Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Глава 13. Динамика точки.

13.4. Свободные незатухающие колебания.

13.4.15. Определить угловую частоту свободных вертикальных колеба­ний тела, подвешенного к пружине, если в статическом положении тела деформация пружины равна 14 см. (Ответ 8,37)

13.4.16. Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 5 кг, подвешенного на трех пружинах, если их коэффициенты жесткости с1 = с2 = с3 = 490 Н/м.
(Ответ 5,72)

13.4.17. Определить угловую частоту свободных вертикальных колебаний груза массой m = 2 кг, если коэффициенты жесткости пружин с1 = с23 = 300 Н/м. (Ответ 10)

13.4.18. Дифференциальное уравнение у + 9у = 0 описывает свободные вертикальные колебания материальной точки. Определить угловую частоту колебаний. (Ответ 3)

13.4.19. Тело, подвешенное к пружине с коэффициентом жесткости с = 700 Н/м, совершает свободные вертикальные колебания С ампли­тудой 0,2 м. Определить массу тела, если колебания начались из поло­жения статического равновесия с начальной скоростью 4 м/с. (Ответ 1,75)

13.4.20. Тело массой m = 0,3 кг подвешено к пружине и совершает сво­бодные вертикальные колебания с амплитудой 0,4 м. Определить ко­эффициент жесткости пружины, если колебания начались из положе­ния статического равновесия с начальной скоростью 3 м/с. (Ответ 16,9)

13.4.21. Определить частоту свободных вертикаль­ных колебании груза массой m = 10 кг, подве­шенного на двух пружинах, если их приведен­ный коэффициент жесткости равен 3,6 Н/см. (Ответ 0,955)

13.4.22. Колебание материальной точки задано уравнением х = 20 cos 4t + 30 sin 4t, где x — в см. Определить амплитуду колебаний в см. (Ответ 36,1)

13.4.23. Определить модуль начальной скорости материальной точки, при которой ее свобод­ные колебания будут соответствовать закону движения, заданному графиком функции у = y(t) (Ответ -1,05)

13.4.24. Груз массой m = 9 кг подвешен к пружине с коэффициентом жесткости с = 90 Н/м и совершает свободные вертикальные колеба­ния с амплитудой 0,1 м. Определить начальную скорость груза, если колебания начались из положения статического равновесия. (Ответ 0,316)

13.4.25. Груз массой m = 3 кг подвешен к пружине с коэффициентом жест кости с = 300 Н/м и находится в свободном прямолинейном вертикальном колебательном движении. Определить амплитуду коле­баний груза в см. если в момент времени t0 = 0 его скорость v0 = 2 м/с, а смещение от положения статического равновесия x0 = 0,3 м. (Ответ 36,1)

Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. 11 класс.

Механические и электромагнитные колебания

4. Колебания и волны

1. Гармонические колебания величины s описываются уравнением s = 0,02 cos (6πt + π/3), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) циклическую частоту; 3) частоту колебаний; 4) период колебаний.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

2. Запишите уравнение гармонического колебательного движения точки, совершающей колебания с амплитудой A = 8 см, если за t = 1 мин совершается n = 120 колебаний и начальная фаза колебаний равна 45°.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

3. Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 4 см и периодом T = 2 с. Напишите уравнение движения точки, если ее движение начинается из положения x0 = 2 см.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

4. Точка совершает гармонические колебания с периодом T = 6 с и начальной фазой, равной нулю. Определите, за какое время, считая от начала движения, точка сместится от положения равновесия на половину амплитуды.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

5. Напишите уравнение гармонического колебания точки, если его амплитуда A = 15 см, максимальная скорость колеблющейся точки vmax = 30 см/с, начальная фаза φ = 10°.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

6. Точка совершает гармонические колебания по закону x = 3 cos (πt/2 + π/8), м. Определите: 1) период T колебаний: 2) максимальную скорость Vmax точки; 3) максимальное ускорение amax точки.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

7. Точка совершает гармонические колебания с амплитудой A = 10 см и периодом T = 5 с. Определите для точки: 1) максимальную скорость; 2) максимальное ускорение.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

8. Скорость материальной точки, совершающей гармонические колебания, задается уравнением v(t) = -6 sin 2 πt, м/с. Запишите зависимость смещения этой точки от времени.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

9. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению x = A sin ωt. В какой-то момент времени смещение точки x1 = 15 см. При возрастании фазы колебания в два раза смещение x2 оказалось равным 24 см. Определите амплитуду A колебания.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

10. Материальная точка совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,02 cos (πt + π/2), м. Определите: 1) амплитуду колебаний; 2) период колебаний; 3) начальную фазу колебаний; 4) максимальную скорость точки; 5) максимальное ускорение точки; 6) через сколько времени после начала отсчета точка будет проходить через положение равновесия.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

11. Определите максимальные значения скорости и ускорения точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой A = 3 см и периодом T = 4 с.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

12. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой ν = 1 Гц, в момент времени t = 0 проходит положение, определяемое координатой х0 = 5 см, со скоростью v0 = -15 см/с. Определите амплитуду колебаний.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

13. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону х = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

14. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению x = 0,1 cos 3πt/2, м. Определите: 1) возвращающую силу F для момента времени t = 0,5 с; 2) полную энергию Е точки.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

15. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону x = 0,1 cos(4πt + π/4), м. Определите полную энергию Е этой точки.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

16. Полная энергия E гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила Fmax, действующая на точку, равна -0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период T колебаний равен 4 с, а начальная фаза φ = π/6.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

17. Определите отношение кинетической энергии T точки, совершающей гармонические колебания, к ее потенциальной энергии П, если известна фаза колебания.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

18. Определите полную энергию материальной точки массой m, колеблющейся по закону x = A cos(ω0t + φ).

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

19. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой A = 8 см. Определите жесткость k пружины, если известно, что максимальная кинетическая энергия Tmax груза составляет 0,8 Дж.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

20. Материальная точка колеблется согласно уравнению х = A cos ωt, где A = 5 см и ω = π/12 с -1 . Когда возвращающая сила F в первый раз достигает значения -12 мН, потенциальная энергия П точки оказывается равной 0,15 мДж. Определите: 1) этот момент времени t; 2) соответствующую этому моменту фазу ωt.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Ошибка в тексте? Выдели её мышкой и нажми Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Остались рефераты, курсовые, презентации? Поделись с нами — загрузи их здесь!

Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать

МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебаний

Примеры решения задач

Пример 1. Колебания материальной точки происходят относительно положения равновесия по закону х=А∙sinωt с периодом T=12 с. Определить, за какой наименьший промежуток времени t1 точка удалится от положения равновесия на расстояние, равное половине амплитуды x=A/2. За какой промежуток времени t2 она пройдет оставшуюся часть пути до максимального отклонения.

Решение. В момент времени t1 cмещение равно А/2: А/2=А∙sinωt1, sinωt1=1/2, т.е. ωt1=π/6, или (2π/Т)t1=π/6.

Расстояние от точки равновесия до точки максимального отклонения материальная точка проходит за t=T/4. Следовательно, t2=T/4- T/12= 2 c.

Пример 2.За какую часть периода точка, совершающая гармонические колебания по закону косинуса, сместится на половину амплитуды, если в начальный момент она находилась в положении равновесия?

Решение.Колебания точки описываются уравнением x=Acos(ω0t+α). Поскольку при t = 0 смещение х = 0, то начальная фаза φ должна равняться π/2, т.е. уравнение имеет вид:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

По условию смещение x=A/2, следовательно, Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см(знак «минус» не учитываем, т.к. нас интересует первое попадание колеблющейся частицы в данное положение).

Отсюда Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в сми Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 3.Точка совершает колебания по закону x=5cosω0t (м), где ω0= 2 с –1 . Определить ускорение точки в момент времени, когда ее скорость равна 8 м/с.

Решение.Зависимости скорости и ускорения колеблющейся точки от времени задаются уравнениями

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Следовательно, Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Тогда Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в сми с учетом того, что α=0, получаем Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 4.Максимальная скорость точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение равно 100 см/с 2 . Найти циклическую частоту колебаний, их период и амплитуду.

Решение.Из формул

a=-A Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смcos(ω0t+α)=- amaxcos(ω0t+α),

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Период Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Амплитуда Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 5.Амплитуда гармонических колебаний материальной точки А = 0,02 м, полная энергия колебаний W=3∙10 –7 Дж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила F= 2,2510 –5 Н?

