Классификация кубических уравнений омара хайяма (3 видео)

Содержание

Математика
Абу–л–Фатх Омар ибн Ибрагим ал–Хайям. (1048 – 1131)
Этапы жизни великого ученого
Омар Хайям — математик
Омар Хайям –астроном.
Омар Хайям – поэт и философ.
Теория кубических уравнений Омара Хайяма
Заключение
Омар Хайям
Математические исследования Омара Хайяма
Просмотр содержимого документа «Математические исследования Омара Хайяма»
📸 Видео

Видео:Каноническое кубическое уравнение и Омар ХайямСкачать

Математика

Видео:Уравнение Омара ХайямаСкачать

Абу–л–Фатх Омар ибн Ибрагим ал–Хайям. (1048 – 1131)

Внеклассная работа по математике.

Учитель математики
Татаурова Н. П.

Видео:Омар Хайям, Запрещенные цитаты которые стоит послушать! Цитаты, меняющие жизньСкачать

Этапы жизни великого ученого

Омар Хайям родился в городе Нишапур области Хорасан (север Ирана) в семье ремесленника (Хайям- по-персидски буквально –делающий палатки). Детство провел в Балхе. Потеряв отца в 18 лет, был вынужден прервать учение и зарабатывать на жизнь.

По оставшимся его научным трудам и сообщениям современников установлены некоторые детали биографии. Жил и работал в Самарканде, Исфахане и других городах Средней Азии и Ирана.

Когда он был еще молодым, большая часть Среднего Востока была захвачена сельджуками.

(Феодальная династия туркменского происхождения, названная по имени ее основателя – Сельджука. Сельджукское государство, созданное в середине 11века, охватывало ряд стран Ближнего и Среднего Востока. Распалось в 12 веке).

Положение честных ученых, которых преследовали властители, было крайне тяжелым.

Вот что пишет об этом сам Хайям в предисловии к своей «Алгебре»: «Я был лишен возможности систематически заниматься вопросом, и не мог сосредоточиться на размышлении о нем, так как обстоятельства заставляли меня терять много времени. Мы были свидетелями гибели ученых, от которых осталась небольшая многострадальная кучка людей. Суровость судьбы в эти времена препятствует им всецело отдаться совершенствованию и углублению своей науки. Большая часть тех, которые в настоящее время имеют вид ученых, одевают истину ложью, не выходя в науке за пределы подделки и лицемерия. И если они встречают человека, отличающегося тем, что он ищет истину и любит правду, старается отвергнуть ложь и лицемерие и отказаться от хвастовства и обмана, они делают его предметом своего презрения и насмешек».

Около 1069г. он, находясь в Самарканде, написал трактат « О доказательствах задач алгебры и ал-мукабалы». А до этого были написаны два математических трактата.

В 1074г. Хайям был приглашен ко двору сельджукского султана Джалалэддина Маликшаха, где пользовался покровительством как его, так и прогрессивного визиря Низам ал-Мулка. Вэтом же году Хайям возглавил крупнейшую астрономическую обсерваторию в Исфахане.

в 1077г. завершил работу над книгой «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида»,
в 1079г. вместе со своими сотрудниками ввел в действие календарь.

В середине 90-х годов 11в., после убийства Маликшаха и ал-Мулка обсерваторию закрыли, это было вызванно сменой правителей, Хайям совершил паломничество в Мекку. Об этом сообщает один из его недружелюбных биографов Ибн АЛ-Кифти следующими словами: что он совершил паломничество «…придержав поводья своего языка, а не из благочестия».

Около 1097г. Хайям работает врачом при наместнике Хорасана. Возможно, в это время он написал свой философский трактат на языке фарси – «О всеобщности бытия».

Последние 10-15 лет жизни Хайям провел в уединении в Нишапуре. Он мало общался с людьми, испытывал нужду, страдал из-за религиозных преследований.

В эти годы дружил только с книгой. В последние часы своей жизни, как сообщает историк Бейхаки, Хайям читал «Книгу исцеления» Ибн-Сины. Он дошел до раздела «О единстве и всеобщности» философского сочинения, положил на место зубочистку, встал, помолился и умер. Он прожил долгую и очень плодотворную жизнь.

Биографы, достаточно близкие к нему по времени, говорили в основном о его учености и научных трактатах. Только Ибн АЛ-Кифти пишет о стихах, «жалящих как змея».

В настоящее время неопровержимо доказаны исторические заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики, физики и других наук.

Видео:Четырёхстишия - подражание Омару Хайяму...Скачать

Омар Хайям — математик

Математические сочинения, дошедшие до наших дней, характеризуют Омара Хайяма как выдающегося ученого своего времени. Он сыграл большую роль в создании и развитии алгебры.

Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен.

Из других работ известно, что он содержит сведения о разработанном им общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев».

Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена a+b в степень n.

Славу Омару Хайяму, как алгебраисту, принесла теория геометрических решений алгебраических уравнений. Он изложил ее в трактате «О доказательствах задач алгебры и ал – мукабалы».

О.Хайям впервые высказал мысль о том, что уравнения третьей степени не решаются с помощью «свойств круга» (т.е. с помощью циркуля и линейки), он подчеркивал, что их можно решить только с привлечением конических сечений.

О.Хайям дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводятся к линейным и квадратным.. Для остальных 14 классов он указал метод решения с помощью конических сечений – параболы, равносторонней гиперболы, окружности.

Трактат «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» состоит из трех частей.

Первая часть посвящена теории параллельных линий. Стремясь доказать 5 постулат Евклида, Хайям сформулировал принцип, на котором основано его доказательство: «Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно чтобы прямые расходились в направлении схождения».

Кроме того, в первой части трактата рассматривается четырехугольник с двумя прямыми углами при основании и равными боковыми сторонами. Ученый исследовал величину двух других углов четырехугольника. Используя свой принцип, Омар Хайям опроверг гипотезу острого и тупого углов, а затем доказал 5 постулат.

О взаимосвязи геометрии с арифметикой Хайям пишет так: «Геометрия нуждается в числах».

Во второй и третьей частях трактата О.Хайям анализирует античную теорию отношений и учение о числе. Средневековый ученый внес значительный вклад и создание понятия действительного числа. Понятие иррационального числа стало равноправным с числом рациональным.

В трактате «Об искусстве определения количества золота и серебра в состоящем из них теле» рассматривается известная классическая задача, решенная Архимедом.

Эпиграфом к научной деятельности Омара Хайяма можно выбрать строчку из одного четверостишия

Омар Хайям работал в крупнейших научных и культурных центрах Средней Азии – Балхе, Самарканде, Исфахане, Бухаре, где прославился как великий математик.

Его приглашали ко двору многие властители Востока. Правитель Бухары в знак наивысшего уважения сажал его для беседы рядом с собой на престол. В Исфахане прошли наиболее плодотворные 18 лет жизни ученого. Он стал приближенным султана, но отказался принять власть над родным городом Нишапуром, говоря, что «не хочет управлять людьми, приказывать и запрещать, а хочет посвятить себя науке и людям». Омар Хайям пишет:

Хорошо, если платье твое без прорех,
И о хлебе насущном подумать не грех.
А всего остального и даром не надо-
Жизнь дороже богатства и почестей всех.
О своих занятиях наукой он пишет так:
Не была познанья жажда чуждой сердца моего,
Мало тайн осталось в мире, недоступных для него.
Семьдесят два долгих года размышлял я дни ночи.
Лишь теперь уразумел я, что не знаю ничего.

О том, как много работал ученый, видно из строк:

Мне мудрость не была чужда земная.
Разгадки тайн ища, не ведал сна я.

Видео:Одна из самых лучших притч Омара ХайямаСкачать

Омар Хайям –астроном.

От земной глубины до далеких планет
Мирозданья загадкам нашел я ответ.
От зенита Сатурна до чрева Земли
Тайны мира свое толкованье нашли.
Я распутал все петли вблизи и вдали…

Этими стихами можно начать рассказ об увлечении Омара Хайяма астрономией.

Благодаря покровительству одного их министров Сельджукского султана Маликшаха в распоряжение Омара Хайяма была представлена обсерватория в Исфахане.

Проводя астрономические наблюдения, он стал подлинным революционером в науке. Он считал, что Земля, как и другие небесные тела, движется в бесконечном пространстве Вселенной, вращаясь вокруг своей оси. О.Хайям утверждал, что Вселенная никогда не была создана – она существовала вечно.

Хайям учил, что только наука может открывать законы природы и заставлять природу служить людям. Он составил «Маликшахские астрономические таблицы», он работал над реформой иранского солнечного календаря. По ней високосными годами должны были считаться восемь лет из каждых 33. В среднем продолжительность года по Хайяму составляет 365 и 8/33 суток. Погрешность всего 19 секунд в год, точнее современного времени на 7 секунд. Год начинался со дня весеннего равноденствия, т.е. соответствовал ритмам природы и сельским работам. Весенние и летние месяцы такого года длились 31 день, все месяцы второй его половины -30 дней. В простые годы последний месяц имел 29 дней. Календарь Хайяма дает ошибку в один день за 5000 лет, тогда как нынешний Григорианский календарь дает ошибку в один день за 3330 лет. О своем календаре Хайям говорит в стихах:

Я рассчитал – твердит людей молва-
Весь ход времен. Но дней ведь только два
Изъял навек я из календаря:
Тот, что не знаем, — завтра, не вернем — вчера.

Реформа календаря была осуществлена в 1079 году; он действовал в Иране почти 900 лет и был отменен только в 1976 году.

«Эй, видящий вращенье небосвода,
Не помнящий, что смерть стоит у входа.
Очнись, взгляни хоть мельком, как с людьми
Жесткосердечно поступают годы!» —

с горечью писал Омар Хайям.

В 1092 году после смерти Маликшаха обсерватория была закрыта.

Кроме астрономии и математики, Омар Хайям увлекался географией, написал несколько трактатов по естествознанию.

Как настоящий ученый, он был скромен, сознавал, что лишь очень небольшая часть всех тайн Вселенной известна ему. Он писал:

Меня философом враги мои зовут.
Однако, — видит Бог, — ошибочен их суд.
Ничтожней многого я: ведь мне ничто не ясно.
Не ясно даже то, зачем и кто я тут.

Видео:17. Омар Хайям. #history #история #shortvideos #human #OmarKhayyamСкачать

Омар Хайям – поэт и философ.

Омар Хайям навсегда вошел в историю всемирной культуры не только как блестящий ученый – энциклопедист. Но и как прекрасный поэт и философ. Параллельно с занятиями наукой создавал он свои бессмертные стихотворения, известные всему миру под названием «Рубаи» (или «Четверостишия»)

Лирические стихи поэта о любви и дружбе, о поиске смысла жизни и о многом другом – оптимистичные и скорбные, практические и возвышенные, всегда наполнены глубоким смыслом.

В день завтрашний нельзя сегодня заглянуть,
Одна лишь мысль о нем стесняет мукой грудь.
Кто знает, много ль дней тебе прожить осталось?
Не трать их попусту, благоразумен будь.
Ты скажешь, эта жизнь — одно мгновенье.
Её цени, в ней черпай вдохновенье.
Как проведёшь её, так и пройдёт,
Не забывай: она — твоё творенье.
Сердце к злу тебя клонит – так делай добро!
Может узел распутать умело добро.
Если оба спешат стать навек твоим другом,
То в друзья выбирай себе смело добро!
Тот, кто в сердце своём тайны духа познал,
Тот читает в сердцах, кто б пред ним не стоял.
Сам он – море, ныряльщик и жемчуг бесценный!
Вникни в мудрость того, что сейчас я сказал!
Живи праведно, будь тем доволен, что есть,
Живи вольно, храни и свободу, и честь.
Не горюй, не завидуй тому , кто богаче,
Кто беднее тебя,- тех на свете не счесть!
Не теряй никогда в жизни мудрости суть,
Не теряй, чтоб к добру или злобе прильнуть!
Ты – и путник, и путь, и привал на дороге,-
Не теряй же к себе возвращения путь!
Будешь людям служить – будешь ими любим,
Другом верным, желанным становишься им.
Мы – источник веселья – и скорби рудник,
Мы вместилище скверны – и чистый родник.
Человек – словно в зеркале мир,- многолик,
Он ничтожен – и он же безмерно велик.
Послушай, юноша, что старец произносит —
Он только суть одну тебя постигнуть просит:
Не должен ты дружить с безграмотным невеждой,
Не должен труд вершить, что пользы не приносит.

Поэзия непревзойденного мастера блестящих по остроумию и изяществу четверостиший пронизана стремлением к радостям земной жизни. Он прославляет человеческие чувства и подлинный, смелый и всё постигающий разум. Справедливость, доброта, свобода, честность – вот идеалы для Хайяма.

И с другом, и с врагом ты должен быть хорош!
Кто по натуре добр, в том злобы не найдёшь.
Обидишь друга — наживёшь врага ты,
Врага обнимешь — друга обретёшь.
Мы не знаем, протянется ль жизнь до утра.
Так спешите же сеять вы зёрна добра!
И любовь в тленном мире к друзьям берегите
Каждый миг пуще золота и серебра.
Будь мудр и жалкий путь глупца себе не выбирай.
Коль щедр друг, в друзья скупца себе не выбирай.
Сердца людей открыты тем, кто помыслами чист,
Дари всем благ, но льстеца себе не выбирай.
Не смотри, что иной выше всех по уму,
А смотри, верен слову ли он своему.
Если он своих слов не бросает на ветер —
Нет цены, как ты сам понимаешь, ему.
Изначальной всего остального – любовь,
В песне юности первое слово — любовь.
О, несведущий в мире любви горемыка,
Знай, что всей нашей жизни основа — любовь!

