Классификация решений систем линейных уравнений

Линейные уравнения

В общем случае линейное уравнение имеет вид:

Любой n-мерный вектор Х = (x₁, x₂. x_n) называется решением уравнения, если при подстановке его координат уравнение обращается в тождество.

Два линейных уравнения называются равносильными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Три случая при решении линейных уравнений

1. Если коэффициенты при неизвестных a₁ = a₂ = . = a_n =0 и b = 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+. +0*x_n=0 и называется тривиальным (данное уравнение имеет бесконечное множество решений)
2. Если коэффициенты a₁ = a₂ = . = a_n =0, а b ≠ 0, в этом случае уравнение имеет вид: 0*x₁+0*x₂+. +0*x_n= b и называется противоречивым. (данное уравнение не имеет ни одного решения)
3. Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных отличен от нуля.

Пусть а₁ ≠0. В этом случае можно разрешить уравнение относительно x₁:

Важно: При этом x₁ называется разрешенной неизвестной, x₂, x₃. x_n называются свободными неизвестными. Если свободными неизвестным придать любые конкретные значения x₂=k₂, x₃=k₃. x_n=k_n, то вектор K=(k₂, k₃. k_n) является решением исходного уравнения.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Системы линейных уравнений

Классификация систем линейных уравнений по количеству решений

В общем случае система линейных уравнений, содержащая m уравнений и n уравнений имеет вид:

где, a_ij (i=1,2. m; j=1,2. n) и b_i (i=1,2. m), постоянные величины.

Решением системы уравнений называется такой n-мерный вектор Х = (x₁, x₂. x_n), который одновременно является решением каждого из уравнений системы.

Векторная и матричная формы записи систем линейных уравнений

Векторная форма записи

Система уравнений может быть записана в векторном виде:

Пример 1. Записать в векторном виде.

Матричная форма записи

В матричной записи система линейных уравнений может быть записана следующим образом:

AX=B

Пример 2: Записать в матричном виде систему из предыдущего примера

Видео:Исследование систем линейных уравнений на совместностьСкачать

Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи.

Видео:Метод Крамера за 3 минуты. Решение системы линейных уравнений - bezbotvyСкачать

Определение системы линейных алгебраических уравнений. Решение системы. Классификация систем.

Под системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) подразумевают систему

содержащую $m$ уравнений и $n$ неизвестных ($x_1,x_2,ldots,x_n$). Прилагательное «линейных» означает, что все неизвестные (их еще называют переменными) входят только в первой степени.

Параметры $a_$ ($i=overline$, $j=overline$) называют коэффициентами, а $b_i$ ($i=overline$) – свободными членами СЛАУ. Иногда, чтобы подчеркнуть количество уравнений и неизвестных, говорят так «$mtimes n$ система линейных уравнений», – тем самым указывая, что СЛАУ содержит $m$ уравнений и $n$ неизвестных.

Если все свободные члены $b_i=0$ ($i=overline$), то СЛАУ называют однородной. Если среди свободных членов есть хотя бы один, отличный от нуля, СЛАУ называют неоднородной.

Решением СЛАУ (1) называют всякую упорядоченную совокупность чисел ($alpha_1, alpha_2,ldots,alpha_n$), если элементы этой совокупности, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных $x_1,x_2,ldots,x_n$, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение: нулевое (в иной терминологии – тривиальное), т.е. $x_1=x_2=ldots=x_n=0$.

Если СЛАУ (1) имеет хотя бы одно решение, ее называют совместной, если же решений нет – несовместной. Если совместная СЛАУ имеет ровно одно решение, её именуют определённой, если бесконечное множество решений – неопределённой.

Имеем систему линейных алгебраических уравнений, содержащую $3$ уравнения и $5$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$. Можно, сказать, что задана система $3times 5$ линейных уравнений.

Коэффициентами системы (2) есть числа, стоящие перед неизвестными. Например, в первом уравнении эти числа таковы: 3, -4, 1, 7, -1. Свободные члены системы представлены числами 11, -65, 0. Так как среди свободных членов есть хотя бы один, не равный нулю, то СЛАУ (2) является неоднородной.

Упорядоченная совокупность $(4;-11;5;-7;1)$ является решением данной СЛАУ. В этом несложно убедиться, если подставить $x_1=4$, $x_2=-11$, $x_3=5$, $x_4=-7$, $x_5=1$ в уравнения заданной системы:

Естественно, возникает вопрос том, является ли проверенное решение единственным. Вопрос о количестве решений СЛАУ будет затронут в соответствующей теме.

Система (3) является СЛАУ, содержащей $5$ уравнений и $3$ неизвестных: $x_1$, $x_2$, $x_3$. Так как все свободные члены данной системы равны нулю, то СЛАУ (3) является однородной. Несложно проверить, что совокупность $(0;0;0)$ является решением данной СЛАУ. Подставляя $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$, например, в первое уравнение системы (3), получим верное равенство:

$$4x_1+2x_2-x_3=4cdot 0+2cdot 0-0=0.$$

Подстановка в иные уравнения делается аналогично.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

Матричная форма записи систем линейных алгебраических уравнений.

С каждой СЛАУ можно связать несколько матриц; более того – саму СЛАУ можно записать в виде матричного уравнения. Для СЛАУ (1) рассмотрим такие матрицы:

Матрица $A$ называется матрицей системы. Элементы данной матрицы представляют собой коэффициенты заданной СЛАУ.

Матрица-столбец $B$ называется матрицей свободных членов, а матрица-столбец $X$ – матрицей неизвестных.

Используя введённые выше обозначения, СЛАУ (1) можно записать в форме матричного уравнения: $Acdot X=B$.

Матрицы, связанные с системой, можно записать различными способами: всё зависит от порядка следования переменных и уравнений рассматриваемой СЛАУ. Но в любом случае порядок следования неизвестных в каждом уравнении заданной СЛАУ должен быть одинаков (см. пример №4).

Записать СЛАУ $ left < begin& 2x_1+3x_2-5x_3+x_4=-5;\ & 4x_1-x_3=0;\ & 14x_2+8x_3+x_4=-11. end right. $ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Имеем четыре неизвестных, которые в каждом уравнении следуют в таком порядке: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$. Матрица неизвестных будет такой: $left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end right)$.

Свободные члены данной системы выражены числами -5, 0, -11, посему матрица свободных членов имеет вид: $B=left( begin -5 \ 0 \ -11 end right)$.

Перейдем к составлению матрицы системы. В первую строку данной матрицы будут занесены коэффициенты первого уравнения: 2, 3, -5, 1.

Во вторую строку запишем коэффициенты второго уравнения: 4, 0, -1, 0. При этом следует учесть, что коэффициенты системы при переменных $x_2$ и $x_4$ во втором уравнении равны нулю (ибо эти переменные во втором уравнении отсутствуют).

В третью строку матрицы системы запишем коэффициенты третьего уравнения: 0, 14, 8, 1. Учитываем при этом равенство нулю коэффициента при переменной $x_1$ (эта переменная отсутствует в третьем уравнении). Матрица системы будет иметь вид:

$$ A=left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) $$

Чтобы была нагляднее взаимосвязь между матрицей системы и самой системой, я запишу рядом заданную СЛАУ и ее матрицу системы:

В матричной форме заданная СЛАУ будет иметь вид $Acdot X=B$. В развернутой записи:

$$ left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) cdot left( begin x_1 \ x_2 \ x_3 \ x_4 end right) = left( begin -5 \ 0 \ -11 end right) $$

Запишем расширенную матрицу системы. Для этого к матрице системы $ A=left( begin 2 & 3 & -5 & 1\ 4 & 0 & -1 & 0 \ 0 & 14 & 8 & 1 end right) $ допишем столбец свободных членов (т.е. -5, 0, -11). Получим: $widetilde=left( begin 2 & 3 & -5 & 1 & -5 \ 4 & 0 & -1 & 0 & 0\ 0 & 14 & 8 & 1 & -11 end right) $.

Записать СЛАУ $ left <begin& 3y+4a=17;\ & 2a+4y+7c=10;\ & 8c+5y-9a=25; \ & 5a-c=-4. endright.$ в матричной форме и указать расширенную матрицу системы.

Как видите, порядок следования неизвестных в уравнениях данной СЛАУ различен. Например, во втором уравнении порядок таков: $a$, $y$, $c$, однако в третьем уравнении: $c$, $y$, $a$. Перед тем, как записывать СЛАУ в матричной форме, порядок следования переменных во всех уравнениях нужно сделать одинаковым.

Упорядочить переменные в уравнениях заданной СЛАУ можно разными способами (количество способов расставить три переменные составит $3!=6$). Я разберу два способа упорядочивания неизвестных.

