝑦=12,
2𝑦=12-24,
2𝑦=-12,
𝑦=-12:2,
𝑦=-6.
Ответ: 𝑥=4; y=-6.
➜
➜
➜
➜
➜
➜
➜
➜

Как видно, во всех трёх случаях ответ получился одинаковым.
Выбор способа решения зависит от особенностей решаемых уравнений.
Графический способ самый простой, но он подходит только для решения уравнений, корнями которых являются целые числа с небольшим модулем.
Способ подстановки или «школьный» способ тоже достаточно прост, но он удобен в тех случаях где можно выразить одну переменную через другую без применения дробных выражений.
Способ сложения или «железобетонный» способ несколько сложнее, но он применим для решения любых систем из двух и более уравнений.

Решение системы линейных уравнений с тремя переменными методом подстановки аналогично подобному же методу решения для системы уравнений с двумя переменными
Например решим систему выразив вначале x через y и z , а затем y через z :
Решение системы из нескольких уравнений
с тремя переменными.