Количество корней уравнения f x a в зависимости от значения а

Покажем, как задачи с параметрами можно решать графически.

Найдём количество решений уравнения

в зависимости от $$ a$$.

Искомое количество решений совпадает с числом точек пересечения графиков функций

График первой функции получается из графика функции, который был построен в предыдущем примере. Для этого нужно воспользоваться преобразованием вида ПР1 то есть график $$ y=_left(xright)$$ имеет такой вид, как показано на рис. 43 $$ fleft(0right)=sqrt$$.

Графиком функции $$ y=a$$ будет прямая, параллельная оси $$ Ox$$ (рис. 43). При этом она пересекает ось ординат в точке $$ (0,a)$$. Легко видеть, что при $$a 3$$ прямая $$ y=a$$ не имеет пересечений с графиком $$ y=_left(xright)$$, при $$ a=3$$ и $$ ain [0;sqrt)$$ есть две точки пересечения, а при $$ ain [sqrt;3)$$ – четыре общие точки и при $$ a=sqrt$$ – три общие точки. Остаётся лишь сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;0)bigcup (3;+infty )$$ решений нет, при $$ ain [0;sqrt)bigcup left$$ – два решения, при $$ ain left<sqrtright>$$ – три решения, при $$ ain (sqrt;3)$$ – четыре решения.

Найдём количество решений уравнения в зависимости от $$ a$$:

Методом интервалов нетрудно построить график функции

Количество решений уравнения совпадает с числом точек пересечения этого графика с прямой $$ fleft(xright)=a$$ (рис. 44).

Проанализировав график, несложно выписать ответ.

При $$ ain (8;+infty )$$ уравнение имеет 2 решения, при $$ a=8$$ уравнение имеет бесконечно много решений, при $$ ain (-infty ;8)$$ решений нет.

Рассмотрим ещё один пример задач с параметром, где используется построение множеств, задаваемых уравнениями с модулем. Напомним, что графиком уравнения называют линию на плоскости, на которой лежат те и только те точки, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

Найдём количество решений системы уравнений

в зависимости от $$ a$$.

Для решения необходимо построить график уравнения $$ left|xright|+left|yright|=4$$. Это можно сделать, последовательно выполнив построения таких графиков:

График второго уравнения – окружность с центром в точке $$ O(0;0)$$ и радиусом $$ left|aright|$$. Изобразим оба этих графика на координатной плоскости $$ xOy$$.

Как видим, при $$|a| 4$$ графики не пересекаются. При $$ left|aright|=2sqrt$$ или $$ left|aright|=4$$ есть 4 точки пересечения. При остальных $$ a$$ есть 8 точек пересечения. Таким образом, можно сформулировать ответ.

При $$ ain (-infty ;-4)cup (-2sqrt;2sqrt)cup (4;+infty )$$ система не имеет решений;

при $$ ain <-4;-2sqrt;2sqrt;4>$$ система имеет 4 решения;

при $$ ain (-4;-2sqrt)cup (2sqrt;4)$$ система имеет 8 решений.

В следующей задаче нам потребуется понятие локального экстремума функции. Говорят, что функция $$ y=fleft(xright)$$ имеет локальный максимум в точке $$ _$$, если для некоторого числа $$ε > 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ при $$|x − x_0| 0$$ график $$ y=at-3$$ касается линии $$ y=sqrt$$ (cм. рис. 46). Уравнение $$ D=0$$ имеет единственный положительный корень `a=1/4`. Следовательно, `a_2=1/4`. Если $$dfrac3leq a 1/4` они не имеют общих точек.

Рассмотрим пример использования этого правила в задаче.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при которых система

имеет хотя бы одно решение.

Неравенство системы после выделения полных квадратов можно записать в виде $$ ^-8left|xright|+16+^-8left|yright|+16le 1$$ или $$ left(right|x|-4^+(left|yright|-4^le 1$$. Множество $$ E$$ решений этого неравенства – объединение кругов $$ _$$, $$ _$$, $$ _$$, $$ _$$ (вместе с их границами) радиуса $$ 1$$ (см. рис. 47) с центрами $$ _(4;4)$$, $$ _(4;-4)$$, $$ _(-4;-4)$$, $$ _(-4;4)$$. Запишем уравнение системы в виде

Это уравнение задаёт окружность $$ L$$ радиуса $$ left|aright|$$ с центром в точке $$ M(0;1)$$, или точку $$ (0;1)$$ при $$ a=0$$. Исходная система имеет хотя бы одно решение при тех значениях $$ a$$, при которых окружность $$ L$$ имеет общие точки с множеством $$ E$$. При этом ввиду симметричного расположения соответствующих пар кругов относительно оси ординат достаточно выяснить, при каких значениях $$ a$$ окружность $$ L$$ имеет общие точки с кругами, центрами которых являются точки $$ _$$ и $$ _$$. Проведём из точки $$ M$$ лучи $$ _$$ и $$ _$$ в направлении точек $$ _$$ и $$ _$$. Пусть $$ _$$ и $$ _$$ – точки пересечения $$ _$$ и окружности с центром $$ _$$, $$ _$$ и $$ _$$ – точки пересечения $$ _$$ и окружности с центром $$ _$$. Тогда из геометрических соображений имеем:

При $$ 4le left|aright|le 6$$ окружность с центром $$ M$$ имеет общие точки с кругом $$ _$$ , а при $$ sqrt-1le left|aright|le sqrt+1$$ – с кругом $$ _$$.

а) Если $$b 0$$. Эта система не имеет решений при $$ a=0$$ и поэтому $$b 0$$. Теперь мы прибегнем к графическому методу. Рассмотрим два случая: $$0 1$$. Если $$b > 1$$, то $$sqrt Эта система не имеет решений, так как прямая $$ y=x-b$$ не пересекает график функции $$ y=|^-b|$$ (см. рис. 48). Если $$0 0$$).

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости.

Найдём все значения `a`, при каждом из которых уравнение

Рассмотрим функции `f(x)-a|x-3|` и `g(x)=5/(x+2)`.

Если построить график функции `f(x)` для разных `a` (рис. 50) и график функции `g(x)` (рис. 51), то можно без проблем исследовать на промежутке `[0;+oo)` уравнение `f(x)=g(x)`.

При `a При `a>0` функция `f(x)` возрастает на промежутке `(3;+oo)`. Функция `g(x)` убывает на этом промежутке, поэтому уравнение `f(x)=g(x)` всегда имеет ровно одно решение на промежутке `(3;+oo)`, поскольку `f(3) g(3+1/a)`. На промежутке `[0;3]` уравнение `f(x)=g(x)` принимает вид `3a-ax=5/(x+2)`. Это уравнение сводится к уравнению `ax^2-ax+(5-6a)=0`. Будем считать, что `a>0`, поскольку случай `a

Пусть уравнение имеет два корня, то есть `a>4/5`. Тогда оба корня меньше `3`, поскольку при `x>=3` значения функции `3a-ax` неположительны, а значения функции `5/(x+2)` положительны. По теореме Виета сумма корней равна `1`, а произведение равно `5/6-6`. Значит, больший корень всегда принадлежит промежутку `[0;3]`, а меньший принадлежит этому промежутку тогда и только тогда, когда `5/a-6>=0`, то есть `a 5/6`;

– три корня при `4/5

В завершении разберём несколько задач с параметрами, которые удобно решать методом областей на координатной плоскости. В следующем примере будем использовать известный подход к задачам, содержащим некоторые переменные в квадрате. Суть этого подхода — рассмотрение выражения как квадратичной функции относительно какой-нибудь переменной (остальные переменные при этом считаются параметрами) с последующим использованием известных свойств квадратичной функции.

Найдём все значения параметра $$ a$$, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно три решения.

Первое уравнение данной системы равносильно совокупности двух уравнений $$ |y+9|+|x+2|=2$$ и $$ ^+^=3$$. Первое из них задаёт квадрат $$ G$$ с центром $$ (-2;-9)$$, диагонали которого равны $$ 4$$ и параллельны осям координат. Второе задаёт окружность $$ S$$ с центром $$ (0;0)$$ радиуса $$ sqrt$$ (см. рис. 52).

Второе уравнение исходной системы при $$a > 0$$ задаёт окружность $$ Omega $$ с центром $$ (-2;-4)$$ радиуса $$ R=sqrt$$.

Отметим, что при $$a Рассмотрев случаи внешнего и внутреннего касания окружностей $$ Omega $$ и $$ S$$, можно заключить, что они имеют ровно `1` общую точку при $$ R=sqrtpm sqrt$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (sqrt-sqrt;sqrt+sqrt)$$ и ни одной общей точки при остальных $$ R$$. Поскольку центры окружности $$ Omega $$ и квадрата $$ G$$ лежат на прямой $$ x=-2$$, то $$ Omega $$ и $$ G$$ имеют ровно `1` общую точку при $$ R=3$$ или $$ R=7$$, ровно `2` общие точки при $$ Rin (3;7)$$ и ни одной общей точки при остальных значениях $$ R$$. Для того чтобы у системы было 3 решения, необходимо и достаточно, чтобы окружность $$ Omega $$ имела `2` общие точки с квадратом $$ G$$ и `1` общую точку с окружностью $$ S$$ или наоборот. Рассмотрим значения $$ R$$, при которых окружность $$ Omega $$ имеет с квадратом $$ G$$ или окружностью $$ S$$ ровно `1` общую точку.

1) $$ R=sqrt+sqrt$$. Тогда есть ровно `1` общая точка с окружностью $$ S$$, и ровно `2` общие точки с квадратом $$ G$$ (т. к. $$3 sqrt + sqrt$$), т. е. у системы 1 решение.

Итак, подходят $$ R=3$$ и $$ R=sqrt+sqrt$$. Тогда искомые значения параметра $$ a=^=9$$ и $$ a=(sqrt+sqrt^=23+4sqrt$$.

Видео:3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать

Применение производной для решения нелинейных уравнений и неравенств

п.1. Количество корней кубического уравнения

Кубическое уравнение $$ ax^3+bx^2+cx+d=0 $$ на множестве действительных чисел может иметь один, два или три корня.
С помощью производной можно быстро ответить на вопрос, сколько корней имеет данное уравнение. begin f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ f'(x)=3ax^2+bx+c end Если в уравнении (f'(x)=0) дискриминант (D=4b^2-12ac=4(b^2-3ac)gt 0), кубическая парабола имеет две точки экстремума: (x_=frac<-2bpmsqrt>). Если при этом значения функции в точках экстремума (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0), т.е. расположены по разные стороны от оси OX, парабола имеет три точки пересечения с этой осью. Исходное уравнение имеет три корня.
Если две точки экстремума найдены, но (f(x_1)cdot f(x_2)=0), уравнение имеет два корня.
Во всех остальных случаях – у исходного уравнения 1 корень.

Пример 1. Сколько корней имеют уравнения:

1) (x^3+3x^2-4=0) (b^2-3ac=9gt 0 (c=0) ) (f(x)=x^3+3x^2-4 ) (f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) ) (x_1=0, x_2=-2 ) (f(x_1)=-4, f(x_2)=0 ) (f(x_1)cdot f(x_2)=0Rightarrow) два корня	2) (x^3+3x^2-1=0) (b^2-3ac=9gt 0 ) (f(x)=x^3+3x^2-1 ) (f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) ) (x_1=0, x_2=-2 ) (f(x_1)=-1, f(x_2)=3 ) (f(x_1)cdot f(x_2)lt 0Rightarrow) три корня
3) (x^3+3x^2+1=0) (b^2-3ac=9gt 0) (f(x)=x^3+3x^2+1 ) (f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2) ) (x_1=0, x_2=-2 ) (f(x_1)=1, f(x_2)=5 ) (f(x_1)cdot f(x_2)gt 0Rightarrow) один корень	4) (x^3+x^2+x+3=0) (b^2-3ac=1-3lt 0 ) Один корень

п.2. Количество корней произвольного уравнения

Задачи на подсчет количества корней решаются с помощью построения графиков при полном или частичном исследовании функций.

Пример 2. а) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac+frac)
б) Найдите число корней уравнения (frac 1x+frac+frac=k)

Построим график функции слева, а затем найдем для него количество точек пересечения с горизонталью (y=1). Это и будет ответом на вопрос задачи (а).
Исследуем функцию: $$ f(x)=frac1x+frac+frac $$ Алгоритм исследования и построения графика – см. §49 данного справочника.
1) ОДЗ: (xneleft)
Все три точки – точки разрыва 2-го рода. begin lim_left(frac1x+frac+fracright)=-infty-1-frac13=-infty\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=+infty-1-frac13=+infty\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=1-infty-frac12=-infty\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=1+infty-frac12=+infty\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=frac13+frac12-infty=-infty\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=frac13+frac12+infty=+infty end 2) Функция ни четная, ни нечетная.
Функция непериодическая.
3) Асимптоты
1. Вертикальные (x=0, x=1, x=3) – точки разрыва 2-го рода
2. Горизонтальные: begin lim_left(frac1x+frac+fracright)=-0-0-0=-0\ lim_left(frac1x+frac+fracright)=+0+0+0=+0\ end Горизонтальная асимптота (y=0)
На минус бесконечности функция стремится к 0 снизу, на плюс бесконечности – сверху.
3. Наклонные: (k=0), нет.
4) Первая производная $$ f'(x)=-frac-frac-fraclt 0 $$ Производная отрицательная на всей ОДЗ.
Функция убывает.

5) Вторую производную не исследуем, т.к. перегибы не влияют на количество точек пересечения с горизонталью.

6) Точки пересечения с OY – нет, т.к. (x=0) – асимптота
Точки пересечения с OX – две, (0lt x_1lt 1,1lt x_2lt 3)

7) График

Получаем ответ для задачи (а) 3 корня.

Решаем более общую задачу (б). Передвигаем горизонталь (y=k) снизу вверх и считаем количество точек пересечения с графиком функции. Последовательно, получаем:
При (klt 0) — три корня
При (k=0) — два корня
При (kgt 0) — три корня

Ответ: а) 3 корня; б) при (k=0) два корня, при (kne 0) три корня.

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение $$ sqrt+sqrt=a $$ имеет по крайней мере одно решение.

Исследуем функцию (f(x)=sqrt+sqrt)
ОДЗ: ( begin x-1geq 0\ 10-2xgeq 0 end Rightarrow begin xgeq 1\ xleq 5 end Rightarrow 1leq xleq 5 )
Функция определена на конечном интервале.
Поэтому используем сокращенный алгоритм для построения графика.
Значения функции на концах интервала: (f(1)=0+sqrt=2sqrt, f(5)=sqrt+0=2)
Первая производная: begin f'(x)=frac<2sqrt>+frac<2sqrt>=frac<2sqrt>-frac<sqrt>\ f'(x)=0 text 2sqrt=sqrtRightarrow 4(x-1)=10-2xRightarrow 6x=14Rightarrow x=frac73\ fleft(frac73right)=sqrt+sqrt=sqrt+sqrt<frac>=frac<sqrt>=2sqrt end Промежутки монотонности:

Можем строить график:

(y=a) — горизонтальная прямая.
Количество точек пересечения (f(x)) и (y) равно количеству решений.
Получаем:

По крайней мере одно решение будет в интервале (2leq aleq 2sqrt).

п.3. Решение неравенств с построением графиков

Пример 4. Решите неравенство (fracgt frac)

Разобьем неравенство на совокупность двух систем.
Если (xgt 1), то (x-1gt 0), на него можно умножить слева и справа и не менять знак.
Если (xlt 1), то (x-1lt 0), умножить также можно, только знак нужно поменять.
Сразу учтем требование ОДЗ для логарифма: (xgt 0)

Получаем совокупность: begin left[ begin begin xgt 1\ 2+log_3 xgtfrac end \ begin 0lt xlt 1\ 2+log_3 xltfrac end end right. \ 2+log_3 xgt fracRightarrow log_3 xgt fracRightarrow log_3 xgt frac\ left[ begin begin xgt 1\ log_3 xgtfrac end \ begin 0lt xlt 1\ log_3 xltfrac end end right. end Исследуем функцию (f(x)=frac=frac=1-frac)
Точка разрыва: (x=frac12) – вертикальная асимптота
Односторонние пределы: begin lim_left(1-fracright)=1-frac=+infty\ lim_left(1-fracright)=1-frac=-infty end Второе слагаемое стремится к 0 на бесконечности, и это дает горизонтальную асимптоту: (y=1) begin lim_left(1-fracright)=1-frac=1+0\ lim_left(1-fracright)=1-frac=1-0 end На минус бесконечности кривая стремится к (y=1) сверху, а на плюс бесконечности – снизу.
Первая производная: $$ f'(x)=left(1-fracright)’=fracgt 0 $$ Производная положительная на всей ОДЗ, функция возрастает.
Вторая производная: $$ f»(x)=-frac $$ Одна критическая точка 2-го порядка (x=frac12)

Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать

Квадратные уравнения с параметром

Уравнение называется квадратным, если имеет вид (ax^2+bx+c=0,) где (a,b,c) — любые числа ((a≠0)). При этом надо быть внимательным, если (a=0), то уравнение будет линейным, а не квадратным. Поэтому, первым делом при решении квадратного уравнения с параметром, рекомендую смотреть на коэффициент при (x^2) и рассматривать 2 случая: (a=0) (линейное уравнение); (a≠0) (квадратное уравнение). Квадратное уравнение часто решается при помощи дискриминанта или теоремы Виета.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Исследование квадратного многочлена

Чтобы решить квадратное уравнение с параметром, нужно понять, при каких значениях параметра существуют корни, и найти их, выразив через параметр. Обычно это делается просто через анализ дискриминанта. (см. пример 1) Но иногда в задачах с параметром просят найти такие значения параметра, при которых корни принадлежат определенному числовому промежутку. Например:

• Найдите такие значения параметра, чтобы оба корня были меньше некоторого числа (γ): (x_1≤x_2 0)); ветки параболы направлены вниз ((a 0). Значит, между корнями функция принимает отрицательные значения, а вне этого отрезка – положительные. Так как наше число (γ) должно по условию лежать вне отрезка ((x_1,x_2)), то (f(γ)>0).
• (a 0). Этим условием мы накладываем ограничение, что наши корни должны лежать слева или справа от числа (γ).

В итоге получаем:

если (a*f(γ) 0), то (γ∉(x_1,x_2)).

Нам осталось наложить условие, чтобы наши корни были слева от числа (γ). Здесь нужно просто сравнить положение вершины нашей параболы (x_0) относительно (γ). Заметим, что вершина лежит между точками (x_1) и (x_2). Если (x_0 0, \x_0

При каких значениях параметра a уравнение $$a(a+3) x^2+(2a+6)x-3a-9=0$$ имеет более одного корня?

1 случай: Если (a(a+3)=0), то уравнение будет линейным. При (a=0) исходное уравнение превращается в (6x-9=0), корень которого (x=1,5). Таким образом, при (a=0) уравнение имеет один корень.
При (a=-3) получаем (0*x^2+0*x-0=0), корнями этого уравнения являются любые рациональные числа. Уравнение имеет бесконечное количество корней.

2 случай: Если (a≠0; a≠-3), то получим квадратное уравнение. При положительном дискриминанте уравнение будет иметь более одного корня: $$D>0$$ $$D/4=(a+3)^2+3a(a+3)^2>0$$ $$(a+3)^2 (3a+1)>0$$ $$a>-frac.$$ С учетом (a≠0;) (a≠-3), получим, что уравнение имеет два корня при (a∈(-frac;0)∪(0;+∞)). Объединив оба случая получим (внимательно прочитайте, что от нас требуется):

Найти все значения параметра a, при которых корни уравнения $$(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1=0$$ принадлежат отрезку ([-2;2]).

1 случай: Если (a=-1), то (0*x^2-x+1-1=0) отсюда (x=0). Это решение принадлежит ([-2;2]).

2 случай: При (a≠-1), получаем квадратное уравнение, с условием, что все корни принадлежат ([-2;2]). Для решения введем функцию (f(x)=(a+1) x^2-(a^2+2a)x-a-1) и запишем систему, которая задает требуемые условия:

Подставляем полученные выражения в систему:

💡 Видео

Три способа отбора корней в задании 13 ЕГЭ профильСкачать

8 класс, 25 урок, Формула корней квадратного уравненияСкачать

Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать

Я теряю корни ★ 99 ошиблись ★ Решите уравнение ★ x^x=(1/2)^(1/2)Скачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

ВСЁ ПРО ГРАФИКИ ЕГЭ 2024 (Прямая, Парабола, Окружность, Модуль, Гипербола, Корень, Области, Сдвиги)Скачать

Найти значение суммы и произведения корней квадратного уравненияСкачать

✓ Как решать кубические уравнения. Формула Кардано | Ботай со мной #025 | Борис ТрушинСкачать

Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать

Свойства квадратного корня. Уравнение х2=а, 8 классСкачать

Решение квадратного уравнения с выводом формулы корнейСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№28 - Решение квадратных уравнений вида ax2 + bx + c = 0.Формула корней кв.ур.)Скачать

МАТЕМАТИКА 8 класс - Квадратные Уравнения. Как решать Квадратные Уравнения? Формула КорнейСкачать

Алгоритмы. Нахождение корней уравнений методом деления отрезка пополам.Скачать

Формула корней квадратного уравненияСкачать

Урок 95 Формулы корней квадратного уравнения (8 класс)Скачать

Тема 13. Решение целых рациональных уравнений, сводящихся к квадратным уравнениямСкачать