Данный способ заключается в возведении обеих частей уравнения в квадрат. Это можно сделать, если правая и левая части находятся под знаком модуля. Так как модуль всегда не отрицательное число, то в обеих частях уравнения имеем не отрицательное число, что и позволяет произвести возведение в квадрат.
Пример: решить уравнение
Обе части уравнения не отрицательные числа, то возведем в квадрат обе части уравнения. Получим
Перенесем все в левую часть
Воспользуемся формулой разность квадратов
Найдем корни x=0, x=-6, это и будет ответ.
Видео:Понятие модуля | Возведение уравнения в квадратСкачать
Графический способ решения уравнений с модулем
Графический способ решения заключается в построении графиков функций, входящий в уравнение. Корнями уравнения будут точки пересечения графиков.
Пример: решить уравнение графическим способом.
Вначале выделим из уравнения функции, графики которых необходимо построить. Это будут две функции содержащие модули.
1) Для того чтобы построить график первой функции необходимо построить график функции y= а затем все что находится ниже оси Ox симметрично относительно оси Ox отобразить выше этой оси.
Получим такой график.
2) График функции будет представлять график функции , сдвинутый на a и перевернутый из-за минуса. Таких графиков можно построить много, но нам нужны только те, которые пересекутся с графиком первой функции. Поэтому построим несколько из возможных и посмотрим которые нам подойдут.
Из рисунка видно, что у нас получилось только две точки пересечения. Это при a=0 x=0 и при a=1 x=1. При остальных значениях a уравнение не имеет решений.
Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать
Уравнения с модулем
Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.
Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.
Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.
Прежде всего вспомним, что
Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)
Видео:Контрольная работа. Уравнения с МОДУЛЕМСкачать
Слева модуль, справа число
Это самый простой случай. Решим уравнение
Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:
Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.
Видео:Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравненииСкачать
Переменная как под модулем, так и вне модуля
Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!
Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:
Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.
Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:
Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:
Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения
Стало быть, годятся лишь и .
Ответ:
Видео:✓ Как возводить в иррациональную степень | Ботай со мной #017 | Борис ТрушинСкачать
Квадратные уравнения с заменой |x| = t
Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:
Видео:2.4 Решение уравнений с модулем вида |f(x)|=|g(x)|Скачать
Модуль равен модулю
Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:
Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:
Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.
Видео:МОДУЛЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать
Два или несколько модулей
Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.
Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)
Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.
Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:
Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.
Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:
Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.
Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.
Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:
Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.
Видео:Уравнение с модулемСкачать
Модуль в модуле
Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.
1) x ≤ 3. Получаем:
Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.
1.1) Получаем в этом случае:
Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.
1.2) . Тогда:
Это значение x также не годится.
Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.
Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:
Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.
Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.
Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.
Видео:Уравнение с корнем и модулем.Скачать
Алгебра
Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ
Подготовка к дипломной, повышение уникальности
Помощь студентам в решении контрольных и курсовых работ
Консультация, сбор материала, повышение уникальности
Помощь в подготовке дипломной. Сопровождение до защиты!
План урока:
Видео:СУПЕР ЛАЙФХАК — Как решать Иррациональные УравненияСкачать
Модуль числа
Напомним, что такое модуль числа. Так называют значение числа, взятое без учета его знака. То есть модуль чисел 9 и (– 9) одинаков и равен 9. Для обозначения модуля применяют специальные прямоугольные скобки:
|2,536| = |– 2,536| = 2,536
Грубо говоря, операция нахождения модуля сводится к отбрасыванию у числа знака «минус», если он у него есть. Вообще, если число х неотрицательно, то его модуль |х| = х. Если же число отрицательно, то его модуль имеет противоположное значение: |х| = х. Математически это можно записать так:
Именно такое определение обычно и применяется в математике.
Модуль играет важную роль в математике. Дело в том, с его помощью удобно записывать расстояние между двумя точками на координатной прямой. Пусть на ней отмечены точки a и b. Расстояние между ними равно |a – b|, причем неважно, какое из этих чисел больше, а какое меньше:
Также модуль возникает при извлечении квадратного корня из четной степени числа:
В частности, если n = 1, получим формулу:
Для того чтобы получить график функции у = |x|, сначала надо построить график функции без учета знака модуля:
Далее следует выполнить преобразование. Те точки графика, которые располагаются выше оси Ох, остаются на своем месте. В данном случае это та часть графика, которая находится в I четверти. Те же точки, которые располагаются ниже оси Ох, должны быть симметрично (относительно этой самой оси Ох) отображены. В результате они окажутся выше оси Ох:
В результате получилась «галочка».
Пример. Постройте график ф-ции у = |х 2 – 4х + 3|
Решение. Для построения графика функции, содержащей модуль, сначала надо построить график для «подмодульного» выражения. Поэтому построим график у = х 2 – 4х + 3. Это квадратичная ф-ция, ее график – это парабола:
Часть графика, в промежутке от 1 до 3, находится ниже оси Ох. Чтобы построить ф-цию у = |х 2 – 4х + 3|, надо перевернуть эту часть графика:
Видео:Возведение иррационального уравнения в квадратСкачать
Решение уравнений с модулем
Изучим простейший случай уравнения, содержащего модуль, когда вся его слева записано выр-ние в модульных скобках, а справа находится число. То есть уравнение имеет вид
где b – какое-то число, а у(х) – произвольная ф-ция.
Если b 10 + 97x 4 – 12,56х 3 + 52х 2 + 1001х – 1234| = – 15
Решение: Справа стоит отрицательное число. Однако модуль не может быть меньше нуля. Это значит, что у ур-ния отсутствуют корни.
Ответ: корни отсутствуют.
Если b = 0, то мы получим какое-то произвольное ур-ние у(х) = 0, у которого могут быть корни. Проще говоря, модульные скобки в таком случае можно просто убрать.
Пример. Решите ур-ние
Ясно, что подмодульное выр-ние равно нулю:
Наиболее интересен случай, когда b> 0, то есть в правой части стоит положительное число. Ясно, что тогда под модулем находится либо само это число b, либо противоположное ему число – b:
То есть мы получаем два различных ур-ния: у(х) = bи у(х) = – b.
Пример. Решите ур-ние
Решение. В правой части – положительное число, поэтому либо х = – 10, либо х = 10.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Исходное ур-ние разбивается на два других ур-ния:
10х + 5 = 7 или 10х + 5 = – 7
10х = 2 или 10х = – 12
х = 0,2 или х = – 1,2
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Снова заменим исходное равенство на два других:
x 2 – 2х – 4 = 4 или x 2 – 2х – 4 = – 4
Имеем два квадратных ур-ния. Решим каждое из них:
D = b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 8) = 4 + 32 = 36
Нашли корни (– 2) и 4. Решаем второе ур-ние:
х = 0 или х – 2 = 0
Получили ещё два корня: 0 и 2.
Встречаются случаи, когда в уравнении, содержащем знак модуля, под ним находятся обе части равенства:
Здесь возможны два варианта. Либо подмодульные выр-ния равны друг другу (у(х) = g(x)), либо у них противоположные значения (у(х) = – g(x)). То есть снова надо решить два ур-ния.
Пример. Решите ур-ние
|x 2 + 2x– 1| = |х + 1|
Решение. Выр-ния справа и слева (без знака модуля) либо равны, либо противоположны. Можно составить два ур-ния:
x 2 + 2x– 1 = х + 1 или x 2 + 2x– 1 = – (х + 1)
х 2 + х – 2 = 0 или х 2 + 3х = 0
Решим 1-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 2) = 1 + 8 = 9
Теперь переходим ко 2-омуур-нию:
х = 0 или х + 3 = 0
Всего удалось найти 4 корня: (– 1), (– 2), 2 и 0.
Возможен случай, когда в левой части равенства находится модуль выр-ния, а в правой – обычное выражение, без модуля. Такое ур-ние имеет вид |у(х)| = g(x). Здесь также возможны два варианта: у(х) = g(x) или у(х) = – g(x). Однако следует учитывать ещё один факт. Модуль не может быть отрицательным, а потому должно выполняться нер-во g(x)⩾ 0. Но это неравенство не надо решать. Достаточно просто подставить в него все полученные корни и проверить, справедливо ли нер-во.
Пример. Найдите решение уравнения, содержащего модуль:
|х 2 + 3,5х – 20| = 4,5х
Решение. Рассмотрим два отдельных равенства:
х 2 + 3,5х – 20 = 4,5х илих 2 + 3,5х – 20 = – 4,5х
х 2 – х – 20 = 0 или х 2 + 8х – 20 = 0
Решим каждое из полученных квадратных ур-ний.
D = b 2 – 4ас = 1 2 – 4•1•(– 20) = 1 + 80 = 81
D = b 2 – 4ас = 8 2 – 4•1•(– 20) = 64 + 80 = 144
Итак, получили 4 корня: (– 4), 5, (– 10) и 2. Однако правая часть исходного ур-ния, 4,5x, не может быть отрицательной, ведь модуль числа – это всегда неотрицательная величина:
Для х = – 4 и х = – 10 это условие не выполняется, поэтому эти корни должны быть исключены.
Мы рассмотрели три случая, когда ур-ние имеет вид:
Однако порою ур-ние не удается свести ни к одному из этих видов. Тогда для решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, следует рассматривать их на отдельных интервалах, где подмодульные выр-ния не изменяют свой знак.
Пример. Найдите корни ур-ния
Решение. Выр-ния х + 1 и х – 4 меняют знак при переходе через точки (– 1) и 4:
Если отметить обе точки на прямой, то они образуют на ней 3 интервала:
Исследуем ур-ние на каждом из полученных промежутков.
Так как при х 2 + bx + c = 0
Параметры встречаются не только при описании ур-ний, но и, например, при рассмотрении функций. Так, линейная функция задается формулой у = kx + b. Здесь числа k и b являются параметрами. Так как ур-ние у = kx + b задает на плоскости прямую линию, то величины k и b порою называют параметрами уравнения прямой.
Если при решении обычного ур-ния мы определяем значение его корней в виде конкретных чисел, то при решении ур-ний с параметром находят формулу, позволяющую при заданном значении параметра вычислить значение корня.
Пример. Решите ур-ние
и найдите его корни при значении параметра а, равном 3.
Решение. Вынесем множитель х за скобки:
х = 0 или х – 2а = 0
Получили, что при любом значении параметра а ур-ние имеет два корня. Один из них равен нулю при любом значении а, а второй вычисляется по формуле х = 2а:
при а = 3х = 2•3 = 6
Ответ: есть два корня – 0 и 2а. При а = 2 корни равны 0 и 6.
Пример. Решите ур-ние
р 2 х – 3рх = р 2 – 9
Решение. Слева вынесем за скобки множитель рх, а выр-ние справа преобразуем, используя формулу разности квадратов:
рх(р – 3) = (р – 3)(р + 3)
Возникает желание поделить обе части рав-ва на р(р – 3), чтобы выразить х. Однако сразу так делать нельзя, ведь если величина р(р – 3) равна нулю, то получится деление на ноль.
Поэтому сначала изучим случаи, когда один из множителей слева равен нулю. Если р = 0, то мы получим рав-во
0•х•(0 – 3) = (0 – 3) (3 – 0)
Это неверное тождество, а потому при р = 0 ур-ние корней не имеет.
Если р – 3 = 0, то есть р = 3, получится следующее
Это равенство верно при любом х. Значит, при р = 3 корнем ур-ния является любое число.
Если же р≠ 0 и р ≠ 3, то произведение р(р – 3) также не равно нулю, а потому обе части равенства можно поделить на р(р – 3). Тогда получим
В этом случае ур-ние имеет единственный корень.
Ответ: при р = 0 корней нет; при р = 3 корнем является любое число; при других рх = (р + 3)/р.
Часто в задаче требуется не выразить корень ур-ния через параметр, а лишь оценить количество корней ур-ния или диапазон их значений.
Пример. Сколько корней имеет ур-ние
при различных значениях параметра b.
Решение. Будем решать ур-ние графическим методом. Для этого сначала построим график у = |х 2 – 6х + 5|. В модульных скобках находится обычная квадратичная функция, чьи ветви смотрят вверх. Найдем нули функции:
D = b 2 – 4ас = (– 6) 2 – 4•1•5 = 36 + 20 = 16
Итак, нули ф-ции – это точки 1 и 5. Найдем координату х0 вершины параболы по формуле:
Подставив х0 в квадратичную ф-цию найдем координату у0 вершины параболы:
3 2 – 6•3 + 5 = 9 – 18 + 5 = – 4
Теперь построим квадратичную ф-цию:
Для построения графика, содержащего модуль функции, надо отобразить точки с отрицательными ординатами (они находятся ниже оси Ох) симметрично относительно оси Ох:
Мы построили график левой части ур-ния. График правой части представляет собой горизонтальную прямую у = b. Можно выделить 5 различных случаев взаимного расположения этих графиков:
При b 4 есть горизонтальная прямая пересекает график лишь в 2 точках, то есть получаем 2 корня.
Ответ: нет корней при b 4; 3 корня при b = 4; 4 корня при 0 4 – (а + 2)х 2 + 3а – 3 = 0
имеет ровно 4 корня?
Решение. Это ур-ние является биквадратным, то есть для его решения нужно произвести замену у = х 2 :
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0 (1)
Для того, чтобы исходное ур-ние имело 4 корня, необходимо, чтобы у квадратного уравнения с параметром(1) было два положительных корня: у1 и у2. Тогда, проводя обратную замену х 2 = у1 и х 2 = у2, мы получим два разных квадратных ур-ния, корни которых будут равны
Если же хоть один из двух корней, например, у1, окажется равным нулю, то величины
Совпадут (они обе будут равны нулю), и останется лишь 3 корня. Если же у1 будет отрицательным числом, то ур-ние
вовсе не будет иметь решений, и тогда останется не более 2 корней.
Итак, решим ур-ние (1):
у 2 – (а + 2)у + 3а – 3 = 0
D = b 2 – 4ас = (– (а + 2)) 2 – 4•1•(3а – 3) = (а + 2) 2 – 12 а + 12 =
= а 2 + 4а + 4 – 12а + 12 = а 2 – 8а + 16 = а 2 – 2•4•а + 4 2 = (а – 4) 2
Чтобы у ур-ния (1) было два различных корня, дискриминант должен быть положительным. Величина (а – 4) 2 положительна при всех значениях а, кроме а = 4, которое обращает дискриминант в ноль. Значит, а ≠ 4.
Извлечем корень из дискриминанта:
Корни ур-ния (1) можно вычислить по формулам:
И у1, и у2 должны быть положительными величинами, однако у1 меньше, чем у2 (ведь для его вычисления дискриминант брали со знаком «минус», а не «плюс»). Поэтому достаточно записать нер-во:
Получили неравенство, содержащее модуль. Для избавления от модульных скобок в нер-ве рассмотрим 2 случая. Если а – 4>0, то есть а > 4, выполняется равенство
Это нер-во выполняется при любом допустимом значении а, поэтому при а >4 исходное ур-ние имеет 4 корня.
Итак, при условии, что а 1. Это значит, что а∊(1; 4). С учетом первого случая, при котором было получено решение
можно записать окончательный ответ: а∊(1; 4)∪(4; + ∞).
Пример. При каких параметрах а у ур-ния
х 2 – 2(а + 1)х + а 2 + 2а – 3 = 0
существует два корня, которые принадлежат интервалу (– 5; 5)?
Решение. Данное ур-ние является квадратным. Найдем его дискриминант:
D = b 2 – 4ас = (– 2(а + 1)) 2 – 4•1•( а 2 + 2а – 3) = 4(а 2 + 2а + 1) – 4(а 2 + 2а – 3) =
= 4(а 2 + 2а + 1 – а 2 – 2а + 3) = 4•4 = 16
Получаем, что при любом а дискриминант положителен, а потому уур-ния 2 корня. Вычислить их можно по формулам
Для того, чтобы оба решения уравнения с параметром принадлежали интервалу (– 5; 5), нужно, чтобы меньший из них (это х1) был больше – 5, больший (это х2) – меньше – 5:
Значит, должны выполняться два нер-ва
х1>– 5и х2 – 5 и а + 3 – 4 и а 1 (-1)
💥 Видео
Квадратные уравнения с модулем.Скачать
УРАВНЕНИЕ С МОДУЛЯМИ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэСкачать
8 класс, 37 урок, Уравнения с модулямиСкачать
Уравнение с двумя модулями #3Скачать
Иррациональное неравенство с модулем или как расположить корни квадратных трехчленовСкачать
Геометрический метод. Уравнения с Модулем Часть 3 из 3Скачать
Как решать уравнение с корнями Иррациональное уравнение Как решать уравнение с корнем х под корнемСкачать
Универсальный метод или как избавиться от модуляСкачать
Неравенства с модулем | Математика | TutorOnlineСкачать
