Преобразования уравнений позволяют решать уравнения путем последовательных переходов к более простым уравнениям. Неаккуратное проведение преобразований может приводить к потере корней решаемого уравнения. В этой статье мы подробно разберем, из-за чего могут теряться корни и как этого не допустить.
- Из-за чего могут быть потеряны корни уравнения? Список причин
- Как избежать потери корней?
- Посторонние и потерянные корни. статья по алгебре (9, 10, 11 класс)
- Скачать:
- Предварительный просмотр:
- По теме: методические разработки, презентации и конспекты
- math4school.ru
- Ошибки в уравнениях
- Потеря корней
- Посторонние корни
- Ошибки, связанные с заменой переменной
- Ошибки, связанные с использованием модуля
- Подбор корней без обоснования
- Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
- Ошибки в тригонометрических уравнениях
- 📺 Видео
Видео:Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать
Из-за чего могут быть потеряны корни уравнения? Список причин
Существуют три основные причины потери корней:
- сужение ОДЗ при замене выражения тождественно равным ему выражением,
- замена выражения не тождественно равным ему выражением,
- некорректное освобождение от внешней функции.
Точнее, главная причина одна – некорректное проведение преобразований при решении уравнений. Просто ее удобно рассматривать с трех обозначенных выше позиций.
Рассмотрим уравнение 
. Замена выражения в левой части уравнения тождественно равным ему выражением 
приводит к уравнению 
, которое имеет единственный корень x=9 . При таком переходе теряется корень x=−9 . Действительно, x=−9 является корнем исходного уравнения ( 
— верное), но не является корнем уравнения ( 
— не имеет смысла). Потеря корня происходит из-за сужения ОДЗ: для исходного уравнения ОДЗ есть множество всех действительных чисел, а для полученного – множество всех неотрицательных чисел.
Для пояснения второй названной нами причины потери корней обратимся к уравнению 
. Здесь нельзя заменить выражение x+3 выражением 
с целью дальнейшего упрощения вида уравнения до 
. Дело в том, что выражения x+3 и не являются тождественно равными, ведь их значения не совпадают при x+3 . Результатом замены выражения не тождественно равным ему выражением в нашем случае является потеря корня 
.
Наконец, приведем пример потери корней уравнения при некорректном освобождении от внешней функции. Рассмотрим уравнение |x+3|=|2·x−6| . Если здесь освободиться от внешней функции, которой выступает функция y=|t| , и перейти к уравнению x+3=2·x−6 , то в результате этого перехода потеряется корень x=1 . Что мы здесь сделали не так? Освободились от внешней функции, от которой нельзя было так освобождаться. Действительно, опустить внешнюю функцию при решении уравнений можно только тогда, когда она каждое свое значение принимает только по одному разу. А функция y=|t| каждое свое значение, кроме y=0 , принимает по два раза. Например, y=4 при t=−4 и при t=4 .
Видео:АЛГЕБРА 7 класс : Уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
Как избежать потери корней?
Избежать потери корней при решении уравнений через преобразования позволяют следующие рекомендации:
- не допускать сужения ОДЗ при замене выражений тождественно равными выражениями,
- следить за тождественностью,
- следить за выполнением условий, при которых возможно проведение преобразований.
Давайте еще раз посмотрим на примеры уравнений из предыдущего пункта, чтобы исправить сделанные там ошибки.
В уравнении выражение 
следует заменять не выражением , а выражением 
. При последней замене не происходит сужения ОДЗ.
Решение уравнения можно провести без преобразования левой части. Его можно сразу решать, например, методом возведения обеих частей в квадрат.
А уравнение |x+3|=|2·x−6| лучше решать стандартным методом решения уравнений с модулем.
Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать
Посторонние и потерянные корни.
статья по алгебре (9, 10, 11 класс)
Комплекс уравнений, при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.
Видео:Я теряю корни ★ 99 ошиблись ★ Решите уравнение ★ x^x=(1/2)^(1/2)Скачать
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| postoronnie_i_poteryannye_korni.doc | 194.5 КБ |
Видео:Решение уравнений, 6 классСкачать
Предварительный просмотр:
Посторонние и потерянные корни.
при решении которых выполняются тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере.
Рассмотрим несколько конкретных примеров, где некоторые преобразования уравнений приводят к новым уравнениям, неравносильным данному, что ведёт к появлению посторонних корней или их потере.
Дано уравнение 3х(х – 1) = 5(х – 1).
1 способ решения:
Раскроем скобки в данном уравнении, перенесём все члены в левую часть и решим квадратное уравнение.
Корни уравнения х = 1, х = .
2 способ решения:
Сократить обе части уравнения на общий множитель (х – 1), то получится уравнение
3х = 5, которое имеет всего лишь один корень х = .
Таким образом, деление обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, может привести к потере корней.
Дано уравнение 2х -3 = 5 .
Данное уравнение имеет единственный корень х = 4.
Возведём обе части этого уравнения в квадрат, получим (2х – 3)² = 25.
Решая это уравнение, найдём корни: х = -1, х = 4.
Новое уравнение(2х – 3)² = 25 неравносильно исходному уравнению 2х – 3= 5.
Корень х = -1 не является корнем исходного уравнения, следовательно, является посторонним корнем.
Посторонний корень может появиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат, вообще в чётную степень .
Сократим дробь, стоящую в левой части уравнения на х и получим уравнение
Решим данное уравнение: х = 0 или х – 1= 0
т.е. корни данного уравнения 0 и 1.
Корнем исходного уравнения 0 не является, так как в исходном уравнении придётся делить на ноль, а так как на 0 делить нельзя, то х = 0 — посторонний корень.
Посторонний корень может появиться при сокращении дроби на выражение, содержащее неизвестное.
Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень)
х = 5 – посторонний корень
Так как уравнение f²(х) = g²(х) является уравнением — следствием не только для уравнения
f(х) = g(х), но и для уравнения f(х) = — g(х). Поэтому при возведении в квадрат корни не теряются, но посторонние корни появиться могут. Уравнения не равносильны, но они равносильны на области определения: х 2.
Уравнение исходное можно заменить на равносильную систему
При решении иррациональных уравнений надо делать проверку подстановкой корней в исходное уравнение или использовать ОDЗ в зависимости от того, где вычисления выполняются легче.
Возведём обе части уравнения в квадрат.
2х – 1 — х² + 4х – 4 = 0
1 = — 1 – неверное 3 = 3 – верное
х = 1 – посторонний корень х = 5 – корень
Возведём обе части уравнения в квадрат (возведение в чётную степень).
х = х = 
Проверка подстановкой в данном случае будет сопровождаться значительными трудностями при вычислении, поэтому прибегнем к использованию ОDЗ:
Из уравнения = — х — х 0
Подставим в данное неравенство полученные корни.
1) х = Имеем: — · 0 – неверное, т.к. произведение положительного и отрицательного числа отрицательно. Значит, х = — посторонний корень.
2) х = . Имеем: — · 0 – верное, т.к. произведение двух отрицательных чисел положительно. Значит, х = — корень уравнения.
Ответ: .
Посторонние корни могут появиться также при умножении обеих частей уравнения на множитель, содержащий неизвестное, если этот множитель при действительных значениях х обращается в нуль.
+ 
= |• (х-1).(х-2) 0
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, не равный нулю.
1 + 3х – 6 = — х ² + 4х -3
Проверку в дробно – рациональных уравнениях делаем по условию неравенства нулю знаменателя, проверяем условие (х-1).(х-2) 0
(-1 – 1)(-1 – 2) 0 (2 -1 )(2 – 2) 0
6 0- верное 0 0 – неверное
х — корень уравнения х — посторонний корень
Причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения. Вот некоторые из них:
• log (х·у) = log х + log у
В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней.
log 
(х – 2) + log (х+3) = 2
По свойству логарифмов имеем:
log (х – 2)(х + 3) = 2
х =6 и х =-7 х = -7 – посторонний корень
Исходное и последнее уравнения неравносильны в ОDЗ
Чтобы исключить посторонний корень надо использовать ОDЗ или уравнение заменить равносильной системой
3sinx + 4 cos x = 5
х = 2arctg + 2 , n
При переходе от уравнения (1) к уравнению(2) могла произойти потеря корней, значит необходимо проверить, являются ли корни уравнения cos =0 корнями данного уравнения.
Если х = , n ,тогда 3sin( ) + 4cos ( ) = 5, х
0 + 4(-1) = 5 – не верно, значит х = , n , не является корнями исходного уравнения.
Ответ: х = 2arctg + 2 , n
Итак, в процессе решения каждое уравнение заменялось на какое-то новое, а у нового уравнения естественно могут быть свои корни. Проследить за изменением корней, не допустить их потери и отбросить лишние корни – это и есть задача правильного решения уравнений.
Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Выход из одиночества…Урок внеклассного чтения в 10 классе. (Экзистенциальное восприятие мира в повести А. Камю «Посторонний»)
«Посторонний» – яркий пример экзистенциализма, основным критерием которого является п.
Типичные ошибки в решении задания С1(потеря корней, появление «посторонних» корней)
В презентации для подготовки к ЕГЭ по математике представлены решения двух заданий (тригонометрических уравнений), где подробно рассмотрены возможности появления посторонних корней и потери корн.
Самостоятельная работа на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Вашему вниманию предлагаю самостоятельную работу на тему «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их.
ПРАВИЛА пребывания на территории школы посторонних лиц
Летний оздоровительный лагерь «Зеленая планета», июнь 2017г.
Конспект мероприятия «Конкурс рисунков на асфальте «Добро пожаловать. Или посторонним вход воспрещён», посвящённого Дню солидарности в борьбе с терроризмом.
Занятие рекомендуется проводить с детьми младшего школьного возраста.Занятие проводится в форме доверительной беседы взрослого и детей. При этом взрослый должен не напугать детей, не научить их видеть.
Самостоятельная работа «Комплекс уравнений, при решении которых выполняется тождественные преобразования, приводящие к появлению посторонних корней или их потере, с анализом процесса решения»
Работа в помощь слушателям курсов преподавания алгебры.
Статья «Координаты счастья героев А.Камю (по повести «Посторонний»)»
Что есть счастье? «Чувство и состояние полного, высшего удовлетворения», как диктуется в толковом словаре. Чаще всего оно заметно по сверкающим глазам и искренней улыбке. Но возможно ли сч.
Видео:Отбор корней по окружностиСкачать
math4school.ru
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Ошибки в уравнениях
При выполнении контрольных, тестовых и экзаменационных работ по математике учащиеся решают самые разнообразные уравнения, отличающиеся по тематике и по сложности. Разобрать все ошибки, которые при этом допускаются, не представляется возможным. Ниже предлагаются примеры лишь наиболее распространенных ошибок и анализ ситуаций, в которых эти ошибки допускаются.
Потеря корней
При решении уравнений из-за выполнения нетождественных преобразований может произойти либо потеря корней , либо появление посторонних корней .
При выполнении нетождественных преобразований в процессе решения уравнения может произойти сужение области допустимых значений неизвестного , а значит, корни могут оказаться потерянными.
K Упражнение. Решить уравнение lg (x – 10) 2 + lg x 2 = 2lg 24 .
L Неправильное решение.
2lg (x – 10) + 2lg x = 2lg 24,
Произвели проверку и убедились, что все корни удовлетворяют данному уравнению.
Комментарий . Из-за неправильного применения формул произошло сужение области допустимых значений неизвестного.
J Правильное решение.
Ответ: –2; 4; 6 и 12.
При делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное , могут быть потеряны корни, которые обращают эти выражения в ноль.
K Упражнение 1. Решить уравнение 3 х ( х 2 – 2 х – 3) = 9 ( х 2 – 2 х – 3) .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на квадратный трехчлен, записанный в скобках, и получим:
J Правильное решение.
Перенесем правую часть исходного уравнения влево и вынесем общий множитель за скобки:
K Упражнение 2. Решить уравнение lg 2 x – lg x = 0 .
L Неправильное решение.
Разделим обе части уравнения на lg x и получим:
J Правильное решение.
Необходимо помнить, что обычно легче исключить посторонний корень, чем найти потерянный.
Посторонние корни
При решении уравнений существуют два диаметрально противоположных мнения относительно полученного результата. Одни считают, что проверка должна производиться всегда, другие считают ее необязательной. На самом деле проверка полученных корней в одних случаях является обязательной и является частью решения уравнения, а в других случаях в проверке необходимости нет.
Проверка полученного решения уравнения обычно делается с целью исключения посторонних корней, которые чаще всего появляются в результате нетождественных преобразований, приводящих к расширению области допустимых значений переменного. Рассмотрим далее некоторые случаи появления посторонних корней.
Это может случиться при умножении обеих частей дробного уравнения на выражение, содержащее неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
| 5 – x | – | 5 + 3х | = 0 . |
| x – 1 | x 2 – 1 |
L Неправильное решение.
Умножим все члены уравнения на х 2 – 1 и получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 1, в чем можно убедиться с помощью проверки .
J Правильный ответ: х = 0.
Появление посторонних корней может быть вызвано сокращением дроби на множитель, содержащий неизвестную величину .
K Упражнение. Решить уравнение
| х 2 – 81 |
| 2 | + х 2 – | 2 | – 4х = 0 . |
| 3х 2 | 3х 2 |
L Неправильное решение.
После приведения подобных слагаемых получим:
Комментарий . Был приобретен посторонний корень х = 0 .
J Правильный ответ: 4 .
Заметим, что аналогичная ситуация может сложиться и для слагаемых, содержащих переменную под знаком корня или под знаком логарифма.
Очень часто посторонние корни появляются при возведении в четную степень обеих частей уравнения . Рассмотрим следующее иррациональное уравнение и на его примере – процесс появления посторонних корней.
K Упражнение. Решить уравнение √ х + 3 + √ 7 – х = 2 .
L Неправильное решение.
И число –2 , и число 6 содержатся в области допустимых значений переменной х , значит, являются решениями исходного уравнения.
Комментарий . Оба корня посторонние и были приобретены в процессе решения. Как же это произошло? Дело вот в чем. В процессе решения с помощью возведения в квадрат и элементарных преобразований мы перешли от уравнения
Последнему уравнению число –2 удовлетворяет, после подстановки получаем верное равенство 1 = 1 . Предыдущее же уравнение при подстановке –2 дает ложное равенство 1 = –1 , которое стало верным именно в результате возведения в квадрат, ведь 1 2 = (–1) 2 . Число –2 является корнем второго уравнения, для первого – посторонний корень. А вот число 6 не является корнем ни одного из них.
Шестерка выходит на арену при переходе от уравнения
которое уже имеет один корень –2 , к уравнению
Теперь возведение в квадрат превращает ложное равенство 2 = –2 в истинное равенство 4 = 4 , которые соответствуют этим уравнениям для случая х = 6 . Для последнего уравнения 6 – истинный корень, а для предпоследнего – ложный. И вот, путем преобразований мы получаем уравнение
для которого числа –2 и 6 — самые настоящие корни, а для исходного — посторонние. Два раза мы применяли возведение в квадрат и каждый раз приобретали посторонний корень, каждый из которых благополучно преодолел фильтр ОДЗ. В данном случае проверка обязательна.
J Правильный ответ: решений нет.
Необходимо помнить, что если область допустимых значений неизвестного найдена и при решении уравнения получены корни, принадлежащие ей, то проверка корней не нужна, только если при этом в процессе решения все преобразования были тождественными.
Если при решении уравнения используется тот факт, что произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю , прежде чем писать ответ, необходимо убедиться, что все найденные корни удовлетворяют условию.
K Упражнение. Решить уравнение ( x – 5) (х + 2) √ х – 3 = 0 .
L Неправильное решение.
Перейдем от данного уравнения у совокупности уравнений:
Комментарий . Число –2 обращает подкоренное выражение х – 3 в отрицательное число, а значит не может быть корнем уравнения.
J Правильный ответ: 5 и 3 .
Часто причиной изменения множества корней уравнения во время его преобразования является применение равенств, правая и левая части которых имеют разные области определения . Таких равенств много, вот некоторые из них:
| x = | x · y |
| y |
| tg ( x + y ) = | tg x + tg y |
| 1 – tg x · tg y |
| sin 2 x = | 2 tg x |
| 1 + tg 2 x |
В каждом из этих равенств область определения выражения, стоящего в правой части, является подмножеством области выражения, стоящего в левой части. Поэтому использование этих равенств слева направо может привести к потере корней, а справа налево – к появлению посторонних корней .
L Неправильное решение.
так как х ≥ 3 , то |х – 1| = х – 1 и
Комментарий . Применение формулы √ х · y = √ х · √ y привело к потере корня x = 1 . И вот почему. Исходное уравнение имеет область допустимых значений ∪[3; +∞) , а вот уже ОДЗ уравнения (left| x-1right|cdot sqrt=x-1) – только [3; +∞) , что и привело к потере 1 .
Можем порекомендовать возвести обе части исходного уравнения в квадрат. Это может привести к появлению посторонних корней, избавиться от которых проверкой, как правило, проще, чем заниматься поисками потерянных корней.
J Правильное решение.
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)=left(x-1 right)^2;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-3 right)-left(x-1 right)^2=0;)
(left(x-1 right)^2cdot left(x-4 right)=0;)
Проверкой убеждаемся, что оба корня действительные.
Ошибки, связанные с заменой переменной
При решении некоторых уравнений достаточно удачным является метод замены переменной . Но применение этого метода учащиеся осуществляют не всегда правильно.
Так необходимо помнить, что при наличии нескольких степеней заменять новой переменной надо ту, у которой показатель наименьший .
K Упражнение. Решить уравнение (5 left(x-3 right)^-6=left(x-3 right)^.)
L Неправильное решение.
Сделав замену ( left(x-3 right)^=t), считают, что ( left(x-3 right)^=t^2) и уравнение переписывают в виде 5t 2 – t – 6 = 0 , после чего, конечно, верный результат уже не получить.
J Правильное решение.
Верный результат можно получить, сделав замену ( left(x-3 right)^=t), тогда ( left(x-3 right)^=t^2) с продолжением:
Правильно сделав замену и верно найдя значение вспомогательной переменной, учащиеся часто допускают ошибку, используя не то равенство, которым вспомогательная переменная вводилась .
K Упражнение. Решить уравнение х + 4 √ x – 5 = 0 .
L Неправильное решение.
Комментарий . После нахождения значений вспомогательной переменной t для нахождения х следовало использовать подстановку √ x = t , а не x = t 2 .
J Правильное решение.
При решении иррациональных уравнений учащиеся чаще всего применяют метод возведения в соответствующую степень. В результате этого решения иррациональных уравнений получаются громоздкими и не всегда доводятся до конца .
K Упражнение. Решить уравнение (x^2-4x-sqrt=6.)
L Неправильное (нерациональное) решение.
Чаще всего данное уравнение начинают решать так:
Нередко продолжения решения не следует, так как с полученным уравнением четвертой степени справится не каждый.
Комментарий . В качестве альтернативы можно предложить способ введения новой переменной.
J Правильное решение.
и исходное уравнение принимает вид:
А дальше все просто:
Комментарий . Числа –2 и 6 не подвергались проверке осознанно. В данном случае после возведения в квадрат не могли появиться посторонние корни, так как и квадратный корень, и подкоренное выражение после возведения в квадрат заведомо равны положительным числам.
Ошибки, связанные с использованием модуля
При решении уравнений, в тех случаях, когда необходимо использовать понятия модуля и арифметического корня , допускаются серьезные ошибки, связанные либо с незнанием, либо с непониманием этих понятий.
K Упражнение 1. Решить уравнение (sqrt=9.)
L Неправильное решение.
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение (sqrt=x+3.)
L Неправильное решение.
Ответ: корнем данного уравнения является любое действительное число.
J Правильное решение.
Учитывая, что решение уравнений, содержащих модуль, часто вызывает затруднения, приведем полное и развернутое решение одного из таких уравнений.
K Упражнение. Решить уравнение |x – 3| + |x –4| = 1 .
J Правильное решение.
Находим нули модулей, для |х – 3| это 3 , для |x – 4| это 4 , и разбиваем ими область допустимых значений неизвестного на числовые промежутки:
На каждом из этих промежутков исходное уравнение принимает свой вид.
1) при х ∈ (–∞; 3) исходное уравнение принимает вид:
так как 3 ∉ (–∞; 3 ) , то на этом промежутке решений нет;
2) при х ∈ [3; 4) исходное уравнение принимает вид:
что является истинным тождеством; значит, каждое число рассматриваемого промежутка [3; 4) является решением уравнения;
3) при х ∈ [4; +∞) исходное уравнение принимает вид:
так как 4 ∈ [4; +∞) , то 4 – корень уравнения.
Так как [3; 4)∪ = [3; 4] , то корнями исходного уравнения являются все числа числового промежутка [3; 4] .
Подбор корней без обоснования
К ошибочным решениям можно отнести и верный подбор корня заданного уравнения, иногда просто угадывание, без доказательства его единственности .
K Упражнение. Решить уравнение х (х + 1) (х + 2) (х + 3) = 24 .
L Неправильное решение.
Подбором находят корень х = 1 из разложения 24 = 1 · 2 · 3 · 4.
Комментарий . Был подобран корень х = 1 , но не обнаружен еще один корень х = –4 , который соответствует разложению 24 = –4 · (–3) · (–2) · (–1) . Но даже если и второй корень успешно подобран, но не обосновано отсутствие других корней, то считать такое решение уравнения правильным нельзя.
J Правильное решение.
введем новую переменную x 2 + 3х + 1 = t , тогда
1) x 2 + 3х + 1 = –5, x 2 + 3х + 6 = 0, решений нет;
Наиболее распространенным методом доказательства единственности корня нестандартного уравнения является использование свойства монотонности входящих в уравнение функций . Часто при этом используется производная.
K Упражнение. Решить уравнение x 11 + 5х – 6 = 0 .
L Неправильное решение.
Методом подбора находим корень уравнения х = 1 .
Комментарий . Не приведено обоснование единственности подобранного корня уравнения.
J Правильное решение.
Корень х = 1 легко угадывается, а производная левой части равна 11x 10 + 5 и положительна на всей числовой оси. Отсюда следует монотонность функции у = x 11 + 5х – 6 , что и доказывает единственность подобранного корня.
Ошибки в логарифмических и показательных уравнениях
Для решения логарифмических и показательных уравнений используются специальные приемы, основанные на свойствах логарифмов и степеней. Рассмотрим связанные с применением этих приемов ошибки.
При решении уравнений, которые можно свести к равенству степеней с одинаковыми основаниями или с одинаковыми показателями , не всегда делаются правильные выводы.
K Упражнение 1. Решить уравнение (log7 x) 1 /3 = 1 .
L Неправильное решение.
Так как при одинаковых основаниях показатели не равны, то равенство степеней невозможно, а, значит, корней нет.
Ответ: корней нет.
J Правильное решение.
Возведем в куб обе части уравнения, тогда
K Упражнение 2. Решить уравнение (х + 5) х 2 + х – 2 = 1 .
L Неправильное решение.
Комментарий . Потерян корень х = –4 . Избежать этого можно было и при данном способе решения уравнения, если учесть, что степень равна 1 не только в случае нулевого показателя, но и в случае основания равного 1 при произвольном показателе. И тогда в дополнение к приведенному решению имеем:
J Правильное решение.
Прологарифмируем обе части уравнения по некоторому основанию, например 10, при условии х > 5 , тогда
Необходимо помнить, что:
из равенства степеней, основания которых равны единице, не следует обязательное равенство показателей этих степеней;
степенно–показательное уравнение предпочтительно решать путем логарифмирования.
При решении логарифмических уравнений часто приходится применять свойства логарифмов с одинаковыми основаниями . При применении этих свойств учащиеся часто допускают ошибки.
L Неправильное решение.
Комментарий . В решении допущены две серьезные ошибки: во-первых, произведение логарифмов двух чисел заменено логарифмом произведения этих чисел; во-вторых, при решении уравнения 3х 2 = 81x потерян корень х = 0 (этот корень, конечно, не является корнем исходного уравнения, что не оправдывает его потерю).
J Правильное решение.
K Упражнение 2. Решить уравнение lg x 2 = 4 .
L Неправильное решение.
J Правильное решение 1.
2lg |x| = 4; lg | x| = 2; |x| = 100; x = ±100.
J Правильное решение 2.
lg x 2 = lg 10000; x 2 = 10000; x = ±100.
Большие затруднения у многих учащихся возникают при выполнении действий над логарифмами с разными основаниями , так как учащиеся либо не умеют пользоваться соответствующими формулами, либо не знают их.
Следует помнить, что переход к логарифму с другим основанием может привести как к приобретению посторонних корней, так и к потере корней .
K Упражнение 1. Решить уравнение (left(log_5 +2 right)<log _>^2 ;x=0.)
L Неправильное решение.
(left(1 +2 log _xright)log _x=0;)
Комментарий . Преобразование логарифма с основание х в логарифм с основанием 5 привело к появлению постороннего корня, так как произошло расширение ОДЗ.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение следует дополнить указанием области допустимых значений неизвестного в исходном уравнении. Это объединение числовых промежутков (0; 1)∪(1; +∞) . И указанием того факта, что 1 ∉ (0; 1)∪(1; +∞) , а, значит, не является корнем.
K Упражнение 2. Решить уравнение (20log_sqrt+ 7log_x^3-3log _x^2=0.)
L Неправильное решение.
Комментарий . В приведенном решении потерян корень, и вот почему. Был выполнен переход к логарифму с основанием х . Это вызвало изменения в ОДЗ неизвестного. Одно из таких изменений – это х ≠ 1 . Поэтому число 1 , как возможный корень исходного уравнения, следует рассмотреть отдельно.
J Правильное решение.
Приведенное выше решение нужно дополнить лишь проверкой того, не является ли 1 корнем уравнения. Подставляем 1 в исходное уравнение и убеждаемся, что 1 – корень.
Ошибки в тригонометрических уравнениях
Выделение в отдельный подраздел тригонометрических уравнений связано стем, что при их решении применяются не только алгебраические методы. Рассмотрим наиболее типичные ошибки, которые допускают учащиеся при решении тригонометрических уравнений.
Часто можно встретить неправильную запись решения тригонометрического уравнения или лишь частное решение .
📺 Видео
Как решают уравнения в России и СШАСкачать
Решение уравнений с корнямиСкачать
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Как найти корни уравнения в Excel с помощью Подбора параметраСкачать
Равносильность уравнений. Проверка корней при решении уравнения | Алгебра 11 класс #25 | ИнфоурокСкачать
Линейное уравнение с одной переменной. 6 класс.Скачать
3,5 способа отбора корней в тригонометрии | ЕГЭ по математике | Эйджей из ВебиумаСкачать
Отбор корней с аркфункциями в №12 | Это будет на ЕГЭ 2023 по математикеСкачать
Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Алгебра 8 класс. Уравнения с корнямиСкачать
Как решать уравнения? уравнение 7 класс. Линейное уравнениеСкачать