Введём такой порядок: $c$, $y$, $a$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $left <begin& 3y+4a=17;\ & 7c+4y+2a=10;\ & 8c+5y-9a=25; \ & -c+5a=-4. endright.$

Матрица системы имеет вид: $ A=left( begin 0 & 3 & 4 \ 7 & 4 & 2\ 8 & 5 & -9 \ -1 & 0 & 5 end right) $. Матрица свободных членов: $B=left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=left( begin c \ y \ a end right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $Acdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ left( begin 0 & 3 & 4 \ 7 & 4 & 2\ 8 & 5 & -9 \ -1 & 0 & 5 end right) cdot left( begin c \ y \ a end right) = left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right) $$

Расширенная матрица системы такова: $left( begin 0 & 3 & 4 & 17 \ 7 & 4 & 2 & 10\ 8 & 5 & -9 & 25 \ -1 & 0 & 5 & -4 end right) $.

Введём такой порядок: $a$, $c$, $y$. Перепишем систему, расставляя неизвестные в необходимом порядке: $left < begin& 4a+3y=17;\ & 2a+7c+4y=10;\ & -9a+8c+5y=25; \ & 5a-c=-4. endright.$

Матрица системы имеет вид: $ A=left( begin 4 & 0 & 3 \ 2 & 7 & 4\ -9 & 8 & 5 \ 5 & -1 & 0 end right)$. Матрица свободных членов: $B=left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right)$. При записи матрицы неизвестных помним о порядке следования неизвестных: $X=left( begin a \ c \ y end right)$. Итак, матричная форма записи заданной СЛАУ такова: $Acdot X=B$. В развёрнутом виде:

$$ left( begin 4 & 0 & 3 \ 2 & 7 & 4\ -9 & 8 & 5 \ 5 & -1 & 0 end right) cdot left( begin a \ c \ y end right) = left( begin 17 \ 10 \ 25 \ -4 end right) $$

Расширенная матрица системы такова: $left( begin 4 & 0 & 3 & 17 \ 2 & 7 & 4 & 10\ -9 & 8 & 5 & 25 \ 5 & -1 & 0 & -4 end right) $.

Как видите, изменение порядка следования неизвестных равносильно перестановке столбцов матрицы системы. Но каким бы этот порядок расположения неизвестных ни был, он должен совпадать во всех уравнениях заданной СЛАУ.

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Видео:6 способов в одном видеоСкачать

Исследование СЛАУ. Общие сведения

В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

• единственное решение;
• бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
• ни одного решения (несовместные СЛАУ).

Пример 1

Система x + y + z = 1 2 x + 2 y + 2 z = 3 не имеет решений, поэтому она несовместна.

Система x + y = 1 2 x + 7 y = — 3 имеет единственное решение x = 2 ; y = 1 .

Система x + y = 1 2 x + 2 y = 2 3 x + 3 y = 3 имеет бесконечное множество решений x = t y = 1 — t при — ∞ t ∞ .

Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

• Совместна ли система?
• Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
• Как найти все решения?

Если система малоразмерна при m = n , то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

• если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
• если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
• если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

Видео:Решение системы линейных уравнений. Подстановка. С дробными выражениями.Скачать

Ранг матрицы и его свойства

Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

• при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
• при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
• при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

Обозначение ранга матрицы: r ( A ) , r g ( A ) , r A .

Свойства ранга матрицы:

1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
6. при умножении все элементов строки/столбца на число k н е р а в н о н у л ю ранг матрицы не изменяется;
7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r ( А ) ≤ m i n ( m ; n ) ;
8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r ( A ) = 0 .

Пример 2

А 1 = 1 1 1 2 2 2 3 3 3 , B 1 = 1 0 0 0 0 0

r ( A 1 ) = 1 , r ( B 1 ) = 1

А 2 = 1 2 3 4 0 5 6 7 0 0 0 0 ; В 2 = 1 1 3 1 2 1 4 3 1 2 5 0 5 4 13 6

📸 Видео

Лекция 13. Исследование систем линейных уравнений. Теорема Кронекера — Капелли.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

10. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.Скачать

Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Базисные решения систем линейных уравнений (03)Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса. Совместность системы. Ранг матрицы.Скачать

Решение системы уравнений методом Крамера.Скачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравненийСкачать

ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ - Как решать линейные уравнения // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать