Разделы: Математика
Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.
Решить уравнение с параметром – это значит:
а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;
б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;
в) найти все выражения для корней.
Уравнения с параметром весьма различны по структуре:
Моя работа посвящена отысканию метода решения уравнений с параметрами вида
В основе этого метода лежит взгляд на параметр, как на переменную, т.е. уравнение F(x n ;p?)=0 можно рассматривать как квадратное относительно параметра р.
Задача 1. Пусть нужно решить уравнение с параметром
Преобразуем данное уравнение
Это уравнение 4-й степени относительно х, причём содержит 
и 
. Как его решить? Но заметим, что это уравнение является квадратным относительно 
, т.е. вида 
. Применим наш метод:
1. Перепишем уравнение в виде
, т.е. рассмотрим его как квадратное относительно 
.
2. Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
3. Далее используем графический метод. В системе координат 
построим параболы 
, 
и 
, 
4. Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем
, отсюда 
, т.е. точка пересечения единственная 
.
5. По рисунку видно, что горизонтальная прямая не имеет общих точек с параболами, если она проходит ниже 
, т.е.
при 
данное уравнение не имеет корней
при 
уравнение имеет единственный корень 
при 
уравнение имеет два корня 
т.к. прямая имеет две точки пересечения с параболой 
, отсюда 
, 
, 
при 
и 
— три корня
при 
при 
при 
и 
уравнение имеет четыре корня 
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности, второй степени и выше.
Задача 2. Определить число корней уравнения в зависимости от параметра а х 4 -10х 3 -2(а-11)х 2 +2(5а + 6)х +2а + а 2 =0 (1)
Решение. Уравнение является квадратным относительно параметра а. Перепишем (1) в виде 
(2)
Решая уравнение (2), находим
Построим в системе координат (х; а) графики функций 
и 
(рис 2)
Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем 
отсюда 
. Далее рассуждая аналогично, как и в задаче 1, получим
Ответ: если 
, уравнение корней не имеет;
если 
один корень;
если 
, уравнение имеет два корня;
если 
три корня;
если 
— четыре корня.
Задача 3. Найти все значения параметра р, при которых уравнение 
(3)
имеет ровно три решения.
Решении. Уравнение (3) является квадратным относительно р. Перепишем его в виде
Найдем корни уравнения
В системе координат (х; р) построим параболы
и 
(рис.2)
Данное уравнение имеет три решения при тех значениях параметра р, при которых горизонтальная прямая имеет три точки пересечения с параболами. Таким образом, уравнение (3) имеет три решения в следующих случаях:
1) прямая проходит через вершину одной параболы и пересекает другую в двух точках. Это возможно, когда 
т.е. при 
уравнение имеет три решения;
2) прямая проходит через точку пересечения парабол. Найдём абсциссу точки пересечения парабол, для этого решим уравнение
Если 
то 
т.е. при 
прямая пересекает параболы в трех точках, значит, исходное уравнение имеет три корня.
Ответ:
Задача 4. При каких значениях параметра а существует единственная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению
(4)
Решение: Уравнение – квадратное относительно х.
(5)
1. Контрольным значением параметра является число 
, при котором уравнение (5) примет вид 
отсюда 
. Видно, что в этом случае решениями уравнения будут все пары 
, т.е. при 
исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.
2. Пусть 
. Дискриминант уравнения (5)
Если 
т.е. 
, то 
, исходное уравнение имеет решение только тогда, когда 
, а 
— единственное решение.
Если же 
, исходное уравнение относительно х имеет решение при любом у.
Ответ: 
.
Задача 5. Решите уравнение
(6)
Решение. Уравнение является квадратным относительно р. Перепишем уравнение (6) в виде
(7)
Дискриминант квадратного уравнения (7)
Решая (7), получим
Здесь возможны случаи.
1. Уравнение (6) имеет четыре корня, если
Решая систему, получаем 
. Таким образом, при 
уравнение (6) имеет четыре корня 
, 
2. Уравнение (6) имеет три корня, если
Решая систему, получим 
Значит, при 
уравнение (6) имеет три корня 
3. Уравнение (6) имеет два корня, если
Решая систему, получим 
, значит, при этих значениях параметра р уравнение (6) имеет два корня
4. Уравнение (6) имеет один корень, если
Решая систему, получим 
. Следовательно, при 
решением уравнения (6) будет 
.
5. Уравнение (5) не имеет корней, если
Ответ: если 
— корней нет;
если 
если 
;
если 
если 
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности. Иногда трудно предвидеть будет ли применение этого метода результативным, но такие уравнения существуют и поэтому его надо знать.
Например, с помощью этого метода можно решить следующие уравнения:
из сборника для подготовки к ЕГЭ.
из сборника Сканави
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами
Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:
Решим первое неравенство системы
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .
Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр
График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:
3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно
1) . Получим линейное уравнение
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .
Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:
— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.
С учетом пункта 1 получим ответ
4. При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .
Сделаем замену 
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.
1) В случае уравнение будет линейным
Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если , уравнение будет квадратным.
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
Объединив все случаи, получим ответ.
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях a система имеет единственное решение?
Решением квадратного неравенства может быть:
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства
Рассмотрим первый случай.
Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или
Если , при этом система примет вид:
Второй корень первого уравнения:
Второй корень второго первого:
Если , при этом система примет вид:
– бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
– решением является точка, если – является решением второго неравенства.
– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.
Видео:Откуда три корня? ➜ Решите уравнение z³=1Скачать
Квадратные уравнения с параметром
Задачи с параметрами. Простейшие задачи на квадратный трёхчлен.
Сегодня мы рассмотрим задачи на квадратный трёхчлен, про который, в зависимости от параметра, надо будет что-то выяснить. Это «что-то» может быть самым разнообразным, насколько только хватит фантазии у составителей задачи. Это самый простой тип задач с параметрами. И, если на ЕГЭ вам попалась такая — считайте, что вам повезло!
Но, прежде чем приступать к разбору самих задач, ответьте сами себе на такие простые вопросы:
— Что такое квадратное уравнение, как оно выглядит и как решается?
— Что такое дискриминант и куда его пристроить?
— Что такое теорема Виета и где её можно применить?
Если вы верно отвечаете на эти простые вопросы, то 50% успеха в решении параметрических задач на квадратный трёхчлен вам обеспечены! А остальные 50% — это обычная алгебра и арифметика: раскрытие скобок, приведение подобных, решение уравнений, неравенств и систем и т.д.
Для начала рассмотрим совсем безобидную задачку. Для разминки. 🙂
Пример 1
Приступаем к решению. Во-первых, чтобы в будущем не накосячить в коэффициентах, всегда полезно выписать их отдельно. Прямо в столбик. Вот так:
Да-да! Часть коэффициентов в уравнении (а именно — b и с) зависит от параметра. В этом как раз и состоит вся фишка таких задач. А теперь снова въедливо перечитываем условие. Ключевой зацепкой в формулировке задания являются слова «единственный корень». И когда же квадратное уравнение имеет единственный корень? Подключаем наши теоретические знания о квадратных уравнениях. Только в одном единственном случае — когда его дискриминант равен нулю.
Осталось составить выражение для дискриминанта и приравнять его к нулю. Поехали!
Теперь надо приравнять наш дискриминант к нулю:
Можно, конечно, решать это квадратное уравнение через дискриминант, а можно немного схитрить. На что у нас похожа левая часть, если как следует присмотреться? Она у нас похожа на квадрат разности (a-3) 2 !
Респект внимательным! Верно! Если заменить наше выражение слева на (a-3) 2 , то уравнение будет решаться в уме!
Вот и всё. Это значит, что единственный корень наше квадратное уравнение с параметром будет иметь только в одном единственном случае — когда значение параметра «а» равно тройке.)
Это был разминочный пример. Чтобы общую идею уловить.) Теперь будет задачка посерьёзнее.
Пример 2
Вот такая задачка. Начинаем распутывать. Первым делом выпишем наше квадратное уравнение:
0,5x 2 — 2x + 3a + 1,5 = 0
Самым логичным шагом, было бы умножить обе части на 2. Тогда у нас исчезнут дробные коэффициенты и само уравнение станет посимпатичнее. Умножаем:
Выписываем в столбик наши коэффициенты a, b, c:
Видно, что коэффициенты a и b у нас постоянны, а вот свободный член с зависит от параметра «а»! Который может быть каким угодно — положительным, отрицательным, целым, дробным, иррациональным — всяким!
А теперь, чтобы продвинуться дальше, вновь подключаем наши теоретические познания в области квадратных уравнений и начинаем рассуждать. Примерно так:
«Для того чтобы сумма кубов корней была меньше 28, эти самые корни, во-первых, должны существовать. Сами по себе. В принципе. А корни у квадратного уравнения существуют, тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицательный. Кроме того, в задании говорится о двух различных корнях. Эта фраза означает, что наш дискриминант обязан быть не просто неотрицательным, а строго положительным!»
Если вы рассуждаете таким образом, то вы движетесь правильным курсом! Верно.) Составляем условие положительности для дискриминанта:
Полученное условие говорит нам о том, что два различных корня у нашего уравнения будет не при любых значениях параметра «а», а только при тех, которые меньше одной шестой! Это глобальное требование, которое должно выполняться железно. Неважно, меньше 28 наша сумма кубов корней или больше. Значения параметра «а», большие или равные 1/6, нас заведомо не устроят. Гуд.) Соломки подстелили. Движемся дальше.
Теперь приступаем к загадочной сумме кубов корней. По условию она у нас должна быть меньше 28. Так и пишем:
Значит, для того чтобы ответить на вопрос задачи, нам надо совместно рассмотреть два условия:
А дальше начинаем отдельно работать с этой самой суммой кубов. Есть два способа такой работы: первый способ для трудолюбивых и второй способ — для внимательных.
Способ для трудолюбивых заключается в непосредственном нахождении корней уравнения через параметр. Прямо по общей формуле корней. Вот так:
Теперь составляем нужную нам сумму кубов найденных корней и требуем, чтобы она была меньше 28:
А дальше — обычная алгебра: раскрываем сумму кубов по формуле сокращённого умножения, приводим подобные, сокращаем и т.д. Если бы корни нашего уравнения получились покрасивее, без радикалов, то такой «лобовой» способ был бы неплох. Но проблема в том, что наши корни выглядят немного страшновато. И подставлять их в сумму кубов как-то неохота, да. Поэтому, для того чтобы избежать этой громоздкой процедуры, я предлагаю второй способ — для внимательных.
Для этого раскрываем сумму кубов корней по соответствующей формуле сокращенного умножения. Прямо в общем виде:
А дальше проделываем вот такой красивый фокус: во вторых скобках выражаем сумму квадратов корней через сумму корней и их произведение. Вот так:
Казалось бы, и что из этого? Сейчас интересно будет! Давайте, посмотрим ещё разок на наше уравнение. Как можно внимательнее:
Чему здесь равен коэффициент при x 2 ? Правильно, единичке! А как такое уравнение называется? Правильно, приведённое! А, раз приведённое, то, стало быть, для него справедлива теорема Виета:
Вот и ещё одна теорема нам пригодилась! Теперь, прямо по теореме Виета, подставляем сумму и произведение корней в наше требование для суммы кубов:
Осталось раскрыть скобки и решить простенькое линейное неравенство:
Вспоминаем, что ещё у нас есть глобальное требование a 0 необходимо пересечь с условием a . Рисуем картинку, пересекаем, и записываем окончательный ответ.
Да. Вот такой маленький интервальчик. От нуля до одной шестой… Видите, насколько знание теоремы Виета, порой, облегчает жизнь!
Вот вам небольшой практический совет: если в задании говорится о таких конструкциях, как сумма, произведение, сумма квадратов, сумма кубов корней, то пробуем применить теорему Виета. В 99% случаев решение значительно упрощается.
Это были довольно простые примеры. Чтобы суть уловить. Теперь будут примеры посолиднее.
Например, такая задачка из реального варианта ЕГЭ:
Пример 3
Что, внушает? Ничего не боимся и действуем по нашему излюбленному принципу: «Не знаешь, что нужно, делай что можно!»
Опять аккуратно выписываем все коэффициенты нашего квадратного уравнения:
А теперь вчитываемся в условие задачи и находим слова «модуль разности корней уравнения». Модуль разности нас пока не волнует, а вот слова «корней уравнения» примем во внимание. Раз говорится о корнях (неважно, двух одинаковых или двух различных), то наш дискриминант обязан быть неотрицательным! Так и пишем:
Что ж, аккуратно расписываем наш дискриминант через параметр а:
А теперь решаем квадратное неравенство. По стандартной схеме, через соответствующее квадратное уравнение и схематичный рисунок параболы:
Значит, для того чтобы у нашего уравнения в принципе имелись хоть какие-то корни, параметр а должен находиться в отрезке [-1; 3]. Это железное требование. Хорошо. Запомним.)
А теперь приступаем к этому самому модулю разности корней уравнения. От нас хотят, чтобы вот такая штука
принимала бы наибольшее значение. Для этого, ничего не поделать, но теперь нам всё-таки придётся находить сами корни и составлять их разность: x1 — x2. Теорема Виета здесь в этот раз бессильна.
Что ж, считаем корни по общей формуле:
Дальше составляем модуль разности этих самых корней:
Теперь вспоминаем, что корень квадратный — величина заведомо неотрицательная. Стало быть, без ущерба для здоровья, модуль можно смело опустить. Итого наш модуль разности корней выглядит так:
И эта функция f(a) должна принимать наибольшее значение. А для поиска наибольшего значения у нас есть такой мощный инструмент, как производная! Вперёд и с песнями!)
