Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Видео:Классификация уравнений второго порядка и их приведение к каноническому видуСкачать

Классификация уравнений второго порядка и их приведение к каноническому виду

Тема VI – Обыкновенные дифференциальные уравнения (стр. 9 )

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаИз за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

30.2. Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Особое место среди ДУЧП занимают так называемые квазилинейные уравнения 2-го порядка. Запишем такое уравнение относительно функции двух переменных в общем виде:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Эти уравнения часто встречаются в математических моделях физических процессов и теория их решения наиболее хорошо разработана.

Дискриминантом данного уравнения называется функция Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Говорят, что данное уравнение принадлежит

— к эллиптическому типу в области, где D 0

— к параболическому типу в области, где D=0.

Оказывается, подходящей заменой переменных квазилинейное уравнение параболического типа можно привести к каноническому виду:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

уравнение гиперболического типа – к каноническому виду

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

уравнение параболического типа – к каноническому виду

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

С последними уравнениями мы познакомимся как с уравнением колебаний струны (волновым уравнением) и уравнением теплопроводности.

30.3. Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка(1)

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкас краевыми условиями

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка(2)

и начальными условиями

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка(3)

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка(4)

описывает закон колебаний однородной тонкой нерастяжимой струны длины l, закрепленной на концах в точках х=0 и х=l (условия (2)), с начальной формой j(х) (условие (3)) и начальной скоростью y(х) (условие (4)), в поле действия внешней силы (например, силы тяжести, в магнитном поле и т. п.). Постоянный параметр a2 зависит от свойств струны, функция F(x;t) — от внешней силы. Если F(x;t)=0 – это значит, что внешней силы нет (или ей можно пренебречь) и колебания называются свободными.

Отметим, что колебания рассматриваются малые (отклонение u точек струны от положения равновесия – оси Ох – мало), плоские (колебания происходят только в плоскости хOu), поперечные (каждая точка струны движется строго перпендикулярно положению равновесия).

Уравнение свободных колебаний струны, закрепленной на концах:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

имеет решение вида

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

где коэффициенты Аn и Вn находят из начальных условий.

Именно, подставляя в u(x;t) t=0 получаем

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

то есть Аn – коэффициенты Фурье для функции j(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.

Далее, дифференцируя u(х;t) по t и подставляя t=0 получаем:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

то есть Классификация квазилинейных уравнений второго порядка– коэффициенты Фурье для функции y(х) при разложении на интервале (0; l) по синусам кратных дуг.

Напомним, что коэффициенты Фурье в общем случае вычисляются при помощи интегралов (см. тему «Ряд Фурье», с.38), а иногда их можно подобрать (если раскладываемая функция представляет собой сумму синусов кратных дуг).

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Решение: Имеет место задача свободных колебаний струны, закрепленной на концах (в точках 0 и 2). Здесь а2=9, т. е. а=3; l=2. Поэтому решение имеет вид:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

Используя первое начальное условие, получаем:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Можно подобрать коэффициенты An так, чтобы равенство выполнялось тождественно:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкапри n=3, следовательно, Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Чтобы использовать второе начальное условие, продифференцируем u(x;t) по t:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаТаким образом, получаем условие

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка,

и подбираем коэффициенты:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаИтак, имеется всего два ненулевых слагаемых: при n=2 (Классификация квазилинейных уравнений второго порядка) и при n=3 (Классификация квазилинейных уравнений второго порядка). Окончательно, получаем решение:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Замечание. Часто начальная скорость точек струны y(х)=0 (то есть рассматриваются колебания струны, которую в начальный момент времени оттянули и отпустили без рывка), тогда, очевидно, Вn=0.

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Решение: Имеем задачу свободных колебаний струны, закрепленной на концах, где a=1, l=3. Решение имеет вид:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Используем первое начальное условие:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Подобрать коэффициенты An здесь нельзя, будем их вычислять как коэффициенты Фурье разложения функции x(3-x) на интервале (0;3) по синусам:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаКлассификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Второе начальное условие тривиально, поэтому Bn=0.

Таким образом, получаем ответ:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядка;

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаКлассификация квазилинейных уравнений второго порядка

30.4. Уравнение свободных колебаний бесконечной струны.

Уравнение свободных колебаний бесконечной струны:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

(без краевых условий)

решают при помощи формулы Даламбера:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Решение: Имеем задачу свободных колебаний бесконечной струны (без краевых условий). Применяем формулу Даламбера:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка=

Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаКлассификация квазилинейных уравнений второго порядка.

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядка Классификация квазилинейных уравнений второго порядка Классификация квазилинейных уравнений второго порядкаКлассификация квазилинейных уравнений второго порядка; Классификация квазилинейных уравнений второго порядка;

Видео:Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому видуСкачать

Приведение ДУ 2 порядка в частных производных к каноническому виду

30.5. Уравнение теплопроводности.

Уравнение вида Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

с краевыми условиями Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

и начальным условием Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

описывает закон распределения температуры в однородном стержне длины l, на концах которого поддерживается нулевая температура. Функция F(x;t) характеризует существующие внутри стрежня точки (источники) выделения или поглощения тепла. Если таковые отсутствуют, F(x;t)=0 и уравнение называется однородным.

Решение однородного уравнения теплопроводности:

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

Классификация квазилинейных уравнений второго порядка

где коэффициенты Cn находятся из начального условия, так же как при решении уравнения свободных колебаний струны, закрепленной на концах.


источники:

💥 Видео

1.1. Классификация уравнений второго порядкаСкачать

1.1. Классификация уравнений второго порядка

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядкаСкачать

Классификация положений равновесия линейной автономной системы второго порядка

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентамиСкачать

ЛОДУ 2 порядка c постоянными коэффициентами

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения в частных производныхСкачать

Линейные дифференциальные уравнения в частных производных

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать

Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравнения

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядкаСкачать

14. Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Классификация линейных УрЧП 2-го порядкаСкачать

Горицкий А. Ю. - Уравнения математической физики - Классификация линейных УрЧП 2-го порядка

Лекция №7 Характеристики. Квазилинейные уравнения с частными производнымиСкачать

Лекция №7 Характеристики. Квазилинейные уравнения с частными производными

Тихонов Н. А. - Методы математической физики - Классификация уравненийСкачать

Тихонов Н. А. - Методы математической физики -  Классификация уравнений
Поделиться или сохранить к себе: