Колебательное звено уравнение передаточная функция (3 видео)

Колебательное звено.

Звено называют колебательным, если связь между входной x(t) и выходной z(t) переменными определяется дифференциальным уравнением вида

причем корни характеристического уравнения, отвечающего этому дифференциальному уравнению

должны быть комплексно сопряженными, т.е. должно выполнятся условие . Если это неравенство имеет противоположный знак, то корни будут вещественными и вместо колебательного звена получится последовательное соединение двух инерционных звеньев.

Часто дифференциальное уравнение колебательного звена записывают в ином виде, введя степень затухания (степень успокоения) ξ (при ξ >1 получается два инерционных звена)

В операторной форме это уравнение может быть записано в виде

и значит, передаточная функция звена будет такова

(11)

В качестве примера колебательно звена можно привести пассивный RLC – контур (рис.36).

Рис.36. Пример колебательного звена.

Интересен бывает частный случай колебательного звена, когда степень затухания ξ = 0, такое звено называют консервативным. Его передаточная функция получается при ξ = 0 из (11)

(12)

Переходная характеристика колебательного звена определяется выражением

Представление выражения в виде понадобилось потому, что в справочниках по операционному исчислению дается следующие стандартные выражения для обратного преобразования Лапласа

(13)

Получить введенные неизвестные коэффициенты α и β через заданные ξ и Т₀ можно из выражения

приравняв коэффициенты при одинаковых степенях p

(14)

Разложим выражение в фигурных скобках для h(t) на простейшие дроби

где А₁, А₂, А₃ – неопределенные пока коэффициенты, подлежащие определению.

Приведем к общему знаменателю правую часть этого выражения, и поскольку знаменатели слева и справа окажутся одинаковыми, приравняем числители и приведем подобные.

Затем, приравняв коэффициенты при одинаковых степенях переменной р, получим

. (15)

Из третьего равенства (15) и (14) следует, что

Тогда из остальных равенств (15) найдем

Отсюда, с учетом найденных значений для А₁, А₂, А₃, получим, имея в виду (13), и (14)

(16)

Эта переходная характеристика звена изображена на рис. 37.

Рис. 37. Переходная характеристика колебательного звена.

Прямо из рисунка можно определить параметр k (коэффициент усиления звена) и Т * – период колебаний процесса

На этом же рисунке нанесены пунктиром экспоненты затухания колебаний . В соответствии с этими экспонентами изменяется (здесь уменьшается) с течением времени амплитуда колебаний переходного процесса.

Для консервативного звена (ξ =0) экспоненты превращаются в горизонтальные линии и, следовательно, затухания колебаний не происходит (рис.38). это, впрочем, видно и из (16), если положить там ξ =0

Рис. 38. Переходная характеристика

консервативного звена.

Весовая функция колебательного звена находится из выражения

(17)

Рис. 39. Весовая функция колебательного звена.

Для случая ξ = 0, т.е консервативного звена, весовая функция найдется из выражения (17)

Эта характеристика изображена на рис. 40.

Рис. 40. Весовая функция консервативного звена.

Для исследования колебательного звена в частотной области найдем частотную передаточную функцию w(j ) заменой в (11) р→ j

Отсюда легко получается амплитудная частотная A( ) и фазовая частотная φ( ) характеристики звена.

(18)

Из (18) видно, что АЧХ A( ) существенно зависит от степени затухания ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) при с -1 обращается в бесконечность (рис.41).

Рис. 41. АЧХ Колебательного звена.

В отношении зависимостей осей частоты ФЧХ φ( ) следует сказать следующее. Известно, что главное значение

y = arctg(x) для положительных x изменяется от 0 до . Остальные значения y получаются из главного путем прибавления к нему величины + kπ, где k =1,2, .

Полученное в (19) значение φ дает главное значение арктангенса от 0 до – в диапазоне частот с -1 (при с -1 знаменатель φ( ) обращается в ноль, а само значение φ ). Для определения φ( ) для частот, больших с -1 , надо, следовательно к главному значению добавлять + kπ (в нашем случае возьмем k = 1 и знак “минус”, т.к. речь идет о возрастании аргумента функции φ( ) в отрицательную сторону). Итак, математическое выражение, характеризующие ФЧХ φ( ), будет разным для различных областей частот

φ (20)

Из (20) видно, что на поведении φ( ) сильно сказывается параметр ξ. Для консервативного звена (ξ = 0) для диапазона частот с -1 φ( ) = 0, а для диапазона с -1 φ( ) = – π. На рис. 42 изображены φ( ) для разных значений ξ.

Рис. 42. ФЧХ колебательного звена.

АФХ W(j ) колебательного звена можно построить, используя уже полученные значения A( ) и φ( ). Отметим три характерные точки рассматриваемой АФХ.

Из (18) легко получить, что А(0) = k, , А(∞) = 0. Аналогично из (20) получим φ(0) = 0, φ и φ(∞) = – π. Тогда качественно по этим трем точкам построим АФХ звена (рис.43)

Рис. 43. АФХ колебательного звена.

Хотя A( ) и φ( )существенно зависят от степени затухания ξ, из (18) можно усмотреть, что для = 0 и = ∞ A(∞) не зависят от ξ, а (20) удостоверяет, что φ( ) не зависит от ξ при = 0, с -1 и при = ∞. Для остальных значений частоты A( ) и φ( ) зависят от ξ, в частности, . Это означает, что с уменьшением ξ значение увеличивается, а сама АФХ с уменьшением ξ “разбухает”. Рассматривая предельный переход, можно сказать, что при ξ = 0 на частотах с -1 происходит разрыв АФХ и низкочастотная ее часть (т.е. ) будет проходить по положительной част и оси абсцисс, начиная с точки k в право, а высокочастотная ( ) – по отрицательной полуоси абсцисс из – ∞ до 0. Это же можно усмотреть и из рис. III. 30 для ξ = 0: для φ( ) = 0, а для φ( ) = – π.

Выражение для точной ЛАЧХ базируется на основе соотношения

(21)

Из выражения (21)для передаточной функции видно, что звено имеет одну постоянную времени Т₀ и, значит, одну сопрягающую частоту с -1 и два частотных участка.

, T₀ 1.

Тогда выражение для второй асимптоты будет

Таким образом, вторая асимптота есть прямая линия с наклоном – 40 , проходящая через конечную точку первой асимптоты.

На рис. 44 представлена асимптотическая ЛАЧХ. Выше для инерционного звена указывалось, что максимальное отличие асимптотической ЛАЧХ от точной не превышает 3,03 дб. Для колебательного звена, из-за зависимости его характеристик от параметра ξ, эти отличия могут быть много больше, так что имеются специальные таблицы, которые предназначены внести поправки для различных ξ в асимптотические ЛАЧХ, чтобы приблизить их к точным. На рис.44 точные значения ЛАЧХ (в том числе и для ξ =0) нанесены пунктиром. Видно, что максимальные отличия точной ЛАЧХ от асимптотической находятся вблизи частоты с -1 , вдали же от этой частоты различия практически исчезают.

Рис. 44. ЛАЧХ колебательного звена.

Упругое звено.

Упругое звено описывается дифференциальным уравнением вида

Примерами упругого звена (см. рис.45) могут служить пассивные четырехполюсники вида

Рис. 45. Примеры упругого звена.

Если к вышеприведенному дифференциальному уравнению упругого звена применить преобразование Лапласа, то для нулевых начальных условий получим

и следовательно, передаточная функция звена будет

(22)

Характеристики упругого звена существенно зависят от параметра . При λ > 1, т.е. при Т₀ > T звено называется упругим дифференцирующим, в противном случае, при λ 1) h(0) > h( ∞), а для упругого интегрирующего звена (λ 1 и λ 1 в) λ 1) и интегрирующего (λ 1 в) λ 1, т.е. Т₀>T или , зависимости A( ), φ( ) и w( ) представлены на рис. III. 36, а при λ 1).

Рис. 49. A( ), φ( ) и w( ) упругого интегрирующего звена (λ 1, т.е. (рис. 50)

, T₀ 1.

, T 1.

, T>1.

Для этого участка уравнение асимптоты примет вид

Это выражение характеризует горизонтальную прямую, проходящую через конец второй асимптоты.

Рис. 50. ЛАЧХ упругого дифференцирующего звена (λ >1).

Построение ЛАЧХ можно сильно упростить, если воспользоваться нижеследующей методикой.

Первая асимптота ЛАЧХ заканчивается на сопрягающейся частоте , которой соответствует постоянная времени . Из выражения для передаточной функции (22) видно, что эта постоянная времени расположена в скобке , находящейся в числителе. Известно мнемоническое правило, что если скобка находится в числителе, то ЛАЧХ на частоте претерпевает излом на + , а если в знаменателе, то .

В нашем случае , и, следовательно, ЛАЧХ “ломается” на +20 . Поэтому, раз наклон первой асимптоты был ноль, а на частоте ЛАЧХ изменила его на +20 , то наклон ЛАЧХ на II участке будет 0+20 = 20 . Сопрягающей частоте соответствует постоянная времени Т. с, которая, как видно из (III. 1.22) расположена в скобке, находящейся в знаменателе. Значит, на частоте _c₂ ЛАЧХ претерпевает излом на -20 и наклон ЛАЧХ на III участке будет -20 +20 = 0.

Рассмотрим теперь случай λ

Дата добавления: 2017-01-13 ; просмотров: 4663 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Содержание

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено
Пример
Звено второго порядка (колебательное звено)
🌟 Видео

Видео:11)ТАУ для чайников. Часть 4.3. Колебательное звеноСкачать

3. Частотные характеристики звеньев и систем автоматического регулирования. 3.5 Колебательное звено

Колебательное звено является наиболее интересным случаем из всех типовых звеньев, во-первых, за счет “сильной похожести” по своим динамическим свойствам на более сложные реальные САУ САР, во-вторых, близкой идентичности переходных процессов в звене к аналогичным в реальных САР, и, в-третьих, существенной зависимости динамических свойств от величины параметра звена.

Выведем формулу колебательного звена на примере электрического колебательного контура, который изучают в курсе школьной физики. Пример такого контура приведен на рисунке 3.5.1

Рисунок 3.5.1 Модель электического колебательного контура

Электрическая цепь содержит источник напряжения и последовательно соединённые индуктивность, сопротивление, конденсатор.

Входное ступенчатое воздействие xt, формирующее внешнюю Э.Д.С в цепи, подключено к блоку «источнику напряжения» хt = Uвхt.

Результирующий отклик звена — напряжение на конденсаторе yt = Uсt = Uвыхt.

Согласно второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, сумма Э.Д.С равна сумме напряжения на резистивных элементах контура.

— ЭДС индукции на катушке, направленопротивизменениятока;

— падение напряжении на сопротивлении.

Поскольку в замкнутом контуре сила тока одинакова на всех элементах, перепишем уравнения, выразив силу тока через напряжение на конденсаторе. Сила тока в цепи равна изменению заряда конденсатора:

где:

— заряд кондесатора.

Тогда сила тока в цепи связана с напряжение на конденсаторе соотношением:

После замены силы тока, ее выражением через получим следующие выражение:

Заменив и получим уравнение колебательного звена:

Уравнение динамики звена описывается уравнением, аналогичным рассмотренном в предыдущем разделе (апериодическое звено второго порядка):

причем , т.е.

Учитывая, что , удобнее представить уравнение динамики в другой форме, а именно:

Введем новые параметры: и , где — параметр (коэффициент) затухания (демпфирования).

Подставляя новые параметры в (3.5.1):

Уравнение 3.5.2 — наиболее удобная форма представления уравнения динамики.

Перейдем к изображениям: и уравнение динамики в изображениях Лапласа:

Передаточная функции колебательного звена:

Еще раз подчеркнем, что параметр (коэффициент) затухания (демпфирования) , причем при 1″ alt=»beta > 1″ src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/88a/1d4/1e3/88a1d41e3070af8864f76fc755c23f06.svg»/>свойства колебательного звена совпадают с аналогичными свойствами соответствующего апериодического звена 2-го порядка, а при звено выражается в консервативное, в котором могут существовать незатухающие гармонические колебания.

Выражение для АФЧХ получается после подстановки в (3.5.3) значения :

Домножим числитель и знаменатель формулы 3.5.4 на компексно сопряженное выражения для знаменателя :

Выражения для вещественной и мнимой частей принимают вид:

Амплитуда АФЧХ

Сдвиг фазы

frac. end right. mathbf» alt=»varphi (omega) = left < begin-arctg frac, если omega le frac; \ -pi- arctg frac, если omega > frac. end right. mathbf» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/c8a/3b3/938/c8a3b3938b910eea4df51754c9ad7de5.svg» width=»468″ height=»84″/>

Анализ формул (3.5.5 − 3.5.8) показывает, что:

Одной из главных особенностей АФЧХ является возможность существования экстремума в зависимости A(ω). Выполним исследование на экстремум:

Очевидно что, для того, что бы выражение равнялось нулю необходиом равенство нлую следующего выражения:

Отсюда вырражение для экстермума:

Очевидно, что существует если

Если , то заивисмость имеет экстремум.

Если frac<sqrt>» alt=»beta >frac<sqrt>» src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/6c8/fba/8d5/6c8fba8d5ad46b794c1ab808b9b3a662.svg»/>, экстремума в заивсимости нет.

Вычислим максимальное значение , под ставим выражение для 3.5.10 в формулу 3.5.7, получим:

Анализ вышеприведенных соотношений показывает, что при график имеет горб, который при уменьшении растет и при , что означает разрыв в зависимости .

Частоту ω_м будем отождествлять с тем значением частоты входного гармонического воздействия, при которой имеет место максимальное значение амплитуды выходного сигнала.

Поскольку , то очевидна роль постоянных времени :

– ‘раскачивает’ колебания, а − ‘демпфирует’ их. Рассмотрим соответствующие графики:

Рисунок 3.5.2 АЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.3 ФЧХ колебательного звена

Данные графики аналогичны для случаев резонансов в теоретической механике, физике, электротехнике и т.д.

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Рассмотрим колебательное звено в котором β = 0. Очевидно, что в данном звене при ступечатом воздействии устанавливаются незатухающие колебания, а само звено вырождается в консервативное. При этом согласно формуле 3.5.10 выражение экстремума для такого звена:

Величину принято называть частотой свободных колебаний и обозначать ω₀.

Подставляя различные значения ω в формулу (3.5.5) или (3.5.6) построим годограф АФЧХ на комплексной плоскости:

Рисунок 3.5.4 АФЧХ колебательного звена Рисунок 3.5.5 Годограф АФЧХ консервативного звена

Построение ЛАХ ≡Lm(ω) не может быть сделано так же просто, как для предыдущих позиционных звеньев, т.е. она не сводится к комбинации отрезков прямых.

Будем использовать для построения графика ЛАХ нормированную (безразмерную) частоту , где — частота свободных колебаний, имеющим место в консервативном звене со следующим уравнением динамики:

Решим данное уравнение динамики, используя корни характеристического уравнения :

На этом месте у меня всегда выносится мозг, как могут прыгающие на пружинке шарике, и электроны в электрическом контуре, описаны с помощью одиникового выражения, формулы синуса — соотношения стороно в прямоугольном треуголнике. Как это работает?!

Введя новую переменную в выражение для Lm(ω) = 20 lg (А(ω)):

Таким образом мы получаем выражение, которое не зависит от Т. Такая форма представления позволяет ‘свести’ различные ЛАХ при различных Т к автомодельному (‘универсальному’) виду графиков.

На рисунке ниже представлен график Lm(ω) в форме (3.5.12), построенный фактически в логарифмических координатах, причем коэффициент усиления K=1.

Рисунок 3.5.6 ЛАХ колебательного звена

Подчеркнем, что при такой форме представления все ЛАХ при различных T₁и T₂ можно “собирать вместе”.

Величина H_m (см. рис. 3.5.6) называется превышением:

Если , то в упрощенных расчетах величину превышения H_m можно оценить, как:

при ω=ω_m (эта формула работает для ярко выраженных горбов).

Вычислим переходную функцию звена h(t):

Для вычисления переходной функции воспользуемся формулой Хэвисайда сначала найдем полюса

По формуле Хэвисайда

Разберем отдельно каждый предел:

Для вычисления 2-го и 3-го предела в формуле Хэвисайда более удобно использовать новые переменные m и n:

Тогда корни выраженные через переменные m и n будут записаны как:

Разложим квадратный трех член в скобках в занаментели на множетели и использованием корней :

тогда 2-й предел в фомуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число числитель и знаменатель получим значение второго предела:

Анологично 3-й предел в формуле Хевисайда можно записать как:

домножая на комплексно сопряженное число , числитель и знаменатель получим значение третьего предела:

Отдельно сложим второе и третье слогаемое в формуле Хевисайда:

подставляя значения n и m:

и собирая все слагаемые формулы 3.5.15 получаем:

Введем новую переменную и перепишем формулу для переходной функции:

Величина называется частотой собственной колебаний при .

Таким образом в описании колебательного звена появилось три “новых” частоты

— частота свободных колебаний;

— частота, соответствующая максимальной амплитуде;

— частота собственных колебаний.

Причем

Рассмотрим предельные случаи для β (т.е. β = 1 и β = 0):

Если , то :

3.5.17 — переходная функция консервативного звена.

Рисунок 3.5.6 Переходная функция консервативного звена

Если , то , т.е. собственных колебаний в звене нет, процесс без колебательный. В этом случае возникают трудности со вторым слагаемым в круглых скобках формулы (3.5.16).

Раскрываем неопределенность типа :

эта формула соответствует также аналогичной формуле для апериодического звена 2-го порядка при D = 0 (совпадающие полюса).

Рисунок 3.5.8 Переходная функция колебательного звена (при β = 1) Рисунок 3.5.9 Переходная функция колебательного звена (при 0

Если , то

Дифференцируя во времени формулы (3.5.16 − 3.5.18), найдем соответствующие весовые функции для крайних значений (w(t)):

Если

Рисунок 3.5.10 Весовая функция колебательного звена при β = 0.

Если

Рисунок 3.5.11 Весовая функция колебательного звена при β = 1.

Если

Рисунок 3.5.12 Весовая функция колебательного звена при 0

Примерами колебательного звена можно считать:

R − C − L – цепь см. начало статьи;

Упругие механические передачи;

Управляемый двигатель постоянного тока (при некоторых условиях).

Видео:10) ТАУ для чайников Части 4.1. и 4.2. Типовые динамические звенья. Усилитель. Апериодическое звено.Скачать

Пример

В качестве примера для исследования колебательного звена возьмем электрический колебательный контур, который был рассмотрен в начале статьи и сравним его с моделью колебательного звена. Модель контура представлена на рисунке 3.5.13:

Рисунок 3.5.13 Модель колебательного контура

Схема модели содержит в себе:

модель электрического контура в виде электрической схемы;

модель контура в виде колебательного звена.

Параметры электрической схемы задаются в виде общих сигналов проекта. См. рис. 3.5.14:

Рисунок 3.5.14 Общие сигналы проекта. Рисунок 3.5.15. Вычисление параметров для колебательного звена.

В общем скрипте проекта выполняется вычисление постоянной времени T и коэффициента демпфирования

Для сравнения модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена, выполним моделирование ступенчатого возрастания напряжения, с 0 до 1 В.

Рисунок 3.5.16. Графики напряжений источника и на конденсаторе.

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера.

Рисунок 3.5.17 Сравнение модели контура и колебательного звена

На графике рис. 3.5.16 видно возникновение колебательного процесса и его затухание с течением времени. График на рис. 3.5.17 показывает практически полное совпадение модели в виде электрической схемы и модели в виде колебательного звена:

Выполним гармонический анализ данной модели, аналогично тому, как мы это делали для модели демпфера и камеры смешения реактора демпфера (см. разделы 3.3 Апериодическое звено 1-го порядка. и 3.1 Амплитудно-фазовая частотная характеристика). Расчетная схема для такого анализа приведена на рисунке 3.5.18.

Рисунок 3.5.18. Частотный анализ электрического контура

Амплитуда входного тестового сигнала — 1 В, аналогична амплитуде ступенчатого воздействия из предыдущего численного эксперимента.

Результаты анализа представлены на рисунке 3.5.19

Рисунок 3.5.19 Результаты гармонического анализа.

Результаты моделирования показывают практическое совпадение теоретических значений частоты, при которой достигается максимальная амплитуда сигнала, и значений, полученных в результате моделирования электрической схемы: Теоретическое значение = 111,75 Гц Полученное моделированием = 112,2 Гц

Для исследования влияния параметров модели добавим на схему управляющие элементы, которые буду менять сопротивление резистора и емкость конденсатора во время расчёта.

Рисунок 3.5.20 Модель с изменяемыми параметрами контура.

Также выведем на схему значения коэффициента демпфирования с помощью текста и стрелочного прибора. Чтобы можно было отслеживать влияние параметров цепи на процесс, заменим ступенчатое воздействие на меандр. Схема модели примет вид, как это представлено на рисунке 3.5.20

Чтобы данная конфигурация заработала, необходимо добавить в скрипт программы код, который заберёт значения с ползунков и передаст их в параметры модели (см. рис 3.5.21)

Рисунок 3.5.21. Скрипт изменения параметров модели

Данная модель позволяет изменить сопротивление резистора и емкость конденсатора, и оценить влияние этого изменения на переходной процесс. Подобное изменение мы делали в предыдущем примере, где изменение силы терпения в механическом демпфере выполнялось автоматически, и апериодическое звено второго порядка превращалось в колебательное. В текущем примере мы можем «вручную», с помощью ползунков, изменить параметры цепи и получить из колебательного звена апериодическое звено второго порядка.

Например, при положении ползунков, изображенном на рисунке 3.5.22, колебательный контур превращается в апериодическое звено второго порядка (см. рис. 3.5.23.)

Рисунок 3.5.22. Настройки контура для устранения колебаний Рисунок 3.5.23. Графики изменения переходных процессов в контуре при изменении R и С.

При увеличении сопротивления резистора и емкости кондесатора происходит увеличение коэффициента демпфирования, и когда Если 1 Rightarrow » alt=»beta >1 Rightarrow » src=»https://habrastorage.org/getpro/habr/upload_files/3cc/2a4/cc7/3cc2a4cc7489acadbe3822fa87e3ca8c.svg»/> колебательное звено превращается в апериодическое 2-го порядка. (см. график на рис 3.5.23.

Поскольку мы рассматриваем общую тему частотных характеристик, доработаем наш виртуальный стенд с контуром так, чтобы можно было «вручную» исследовать частотные воздействия на контур.

Заменим в качестве источника блок «меандр», на блок «синусоида» и добавим ползунок, изменяющий частоту этого источника, а также добавим на схему текстовые надписи, отображающие частоты максимальной амплитуды, частоты собственных колебаний и частоты свободных колебаний. Расчетная схема будет выглядеть как на рисунке 3.5.25

Рисунок 3.5.24 Схема колебательного контура с настройками частоты источника.

