Тригонометрические уравнения – уравнения, содержащие переменную под знаком тригонометрических функций.
Если проще: это уравнения, в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри синусов , косинусов , тангенсов и котангенсов .
Видео:А ты знаешь, когда в тригонометрических уравнениях писать пk, а когда 2пk? #математика #егэ2023 #егэСкачать
Как решать тригонометрические уравнения:
Любое тригонометрическое уравнение нужно стремиться свести к одному из видов:
где (t) – выражение с иксом, (a) – число. Такие тригонометрические уравнения называются простейшими. Их легко решать с помощью числовой окружности ( тригонометрического круга ) или специальных формул:
Решим уравнение с помощью числовой окружности. Для этого: 1) Построим оси. 2) Построим окружность. 3) На оси синусов (оси (y)) отметим точку (-) (frac) . 4) Проведем перпендикуляр к оси синусов через эту точку. 5) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности. 6)Подпишем значения этих точек: (-) (frac) ,(-) (frac) . 7) Запишем все значения соответствующие этим точкам с помощью формулы (x=t+2πk), (k∈Z): (x=-) (frac) (+2πk), (k∈Z); (x=-) (frac) (+2πn), (n∈Z)
Что означает каждый символ в формуле корней тригонометрических уравнений смотри в видео .
Внимание! Уравнения (sinx=a) и (cosx=a) не имеют решений, если (a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)). Потому что синус и косинус при любых икс больше или равны (-1) и меньше или равны (1):
Пример. Решить уравнение (cosx=-1,1). Решение: (-1,1 (frac) , (frac) 7) Запишем все значения этих точек. Так как они находятся друг от друга на расстоянии ровно в (π), то все значения можно записать одной формулой:
Опять воспользуемся числовой окружностью. 1) Построим окружность, оси (x) и (y). 2) На оси косинусов (ось (x)) отметим (0). 3) Проведем перпендикуляр к оси косинусов через эту точку. 4) Отметим точки пересечения перпендикуляра и окружности. 5) Подпишем значения этих точек: (-) (frac),(frac) . 6)Выпишем все значение этих точек и приравняем их к аргументу косинуса (к тому что внутри косинуса).
7) Дальше решать в таком виде несколько трудновато, разобьем уравнение на два.
8) Как обычно в уравнениях будем выражать (x). Не забывайте относиться к числам с (π), так же к (1), (2), (frac) и т.п. Это такие же числа, как и все остальные. Никакой числовой дискриминации!
Сводить тригонометрические уравнения к простейшим – задача творческая, тут нужно использовать и тригонометрические формулы , и особые методы решений уравнений: — Метод введения новой переменной (самый популярный в ЕГЭ). — Метод разложения на множители . — Метод вспомогательных аргументов.
Рассмотрим пример решения квадратно-тригонометрического уравнения
Наше уравнение превратилось в типичное квадратное . Можно его решить с помощью дискриминанта .
(D=25-4 cdot 2 cdot 2=25-16=9)
Делаем обратную замену.
Первое уравнение решаем с помощью числовой окружности. Второе уравнение не имеет решений т.к. (cosx∈[-1;1]) и двум быть равен не может ни при каких иксах.
Запишем все числа, лежащие на числовой окружности в этих точках.
Ответ: (x=±) (frac) (+2πk), (k∈Z).
Пример решения тригонометрического уравнения с исследованием ОДЗ:
Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения
Чтобы рассуждения по нахождению корней этих уравнений были более наглядными, воспользуемся графиками соответствующих функций.
19.1. Уравнениеcosx=a
Объяснение и обоснование
Корни уравненияcosx=a.
При |a| > 1 уравнение не имеет корней, поскольку |cosx| ≤ 1 для любого x (прямая y=a на рисунке из пункта 1 таблицы 1 при a > 1 или при a 1 уравнение не имеет корней, поскольку |sinx| ≤ 1 для любого x (прямая y=a на рисунке 1 при a > 1 или при a n arcsin a + 2πn, n∈Z (3)
2.Частые случаи решения уравненияsinx=a.
Полезно помнить специальные записи корней уравнения при a = 0, a = -1, a = 1, которые можно легко получить, используя как ориентир единичную окружность (рис 2).
Учитывая, что синус равен ординате соответствующей точки единичной окружности, получаем, что sinx= 0 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка C или тока D. Тогда
Аналогично sinx= 1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, следовательно,
Также sinx= -1 тогда и только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, таким образом,
Примеры решения задач
Замечание. Ответ к задаче 1 часто записывают в виде:
19.3. Уравненияtgx=aиctgx=a
Объяснение и обоснование
1.Корни уравненийtgx=aиctgx=a
Рассмотрим уравнение tgx=a. На промежутке функция y=tgx возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tgx=a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен:x1=arctga и для этого корня tgx=a.
Функция y=tgx периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n∈Z). Получаем следующую формулу корней уравнения tgx=a:
При a=0 arctg0 = 0, таким образом, уравнение tgx= 0 имеет корни x= πn(n∈Z).
Рассмотрим уравнение ctgx=a. На промежутке (0; π) функция y=ctgx убывает (от +∞ до -∞). Но убывающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение ctgx=a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арккотангенса равен: x1=arсctga.
Функция y=ctgx периодическая с периодом π, поэтому все остальные корни отличаются от найденного на πn (n ∈ Z). Получаем следующую формулу корней уравнения ctgx=a:
таким образом, уравнение ctgx= 0имеет корни
Примеры решения задач
Вопросы для контроля
Какие уравнения называют простейшими тригонометрическими?
Запишите формулы решения простейших тригонометрических уравнений. В каких случаях нельзя найти корни простейшего тригонометрического уравнения по этим формулам?
Выведите формулы решения простейших тригонометрических уравнений.
Обоснуйте формулы решения простейших тригонометрических уравнений для частных случаев.
Упражнения
Решите уравнение (1-11)
Найдите корни уравнения на заданном промежутке (12-13)
Видео:КОГДА ПИСАТЬ +Пк, а когда +2Пк? (Задание 13 по Тригонометрии ЕГЭ 2024 по Математике Профиль)Скачать
Когда в тригонометрических уравнениях писать к а когда n
Видео:Как решить пункт б) в задании 13 профиля ЕГЭ. ТригонометрияСкачать
Методы решения тригонометрических уравнений.
Видео:Что есть ответ на тригонометрическое уравнение? Тригонометрические уравнения Часть 1 из 6.Скачать
1. Алгебраический метод.
( метод замены переменной и подстановки ).
Видео:10 класс, 23 урок, Методы решения тригонометрических уравненийСкачать
2. Разложение на множители.
П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .
Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:
sin x + cos x – 1 = 0 ,
преобразуем и разложим на множители выражение в
левой части уравнения:
П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.
Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,
П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:
функция y = tg x возрастает (от -∞ до +∞). Но возрастающая функция принимает каждое свое значение только в одной точке ее области определения, поэтому уравнение tg x = a при любом значении a имеет на этом промежутке только один корень, который по определению арктангенса равен: x1 = arctg a и для этого корня tg x = a.
и sin 
