Когда можно убрать знаменатель в уравнении

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Свойства числовых неравенств

Для любых дейcтвительных чисел a, b, c и d выполняются следующие свойства:

Особое внимание обратите на свойства 5 и 9. Они непосредственно связаны с нашей темой — дробно-рациональные неравенства.
Напомню, что рациональными называются выражения, которые не содержат радикалов и трансцендентных функций, т.е. это алгебраические выражения, составленные из чисел, переменных, их степеней и знаков арифметических действий.

Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать

Почему неравенства не решают так же, как уравнения?

Итак, нужно найти корни уравнения. Что можно сделать?

Вариант первый.

Зафиксировать область допустимых значений (ОДЗ) выражения: ( x-1 ne 0; ; x+5 ne 0. )
Убедиться в том, что уравнение представляет собой равенство двух дробей и воспользоваться основным свойтвом пропорции — произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов — в простореции «перемножить крест накрест.» [(x — 2)cdot(x+5) = (x-1)cdot(2x-2).] Решить простое (без дробей) рациональное уравнение. Здесь после раскрытия скобок и приведения подобных членов оно сведется к квадратному.
Сверить полученные корни с ОДЗ и, отбросив лишние, сформировать ответ.

Вариант второй.

Привести к общему знаменателю. При этом неважно перенесены ли предварительно все члены уравнения в одну сторону или нет.
Не забыть об ограниченности области допустимых значений выражения (написать ОДЗ).
Отбросить общий знаменатель (одинаковые знаменатели в обеих частях равенства, если не переносили всё в одну сторону).
Решить упрощенное уравнение, проверить полученные корни на соответствие ОДЗ, написать ответ.

Вариант третий.

Перенести все члены уравнения в левую часть равенства и привести к общему знаменателю. [ frac- frac = 0;\ frac = 0. ] Затем, вспомнив о том, что дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, записать и решать следующую равносильную систему: [ begin end ]

Попробуйте всё это проделать самостоятельно для тренировки навыков решения дробно-рациональных уравнений. И убедитесь в том, что во всех трёх случаях будут получены одинаковые ответы.
Для решения уравнений реального ЕГЭ вы можете выбрать любой из этих подходов, который вам придётся по душе.

Здесь дорешаем уравнение в третьем варианте, чтобы потом сравнить его корни с решением неравенства. [ left< <begin<*c> \ hfill \ end > right.left| <begin<*c> \ \ end > right. left| <begin<*c> \ \ end > right. x_1 = 3; ; x_2 = 4. ]

Ответ: x &in; .

Замечение:Отдельные ответы удобно записывать в фигурных скобках как элементы перечислимого множества, в отличие от интервалов (a;b) и отрезков [a;b], для обозначения которых используются круглые или квадратные скобки соответственно..

Это неравенство содержит те же самые дробные выражения, что и предыдущее уравнение. Однако теперь
варианты «крест накрест» и отбрасывание общего знаменателя НЕПРИМЕНИМЫ,
потому что в знаменателе присутствуют неизвестные величины, а следовательно мы не знаем знаков множителей и не сможем корректно применять свойства неравенств. Особенно это касается свойства 5, которое требует изменить знак неравенства при умножении на отрицательное число. Поэтому при решении дробно-рационального неравенства
самое разумное действие — перенести все его члены в одну сторону и сравнивать итоговое выражение с нулем,
т.е. применим способ аналогичный рассмотренному варианту 3 для уравнений.

Итак, переносим всё в левую часть неравенства и преобразуем выражение: [ frac- frac le 0;\ frac le 0;\ frac le 0. ]

Далее можем рассуждать так:
Фактически, здесь мы должны определить знак дробного выражения. То есть при каких значениях переменной результат деления является неположительным числом (отрицательным или нулём).
Очевидно, это будет тогда, когда знаки числителя и знаменателя не совпадают. Таким образом, нужно рассмотреть два случая: числитель дроби меньше либо равен нулю И знаменатель положителен (> 0) ИЛИ числитель дроби больше либо равен нулю И знаменатель отрицателен ( 0;> hfill \ end > right.> \ <left< <begin<*c> \ <(x-1)(x+5) x &in; (−∞; −5)U(1;3]U[4;+∞) . Решения неравенств второй системы не пересекаются: x &in; ∅ .

Объединяя эти случаи, т.е. первую часть ответа с пустым множеством, в итоге получаем:

Ответ: x &in; (−∞;−5)U(1;3]U[4;+∞) .

Сравним ответ неравенства с ответом уравнения, рассмотренного выше. Значения переменной (x = -5; x = 1; x = 3; x = 4 ) присутствовали как ключевые при решении уравнения, однако те из них, которые обращают знаменатель в 0, не вошли в ответ.
Но в ответе неравенства мы явно видим все эти значения переменной. Они фигурируют как границы промежутков. При этом входят или не входят граничные точки в ответ зависит от ОДЗ выражений и степени строгости неравенства.
Таким образом, наиболее частые ошибки при решении неравенств состоят в потере граничных точек и слиянии промежутков.

Видео:Общий знаменатель в примерах и в жизни | Математика | TutorOnlineСкачать

Как проверить ответ неравенства?

И всё-таки, если это ответственное решение, например, важный экзамен, имеет смысл потратить некоторое время и провести вычисление нескольких числовых значений для неравенства.
1) Подставить в неравенство хотя бы по одному значению из промежутков, входящих в ответ, чтобы убедиться, что полученные числовые неравенства будут верными,
2) и по одному значению из промежутков, не входящих в ответ, чтобы убедиться что соответствующие числовые неравенства будут неверными.
3) Также не мешает перепроверить граничные точки промежутков.

Проверка ответа примера 2.

1) Все следующие числовые неравенства должны оказаться верными.

(x in (-infty;-5) ). Пусть (x = -7 ), тогда [ frac le frac;;; frac 0,) которое является составной частью рассмотренной в примере 2 совокупности систем, будет верным, если оба сомножителя имеют одинаковые знаки — оба положительны или оба отрицательны, т.е. в свою очередь сводится к совокупности двух систем неравенств

Выход из положения может быть следующим:

Если (7x-7 > 0), то знак исходного неравенства сохраняется: [frac > frac Leftrightarrow 21 > 8x-8. ] Если (7x-7 frac Leftrightarrow 21 frac Leftrightarrow left[ <begin<*c> <left< <begin<*c> 0;> \ 8x-8> hfill \ end > right.> \ <left< <begin<*c> <7x -7\ <21 hfill \ end > right.> \ end > right. ] К этой совокупности систем быстрее и надёжнее, т.е. с меньшей вероятностью допустить ошибку, мы приходим тогда, когда с самого начала переносим всё в одну часть неравенства и сравниваем выражение с нулем.

Вывод: Отбрасывание общего знаменателя можно производить только для тех неравенств, в которых этот знаменатель положительная константа. Т.е. здесь для неравенства (1). Во всех остальных случаях требуется более детальный анализ знаков чисел и выражений.

Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.

Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru

Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.

Видео:Решение дробных рациональных уравнений. Алгебра, 8 классСкачать

Решение уравнений с дробями

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:Алгебра 8. Урок 8 - Квадратный корень. Освобождение от иррациональностиСкачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Преобразование выражений, содержащих квадратные корни. Избавление от иррациональности. 8 класс.Скачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЧАСТЬ I #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэСкачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Как исключить иррациональность из знаменателяСкачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Видео:Как найти общий знаменатель. Математика 6 класс простоСкачать

Основные сведения о решении дробно-рациональных уравнений

Видео:Как решать уравнения с дробью? #shortsСкачать

Определение основных понятий по теме

Рациональным выражением является такое выражение в алгебре, в состав которого включены числа и переменная х, а также операции сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень с натуральным показателем. Если пара рациональных выражений объединены знаком равенства, то перед нами рациональное уравнение.

Дробно-рациональное уравнение представляет собой не имеющее знак корня рациональное уравнение, в котором обе части записаны в виде дробных выражений.

В дробно-рациональном уравнении имеется как минимум одна дробь, содержащая в знаменателе переменную.

Например, дробно-рациональными уравнениями являются:

9 x 2 — 1 3 x = 0

1 2 x + x x + 1 = 1 2

6 x + 1 = x 2 — 5 x x + 1

Уравнения, которые нельзя отнести к дробно-рациональным:

Видео:Общий знаменатель за 1 секунду. 3 простых способаСкачать

Алгоритм решения дробно-рациональных уравнений

В процессе решения дробно-рациональных уравнений требуется правильно определить область допустимых значений (ОДЗ). Когда корни уравнения найдены, следует проверить их на соответствие ОДЗ и выяснить, какие являются допустимыми. В противном случае образуются посторонние решения, что автоматически делает ответ неверным.

Предусмотрен стандартный алгоритм действий для поиска корней дробно-рациональных уравнений:

1. Выписать и определить ОДЗ.
2. Вычислить общий знаменатель дробей.
3. Найти произведение каждого члена уравнения и общего знаменателя. После чего следует сократить полученные дроби, чтобы избавиться от знаменателей.
4. Записать уравнение со скобками.
5. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
6. Найти корни уравнения, которое получилось после раскрытия скобок.
7. Сверить найденные корни с ОДЗ.
8. Решения, которые успешно прошли проверку, записать в ответ.

Видео:Как вычитать дроби с разными знаменателями. #математика #дробиСкачать

Примеры решения задач

Требуется найти корни дробно-рационального уравнения:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Рассмотрим уравнение из условия задания:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

Определим область допустимых значений:

x 2 — 4 ≠ 0 ⇔ x ≠ ± 2

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

x x — 2 — 7 x + 2 = 8 x 2 — 4

x 2 — 4 = ( x — 2 ) ( x + 2 )

В таком случае, общим знаменателем является следующее выражение:

Согласно стандартной последовательности действий, найдем произведение каждого члена уравнения и ( x — 2 ) ( x + 2 ) : x ( x — 2 ) ( x + 2 ) x — 2 — 7 ( x — 2 ) ( x + 2 ) x + 2 = 8 ( x — 2 ) ( x + 2 ) ( x — 2 ) ( x + 2 )

x ( x + 2 ) — 7 ( x — 2 ) = 8

x 2 + 2 x — 7 x + 14 = 8

Затем следует привести подобные слагаемые:

Решениями получившегося квадратного уравнения являются следующие корни:

Сравним результат вычислений с ОДЗ. Зная, что x ≠ 2 , исключим первый корень, как посторонний. Запишем в ответ второй корень.

Для закрепления материала и знаний метода решения дробно-рациональных уравнений попробуем решить еще одно задание с объяснением действий. Подобные задачи нередко приходится решать на уроках алгебры в восьмом классе.

Решить дробно-рациональное уравнение:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Рассмотрим уравнение из условия задания:

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x x 2 + 7 x + 10 = 0

Определим область допустимых значений:

x 2 + 7 x + 10 ≠ 0

D = 49 — 4 · 10 = 9

x 1 ≠ — 7 + 3 2 = — 2

x 2 ≠ — 7 — 3 2 = — 5

Воспользуемся способом разложения квадратного трехчлена на множители:

a x 2 + b x + c = a ( x — x 1 ) ( x — x 2 )

Преобразуем квадратный трехчлен x 2 + 7 x + 10 с учетом найденных x 1 и x 2 :

x x + 2 + x + 1 x + 5 — 7 — x ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

В результате общий знаменатель равен:

Умножим все части уравнения на общий знаменатель:

x ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 2 + ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) x + 5 — — ( 7 — x ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) ( x + 2 ) ( x + 5 ) = 0

Выполним сокращение дробей:

x ( x + 5 ) + ( x + 1 ) ( x + 2 ) — 7 + x = 0

Избавимся от скобок:

x 2 + 5 x + x 2 + 3 x + 2 — 7 + x = 0

Приведем подобные слагаемые:

2 x 2 + 9 x — 5 = 0

Тогда получим корни уравнения:

Соотнесем решения с областью допустимых значений, которую определили ранее. Первый корень является посторонним, что выявлено с помощью контрольной проверки. По этой причине в ответ следует записать только второй корень.

Задания для самостоятельной работы

Найти корни уравнения:

x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

x — 1 2 + 2 x 3 = 5 x 6

3 x — 3 + 4 x 6 = 5 x 6

Требуется решить дробно-рациональное уравнение:

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

x — 3 x — 5 + 1 x = x + 5 x ( x — 5 )

x 2 — 3 x + x — 5 = x + 5

x 2 — 3 x — 10 = 0

Вычислить корни уравнения:

33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

33 + x 2 9 — x 2 + 7 + x x — 3 = — 2 + 4 — x x + 3

— 33 — x 2 + ( 7 + x ) · ( x + 3 ) = — 2 ( x 2 — 9 ) + ( 4 — x ) · ( x — 3 )

Согласно ОДЗ, первый вариант решения не подходит:

💥 Видео

Уравнения с дробями. Алгебра 7 класс.Скачать

Алгебра 8 класс. Избавляемся от иррациональности в знаменателеСкачать

Алгебра 8 класс (Урок№31 - Решение дробных рациональных уравнений.)Скачать

Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Подготовка к ОГЭ . Рациональные неравенства | Математика | TutorOnlineСкачать