Решение.Из Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смможно выразить Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Тогда, используя выражение F=-kx, получим

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 6.В качестве физического маятника используется стержень, подвешенный за один из его концов. Чему равен период колебаний при длине стержня 1 м?

Решение.Для того, чтобы воспользоваться формулой Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, необходимо по теореме Штейнера посчитать момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку подвеса:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Тогда, учитывая, что x=l/2,

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 7.Два одинаково направленных гармонических колебания заданы уравнениями x1=A1∙sinω0t и x2=A2∙cosω0t, где А1 = 1 см; А2 = 2 см; ω0 = 1 с –1 . Определить амплитуду результирующего колебания А, его частоту v и начальную фазу α. Найти уравнение этого движения.

Решение.Преобразуем первое уравнение, заданное в условии задачи, к виду x=A∙cos(ω0t+α) и получим

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Тогда по формуле Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смамплитуда результирующего колебания:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

=1+4+2∙2∙cos0,5π=5 см 2 .

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Частота результирующего колебания равна частоте складывающихся колебаний

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Начальную фазу находим по формуле:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Начальная фаза α=arctg(-0,5)=-26,6°=-0,46 рад.

Уравнение результирующего колебания имеет вид x=2,24∙10 -2 cos(t-0,46) м.

Пример 8.Складываются два колебания одинакового направления (рис.23), выражаемых уравнениями x1=A1cosω(t+τ1) и x2=A2cosω(t+τ2), где А1=1 см; А2=2 см; τ1=1/6 с; τ2=1/2 с; ω=π рад/с. Определить начальные фазы φ1 и φ2 составляющих колебаний; найти амплитуду А и начальную фазу φ результирующего колебания.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Рис.23

Решение. Уравнение гармонического колебания имеет вид:

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

Из сравнения выражений (2) с (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний: φ1=ωτ1=π/6 рад и φ2= ωτ2=π/2 рад.

Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис.23.

Согласно теореме косинусов, получим:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Подставим значения А1, А2 и φ21 в (3), извлечем корень и получим: А=2,65 см.

Тангенс начальной фазы результирующего колебания определим непосредственно из рисунка 41.1:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Тогда φ=arctg(5/ Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см)=70,9°=0,394π рад.

Так как циклические частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту ω.

Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х=А∙cos(ωt+φ),

где А=2,65 см, ω=π рад/с, φ=0,394π рад.

Пример 9. Шарик массой m=10 -2 кг=10 г совершает гармонические колебания с амплитудой А=0,2 м и периодом Т=4 с. В начальный момент времени t=0: х=А. Найти кинетическую и потенциальную энергию в момент времени t= 1 с.

Решение: Запишем уравнение гармонических колебаний

Т.к. при t=0 х=А, то можно определить начальную фазу Асоs(ω∙0+φ0)=A, соsφ0=1, φ0=0.

Таким образом, х=0,2cos[(2π/4)t]= 0,2cos[(π/2)t] (м).

Кинетическая энергия шарика определяется по формуле: Ек=mv 2 /2, где v=dx/dt=-Aω∙sinωt.

Ек=[mA 2 ω 2 ∙sin 2 ωt]/2=5∙10 -3 Дж.

Потенциальная энергия шарика равна:

Еп=kx 2 /2=[kА 2 cos 2 ωt]/2=[kА 2 cos 2 (π/2)]/2,

Пример 10. Физический маятник представляет собой стержень длиной l=1 м и массой mc=3m1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d=l/2 и массой mо=m1. Горизонтальная ось ОZ проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 24). Определить период колебаний такого маятника T — ?.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Рис.24

Решение. Период колебаний физического маятника определяется по формуле

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний, m — его масса, lc — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня J1 и обруча J2:

Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по формуле J1=mcl 2 /12, т.е. J1=m1l 2 /4.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера J=Jo+ma 2 . Применив эту формулу к обручу, получим

Подставив выражения J1 и J2 в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

Расстояние lc от оси маятника до его центра масс равно

Подставив в формулу (1) выражения J, Jc и массы маятника (m=3m1+m1=4m1), найдем период его колебаний:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

После вычисления по этой формуле получим Т=2,17 с.

Пример 11. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях (рис.25), выражаемых уравнениями x=2cosω0t (см) и y=sinω0t (см). Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения, если ω0=π/3 (с –1 ).

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Рис.25

Решение.Преобразуем второе уравнение к виду y=Аcos(ω0t+α) и получим:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Как видно, разность фаз складывающихся колебаний α= -π/2 и это соответствует частному случаю, когда уравнение траектории имеет вид: Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Траекторией движения в этом случае является эллипс, приведенный к главным осям, уравнение которого Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см.

Для того, чтобы указать направление движения точки, необходимо проследить, как меняется ее положение с течением времени. Для этого найдем координаты точки для двух ближайших моментов времени. Период результирующих колебаний Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смПоэтому моменты времени, отличающиеся на одну секунду, можно считать достаточно близкими.

Следовательно, точка 1 имеет координаты (2; 0), а точка 2 – (1; 0,86). Это означает, что движение происходит против часовой стрелке.

Пример 12.Амплитуда колебаний математического маятника длиной 1 м за время 10 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания колебаний и количество колебаний, совершенных за это время. Записать уравнение колебаний, если в начальный момент маятник был отведен из положения равновесия на 5 см и отпущен.

Решение.Период и частоту колебаний математического маятника найдем из выражения:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Запишем отношение амплитуд (начальной A0=5 см и через время t = 10 мин = 600 с):

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

следовательно, βt=ln2, отсюда

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Количество колебаний N, совершенных за время t , найдем из того, что t=NT, а, значит, βNT=ln2, и тогда

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Логарифмический декремент затухания определим по:

Выбор гармонической функции для написания уравнения колебаний проведем на основании того, что в начальный момент смещение точки от положения равновесия равно амплитуде, а этому условию удовлетворяет функция косинус. Тогда уравнение данных затухающих колебаний имеет вид: x=5∙10 -2 e -0,001 t cosπt (м).

Пример 13.Пружинный маятник, (жесткость пружины которого равна k = 10 Н/м, а масса груза m = 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,02 кг/с. Определить коэффициент затухания β и резонансную амплитуду Арез, если амплитудное значение вынуждающей силы F0 = 10 мН.

Решение.Коэффициент затухания:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Тогда резонансная частота:

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Пример 14.Тело D массы mD = 10 кг расположено на гладкой плоскости, наклоненной под углом Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см= 30° к горизонту, и прикреплено к концу A пружины, коэффициент жесткости которой с = 36.1 Н/см (рис. 26). В некоторый момент к грузу D присоединяют груз Е массы mЕ = 15 кг. В тот же момент времени верхний конец пружины B начинает двигаться вдоль наклонной плоскости по закону Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смсм, причем точка O1 совпадает со средним положением точки B (при Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см). Сопротивление движению двух грузов пропорционально их скорости v, Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, где Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см= 100 (Нс) – коэффициент сопротивления. Найти уравнение движения грузов D и E.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Рис.26

Решение. Направим оси Ox и Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смвдоль наклонной плоскости вниз, в сторону растяжения пружины (рис. 27). Начало O координатной оси Ox совместим с положением покоя грузов D и E, соответствующим статической деформации пружины, при условии, что точка B занимает свое среднее положение ( Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см). В этом положении пружина растянута на величину Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, где Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в сми Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см– статические деформации пружины под действием груза D и E.

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Рис.27

Изобразим грузы в промежуточном положении, отстоящем от начала координат на величину x (точка M). Если бы верхний конец пружины был неподвижен, то в этом положении пружина была бы растянута на величину ( Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см). Но при смещении вниз верхнего конца пружины на некоторую величину Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смудлинение пружины окажется меньшим на эту величину Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, т.е. Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Следовательно, проекция силы упругости пружины на ось x в точке M будет определяться выражением: Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Проекция силы сопротивления Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Таким образом, дифференциальное уравнение движения грузов в проекции на ось x имеет вид

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см,

где Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. Учитывая, что в состоянии статического равновесия грузов Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, получим

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см,

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см, (1)

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Начальные условия для уравнения (1) определяются соотношениями

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Как известно, решение линейного дифференциального уравнения (1) складывается из общего решения Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смсоответствующего однородного уравнения

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см(2)

и частного решения x2 неоднородного уравнения (1)

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. (3)

Общее решение однородного уравнения (2) имеет вид

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. (4)

Частное решение неоднородного уравнения (3) будем искать в виде

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см. (5)

Определив производные Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смподставив их в уравнение (3), получим

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Чтобы полученное равенство выполнялось в любой момент времени, необходимо равенство нулю выражений в квадратных скобках. Таким образом, для определения коэффициентов A1 и A2 имеем систему из двух линейных уравнений

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

решение которой записывается так

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

или после подстановки численных данных

Рис. 7

Следовательно, решение уравнения (1) принимает вид

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

причем скорость точки равна

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Постоянные интегрирования C1 и C2 определим из начальных условий: С1 = –1.2928 см, С2 = –0.2181 см. В результате уравнение движения груза имеет вид

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в см

Вопросы для самопроверки

— Под действием какой силы совершаются свободные колебания материальной точки?

— Какой вид имеет дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки?

— От каких факторов зависят частота, период, амплитуда и начальная фаза свободных колебаний материальной точки?

— Каков вид графиков свободных и затухающих колебаний, а также апериодического движения материальной точки?

— Какой вид имеет дифференциальное уравнение вынужденных колебаний материальной точки и каково его общее решение?

— Из каких составляющих движений складывается движение материальной точки, находящейся под действием восстанавливающей и возмущающей сил?

— Каковы частота и период вынужденных колебаний материальной точки?

— Какие вынужденные колебания называются колебаниями малой частоты и какие – колебаниями большой частоты? Чем характеризуется тот и другой вид колебаний?

— От каких факторов зависит амплитуда вынужденных колебаний точки?

— Что называют коэффициентом динамичности и каков график его зависимости от отношения p/k?

— При каком условии возникает явление биений? Каков график биений?

— При каких условиях возникает резонанс и каковы уравнения и график вынужденных колебаний материальной точки при резонансе?

— Как влияет сопротивление, пропорциональное скорости, на амплитуду, фазу, частоту и период вынужденных колебаний?

— Как определить максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний при данном значении коэффициента затухания n?

— При каком значении коэффициента затухания максимум амплитуды вынужденных колебаний не существует?

— Какова зависимость сдвига фазы колебаний Колебание материальной точки задано уравнением определить амплитуду колебаний в смот частоты изменения возмущающей силы p и от коэффициента затухания n?

💥 Видео

Выполнялка 53.Гармонические колебания.Скачать

Выполнялка 53.Гармонические колебания.

Урок 327. Гармонические колебанияСкачать

Урок 327. Гармонические колебания

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать

Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.

Урок 335. Анализ графика гармонических колебанийСкачать

Урок 335. Анализ графика гармонических колебаний

Колебательное движение. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.Скачать

Колебательное движение. Практическая часть - решение задачи. 9 класс.

КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задачСкачать

КОЛЕБАНИЯ физика 9 класс решение задач

10 класс, 19 урок, График гармонического колебанияСкачать

10 класс, 19 урок, График гармонического колебания

Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1Скачать

Урок 329. Задачи на гармонические колебания - 1

Амплитуда, период, частота и длина волны периодических волнСкачать

Амплитуда, период, частота и длина волны периодических волн

По графику, приведённому на рисунке 6.15, найдите амплитуду ЭДС индукции, период и частоту обращенияСкачать

По графику, приведённому на рисунке 6.15, найдите амплитуду ЭДС индукции, период и частоту обращения

Урок 92 (осн). Колебательное движение. МаятникиСкачать

Урок 92 (осн). Колебательное движение. Маятники

Механические колебания и все что нужно про них знать. Онлайн школа EXAMhackСкачать

Механические колебания и все что нужно про них знать. Онлайн школа EXAMhack

Гармонические колебанияСкачать

Гармонические колебания

Колебательное движение. 1 часть. 9 класс.Скачать

Колебательное движение. 1 часть. 9 класс.

Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения.Скачать

Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения.

Физика Амплитуда колебаний точки струны 1 мм, частота 1 кГц. Какой путь пройдет точка за 0,2 с?Скачать

Физика Амплитуда колебаний точки струны 1 мм, частота 1 кГц. Какой путь пройдет точка за 0,2 с?

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота периодСкачать

математический маятник ЕГЭ ФИЗИКА колебания частота период
Поделиться или сохранить к себе: