Когда уравнение имеет ровно два решения

Задачи с параметром

1. Задача.
При каких значениях параметра a уравнение ( a — 1) x 2 + 2 x + a — 1 = 0 имеет ровно один корень?

1. Решение.
При a = 1 уравнение имеет вид 2 x = 0 и, очевидно, имеет единственный корень x = 0. Если a № 1, то данное уравнение является квадратным и имеет единственный корень при тех значениях параметра, при которых дискриминант квадратного трехчлена равен нулю. Приравнивая дискриминант к нулю, получаем уравнение относительно параметра a 4 a 2 — 8 a = 0, откуда a = 0 или a = 2.

1. Ответ: уравнение имеет единственный корень при a О .

2. Задача.
Найти все значения параметра a , при которых имеет два различных корня уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0.
2. Решение.
Уравнение x 2 +4 ax +8 a +3 = 0 имеет два различных корня тогда и только тогда, когда D = 16 a 2 -4(8 a +3) > 0. Получаем (после сокращения на общий множитель 4) 4 a 2 -8 a -3 > 0, откуда

a Ц 7 2

или a > 1 +

Ц 7 2

2. Ответ:

a О (- Ґ ; 1 –

Ц 7 2

) И (1 +

Ц 7 2

; Ґ ).

3. Задача.
Известно, что
f 2 ( x ) = 6 x — x 2 -6.
а) Постройте график функции f 1 ( x ) при a = 1.
б) При каком значении a графики функций f 1 ( x ) и f 2 ( x ) имеют единственную общую точку?

3. Решение.
3.а. Преобразуем f 1 ( x ) следующим образом
График этой функции при a = 1 изображен на рисунке справа.
3.б. Сразу отметим, что графики функций y = kx + b и y = ax 2 + bx + c ( a № 0) пересекаются в единственной точке тогда и только тогда, когда квадратное уравнение kx + b = ax 2 + bx + c имеет единственный корень. Используя представление f 1 из 3.а , приравняем дискриминант уравнения a = 6 x — x 2 -6 к нулю. Из уравнения 36-24-4 a = 0 получаем a = 3. Проделав то же самое с уравнением 2 x — a = 6 x — x 2 -6 найдем a = 2. Нетрудно убедиться, что эти значения параметра удовлетворяют условиям задачи. Ответ: a = 2 или a = 3.

4. Задача.
Найти все значения a , при которых множество решений неравенства x 2 -2 ax -3 a і 0 содержит отрезок [3;6].

4. Решение.
Первая координата вершины параболы f ( x ) = x 2 -2 ax -3 a равна x 0 = a . Из свойств квадратичной функции условие f ( x ) і 0 на отрезке [3;6] равносильно совокупности трех систем

м н о

a Ј 3, f (3) = 9-9 a і 0,

м н о

3 a D = 4 a 2 +12 a Ј 0,

м н о

a і 6, f (6) = 36-15 a і 0.

Решением первой системы является множество (- Ґ ,1]. Вторая и третья система решений не имеют.

4. Ответ: a О (- Ґ ,1].

5. Задача (9 кл.)
При каком наименьшем натуральном значении a уравнение

x 2 +2 ax -3 a +7 = 2 x

имеет ровно два решения?

5. Решение.
Перепишем это уравнение в виде x 2 + (2 a -2) x — 3 a +7 = 0. Это квадратное уравнение, оно имеет ровно два решения, если его дискриминант строго больше нуля. Вычисляя дискриминант, получаем, что условием наличия ровно двух корней является выполнение неравенства a 2 + a -6 > 0. Решая неравенство, находим a a > 2. Первое из неравенств, очевидно, решений в натуральных числах не имеет, а наименьшим натуральным решением второго является число 3.

6. Задача (10 кл.)
Найти все значения a , при которых график функции

f ( x ) =

x 2 + | ax +2 | a -1

проходит через точку с координатами (-1;1).

6. Решение.
Из условия f (-1) = 1 имеем уравнение

1 =

1+ | — a +2 | a -1

,

или, после очевидных преобразований, a -2 = | 2- a | . Последнее уравнение равносильно неравенству a і 2.

6. Ответ: a О [2; Ґ ).

7. Задача (10 кл.)
При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения

x 2 -2 ax + a 2 — a = 0

больше чем 12?

7. Решение.
Дискриминант уравнения x 2 -2 ax + a 2 — a = 0 равен 4 a . Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x 1 + x 2 = 2 a и x 1 · x 2 = a 2 — a . Отсюда x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 -2 x 1 · x 2 = 2 a 2 +2 a . Решениями неравенства 2 a 2 +2 a > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2.

Задача 18 ЕГЭ-2021 по математике. Параметры

Посмотрите на условия задач с параметрами ЕГЭ-2021. Вы заметите, что на вид все они похожи. Однако сходство только внешнее, и решаются они по-разному. В этой статье – обзор задач с параметрами ЕГЭ-2021 по математике.

1. Начнем с задачи, которую лучше всего решить аналитическим способом. Слева в уравнении модуль, справа – произведение модуля и корня квадратного. Лучше всего первым действием сделать возведение обеих частей уравнения в квадрат (при неотрицательности подкоренного выражения).

О том, как решать уравнения, где слева модуль и справа модуль, читайте здесь: Уравнения с модулем.

При каких значениях параметра a уравнение

имеет ровно 2 решения?

Уравнение равносильно системе:

Вынесли общий множитель за скобку

Так как и при всех исходное уравнение имеет корни и при всех Значит, исходное уравнение имеет ровно два корня в следующих случаях:

не имеет решений и

2) совпадение корней

Рассмотрим первый случай.

Неравенство — не имеет решений, если

Рассмотрим второй случай.

1) Корни и совпадают, тогда и

Так как исходное уравнение при имеет один корень

2) Корни и совпадают.

Уравнение имеет корни и

3) Корни и совпадают, исходное уравнение имеет ровно два корня.

Мы применили аналитический способ решения: с помощью равносильных переходов от исходного уравнения перешли к такой форме, где сразу видно, какие корни имеет уравнение при определенных значениях параметра.

На Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ на 100 баллов мы подробно рассказывали об этом методе и решали множество задач. Способ хорош тем, что вы просто действуете по образцу – и быстро приходите к ответу.

2. Второе уравнение очень похоже на первое. И первое действие будет таким же: возведением обеих частей в квадрат. А закончим мы – для разнообразия – построением графиков в системе координат (а; х).

Найти a, при которых имеет ровно 2 решения.

Возведем обе части уравнения в квадрат.

Найдем, каким значениям параметра соответствует ровно два значения

Построим в системе координат графики функций:

Мы находим такие при которых горизонтальная прямая имеет ровно 2 общие точки с совокупностью прямых, являющихся графиком исходного уравнения.

Видим, что в общем случае прямая пересекает каждую из трех прямых, то есть исходное уравнение имеет ровно 3 решения.
Ровно 2 решения будет в случаях, когда прямая проходит через точки пересечения прямых, то есть в случаях совпадения корней.

Данная совокупность имеет ровно два решения в случаях совпадения корней.

О графическом способе решения задач с параметрами читайте здесь: Графический метод решения задач с параметрами.

3. В третьем задании также присутствуют выражения под модулями. Но подход будет другой: мы применим метод интервалов для модулей, о котором можно прочитать здесь: Уравнения с модулем.

С его помощью раскроем модули и получим график функции, заданной описанием: на разных интервалах график этой функции выглядит по-разному, то есть состоит из отдельных кусочков. А дальше – графическое решение.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Применим метод интервалов для модулей. Уравнение равносильно совокупности систем:

Мы сделали так, потому что при оба модуля раскрываем с противоположным знаком:

Заметим, что если уравнение не выполняется ни при каких

Решим графически полученную совокупность.

Рассмотрим функцию такую, что:

Для функции ось ординат – вертикальная асимптота.

Уравнение имеет ровно два корня при или

Вообще задачи с параметрами, как правило, можно решать многими способами.

4. И наконец, довольно сложное уравнение с тремя модулями. Нам придется раскрывать все эти модули по определению, рассматривая 4 случая. Но ничего страшного здесь нет – просто аккуратность. А потом мы разобьем координатную плоскость (х; а) на области и в каждой из областей построим график уравнения. Кто знаком с методом областей – тот легко с этим справится.

При каких значениях параметра a уравнение имеет ровно три различных решения

задание 18

О категории

Уравнения и неравенства с параметрами.

Теория (1)

Разбор задания 18 профильного ЕГЭ по Математике «Задача с параметром»

Решение задач с параметром из профильного ЕГЭ по Математике. .

Практика (43)

При каких значениях параметра а уравнение

имеет два различных решения?

Найдите, при каких значениях параметра [b]a[/b] уравнение

имеет два различных корня. В ответе укажите сумму целых значений параметра [b]a[/b]‚ удовлетворяющих условию задачи.

