Когда уравнение имеет целые корни

Нам уже известны формулы для решения квадратных уравнений. А что делать, если встретится уравнение более высокой степени ? Оказы вается, что для уравнений третьей и четвёртой степени есть формулы, позволяющие найти корни (но они редко используются на практике ввиду их громоздкости), а для уравнений пятой степени и выше доказано, что таких формул не существует. Таким образом, у нас не выйдет в общем случае решить уравнение третьей или более высокой степени. Но существует ряд приёмов, позволяющих решить некоторые специальные виды уравнений. К их рассмотрению мы сейчас и перейдём.

Решите уравнение: `x^3 +4x^2 — 2x-3=0`.

Заметим, что `x=1` является корнем уравнения (значение многочлена при `x=1` равно сумме коэффициентов многочлена). Тогда по теореме Безу многочлен `x^3 +4x^2 -2x -3` делится на многочлен `x-1`. Выполнив деление, получаем:

`x^3 +4x^2 -2x -3=0 hArr (x-1)(x^2 + 5x +3) =0 hArr`

Обычно кубические уравнения решают именно так: подбирают один корень, выполняют деление уголком, после чего остаётся решить только квадратное уравнение. А что делать, если у нас уравнение четвёртой степени? Тогда придётся подбирать корень два раза. После подбора первого корня и деления останется кубическое уравнение, у которого надо будет подобрать ещё один корень. Возникает вопрос. Что делать, если такие «простые» числа как `+-1`, `+-2` не являются корнями уравне ния? Неужели тогда надо перебирать всевозможные числа? Ответ на этот вопрос даёт следующее утверждение.

Если несократимая дробь `p//q` (`p` — целое, `q` — натуральное) является корнем многочлена с целыми коэффициентами , то сво бодный член делится на `p` , а старший коэффициент делится на `q`.

Пусть несократимая дробь `p//q` — корень многочлена (8). Это означает, что

`a_n (p/q)^n +a_(n-1)(p/q)^(n-1) + a_(n-2) (p/q)^(n-2)+ . «+a_2 (p/q)^2 +a_1(p/q)+0=0`.

Умножим обе части на `q^n`, получаем:

`a_n p^n + a_(n-1) p^(n-1) q+a_(n-2) p^(n-2) q^2 + . + a_2 p^2 q^(n-2) +a_1 pq^(n-1)+a_0q^n=0`.

Перенесём в правую часть, а из оставшихся слагаемых вынесем `p` за скобки:

Справа и слева в (14) записаны целые числа. Левая часть делится на `p=>` правая часть также делится на `p`. Числа `p` и `q` взаимно просты (т. к. дробь `p//q` несократимая), откуда следует, что `a_0 vdotsp`.

Аналогично доказывается, что `a_n vdotsq`. Теорема доказана.

Как правило, предлагаемые вам уравнения имеют целые корни, поэтому в большинстве задач используется следующее: если у многочлена с целыми коэффициентами есть целые корни, то они являются делителями свободного члена.

а) `x^4+4x^3-102x^2-644x-539=0`; (15)

б) `6x^4-35x^3+28x^2+51x+10=0`. (16)

а) Попробуем найти целые корни уравнения. Пусть `p` — корень. Тогда `539vdotsp`; чтобы найти возможные значения `p`, разложим число `539` на простые множители:

Поэтому `p` может принимать значения:

Подстановкой убеждаемся, что `x=-1` является корнем уравнения. Разделим многочлен в левой части (15) уголком на `x+1` и получим:

Далее подбираем корни у получившегося многочлена третьей степени. Получаем `x=-7`, а после деления на `(x+7)` остаётся `(x+1)(x+7)(x^2-4x-77)=0`. Решая квадратное уравнение, находим окончательное разложение левой части на множители:

1) После того, как найден первый корень, лучше сначала выполнить деление уголком, и только потом приступать к поиску последующих корней. Тогда вычислений будет меньше.

2) В разложении многочлена на множители множитель `(x+7)` встретился дважды. Тогда говорят, что `(–7)` является корнем кратности два. Аналогично говорят о корнях кратности три, четыре и т. д.

б) Если уравнение имеет рациональный корень `x_0=p/q`, то `10vdotsp`, `6vdotsq`, т. е. `p in`; `qin`.Возможные варианты для `x_0`:

Начинаем перебирать числа из этого списка. Первым подходит число `x=5/2`. Делим многочлен в левой части (16) на `(2x-5)` и получаем

Заметим, что для получившегося кубического уравнения выбор рациональных корней заметно сузился, а именно, следующие числа могут быть корнями: `x_0=+-1,+-2,+-1/3,+-2/3`, причём мы уже знаем, что числа `+-1` и `+-2` корнями не являются (так как мы их подставляли раньше, и они не подошли). Находим, что `x=-2/3` — корень; делим `3x^3-10x^2-11x-2` на `3x+2` и получаем:

Решаем квадратное уравнение: `x^2-4x-1=0 iff x=2+-sqrt5`.

