Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Когда квадратное уравнение имеет два корня разных знаков
КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН III
§ 53. Исследование знаков корней квадратного уравнения по его коэффициентам
Используя теорему Виета, можно, не решая уравнения x 2 + px + q = 0. определить, какими будут его корни: положительными или отрицательными. Но при этом, конечно, нужно быть уверенным в том, что рассматриваемое уравнение имеет корни. Если же корней нет, то говорить о знаках корней не имеет смысла. Поэтому на протяжении всего этого параграфа мы будем предполагать, что рассматриваемое приведенное квадратное уравнение x 2 + px + q = 0 имеет корни, то есть дискриминант его неотрицателен.
1) Пусть q > 0; тогда оба корня имеют одинаковые знаки, поскольку x1 • х2= q > 0.
Если к тому же р 0, значит, оба корня положительны.
Если р > 0, то x1 + х2 = — р 0, то x1 + х2 = — р 0. Это возможно только тогда, когда положительный корень больше абсолютной величины отрицательного корня.
При р = 0 x1 + х2 = 0, откуда x1= — х2 в этом случае корни равны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
3) Осталось рассмотреть случай, когда q = 0. Тогда x1 • х2 = 0, поэтому хотя бы один из корней равен нулю.
Пусть для определенности x1 = 0, тогда другой корень найдется из условия x1 + х2 = — р, откуда х2 = — р. Значит, в этом случае один корень равен нулю, а другой представляет собой число, противоположное коэффициенту р.
Если же и р = 0, то уравнение имеет , два равных корня: x1= х2 = 0.
Полученные результаты исследования знаков корней представлены в таблице .
Еще раз отметим, что приведенные здесь рассуждения верны лишь в предположении, что исследуемое уравнение имеет действительные корни, то есть его дискриминант неотрицателен.
Рассмотрим несколько примеров на исследование знаков корней квадратных уравнений.
1) x 2 — 8х — 9 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 64 + 36 = 100 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Вследствие того, что x1 • х2 = — 9, корни должны иметь разные знаки,
а так как x1 + х2 = 8, то абсолютная величина отрицательного корня меньше положительного корня.
2) x 2 + 7х + 10 = 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 49 — 40 = 9 > 0. Поэтому уравнение имеет два различных действительных корня.
Так как x1 • х2 = 10 > 0, то корни имеют одинаковые знаки.
Кроме того, x1 + х2 = —7, значит, оба корня отрицательны.
3) x 2 — х + 1 = 0. Для данного уравнения
D = (—1) 2 — 4 = — 3 2 + bx + c = 0 . Для этого сначала нужно посредством деления на а привести данное уравнение к приведенному квадратному уравнению x 2 + b /a х + c /a = 0, а затем для этого уравнения провести описанные выше рассуждения.
Пусть, например, нужно исследовать знаки корней уравнения —3x 2 + 5х — 2 == 0. Дискриминант этого уравнения равен D = 25 — 24 = 1 > 0. Поэтому оно имеет два различных действительных корня.
Разделив обе части уравнения на — 3, получим: x 2 — 5 /3х + 2 /3 = 0. Отсюда видно, что корни данного уравнения имеют одинаковые знаки, так как x1 • х2 = 2 /3 > 0. Кроме того, x1 + х2 = 5 /3 > 0. Следовательно, оба корня положительны.
Не решая данных уравнений (№ 391—400), определить знаки их корней:
Проверить себя, да и вообще исследовать квадратные уравнения полные и приведенные можно, с помощью соответствующих алгоритмов в программе EXCEL. Алгоритм можно усовершенствовать для отображения промежуточных результатов вычислений.
401. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
402. При каких значениях а корни уравнения
имеют одинаковые знаки и при каких — разные?
Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Квадратный трёхчлен и его применение к решению задач с параметрами
Разделы: Математика
Квадратный трехчлен и применение его к решению задач с параметром.
Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать основной из функций, изучаемых в школьном курсе математики. Поэтому знание свойств квадратного трехчлена и умение применять их являются необходимыми условиями успешного выполнения ЕГЭ и вступительной экзаменационной работы.
Многочисленные задачи из совсем иных, на первый взгляд, областей математики (исследование экстремальных свойств функций, тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, системы уравнений и неравенств) зачастую сводятся к решению квадратных уравнений или исследованию квадратного трехчлена.
В данной работе рассмотрены теоремы о расположении корней квадратного трехчлена и показаны приемы решения задач на основе свойств квадратного трехчлена и графических изображений.
Понятие квадратного трехчлена и его свойства.
Квадратным трехчленом называется выражение вида ax 2 +bx+c, где a
0. Графиком соответствующей квадратичной функции является парабола. При a 0 ветви направлены вверх.
Выражение x 2 +px+q называется приведенным квадратным трехчленом.
В зависимости от величины дискриминанта D=b 2 — 4ac возможны следующие случаи расположения графика квадратного трехчлена:
при D>0 существуют две различные точки пересечения параболы с осью Ох (два различных корня трехчлена);
при D=0 эти две точки сливаются в одну, то есть парабола касается оси Ох (один корень трехчлена);
при D 0 парабола лежит целиком выше оси Ох, при а 2 +bx+c и коэффициентами этого
трехчлена существуют соотношения : x1+x2= -b/a,
Данная теорема справедлива и для приведенного квадратного трехчлена x 2 +px+q : x1+x2= -p,
Теорема, обратная теореме Виета, применяется лишь для приведенного квадратного трехчлена.
Теорема Виета успешно применяется при решении различных задач, в частности, задач на исследование знаков корней квадратного трехчлена. Это мощный инструмент решения многих задач с параметрами для квадратичной функции.
Теоремы о знаках корней квадратного трехчлена.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена имели одинаковые знаки, необходимо и
достаточно выполнения соотношений: D=b 2 -4ac
0; x1•x2=c/a>0.
При этом оба корня будут положительны, если дополнительно выполняется условие :
а оба корня будут отрицательны, если x1+x2= -b/a 2 -4ac>0.
Расположение корней квадратного трехчлена (см. приложение).
Дидактический материал для учащихся.
1. Найти все значения параметра а , при каждом из которых корни квадратного трехчлена х 2 +ах+1 различны и лежат на отрезке [0 ; 2].
2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-1)х+1-а=0 имеет два различных положительных корня?
3. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -(2а-6)+3а+9=0 имеет корни разных знаков?
4. Найдите все значения параметра а , при которых корни уравнения х 2 +(а+1)х-2а(а-1)=0 меньше, чем 1 .
5. Найдите все значения параметра а , при которых один из корней уравнения х 2 -2(а+1)х+4а+1=0 меньше 1, а другой – больше 1?
6. При каких значениях параметра а уравнение 2х 2 +(3а+1)х+а 2 +а=2=0 имеет хотя бы один корень?
7. При каких значениях параметра а уравнение (а 2 +а+1)х 2 + (2а-3)х+а-5=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?
8. При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х 2 -2ах +а=3=0 положительны?
9. Существуют ли такие значения параметра а, при которых оба корня уравнения х 2 -2(а-3)х-а+3=0 заключены в интервале (-3; 0)?
10. При каких значениях параметра а корни уравнения х 2 -2ах+(а+1)•(а-1)=0 принадлежат отрезку [-5; 5]?
11. При каких значениях параметра а один корень квадратного уравнения х 2 +(а+1)х-а 2 =0 больше числа 1/2 , а другой меньше 1/2?
12. При каких значениях параметра а уравнение х 2 -4х+(2-а)•(2+а)=0 имеет корни разных знаков?
13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 +2(а+1)х+9=0 имеет два различных положительных корня?
14. Найти все значения параметра а при которых все корни уравнения (2-а)х 2 -3ах+2а=0 больше 1/2?
15. При каких значениях параметра а все корни уравнения х 2 -2ах+а 2 -а=0 расположены на отрезке [-2; 6]?
16. При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х 2 -2ах+2(а+1)=0 равна 20?
17. При каких значениях параметра а сумма корней уравнения х 2 -2а(х-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?
18. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (а-3)х 2 -2ах+6а=0 положительны?
19. При каких значениях параметра а все получающиеся корни уравнения (1+а)х 2 -3ах+4а=0 больше 1?
Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать
Квадратные уравнения и квадратичные неравенства с параметрами
Дорогой друг! Если ты никогда не решал задач с параметрами – прочитай статьи «Что такое параметр» и «Графический способ решения задач с параметрами». Квадратные уравнения, а тем более неравенства с параметрами только на первый взгляд кажутся простыми. Чтобы уверенно решать их, надо знать определенные приемы. О некоторых мы расскажем.
Разберем сначала подготовительные задачи. А в конце – реальную задачу ЕГЭ.
1. Найдите все значения a, при которых уравнение не имеет действительных корней.
Всегда ли это уравнение является квадратным относительно переменной х? – Нет, не всегда. В случае, когда коэффициент при равен нулю, оно станет линейным.
Рассмотрим два случая – когда это уравнение квадратное и когда оно линейное.
Тогда уравнение примет вид 2 = 0. Такое уравнение не имеет действительных корней, что удовлетворяет условию задачи.
Уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант отрицательный.
Если и – корни квадратного уравнения
, то по теореме Виета:
Решим первое неравенство системы
Квадратный трехчлен в левой части не имеет корней, так как дискриминант равен -32, то есть отрицателен. Поэтому неравенство будет выполняться для всех действительных значений .
Возведем второе уравнение системы в квадрат:
Из этих двух уравнений выразим сумму квадратов и .
Значит, сумму квадратов корней уравнения можно выразить через параметр
График функции — парабола, ее ветви направлены вверх, минимум будет достигаться в ее вершине. Найдем вершину параболы:
3) Найдите все значения , при каждом из которых все решения уравнения
Как и в первой задаче, уравнение является квадратным, кроме случая, когда . Рассмотрим этот случай отдельно
1) . Получим линейное уравнение
У него единственный корень, причем положительный. Это удовлетворяет условию задачи.
2) При уравнение будет квадратным. Нам надо, чтобы решения существовали, причем были положительными. Раз решения есть, то .
Покажем один из приемов решения квадратичных уравнений и неравенств с параметрами. Он основан на следующих простых утверждениях:
— Оба корня квадратного уравнения и положительны тогда и только тогда, когда их сумма положительна и произведение положительно.
Очевидно, что сумма и произведение двух положительных чисел также положительны. И наоборот – если сумма и произведение двух чисел положительны, то и сами числа положительны.
— Оба корня квадратного уравнения и отрицательны тогда и только тогда, когда их сумма отрицательна, а произведение положительно.
Корни квадратного уравнения и имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно.
Сумма и произведение корней входят в формулировку теоремы Виета, которой мы и воспользуемся. Получим
Второе и третье неравенства имеют одинаковое решение . Решение первого неравенства:
.
С учетом пункта 1 получим ответ
4. При каких значениях параметра a уравнение
имеет единственное решение?
Уравнение является показательным, причем однородным. Мы умеем решать такие уравнения! Разделим обе части на .
Сделаем замену 
Для того, чтобы исходное уравнение имело единственное решение, нужно, чтобы уравнение относительно t имело ровно один положительный корень.
1) В случае уравнение будет линейным
Значит, подходит. В этом случае уравнение имеет единственный положительный корень.
2) Если , уравнение будет квадратным.
Дискриминант является полным квадратом и поэтому всегда неотрицателен. Уравнение имеет либо один, либо два корня. В этом случае несложно найти корни в явном виде.
Один корень получился не зависящим от параметра, причем положительным. Это упрощает задачу.
Для того, чтобы уравнение имело единственный положительный корень, нужно, чтобы либо второй был отрицательным, либо равным нулю, либо чтобы корни совпадали. Рассмотрим все случаи.
Объединив все случаи, получим ответ.
И наконец – реальная задача ЕГЭ.
5. При каких значениях a система имеет единственное решение?
Решением квадратного неравенства может быть:
В каких случаях система двух квадратных неравенств имеет единственное решение:
1) единственная общая точка двух лучей-решений ( или интервалов-решений)
2) одно из неравенств имеет решение – точку, которая является решением второго неравенства
Рассмотрим первый случай.
Если является решением 1 и 2 уравнений, то является решением уравнения (вытекает из второго первое) ⇒ или
Если , при этом система примет вид:
Второй корень первого уравнения:
Второй корень второго первого:
Если , при этом система примет вид:
– бесконечно много решений, не подходит.
Рассмотрим второй случай.
– решением является точка, если – является решением второго неравенства.
– решением является точка, если – не является решением первого неравенства.
📺 Видео
5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Алгебра 8. Урок 9 - Квадратные уравнения. Полные и неполныеСкачать
ТЕОРЕМА ВИЕТА ЗА 2 МИНУТЫСкачать
896 Алгебра 8 класс При каких значениях а уравнение Квадратное имеет 2 корня принадлежащиеСкачать
Как решать любое квадратное уравнение Полное Неполное квадр ур x^2+2x-3=0 5x^2-2x=0 2x^2-2=0 3x^2=0Скачать
Решение квадратных неравенств | МатематикаСкачать
СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать
Как решить квадратное уравнение за 30 секунд#математика #алгебра #уравнение #дискриминант #репетиторСкачать
Квадратные уравнения #shorts Как решать квадратные уравненияСкачать
Быстрый способ решения квадратного уравненияСкачать
Сможешь решить квадратное уравнение с параметром? Найти, когда корни имеют разные знаки...Скачать
Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать
РАЗБИРАЕМ ДИСКРИМИНАНТ ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #огэ #дискриминантСкачать
897 Алгебра 8 класс При каких значениях уравнение имеет два отрицательных корня Квадратные уравненияСкачать
310 Алгебра 9 класс. При каких значениях в Уравнение имеет 2 корня.Скачать