Добавляем в скрипт необходимый код, обеспечивающий расчет частот максимальной амплитуды, собственных колебаний и свободных колебаний, а также код для изменения частоты источника напряжения. Данный код скрипта приведен на рисунке 3.5.25

Рисунок 3.5.24 Скрипт для управления и отображения частоты.

Данная модель позволяет независимо настраивать параметры цепи и частоту источника напряжения.

В частности, можно убедится, что при различных настройках колебательного контура максимальная амплитуда колебаний напряжения достигается тогда, когда частота источника совпадает с частотой максимальной амплитуды, рассчитанной по формуле 3.5.10 см.скрипт на рис. 3.5.24.

Видео с управлением данным контуром можно посмотреть по ссылке.

А, например, на следующем графике изображено изменение напряжения на конденсаторе при повышении частоты источника от 0 до 300 Гц с шагом 1 Гц – 1 сек.

График построен путем давления в скрипте строки, передвигающей ползунок каждую секунду на 1 единицу (Гц) BarW.Value=Round(time) .

Как видим результат ручного управления совпал с результатом гармонического анализа максиму амплитуды теоретической частоте максимума — 112 Гц.

Примеры проектов для самостоятельного изучения можно взять по ссылке здесь.

Видео:Теория автоматического управления. Лекция 7. Типовые звенья САУСкачать

Звено второго порядка (колебательное звено)

Дата добавления: 2013-12-23 ; просмотров: 28070 ; Нарушение авторских прав

Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида:

Если на вход звена подать единичную функцию Хэвисайда от времени 1[t], при нулевых начальных условиях системы, то реакция на выходе будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую часто обозначают как h(t). Сигнал 1[t] — это, в некотором смысле, эталонный испытательный сигнал. Существуют и другие эталонные испытательные сигналы. Например, бесконечный импульс нулевой длины (дельта-функция Дирака), гармонический сигнал, периодические прямоугольные импульсы.

Преобразуем по Лапласу это уравнение:

Определим передаточную функцию звена:

Если записать уравнение без входного воздействия (нулевые входные воздействия U = 0) и сократить Y, то есть: T 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0, то такое уравнение будет называться характеристическим, поскольку характеризует исключительно внутренние свойства звена. Обратите внимание, что в записи звена содержатся три параметра:

T — постоянная времени (в секундах); ξ — коэффициент затухания (безразмерная величина); k — передаточный коэффициент.

В зависимости от величины ξ звенья второго порядка классифицируются по видам:

ξ = 0 — консервативное звено второго порядка;
0 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0.

И оно имеет действительные отрицательные корни:

Данное звено можно представить в виде последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени:

Tогда при T₁ > T₂ переходная характеристика звена имеет вид:

То есть в решении присутствуют затухающие экспоненты. Типичное поведение звена с такими параметрами показано на рис. 4.6.

Колебательное звено уравнение передаточная функция

Рис. 4.6. Реакция апериодического звена на единичный входной сигнал

В частном случае, когда ξ = 1, оба корня будут одинаковыми, отрицательными:

15 Колебательное звено 2-го порядка (0 2 p 2 + 2ξTp + 1 = 0.

Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

Так как корни мнимые, то в поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного (см. рис. 4.7 и рис. 4.8).

Рис. 4.7. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.5)

Рис. 4.8. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.2)

Из графиков видно, что с ростом ξ колебательность звена уменьшается, исчезая при ξ ≥ 1

Переходная функция звена имеет вид:

При малых ξ значение A приближается к 1, а значение φ — к 90°. По физическому смыслу ω₀ представляет собой собственную частоту колебаний.

16 Консервативное звено 2-го порядка (ξ = 0)

Характеристическое уравнение звена следующее:

Корни одинаковые, комплексно-сопряженные, с нулевой вещественной частью:

Так как корни чисто мнимые, то поведением звена являются незатухающие колебания (ξ = 0), см. рис. 4.9.

Рис. 4.9. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0)

Переходная функция звена имеет вид: h(t) = k · (1 – cos(t/T)).

Из графика экспериментальным путем можно определить единственный параметр T = T₀/(2 · π).

5. Лекция 05.
Динамические регрессионные модели,
заданные в виде передаточной функции

Построим регрессионную модель динамической системы на примере. Зададим модель в виде передаточной функции (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Модель черного ящика в виде передаточной функции

Примерный вид динамических сигналов на входе и на выходе показан на рис. 5.2. Ограничимся временем рассмотрения сигналов, равным T.

Рис. 5.2. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с непрерывным временем

После дискретизации, связанной с обработкой информации на цифровых машинах, эти сигналы будут выглядеть так, как показано на рис. 5.3. Обратите внимание на то, что отдельные отсчеты отстоят друг от друга на расстоянии Δt. Важно, что отсчеты стоят достаточно часто. Всего этих отсчетов — n, то есть T = n · Δt,

Рис. 5.3. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с дискретным временем

Допустим, что зависимости, представленные на рис. 5.2 и рис. 5.3, описываются передаточной функцией следующего вида (заметим, что, как и в лекции 02, вид зависимости выдвигается гипотетически и гипотеза должна быть, в конце концов, подтверждена или опровергнута):

Заменяя значок «p» на «d/dt» (обращаем ваше внимание, что такую замену можно производить только для случая нулевых начальных условий: X(0) = 0 и Y(0) = 0) и учитывая, что передаточная функция — это, по определению, отношение выхода к входу, то есть W = Y/X, получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Дважды проинтегрируем это выражение и получим для некоторого произвольного момента времени t:

Коэффициенты A₁, A₂, A₃, A₄ требуется определить. Для этого выразим уравнение в разностном виде через суммы:

где n — число экспериментальных точек. Заметим, что мы заменили интегралы и непрерывное течение времени — на суммы и дискретное представление времени. Чтобы вычислить суммы и двойные суммы экспериментально заданных зависимостей x и y, воспользуемся для удобства табл. 5.1 (чтобы излишне не загромождать таблицу, мы не стали дописывать в суммах Δt_i и Δτ_j).

Таблица 5.1. Таблица исходных данных и вспомогательных расчетов

i	X_i	Y_i
X₁	Y₁	X₁	Y₁	X₁	Y₁
X₂	Y₂	X₁ + X₂	Y₁ + Y₂	2X₁ + X₂	2Y₁ + Y₂
X₃	Y₃	X₁ + X₂ + X₃	Y₁ + Y₂ + Y₃	3X₁ + 2X₂ + X₃	3Y₁ + 2Y₂ + Y₃
…	…	…	…	…	…	…
m	X_m	Y_m	X₁ + X₂ + … + X_m	Y₁ + Y₂ + … + Y_m	mX₁ + … + X_m	mY₁ + … + Y_m
…	…	…	…	…	…	…
n	X_n	Y_n	X₁ + X₂ + … + X_n	Y₁ + Y₂ + … + Y_n	nX₁ + … + X_n	nY₁ + … + Y_n

Ошибку в некоторой m-ой точке можно записать так:

Как и ранее, ошибка показывает, насколько отходит теоретическое значение Y_m от экспериментального значения.

Суммарная ошибка (вносимая всеми точками), которую надо минимизировать, будет:

Величина ошибки зависит от значений параметров A₁, A₂, A₃, A₄. Поэтому F является функцией от четырех переменных: F(A₁, A₂, A₃, A₄). Чтобы найти минимум функции F, доставляемый за счет параметров A₁, A₂, A₃, A₄, надо взять частные производные F по каждому из параметров и приравнять каждую производную к нулю. В результате получаем систему линейных уравнений:

Получено четыре уравнения с четырьмя неизвестными A₁, A₂, A₃, A₄. Из решения системы уравнений вычисляем неизвестные коэффициенты и дополняем ими модель, где коэффициенты уже определены как числа:

Задача определения коэффициентов модели решена. Разумеется, как и ранее, необходимо сравнить получаемое из этой модели решение Y теоретическое с Y, заданным экспериментально, и вычислить ошибку F. Далее проверить ее значение по критерию — допустимо ли значение вычисленной ошибки, или гипотезу о виде модели требуется сменить на более точную.

Считая что коэффициенты модели теперь нам известны, построим для заданного примера реализацию, имитирующую поведение системы, описанной передаточной функцией. Для этого воспользуемся уже однажды полученной формулой:

Реализация модели представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Техническая реализация передаточного звена после определения коэффициентов регрессионной модели

При переходе от интеграла к численному суммированию мы воспользовались методом прямоугольников. Разбив площадь под кривой y на ряд прямоугольников одинаковой ширины Δt (см. рис. 5.5), получаем, что площадь i-го прямоугольника равна y_i · Δt, а S — сумма площадей всех n прямоугольников — будет приблизительно равна площади под кривой (интегралу от функции y). Очевидно, что приближение тем точнее, чем меньше значение Δt.

Рис. 5.5. Применение метода прямоугольников для численного вычисления интегралов

6. Лекция 06.
Модель в виде фильтра Каллмана

Каллманом была доказана теорема о том, что любой динамический сигнал может быть представлен в виде:

Рис. 6.1. Графическое представление фильтра Каллмана на схемах

Идея фильтра Каллмана заключается в том, что выход системы в i-ый момент времени определяется входным сигналом, его предысторией и предысторией самого состояния системы.

Чем больше имеется членов ряда, то есть чем больше переменных Y учитывается в записи модели, тем глубже память системы. Заметим, что наличие члена Y_i _{– 1} в модели динамической системы соответствует наличию первой производной, Y_i _{– 2} — второй производной и т. д.

Допустим, известны следующие экспериментальные данные: состояния сигналов X_i и Y_i в n временных точках (табл. 6.1).

Таблица 6.1. Таблица экспериментальных данных

i	X_i	Y_i
X₁	Y₁
X₂	Y₂
…	…	…
n – 1	X_n _{– 1}	Y_n _{– 1}
n	X_n	Y_n

Поскольку для каждой экспериментальной точки X_i надо указать ее соседей, задаваемых рядом, то удобно отсчеты представить в расширенной таблице, используемой для расчета (см. табл. 6.2).

Таблица 6.2. Таблица экспериментальных данных и промежуточных расчетов

i	X_i	X_i _{– 1}	…	Y_i	Y_i _{– 1}	Y_i _{– 2}
m	X_m	X_m _{– 1}	…	Y_m	Y_m _{– 1}	Y_m _{– 2}
m + 1	X_m _{+ 1}	X_m	…	Y_m _{+ 1}	Y_m	Y_m _{– 1}
m + 2	X_m _{+ 2}	X_m _{+ 1}	…	Y_m _{+ 2}	Y_m _{+ 1}	Y_m
…	…	…	…	…	…	…

Находим ошибку между значением экспериментально снятой точки и теоретическим ее значением (гипотезой):

Суммарная ошибка F (сумма берется по всем экспериментальным точкам) должна быть минимизирована относительно определяемых переменных A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C:

После взятия частных производных от F по A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C, приравнивания их к нулю и составления системы уравнений получается линейная множественная регрессионная модель, из которой определяются неизвестные коэффициенты A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C модели.

Поскольку коэффициенты модели определены, построим реализацию (см. рис. 6.2), имитирующую поведение системы, описанной фильтром Каллмана.

Рис. 6.2. Вариант технической реализации фильтра Каллмана

«Блок задержки» в представленной реализации необходим для того, чтобы сдвинуть сигнал на такт и получить соседний отсчет для следующей переменной ряда модели. В зависимости от среды реализации блок задержки можно организовать разными способами.

Например, в случае реализации блока задержки в среде моделирования Stratum-2000, первый способ может быть основан на перезаписи информации из одной переменной (ячейки) в другую, на что требуется один такт. Таким образом, можно организовать задержку сигнала на любое число тактов. Например, задержка сигнала X относительно Y будет составлять 3 такта, если выполнить следующую последовательность операций: A1 := X; A2 := A1; Y := A2.

Во втором способе задержка организуется при помощи массива: на каждом такте нужно, чтобы цифры были перемещены в соседние ячейки.

На рис. 6.3 приведена схема настройки (автоматического нахождения коэффициентов).

Рис. 6.3. Схема автоматической настройки коэффициентов модели «на ходу»

На рис. 6.4 приведена схема проверки фильтра Каллмана.

Рис. 6.4. Схема проверки работы модели фильтра Каллмана

7. Лекция 07.
Модель динамической системы в виде
Фурье представления (модель сигнала)

Этот способ моделирования динамических систем основывается на том, что в любом сигнале присутствуют гармонические составляющие. В зависимости от частоты, составляющие называются гармониками (первая, вторая и так далее). Сумма гармоник с соответствующими весами составляет модель сигнала.

Пусть, например, в некотором сигнале присутствует сумма трех гармоник: 3 · cos(t) + 2 · cos(3t) + 0.5 · cos(5t). Это значит, что в сигнале присутствует первая гармоника с амплитудой 3, третья гармоника с амплитудой 2, пятая гармоника с амплитудой 0.5. Сам суммарный сигнал выглядит так, как показано на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Пример гармонического сигнала

Спектр этого сигнала показан на рис. 7.2. Ясно, что в нашем примере больший вес (амплитуду) в сигнале имеет (более других представлена) первая гармоника, наименьший вес имеет пятая гармоника.

Рис. 7.2. Пример спектра гармонического сигнала

Любой сигнал, сколь сложен бы он ни был, может быть представлен суммой гармоник. Более простой сигнал представляется меньшим числом гармоник, более сложный — большим. Быстро меняющийся сигнал, содержащий резкие пики, имеет в своем составе гармоники высоких порядков. Чем больше гармоник представлено в модели сигнала, тем точнее, в общем случае, модель отражает реальный сигнал.

Пусть задан некий сигнал X(t) (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Временной сигнал на входе преобразования Фурье (возможный вид)

Определимся со временем рассмотрения сигнала: если сигнал периодический, то время рассмотрения равно периоду p сигнала; если сигнал непериодический, то периодом сигнала считается все время его рассмотрения.




…	…

…	…

A_i и B_i — это веса соответствующих гармоник, присутствующих в сигнале; i — номер гармоники. Формулы их расчета называются прямым преобразованием Фурье.

Значение 2π · i/p = ω_i — это частота i-ой гармоники. Отметим также, что частота i-ой гармоники связана с частотой первой гармоники простым соотношением: ω_i = i · ω₁.

Отметим важную особенность данного способа представления: вместо всего сигнала во всех его подробностях достаточно хранить вектор чисел, представляющих весовые коэффициенты составляющих его гармоник: (A₀, A₁, A₂, …, B₁, B₂, …). То есть эти числа полностью характеризуют исходный сигнал, так как по ним сигнал можно полностью восстановить формулой обратного преобразования Фурье:

Именно эти числа используются также при обработке сигнала в модели динамической системы. Изображение этих чисел на графике в зависимости от номера гармоники (частоты) называется спектром сигнала (рис. 7.4). Спектр показывает, насколько присутствует в сигнале соответствующая составляющая. Спектр — это частотная характеристика сигнала.

Рис. 7.4. Сигнал, представленный в частотной области на выходе преобразования Фурье, спектр сигнала (возможный вид)

Здесь сигнал представлен в частотной области. Всегда по формулам прямого преобразования Фурье можно перейти из временной области в частотную, а по формулам обратного преобразования Фурье перейти из частотной области во временную. В какой области (частотной или временной) работать с сигналом в отдельный момент, решают из соображений удобства, наглядности и экономии вычислений. Заметим, что емкие с точки зрения вычислений операции интегрирования и дифференцирования сигнала во временной области заменяются на операции алгебраического сложения и умножения в частотной области, что с вычислительной точки зрения реализуется намного точнее и быстрее.

Система чисел A_i и B_i является полной характеристикой сигнала. Такой же полной характеристикой сигнала является система чисел S и φ, которые также образуют спектр (рис. 7.5). S — это амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), φ — фазо-частотная характеристика (ФЧХ).

Рис. 7.5. Сигнал, представленный в частотной области, амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристика сигнала (возможный вид)

Системы «A и B» и «S и φ» являются полностью равнозначными. Переход из системы «A и B» в систему «S и φ» производится по следующим формулам: S_i = sqrt(A_i 2 + B_i 2 ) — абсолютная амплитуда сигнала; φ_i = arctg(B_i/A_i) — фаза сигнала, при сложении гармоник нужно учитывать сдвиг фаз (сдвиг фаз проиллюстрирован на рис. 7.8).

В случае с системой «S и φ» обратное преобразование Фурье имеет вид:

Рис. 7.6 и рис. 7.7 разъясняют смысл коэффициентов A и B разных гармоник. Эти коэффициенты — амплитуды синусов и косинусов соответствующих частот (гармоник). Во временной области графически они соответствуют размаху гармонических колебаний (рис. 7.6 и рис. 7.7); в частотной — высоте спектральной полоски на соответствующей частоте (рис. 7.4).

Рис. 7.6. Геометрическая иллюстрация параметров А и ω для косинусной составляющей гармонического сигнала

Рис. 7.7. Геометрическая иллюстрация параметров В и ω для синусной составляющей гармонического сигнала

Смысл чисел S_i и φ_i разъяснен на рис. 7.8.

Рис. 7.8. Геометрическая иллюстрация параметров S и φ для составляющей гармонического сигнала

8. Лекция 08.
Модель динамической системы в виде
Фурье представления (модель объекта)

Пусть имеется входной динамический сигнал X(t) и объект F, преобразующий этот сигнал в выходной Y(t) (см. рис. 8.1). Если объект описывается дифференциальными уравнениями, то таким преобразованием является интегрирование входного сигнала и вычисление Y(t). Интегрирование, как было ранее показано, — операция, требующая значительных вычислительных ресурсов и имеющая значительную погрешность при реализации на цифровых машинах.