При каких значениях параметра а уравнение

имеет единственное решение, большее или равное (-1)?

Найдите все [b]а[/b], при которых неравенство

2aх + 2sqrt(2x+3) — 2x + 3a — 5

Найти все a, при которых уравнение sqrt(1-4x)*ln(9x^2-a^2)=sqrt(1-4x)*ln(3x+a) имеет ровно одно решение.

При каких значениях параметра а уравнение имеет ровно 2 различных решения.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два решения

Найдите все значения [b]а[/b]. при каждом из которых данное уравнение на промежутке (0; +∞) имеет хотя бы три корня.

При каких [b]а[/b] сумма квадратов различных корней уравнения x^2-ax+a+1 = 0 больше 1?

При каких значениях p неравенство (p-x^2)(p+x-2)

Найдите все значение при каждом из которых система имеет ровно 3 различных решения
<(x-4)^2 + (y-4)^2=9
<y=|x-a|+1

Решить уравнение для всех a 25^x+a^2(a-1)5^x-a^5=0

Найти все значения параметра a, при которых функция f(x) = x^2 — |x-a^2| — 9x имеет хотя бы одну точку максимума.

Найдите все значения а, при каждом из которых решение неравенства |3x-a|+2

Найдите все значения a , при каждом из которых наименьшее значение функции f(x)=2ax+|x^2-8x+7| больше 1.

При каких а уравнение |x^2-4x-5|-3a=|x-a|-1 имеет ровно три корня.

Найдите все значения а, при каждом из которых система не имеет решений

Найти все значения параметра [b]а[/b], для каждого из которых корень уравнения [b]10x-15x = 13-5ax+2a[/b] больше 2

Найдите все значение [b]а[/b], при каждом из которых уравнение

имеет два корня, расстояние между которыми больше 3

Пусть х1 и х2 — нули функции y=2x^2-(3a-1)*x+a-4. Найти все значения a, если 1ϵ[x1; x2], где х1

при каких a уравнение (|4*x|-x-3-a)/(x2-x-a)=0 имеет два различных корня

Найдите все значения [b]а[/b] при которых уравнение

имеет два различных корня.

При каких значениях параметра а уравнение (x^(2)-6x-a)/(2x^(2)-ax-a^(2)) =0 имеет ровно два различных решения.

Найдите все параметры А при котором уравнение:

имеет два различных корня.

Найдите все значения параметра a, при которых наименьшее значение функции
f(x)=ax−2a−1+|x^2−x−2|
меньше -2

Найдите все значения параметра k при каждом из которых уравнение (2(k+1)cost-k)/(sint+cost) = 2 имеет хотя бы одно решение на отрезке [Pi/2; Pi]

[block](ax-x^2) + (1)/(ax-x^2) + 2 = 0[/block]

a? 2 различных корня на (-2; 2]

Найдите все значения a, при каждом из которых система

имеет два или три корня.

Найдите все значения а, при которых уравнение

имеет два различных корня

найдите все значения а , при которых уравнение (x^2-x-a)^2=2x^4+2(x+a)^2 имеет единственное решение на отрезке (-1;1)

найти все значения параметра а при каждом из которых уравнение 25^x — 5a(a+1)*5^(x-1) + a^3 = 0 имеет единственное решение

Найдите все положительные значения параметра, при каждом из которых система
(x-4)^2+(|y|-4)^2=9
x^2+(y-4)^2=a^2 имеет ровно два решения

Найти все значения параметра а, при которых x1 и x2 являются корнями квадратного уравнения х^2-(4а-3)х+3а^2-5а+2=0 и 4×1+5×2 = 29 .

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений

имеет ровно восемь решений.

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнений имеет от одного до пяти решений

Найдите все значения a при которых существует хотя бы одно общее решение неравенств: [b]x^(2)+4ax+3a^(2) > 1+2a[/b] и [b]x^(2)+2ax ≤ 3a^(2)-8a+4 [/b]

Найдите все значения a, при каждом из которых система уравнение

имеет ровно три различных решения.

Найти все значения параметра а, при которых уравнение sqrt(2xy+a) = x+y+5 не имеет решений.

Найдите все значения а, при которых уравнение sin^(14)x+(a-3sinx)^7+sin^2x+a=3sinx имеет хотя бы одно решение.

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет более двух решений.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение |x-a^2+4a-2|+|x-a^2+2a+3|=2a-5 имеет хотя бы один корень на отрезке [5; 23].

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет более одного решения.

Найдите все значения а, при каждом из которых система

🎦 Видео