К сожалению, уравнения не всегда имеют рациональные корни. Тогда приходится прибегать к другим методам.

Разложите на множители:

а) `x^4+4=x^4+4x^2+4-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2=`

Таким образом, сумму четвёртых степеней, в отличие от суммы квадратов, можно разложить на множители:

в) Вынесем `x^2` за скобки и сгруппируем:

Обозначим `x+2/x=t`. Тогда `x^2+4+4/x^2=t^2`, `x^2+4/x^2=t^2-4`, выражение в скобках принимает вид:

В итоге получаем:

Этот приём иногда используется для решения уравнений четвёртой степени; в частности, с его помощью решают возвратные уравнения (см. пример 12 е).

г)* Можно убедиться, что никакой из рассмотренных выше методов не помогает решить задачу, а именно: рациональных корней уравнение не имеет (числа `+-1` и `+-2` – не корни); вынесение числа `x^2` за скобки и группировка слагаемых приводит к выражению

Если здесь обозначить `4x-13/x=t`, то `x^2-2/x^2` через `t` рационально не выражается.

Прибегнем к методу неопределённых коэффициентов. Пусть

Попробуем подобрать коэффициенты `a`, `b`, `c`, `d` так, чтобы (17) обратилось в верное равенство. Для этого раскроем скобки в правой части и приведём подобные слагаемые:

Приравняем в (18) коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях уравнения. Получим систему уравнений:

Мы будем пытаться найти целочисленные решения системы (19). Найти все решения системы (19) не проще, чем решить исходную задачу, однако нахождение целочисленных решений – разумеется, если они есть – нам по силам.

Рассмотрим четвёртое уравнение. Возможны только два принципиально различных случая:

2) `b=2` и `d=-1`. Рассмотрим каждый из них. Подставляем значения `b` и `d` в первые три уравнения:

Из первого и третьего уравнений системы получаем `c=5/3`; `a=-17/3`, что не удовлетворяет второму уравнению, поэтому система решений не имеет; пара чисел `b=1` и `d=-2` не подходит.

Эта система имеет одно решение `a=-7`, `c=3`. Значит, числа `a=-7`, `b=2`, `c=3`, `d=-1` являются решением системы (19), поэтому

Далее каждый из квадратных трёхчленов можно разложить на множители.

Во многих ситуациях степень уравнения можно понизить с помощью замены переменных.

Видео:Целое уравнение и его корни. Алгебра, 9 классСкачать

Алгебра

План урока:

Видео:Найти все p, при которых уравнение имеет целые корни. Задача с параметромСкачать

Целое уравнение и его степень

Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:

(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);

А вот примеры нецелых выражений:

Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.

Введем понятие целого уравнения.

Приведем примеры целых ур-ний:

0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18

Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.

Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).

Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.

Пример. Преобразуйте целое ур-ние

так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.

Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:

Теперь раскроем скобки:

4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35

Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:

20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0

– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.

Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0

В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.

Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике

Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.

Пример. Определите степень ур-ния

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:

(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9

Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:

2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0

7х 3 – 10х – 44 = 0

Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень

Приведем примеры ур-ний первой степени:

5,4568у + 0,0002145 = 0

Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.

Приведем примеры ур-ний второй степени:

6t 2 + 98t – 52 = 0

Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу

Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:

2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0

Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:

5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0

Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.

Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.

Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k₁, k₂,k₃,…k_n. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:

Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния

надо каждую скобку приравнять к нулю:

х – k₁ = 0 или х – k₂ = 0 или х – k₃ = 0 или…х – k_n = 0

Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:

Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.

Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.

Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:

(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0

Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:

(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0

(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0

х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.

Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0

Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k₁), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.

Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k₁, k₂,k₃,…k_n, k_n+1 и запишем уравнение:

Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.

Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k₁, k₂,k₃,…k_n, то этому ур-нию равносильна запись (х – k₁)(х – k₂)(х – k₃)…(х – k_n) = 0

Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.

Видео:Определить имеет ли уравнение целые корни #1Скачать

Решение уравнений методом подбора корня

Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!

Пример. Докажите, что корнями ур-ния

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

являются только числа (– 1), 1 и 2.

Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:

(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0

При х = 1 получаем:

1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0

Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2

2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0

Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.

Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.

Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:

Числа а₀, а₁, а₂,…а_nи называют коэффициентами уравнений.

Например, для уравнения

5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0

Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии

нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи

х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0

где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а₁ = 0.

Для обозначения первого коэффициента а₀ может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента а_n – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».

Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:

Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами

Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:

Поделим обе его части на m и получим

Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а₀m n –1 , a₁m n –2 , а_n–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число а_n/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа а_n.

Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.

Пример. Найдите целые корни уравнения

2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0

Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):

2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0

2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0

2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0

Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.

Пример. Решите ур-ние

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:

0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0

(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2

Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:

(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0

Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.

Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.

Докажем это. Подставим в ур-ние

значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:

Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.

Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния

499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0

Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:

499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0

Следовательно, единица является его корнем.

Видео:Рациональные корни многочлена с целым показателем. 10 класс.Скачать

Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители

Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.

Пример. Решите ур-ние

Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:

(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0

Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:

х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0

х 2 = 4 или х 2 = – 4

Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.

Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:

100 – 210 + 134 – 24 = 0

Следовательно, первый корень – это 1.

Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k₁, k₂и k₃. Тогда ему равносильно другое ур-ние

Мы нашли, что первый корень k₁ = 1, то есть

Обозначим как P₁(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k₂ и k₃. Очевидно, что корнями ур-ния

Будут числа 1, k₂ и k₃. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем

(х – 1)•P₁(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24

Поделим обе части на (х – 1):

Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р₁(х), причем решением уравнения P₁(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k₂и k₃. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:

Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:

Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:

(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2

Далее снесем слагаемое 134х вниз:

На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):

(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х

Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):

При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:

Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:

В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)

Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:

100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0

(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0

Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:

100х 2 – 110х + 24 = 0

D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500

Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.

В данном случае мы воспользовались следующим правилом:

Пример. Решите уравнение

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:

2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0

Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16

Теперь возможно деление:

Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)

С учетом этого перепишем исходное ур-ние:

2х 3 – 8х 2 + 16 = 0

(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0

х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0

Решим квадратное ур-ние

D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80

В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле

где k₁ и k₂– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k₁, k₂ и k₃, то его можно разложить на множители по формуле

Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.

Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:

2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0

2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0

2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0

Значит, многочлен можно разложить на множители:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:

(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2

Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние

х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0

имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0

Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:

2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4

Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k₁), (х – k₂), (х – k₃) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:

2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)

Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).

Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать

Графический метод решения уравнений

Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства

где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.

Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.

Пример. Решите графически уравнение

Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:

Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):

Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.

Ответ: х ≈ 1,46557

Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.

Пример. Определите количество корней уравнений

б) х 3 – 2х + 0,5 = 0

Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:

Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:

Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.

Ответ: а) один корень; б) три корня.

Видео:Уравнения с параметром. Алгебра, 8 классСкачать

Решение дробно-рациональных уравнений

До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.

Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:

С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:

Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.

Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:

1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.

2) Решают полученное целое ур-ние.

3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.

Пример. Решите ур-ние

Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:

2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)

Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2

х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0

х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0

У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:

2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0

Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):

Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)

Тогда ур-ние примет вид:

(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0

х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0

Решим квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8

Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии

в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:

Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.

Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:

Пример. Найдите все корни ур-ния

Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:

Тогда уравнение примет вид

Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):

Знаменатель должен равняться нулю:

4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0

4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0

у 2 + 10у – 96 = 0

Решаем квадратное ур-ние:

D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484

Получили, что у₁ = – 16, а у₂ = 6. Произведем обратную замену:

х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6

х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0

Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:

D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63

А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:

D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25

Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии

в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.

При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.

Пример. Сколько корней имеет уравнение

Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:

Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Методы решения целых алгебраических уравнений

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений (или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример №176.

Решить уравнение

Решение:

Из 1-го уравнения находим корни , а второе не имеет решений.

Пример №177.

Найти все положительные корни уравнения

Решение:

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Её производная при всех действительных x, так как Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ:

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

где целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность , разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен , степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Пример №178.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Решая уравнение , находим ещё два корня

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №179.

Решить уравнение

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

причём все коэффициенты алгебраического многочлена являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через . Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения . Обозначим эти делители через . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида . Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень , вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена на разность , (причём в силу следствия из теоремы Безу обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример №180.

При каких натуральных n уравнение имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Подставим их поочерёдно в уравнение.

Ответ:

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Суть метода состоит в том, что многочлен в левой части уравнения представляется в виде произведения линейных и(или) квадратичных сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен к стандарт-ному виду. Так как два многочлена и одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты становятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при , и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример №181.

Решить уравнение

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Приравнивая коэффициенты слева и справа при ,и свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Найдя подбором решение подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Оно имеет три корня

Пример №182.

При каких значениях а все корни уравнения являются корнями уравнения

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример №183.

Решить уравнение

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

💡 Видео

Как решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать

АЛГЕБРА 9 класс: Целое уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать

Определить имеет ли уравнение целые корни #2Скачать

Целое уравнение и его корни | Алгебра 9 класс #12 | ИнфоурокСкачать

Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Целое уравнение и его корни. Видеоурок 10. Алгебра 9 классСкачать

Решение уравнений, 6 классСкачать

Рациональные и целые корни многочленов с целыми коэффициентамиСкачать

Целое уравнение и его корни. 9 класс.Скачать

Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать

Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать

Видеоурок ''Целое уравнение и его корни'' - АЛГЕБРА - 9 кл.Скачать