Рис. 8.1. Схема моделирования динамического объекта при переходе из временной области представления в частотную

Если перейти от описания входного сигнала во временной области к описанию в частотной области (см. рис. 8.1), а от дифференциальных уравнений перейти к частотной характеристике объекта, — то есть, фактически, заменить сигнал на частотную модель сигнала, а объект на частотную модель объекта, — то с вычислительной точки зрения процесс преобразования сигнала упростится. Конечно, полученный результат тоже будет частотной моделью выходного сигнала, которую для получения окончательного ответа придется сконвертировать во временную область Y(t). Процесс такой конвертации из частотной области во временную и обратно называется преобразованием Фурье (есть и другие преобразования). Для тех объектов, для которых известна их модель в частотной области, такой подход достаточно просто реализуется на компьютере и позволяет достичь любой наперед заданной точности.

Модель объекта в частотном виде называется передаточной функцией или АЧХ (амплитудно-частотной характеристикой). Объекты, для которых известны АЧХ, обычно называют типовыми звеньями (усилительное звено, апериодическое, колебательное и т. д.). Пусть, для примера, характеристика объекта в частотной области следующая (см. рис. 8.2).

Рис. 8.2. АЧХ (возможный вид)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, насколько пропускается объектом на выход соответствующая гармоника. Значение k_i характеризует коэффициент усилeния гармонического сигнала на определенной частоте ω_i.

Моделирование прохождения сигнала через объект в этом виде заключается в умножении коэффициента A_i гармоники с частотой ω_i входного сигнала X(t) на коэффициент усиления k_i при той же гармонике с частотой ω_i в АЧХ: A_i * = A_i(ω_i) · k_i(ω_i). (Для коэффициента B преобразование аналогично.) В результате получается коэффициент A_i * выходной гармоники данной частоты ω_i. Процедура выполняется для всех частот, представленных во входном сигнале и АЧХ. После получения спектра выходного сигнала можно восстановить сигнал как временную зависимость с помощью формулы обратного преобразования Фурье.

Заметим главное: моделирование прохождения сигнала через динамический объект свелось к операции умножения двух переменных, точнее, к операции поэлементного умножения вектора одних переменных на вектор других переменных.

Схема преобразования показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Схема процедуры преобразования сигнала при использовании метода Фурье

Если бы временной сигнал проходил через звено, которое во временной области представлено дифференциальным уравнением, то пришлось бы его интегрировать, что, конечно, приводит к погрешностям результата. В частотной области достаточно перемножить значения коэффициентов ряда Фурье сигнала и звена при одинаковых частотах. Очевидно, что достоинством метода является замена дифференциальных уравнений модели на алгебраические. Разумеется, данный подход может быть использован только для объектов, у которых известен вид передаточной функции. (Кстати, для неизвестных случаев АЧХ может быть получена численным разложением в ряд.)

В процессе моделирования набора объектов для преобразования сигнала (например, протяженных трактов радиоэлектронных устройств) иногда приходится применять прямое и обратное преобразование Фурье неоднократно. На практике последовательные блоки часто называют каскадами.

Пусть мы имеем радио-электронное устройство (РЭУ), состоящее из 5 блоков (см. рис. 8.4). Блоки 1, 2, 4, 5 — линейные и представлены соответствующими известными АЧХ; блок 3 — нелинейный, поэтому АЧХ для него неизвестна. Примером линейного блока может служить апериодическое звено, колебательное звено и т. д. (см. Лекцию 05. Динамические регрессионные модели, заданные в виде передаточной функции). Примером нелинейного блока может служить устройство ограничения сигнала (срез) по амплитуде.

Как видно из рис. 8.4, сначала входной сигнал X(t) прямым преобразованием Фурье переводится в частотную область и проходит в виде спектра через АЧХ 1 и 2 линейного блока, затем обратным преобразованием Фурье сигнал после 2 блока переводится во временную область. Проходим нелинейный блок 3 во временном представлении. Результат работы блока 3 снова преобразуем прямым преобразованием Фурье в частотную область и проходим через АЧХ блоков 4 и 5. В конце полученный спектр преобразуется с помощью обратного преобразования Фурье во временную область, — вид сигнала, Z(t), является результатом моделирования.

Рис. 8.4. Пример моделирования тракта, содержащего нелинейные блоки, с использованием метода Фурье

Метод, который мы рассмотрели, является одним из самых быстродействующих. Это связано с заменой операций интегрирования и дифференцирования, встречающихся в моделях динамических звеньев, на операции сложения и умножения при переходе в частотную область. Такая процедура обеспечивает точность и быстродействие модели.

Для метода важно, с какой частотой вы дискретизируете сигнал при разложении в ряд Фурье. Если частота дискретизации мала, то есть отсчеты в сигнале следуют редко, с большими интервалами, то часть сигнала остается потерянной, так как между отсчетами может оказаться резко возросший и опавший пик, информация о котором пропадет. То есть говорят, что малая частота дискретизации срезает высокие частоты в сигнале. (Пик — это и есть высокочастотная составляющая, которая может быть потеряна).

По теореме Котельникова, чтобы не потерять соответствующую гармонику, требуется дискретизировать сигнал с частотой не менее чем в 2 раза большей, чем самая высокая частота из представленных в аналоговом сигнале:

где W_дискр. = 1/Δt_дискр. — частота дискретизации, W_max — максимальная частота, присутствующая в сигнале

9. Лекция 09.
Оценка качества модели

Оценка качества показывает, насколько теоретические вычисления по построенной модели отклоняются от экспериментальных данных. Наличие связи двух переменных называется корреляцией.

Если оценка качества применяется до исследования, то она решает задачу: есть ли связь между входом X и выходом Y и оценивает силу этой связи.