Дифференцируем нашу функцию и приравниваем производную к нулю:
Получили единственную критическую точку a = 2. Но это ещё не ответ, так как нам ещё надо проверить, что найденная точка и в самом деле является точкой максимума! Для этого исследуем знаки нашей производной слева и справа от двойки. Это легко делается простой подстановкой (например, а = 1,5 и а = 2,5).
Слева от двойки производная положительна, а справа от двойки — отрицательна. Это значит, что наша точка a = 2 и вправду является точкой максимума. Заштрихованная зона на картинке означает, что нашу функцию мы рассматриваем только на отрезке [1; 3]. Вне этого отрезка нашей функции f(a) попросту не существует. Потому, что в заштрихованной области наш дискриминант отрицательный, и разговоры о каких-либо корнях (и о функции тоже) бессмысленны. Это понятно, думаю.
Всё. Вот теперь наша задача полностью решена.
Здесь было применение производной. А бывают и такие задачи, где приходится решать уравнения либо неравенства с так ненавистными многими учениками модулями и сравнивать некрасивые иррациональные числа с корнями. Главное — не бояться! Разберём похожую злую задачку (тоже из ЕГЭ, кстати).
Пример 4
Итак, приступаем. Первым делом замечаем, что параметр а ни в коем случае не может быть равен нулю. Почему? А вы подставьте в исходное уравнение вместо а нолик. Что получится?
Получили линейное уравнение, имеющее единственный корень x=2. А это уже совсем не наш случай. От нас хотят, чтобы уравнение имело два различных корня, а для этого нам необходимо, чтобы оно, как минимум, было хотя бы квадратным.)
При всех остальных значениях параметра наше уравнение будет вполне себе квадратным. И, следовательно, чтобы оно имело два различных корня, необходимо (и достаточно), чтобы его дискриминант был положительным. То есть, первое наше требование будет D > 0.
А далее по накатанной колее. Считаем дискриминант:
D = 4(a-1) 2 — 4a(a-4) = 4a 2 -8a+4-4a 2 +16a = 4+8a
Вот так. Значит, наше уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда параметр a > -1/2. При прочих «а» у уравнения будет либо один корень, либо вообще ни одного. Берём на заметку это условие и движемся дальше.
Далее в задаче идёт речь о расстоянии между корнями. Расстояние между корнями, в математическом смысле, означает вот такую величину:
Зачем здесь нужен модуль? А затем, что любое расстояние (что в природе, что в математике) — величина неотрицательная. Причём здесь совершенно неважно, какой именно корень будет стоять в этой разности первым, а какой вторым: модуль — функция чётная и сжигает минус. Точно так же, как и квадрат.
Значит, ответом на вопрос задачи является решение вот такой системы:
Теперь, ясен перец, нам надо найти сами корни. Здесь тоже всё очевидно и прозрачно. Аккуратно подставляем все коэффициенты в нашу общую формулу корней и считаем:
Отлично. Корни получены. Теперь начинаем формировать наше расстояние:
Наше расстояние между корнями должно быть больше трёх, поэтому теперь нам надо решить вот такое неравенство:
Неравенство — не подарок: модуль, корень… Но и мы всё-таки уже решаем серьёзную задачу №18 из ЕГЭ! Делаем всё что можно, чтобы максимально упростить внешний вид неравенства. Мне здесь больше всего не нравится дробь. Поэтому первым делом я избавлюсь от знаменателя, умножив обе части неравенства на |a|. Это можно сделать, поскольку мы, во-первых, в самом начале решения примера договорились, что а ≠ 0, а во-вторых, сам модуль — величина неотрицательная.
Итак, смело умножаем обе части неравенства на положительное число |a|. Знак неравенства сохраняется:
Вот так. Теперь в нашем распоряжении имеется иррациональное неравенство с модулем. Ясное дело, для того чтобы решить его, надо избавляться от модуля. Поэтому придётся разбивать решение на два случая — когда параметр а, стоящий под модулем, положителен и когда отрицателен. Другого пути избавиться от модуля у нас, к сожалению, нет.
Случай 1 (a>0, |a|=a)
В этом случае наш модуль раскрывается с плюсом, и неравенство (уже без модуля!) принимает следующий вид:
Неравенство имеет структуру: «корень больше функции». Такие иррациональные неравенства решаются по следующей стандартной схеме:
Отдельно рассматривается случай а), когда обе части неравенства возводятся в квадрат и правая часть неотрицательна и отдельно — случай б), когда правая часть всё-таки отрицательна, но зато сам корень при этом извлекается.) И решения этих двух систем объединяются.
Тогда, в соответствии с этой схемой, наше неравенство распишется вот так:
А теперь можно существенно упростить себе дальнейшую работу. Для этого вспомним, что в случае 1 мы рассматриваем только a>0. С учётом этого требования, вторую систему можно вообще вычеркнуть из рассмотрения, поскольку, второе неравенство в ней (3a 0 и a
Упрощаем нашу совокупность с учётом главного условия a>0:
Вот так. А теперь решаем самое обычное квадратное неравенство:
Нас интересует промежуток между корнями. Стало быть,
Отлично. Теперь этот промежуток пересекаем со вторым условием системы a>0:
Есть. Таким образом, первым кусочком ответа к нашему неравенству (а пока не ко всей задаче!) будет вот такой интервал:
Всё. Случай 1 разложен по полочкам. Переходим к случаю 2.
Случай 2 (a
В этом случае наш модуль раскрывается с минусом, и неравенство принимает следующий вид:
Опять имеем структуру: «корень больше функции». Применяем нашу стандартную схему с двумя системами (см. выше):
С учётом общего требования a
А дальше снова решаем обычное квадратное неравенство:
И опять сокращаем себе работу. Ибо оно у нас уже решено в процессе разбора случая 1! Решение этого неравенства выглядело вот так:
Осталось лишь пересечь этот интервал с нашим новым условием a
Вот и второй кусочек ответа готов:
Кстати сказать, как я узнал, что ноль лежит именно между нашими иррациональными корнями? Легко! Очевидно, что правый корень заведомо положителен. А что касается левого корня, то я просто в уме сравнил иррациональное число
с нулём. Вот так:
А теперь объединяем оба найденных интервала. Ибо мы решаем совокупность (а не систему):
Готово дело. Эти два интервала — это пока ещё только решение неравенства
Кто забыл, данное неравенство отвечает у нас за расстояние между корнями нашего уравнения. Которое должно больше 3. Но! Это ещё не ответ!
Ещё у нас есть условие положительного дискриминанта! Неравенство a>-1/2, помните? Это значит, что данное множество нам ещё надо пересечь с условием a>-1/2. Иными словами, теперь мы должны пересечь два множества:
Но есть одна проблемка. Мы не знаем, как именно расположено на прямой число -1/2 относительно левого (отрицательного) корня. Для этого нам придётся сравнить между собой два числа:
Поэтому сейчас берём черновик и начинаем сравнивать наши числа. Примерно так:
Это значит, что дробь -1/2 на числовой прямой находится левее нашего левого корня. И картинка к окончательному ответу задачи будет какая-то вот такая:
Всё, задача полностью решена и можно записывать окончательный ответ.
Ну как? Уловили суть? Тогда решаем самостоятельно.)
1. Найдите все значения параметра b, при которых уравнение
ax 2 + 3x +5 = 0
имеет единственный корень.
2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых больший корень уравнения
x 2 — (14a-9)x + 49a 2 — 63a + 20 = 0
3. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых сумма квадратов корней уравнения
x 2 — 4ax + 5a = 0
4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение
x 2 + 2(a-2)x + a + 3 = 0
имеет два различных корня, расстояние между которыми больше 3.
🎥 Видео
Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Самая сложная тема из ЕГЭ. Задание с ПАРАМЕТРОМ | Математика TutorOnlineСкачать
Решите уравнение (-5x+3)(-x+6)=0. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
🔴 Найдите корень уравнения 2+9x=4x+3 | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 7 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
#118 Урок 43 Квадратные уравнения. Параметры. При каком значении параметра уравнение имеет 1 корень.Скачать
при каких значениях параметра уравнение имеет ровно 3 корняСкачать
Алгебра 8 класс (Урок№19 - Уравнение х² = а.)Скачать
Что такое параметр? Уравнения и неравенства с параметром. 7-11 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать
Задание 9 на ОГЭ по математике 2023 / Разбираем все типы уравнений за 5 минут!Скачать
Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать
6. ПРИ КАКИХ ЗНАЧЕНИЯХ ПАРАМЕТРА УРАВНЕНИЕ НЕ ИМЕЕТ КОРНЕЙСкачать
АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
✓ Параметры с нуля и до ЕГЭ | Задание 17. Профильный уровень | #ТрушинLive #041 | Борис ТрушинСкачать
Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать
310 Алгебра 9 класс. При каких значениях в Уравнение имеет 2 корня.Скачать
Решите уравнение x^2+3x=54. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 4 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
