Коэффициентом прямой пропорциональности называется число k в уравнении вида y kx у 5х (5 видео)

Коэффициент прямой пропорциональности

Что такое коэффициент прямой пропорциональности? Коэффициент прямой пропорциональности это как?

С прямой пропорциональностью неразрывно связано понятие коэффициент прямой пропорциональности.

Прямая пропорциональность есть функция вида y = kx, см. Прямая пропорциональность определение.

В этой формуле k есть коэффициент прямой пропорциональности.

Рассмотрим примеры коэффициента прямой пропорциональности.

Содержание

Коэффициент прямой пропорциональности примеры
Прямая пропорциональность y = kx и её график
Определение прямой пропорциональности
График прямой пропорциональности
Прямая и обратная пропорциональность
Основные определения
Прямо пропорциональные величины
Обратно пропорциональные величины
Потренируемся
🎦 Видео

Коэффициент прямой пропорциональности примеры

Пример коэффициента прямой пропорциональности

Здесь коэффициент пропорциональности равен 5. О чем это говорит?

Если мы будем делить значения переменной y на значения переменной x, то всегда будем получать 5, а это и есть наш коэффициент прямой пропорциональности.

Возьмем для примера из области определения три любые значения икс, пусть это будут 2, 30 и 61.

Найдем соответствующие значения y и заполним таблицу для y = 5x

x	2	30	61
y	10	150	305

Далее, если мы будем делить значения переменной y на значения переменной x, то всегда будем получать коэффициент пропорциональности 5

10	= 5
2	= 5
150	= 5
30	= 5
305	= 5
61	= 5

То, что все эти частные равны одному и тому же числу 5, и говорит о том, что наша функция y = 5x есть прямая пропорциональность.

Может коэффициент пропорциональности быть целым?

Здесь коэффициент пропорциональности равен 10.

Может коэффициент пропорциональности быть отрицательным?

Здесь коэффициент пропорциональности равен минус 10.

Может коэффициент пропорциональности быть дробным?

Здесь коэффициент пропорциональности равен минус десять целых пять десятых.

Видео:Прямая пропорциональность и её график. Алгебра, 7 классСкачать

Прямая пропорциональность y = kx и её график

Определение прямой пропорциональности

Если машина движется со скоростью 50 км/ч, пройденное расстояние (в километрах) в зависимости от времени (в часах) s = 50t. Время мы определяем как $tgeq0$. Но механика позволяет нам рассчитать не только будущее положение тела, но и прошлое, подставив в формулу $t lt 0$ и запросто «прокрутив» время назад. Поэтому в общем случае, если движение было и остаётся постоянным, мы получаем:

Можно представить себе не только отрицательное время («поход в прошлое»). Ещё проще ввести отрицательные координаты: направо идём – координата растёт, становится положительной, поворачиваем налево – уменьшается, становится отрицательной.

В задачах, связанных с экономикой, величины также могут уходить в «плюс» и «минус»: покупки/продажи, кредиты/депозиты, доходы/затраты, прибыли/убытки . Часто эти величины изменяются на какую-то постоянную сумму с течением времени.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$$<left< begin- infty lt x lt + infty — аргумент, quad любое quad действительное quad число \ k = const ≠ 0 quad — параметр, quad константа \ y = kx quad — функцияend right.>$$

Функция такого вида называется прямой пропорциональностью .

Если $k gt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.

Если $k lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция убывает.

График прямой пропорциональности

Графиком прямой пропорциональности является прямая, проходящая через начало координат.

Согласно аксиоме планиметрии, через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Значит, положение прямой на плоскости полностью определяется двумя точками . Получаем:

Алгоритм построения графика прямой пропорциональности

Выбрать произвольное значение аргумента $x_*neq 0$
Вычислить соответствующее значение функции $y_*=kx_*$
Отметить на координатной плоскости точку $(x_*,y_* )$
Провести прямую через начало координат (0;0) и точку $(x_*,y_* )$

Эта прямая – график прямой пропорциональности y=kx.

Видео:Функция прямой пропорциональности. 7 класс.Скачать

Прямая и обратная пропорциональность

О чем эта статья:

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Основные определения

Математическая зависимость — это соответствие между элементами двух множеств, при котором каждому элементу одного множества ставится в соответствие элемент из другого множества.

Прямая зависимость. Чем больше одна величина, тем больше вторая. Чем меньше одна величина, тем меньше вторая величина.

Обратная зависимость. Чем больше одна величина, тем меньше вторая. Чем меньше одна величина, тем больше вторая.

Пропорция в математике — это равенство между отношениями двух или нескольких пар чисел или величин. Пропорциональными называются две взаимно-зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.

Пропорциональность — это взаимосвязь между двумя величинами, при которой изменение одной из них влечет за собой изменение другой во столько же раз. Проще говоря — это зависимость одного числа от другого.

Есть две разновидности пропорциональностей:

Прямая пропорциональность. Это зависимость, при которой увеличение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А уменьшение одного числа ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Обратная пропорциональность. Это зависимость, при которой уменьшение одного числа ведет к увеличению другого во столько же раз. А увеличение числа наоборот ведет к уменьшению другого во столько же раз.

Коэффициент пропорциональности — это неизменное отношение пропорциональных величин. Он показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. Коэффициент пропорциональности обозначается латинской буквой k.

Видео:Линейная функция и её график. Алгебра, 7 классСкачать

Прямо пропорциональные величины

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз.

Прямая пропорциональность в виде схемы: «больше — больше» или «меньше — меньше».

a и d называются крайними членами, b и c — средними.

Свойство прямо пропорциональной зависимости:

Если две величины прямо пропорциональны, то отношения соответствующих значений этих величин равны.

Примеры прямо пропорциональной зависимости:

при постоянной скорости пройденный маршрут прямо-пропорционально зависит от времени;

периметр квадрата и его сторона — прямо-пропорциональные величины;

стоимость конфет, купленных по одной цене, прямо-пропорционально зависит от их количества.

Если говорить метафорами, то прямую пропорциональную зависимость можно отличить от обратной по пословице: «Чем дальше в лес, тем больше дров». Что значит, чем дольше ты идешь по лесу, тем больше дров можно собрать.

Формула прямой пропорциональности

y = kx,

где y и x — переменные величины, k — постоянная величина, которую называют коэффициентом прямой пропорциональности.

Коэффициент прямой пропорциональности — это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента прямой пропорциональности:

Пример 1.

В одно и то же путешествие поехали два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найти скорость второго автомобиля.

Вспомним формулу для определения пути через скорость и время:

Так как оба автомобиля проделали одинаковый путь, можно составить пропорцию из двух выражений:

Найдем скорость второго автомобиля:

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 2.

Блогер за 8 дней может написать 14 постов. Сколько помощников ему понадобится, чтобы написать 420 постов за 12 дней, если они пишут с такой же скоростью?

Количество человек (блогер и помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если ее нужно сделать за то же количество времени.

14 (постов) / 8 (дней) × х (блогеров) = 420 (постов) / 12 (дней)

Вспомним основное свойство пропорции, согласно которому:

14x × 12 = 420 × 8

х = (420 × 8) / (14 × 12)

Ответ: 20 человек напишут 420 постов за 12 дней.

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Обратно пропорциональные величины

Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз — другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз.

Объясним, что значит обратно пропорционально в виде схемы: «больше — меньше» или «меньше — больше».

Свойство обратной пропорциональности величин:

Если две величины находятся в обратно пропорциональной зависимости, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.

Примеры обратно пропорциональной зависимости:

время на маршрут и скорость, с которой путь был пройден — обратно пропорциональные величины;

при одинаковой продуктивности количество школьников, решающих конкретную задачу, обратно пропорционально времени выполнения этой задачи;

количество конфет, купленных на определенную сумму денег, обратно пропорционально их цене.

Формула обратной пропорциональности

где y и x — это переменные величины,

k — постоянная величина, которую называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Коэффициент обратной пропорциональности — это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x, равное одному и тому же числу.

Формула коэффициента обратной пропорциональности:

Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Потренируемся

Пример 1. 24 человека за 5 дней раскрутили канальчик в ютубе. За сколько дней выполнят ту же работу 30 человек, если будут работать с той же эффективностью?

В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.

Чем больше людей, тем меньше времени нужно для выполнения определенной работы (раскрутки канала). Значит, это обратно пропорциональная зависимость.

Поэтому направим вторую стрелку в противоположную сторону. Обратная пропорция выглядит так:

Пусть за х дней могут раскрутить канал 30 человек. Составляем пропорцию:

Чтобы найти неизвестный член пропорции, нужно произведение средних членов разделить на известный крайний член:

Значит, 30 человек раскрутят канал за 4 дня.

Пример 2. Автомобиль проезжает от одного города до другого за 13 часов со скоростью 75 км/ч. Сколько времени ему понадобится, если он будет ехать со скоростью 52 км/ч?

Скорость и время связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем больше скорость, тем меньше времени понадобится.

Соотношения равны, но перевернуты относительно друг друга.