В своих бессмертных стихах Омар Хайям воспевал свободу, бичевал ханжество и лицемерие, высмеивал суеверие, отвергая веру в потусторонний мир. Обращаясь к Богу, Хайям пишет о несправедливости на земле:

Говорят, что ты смертных умеешь прощать,
Не дозволишь грешить и не дашь обнищать.
Если ты воскресишь меня ангелом светлым,
То зачем меня черною книгой стращать?
Небо! Жалуешь ты почему подлецов?
Бани, мельницы — им, им – сиянье дворцов.
Человек благородный и хлеба не видит.
Наплевать я на небо такое готов.
Когда б я властен был над этим небом злым,
Я б сокрушил его и заменил другим,
Чтоб не было преград стремленьям благородным,
И человек мог жить, тоскою не томим.

Стихи Омара Хайяма – своеобразный бунт против догм официальной религии.

Душой ты безбожник с Писаньем в руке.
Хоть вызубрил буковки в каждой строке.
Без толку ты оземь башкой ударяешь,
Ударь лучше оземь всем тем, что в башке!

Миром правят насилие, злоба и месть,
Что еще на земле достоверного есть?
Где счастливые люди в озлобленном мире?
Если есть – их по пальцам легко перечесть.
Я презираю лживых, лицемерных
Молитвенников сих, ослов примерных.
Они же, под завесой благочестия,
Торгуют верой хуже всех неверных.

За такие стихи поэт подвергался нападкам духовенства и, изливая душу в своих четверостишиях, часто недоговаривая, скрываясь за намеками, сохранил свою жизнь только благодаря покровительству высоких правителей. В одном из своих стихотворений Хайям пишет:

То облечет судьба меня в шелка,
То обдерет, как дольку чеснока,
Но об ее капризах долго думать –
Так превратишься скоро в старика.

Но надо заметить, что ученый – поэт тяжело переживал свою постоянную зависимость от богатых меценатов, отсутствие свободы личности. Он пишет:

О, если б каждый день краюху хлеба,
Над головою кров и скромный угол, где бы
Ничьим владыкою, ничьим рабом не быть _
Тогда благословить за счастье можно небо.
Лучше впасть в нищету, голодать или красть,
Чем в число блюдолизов презренных попасть,
Лучше кости глодать, чем прельститься сластями
За столом у мерзавцев, имеющих власть.
Долго ль будешь ты всяким скотам угождать?
Только муха за харч может душу отдать!
Кровью сердце питайся, но будь независим.
Лучше слезы глодать, глодать, чем объедки глодать.
Лучше мыкать нужду и невзгоды с ослом,
Чем с презреньем сидеть за обильным столом.
Лучше черствую корку глодать в одиночку,
Чем халвой угощаться с вельможным ослом.

На самом же деле великий ученый был глубоко верующим человеком.

Его истинная вера выражалась в его стихах:

Есть много вер, и все несхожи…
Что значит – ересь, грех, ислам?
Любовь к тебе я выбрал, Боже,
Все прочее – ничтожный хлам.

Мусульманин, еврей иль язычник ты есть —
Жертвуй жизнью, чтоб душу до Бога донесть.

Будь прямой, как стрела, в соблюдении веры!
Иль — лежать в колчане тебе скромная честь.

Только Бог! Ничего больше нет, знаю я,
Мне о том рассказала тетрадь Бытия.
Светом Истины сердце едва озарилось –
От неверья очистилась вера моя!

Ты, стремящийся в вечность дорогу найти,
Можешь в светлой молитве ты много найти,
Бог – в тебе, а великое небо есть в сердце,
Лишь в себе – где еще тебе бога найти?

Видео:Омар Хайям "Кто предал раз..." цитатаСкачать

Теория кубических уравнений Омара Хайяма

Для уравнений, содержащих еще кубы и не приводящихся к квадратным (путем сокращения, как мы бы сказали, на первую степень неизвестного), решение возможно только с помощью конических сечений, причем в этом случае следует опираться на две первые книги труда Аполлония. Насколько известно — это первое указание, что уравнения третьей степени не решаются, вообще говоря. с помощью циркуля и линейки. В 1637 г. с подобным утверждением вновь выступил Р. Декарт, а еще 200 лет спустя его доказал П. Ванцель (1837).

Хайям ставит задачу численного решения кубического уравнения наподобие квадратных, но признает, что все усилия в этом направлении были тщетны:

«Доказательство этих видов в том случае, когда предмет задачи есть абсолютное число, невозможно ни для нас, ни для кого из тех, кто владеет этим искусством. Может быть, кто-нибудь из тех, кто придет после нас, узнает это . ». Решение в радикалах кубических уравнений нашли в ХVI в. итальянские математики Ш. дель Ферро и Н. Тарталья.

Главное содержание алгебры Хайяма составляет классификация уравнений, геометрическое построение корней и определение числа и границ положительных решений. У равнения рассматриваются в общем виде, т. е. с произвольными положительными коэффициентами, но выражены словесно. В основу классификации положены степень уравнения и число членов, имеющихся в обеих частях уравнения. Всего получается 25 канонических видов, из которых шесть были рассмотрены еще ал-Хорезми, пять приводятся к ним делением на неизвестное и 14 строятся с помощью конических сечений. Эти 14 видов разделяются на: 1) один двучленный, 2) шесть трехчленных, З) семь четырехчленных, которые в свою очередь разбиты па два класса — в одном из них трехчлены равны одночлену, а в другом двучлены — двучленам. В классификацию вошли только уравнения, которые могут иметь положительные решения.

Решение квадратных уравнений не содержит чего-либо нового, и мы сразу перейдем к кубическим уравнениям. Вслед за древними, Хайям строго соблюдает принцип однородности. Он, например, предупреждает, что, говоря о равенстве числа и поверхности, понимает под числом прямоугольник, одна из сторон которого есть единица, а другая взята соответственным образом. Точно так же под телесным числом он понимает прямой параллелепипед, в основании которого лежит квадрат со стороной единица и высота которого относится к этой стороне, как данное число к единице. Каждое уравнение перед построением приводится к однородной форме, например уравнение

(1)

( )

Рис.1

Такое приведение основано на ,специальных элементарно-геометрических теоремах.

Прежде всего, Хайям дает построение с помощью двух парабол корня двучленного кубического уравнения. Затем решается уравнение (1) или (1′) с помощью окружности

(см. рис. 1, на котором положительное направление оси абсцисс — влево, а оси ординат — вниз). Абсцисса точки пересечения этих кривых, отличная от начала, удовлетворяет данному уравнению. Хайям доказывает это с помощью словесно выраженных пропорций. Он говорит, что по свойству параболы , а по свойству круга

Прибавляя с обеих сторон по , Хайям получает:

У этого вида, заключает Хайям, нет многообразия случаев и невозможных задач, т. е. уравнение (1) всегда имеет единственный положительный корень. Это ясно из построения.

Построение корней следующего вида уравнения

(2)

(для простоты мы далее не соблюдаем в записях однородности) представляет особый интерес. Это уравнение Хайям: решает с помощью параболы

и левой части равносторонней гиперболы

Здесь, говорит Хайям, имеется многообразие случаев и среди задач имеются невозможные. В самом деде, кривые могут не пересечься (правая ветвь, проходящая через вершину параболы и пересекающаяся с ней еще в одной точке, не принимается во внимание: соответствующий корень отрицателен); и тогда задача невозможна (уравнение имеет отрицательный и два мнимых корня). Но кривые могут также касаться в одной точке или пересекаться в двух точках. В первом случае уравнение (2) имеет одно решение, а во втором — два. Таким образом, Хайям устанавливает возможность существования двух корней уравнения третьей степени; далее встречается еще несколько таких случаев.

Мы рассмотрим еще анализ уравнения

встречающегося в задаче Архимеда. Построение корней производится с помощью параболы

Согласно Хайяму, уравнение может иметь два или один положительный корень, соответственно пересечению или касанию верхних ветвей параболы и гиперболы, но может и не имеет решений, когда эти ветви не встречаются (см. рис. 2,где ). При этом Хайям устанавливает

некоторые пределы корней. Прежде всего, он показывает, что при решений нет, так как тогда при будет при будет и при будет , что противоречит данному уравнению. Далее он разбирает случаи , сравнивая ординаты параболы и гиперболы (BD) при . 1) Если , то обе ординаты кривых равны и, как легко видеть, имеет место одно пересечение, так что получаются два решения. 2) Если , то и ордината гиперболы больше ординаты параболы . Справа от BD кривые могут не встретиться, но могут и пересечься или иметь касание; задача, соответственно, невозможна или же имеет одно либо два решения меньших .

3) Наконец, если ,то точка D гиперболы лежит внутри параболы и имеются два пересечения, т. е. решения.

Довольно подробный анализ Хайяма не является все же исчерпывающим. Еще Архимед и затем ал-Кухи установили, что граница положительных корней определяется условием , между тем как Хайям показывает лишь, что два корня имеются при могут быть либо два корня, либо один, либо ни одного и при корень не существует.

Разбирая уравнение Архимеда, Хайям замечает, что Абу-л-Джуд допустил здесь ошибку, полагая, что при имеет место касание, а при кривые не встречаются. Эту ошибку Хайям опровергает на примере числового уравнения.

В данном случае . Вместе с тем кривые

встречаются при x=6 (корень не указан). Впрочем, в другом примере, примыкающем к предыдущему, просчет допускает сам Хайям. Он хочет привести случай, когда при несколько большем, чем кривые не пересекаются, и рассматривает уравнение

При абсциссах ординаты параболы оказываются соответственно меньшими ординат гиперболы, и Хайям делает вывод, что кривые не пересекаются. В действительности кривые имеют между этими двумя точками два пересечения; это следует хотя бы из того, что при промежуточном значении ордината гиперболы меньше ординаты параболы. Хайяму следовало взять свободный член больше, скажем 43 3 .

Эти два примера весьма показательны: они свидетельству ют о том, что общая геометрическая теория отделения корней применялась к уравнениям с числовыми коэффициентами. В дополнении к трактату, где разобраны оба примера, Хайям говорит, что стремился, соблюдая полноту анализа, быть кратким и потому не добавил числовые примеры на каждый вид и его случаи. Он «ограничился изложением общих правил, доверяя уму учащегося, так как тот, кто хорошо представляет этот трактат, не будет остановлен частными примерами и относящимся к ним подбором».

Среди пробелов у Хайяма наиболее досадным является неполный разбор уравнения

(4)

для построения, которого служит окружность

Хайям правильно указывает, что уравнение всегда имеет корень — абсциссу точки К (рис. 3 где ) и что при этот корень единственный. Однако он не заметил, что при могут существовать еще два положительных корня.

Так Хайям прошел мимо открытия трех корней кубического уравнения, которые обнаружил лишь Дж. Кардано в середине XVI в. Впрочем, заметить

возможность еще двух точек пересечения между А и К па чертеже Хайяма нелегко.

Разобрав 25 видов уравнений, Хайям: рассматривает уравнения, содержащие обратные степени неизвестной и приводящиеся к предыдущим. По поводу уравнения

он говорит, что построение его, сводящееся к определению четырех средних пропорциональных между 1 и а, было дано ибн aл-Хайсамом, но оно слишком сложно, чтобы приводить его в данной книге. В связи с уравнением

т. е. уравнением четвертой степени, Хайям замечает, способ его решения неизвестен.

Математики стран ислама и после Хайяма занимались геометрической теорией уравнений высших степеней. В одной анонимной рукописи содержится построение задачи, приводящейся к уравнению четвертой степени, причем сказано, что в течение некоторого времени геометры и алгебраисты предлагали друг другу эту задачу, не находя решения. Требуется построить трапецию ABCD, у которой AB=AD= BC=10 и площадь равна 90. Если представить себе задачу решенной (рис. 4) и опустить перпендикуляр АК на продолжение CD, а за неизвестную принять DK=z , то

Проведем перпендикулярно к, АВ и через Е гиперболу

(ось абсцисс BA, ось ординат BE), а из центра В окружность

Абсцисса точки пересечения С обеих кривых есть корень уравнения, и дальнейшее построение очевидно.

Из «Ключа арифметики» aл-Каши мы узнаем, что сочинение о 19 видах уравнений, помимо общеизвестных шести (т. е. о видах, ранее разобранных Хайямом), написал Шарафэддин ал-Мас’уди, математик, работавший в XII-XIII вв. в Тусе и бывший одним из учителей Насирэддина ат-Туси. Вряд ли можно сомневаться, что ал-Мас’уди, как и его ученик был знаком с трудами Хайяма. Сам ал-Каши занимался уравнениями четвертой степени и утверждает, что дал решение 70 их видов (в действительности их 65), которых не касались ни его предшественники, ни современники. Ал-Каши выражает намерение посвятить этому вопросу отдельную книгу; успел ли он написать ее — неизвестно.

В мавританских странах геометрическая теория уравнений распространения не получила, во всяком случае западные арабы ею не занимались, хотя о ней кое-что знали. Ибн Халдун писал и XIV в.:

«До нас дошло, что некоторые великие ученые Востока распространили число уравнений за эти шесть видов, доведя их более чем до двадцати, и нашли для них надежные решения с помощью геометрических доказательств. Аллах превозносит тех, кого ему благоугодно . »

В XVII веке геометрическое построение корней уравнений высших степеней привлекло большое внимание европейских математиков. Р. Декарт положил в основу своей универсальной математики построение действительных корней произвольных алгебраических уравнений с помощью соответственно подобранных алгебраических кривых. В частности, он дал единое построение уравнений третьей и четвертой степеней с помощью параболы и окружности. С применением геометрических построений в алгебре было тесно связано у Декарта развитие аналитической геометрии, например разработка классификации алгебраических кривых. Построением уравнений занимались почти все крупные математики XVII и даже ХVIП в., включая И. Ньютона, посвятившего ему целый отдел своей книги по алгебре. Впрочем, из общего геометрического метода решения задач, каким служило построение корней у Декарта, уже у Ньютона оно становится лишь одним из способов приближенного определения 2-х или 3-х первых цифр корней. В XVII и следующих веках получил развитие и поставленный еще Архимедом и затем в арабской алгебре вопрос, о границах корней уравнений.

Видео:Цитата Омара Хайяма #лучшиецитаты #лучшиецитаты #цитаты #цитатывеликихлюдейСкачать

Заключение

О Хайяме высказывали противоречивые мнения. В конце прошлого века русский востоковед В. Жуковский дал такую характеристику Омару Хайяму: «Он вольнодумец, разрушитель веры; он – безбожник и материалист; он – насмешник над мистицизмом; он – правоверный мусульманин, точный философ, острый наблюдатель, ученый….

Он не просто богохульник, а воплощенное отрицание противоположной веры; он – мягкая натура, преданная более созерцанию божественных вещей, нежели жизненным наслаждением; он – скептик; он – персидский Абу – ала, Вольтер, Гейне»

Его труды принесли огромную пользу в развитии наук, а замечательные рубаи до сих пор покоряют читателей своей предельной емкостью, лаконичностью, простотой изобразительных средств, гибким ритмом.

Хайям страстно желал переустройства мира и делал для этого все, что в его силах: открывал законы природы, устремлял взгляд на звезды, вникал в тайны мироздания и помогал людям освобождаться от духовного рабства. Он видел, что все религии сковывают человеческий дух, силу его разума, и понимал, что только освободившись от этого, человек сможет жить свободно, счастливо.

В настоящее время О.Хайяма по праву оценивают как одну из самых видных фигур в истории мировой поэзии и науки. Его работы переведены на все основные языки мира.

Пророческими оказались слова Хайяма:

Не тоскуй же! Пока этот мир будет жить,
Людям имя твое и твой след не забыть.
Пока на тебе движутся стройно светила.
Мысль твоя – это к сути незримая нить.

Имам Хорасана, Ученейший Муж Века, Знаток Истины, Царь Философов Востока и Запада – таков неполный список почетных титулов Омара Хайяма в зените славы.

На Востоке во время творчества Хайяма были известны такие ученые математики как Мухаммед аль – Хорезми (727-ок.850) впервые дал изложение десятичной позиционной нумерации с применением индийских цифр, его трактат по алгебре стал основой создания алгебры как науки. Астроном и математик Абу Рейхан Бируни (10-11век), «Книга вразумления начаткам науки о звездах» кратко изложил арифметику, алгебру и геометрию в виде вопросов и ответов, что делало знания более доступным для понимания; в других работах рассмотрел некоторые вопросы из арифметики, алгебры, геометрии и тригонометрии, достаточно точно определил размеры земли.

Список используемой литературы:

Глейзер Г. И. История математики в школе VII-VIII кл. Пособие для учителей. –М.: Просвещение, 1982.
Омар Хайям – математик и поэт.//Математика в школе. №17/ 98.
Юшкевич А. П. История математики в средние века.1961

Видео:Цитата Омар Хайяма "Не верь тому..."Скачать

Омар Хайям

Сегодня Омар Хайам известен прежде всего своими прекрасными, лаконичными и полными мудрости четверостишиями «рубаи». Однако о том, что Омар Хайам славился в древности как выдающийся математик, почти никто не помнит.

Образование Омар Хайам получил в Нишапуре, затем продолжил обучение в других крупных центрах науки того времени, в Балхе и Самарканде. В Самарканде Хайам создал свой знаменитый трактат «О доказательствах задач алгебры и алмукабалы».

В 1074 года Омар Хайам стал во главе крупнейшей астрономической обсерватории стран ислама. В середине 90-х гг. XI века нашей эры Хайам совершил паломничество в Мекку.

Все математические изыскания Хайама можно разделить на три группы, в соответствии с направлением исследований: теории параллельных, теории отношений и учению о числе. В своих исследованиях Омар Хайам опирался прежде всего на опыт греческой и эллинистической науки — Аристотеля, Евклида, и др. Однако он сумел дополнить уже известное и создать новую, мощную математику с определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.

Именно Омар Хайям создал в алгебре классификацию кубических уравнений и указал способы их решения с помощью конических сечений.

В своем выдающимся сочинении «Трактат о доказательствах проблем ал-джебры и ал-мукабалы» Хайам представляет объемный свод систематизированных алгебраических знаний тех времен. В нем Хайям изложил методы решения не только квадратных, но и кубических уравнений. К тому же Хайям привёл обоснование геометрического метода Архимеда, классификацию типов уравнений, указывает алгоритм выбора типа конического сечения, дает оценку числа (положительных) корней и их величины. Единственным недостатком исследований Хайяма было упущение того, что кубическое уравнение может иметь 3 вещественных корня. Однако Хайям надеялся на то, что его работа послужит опорой и основой для будущих исследований, которые найдут правильное решение.

В другом математическом трактате «Об истолковании темных положений у Евклида» 1077 года нашей эры, Омар Хайам в противоположность древнегреческим ученым рассматривает иррациональные числа как имеющие право на существование. В этом трактате Хайам сделал попытку доказать пятый постулат Евклида, опираясь на более очевидный его эквивалент.

Видео:Мудрость востока в цитатах рубайята Омара ХайямаСкачать

Математические исследования Омара Хайяма

Омар Хайям Уроженец города Нишапура в Хорасане. Омар был сыном палаточника, также у него была младшая сестра Аиша. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурской средней школы. Он блестяще закончил курс по мусульманскому праву и медицине получив квалификацию хакима, то есть врача. В возрасте шестнадцати лет Хайям потерял отца и мать из-за эпидемии. После Омар продал отцовский дом и мастерскую и отправился в Самарканд. В то время это был признанный на Востоке научный и культурный центр. В Самарканде Хайям становится вначале подмастерьем одного из учителей, но после нескольких выступлений на диспутах он настолько поражает всех своей учёностью, что его повышают до ранга наставника

Просмотр содержимого документа
«Математические исследования Омара Хайяма»

Успехи Омара Хайяма

В 1074 году его пригласили в Исфахан, ко двору сельджукского султана Мелик-шаха I, где Омар становится духовным наставником султана. Через два года Мелик-шах назначил его руководителем дворцовой обсерватории, одной из крупнейших в мире. Работая на этой должности, Омар Хайям не только продолжал занятия математикой, но и стал известным астрономом. С группой учёных он разработал солнечный календарь, более точный, чем григорианский. Составил «Маликшахские астрономические таблицы», включавшие небольшой звездный каталог. Здесь же написал «Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида».

Омар Хайям — математик

Я познание сделал своим ремеслом,
Я знаком с высшей правдой и низменным злом
Все тугие узлы я распутал на свете.
Кроме смерти, завязанной мертвым узлом.

Первый математический трактат Омара Хайяма «Трудности арифметики» пока не обнаружен. Из других работ известно, что он содержит сведения о разработанном Хайямом общем приеме извлечения корня любой степени с натуральным показателем «методом индийцев», т. е. с помощью правил ( a + b ) 2 и (а + b ) 3 . Основываясь на известных фактах, ученые предполагают, что Хайям открыл формулу возведения двучлена а + b в степень n .

(К сожалению, результаты работы математиков Востока не были известны в Европе до XVII в., поэтому их пришлось открывать заново.)

Омар Хайям дал полную классификацию кубических уравнений, имеющих положительные корни. Он выделил 19 классов; из них 5 сводятся к линейным и квадратным (ах3= сх2, ах3=bх и др.). Для остальных 14 классов (ах3= а, ах3+bх = а и т. д.) Хайям указал метод решения с помощью конических сечений — параболы, равносторонней гиперболы, окружности. Например, он указывал, что при любых значениях а и b уравнение х3+bх = а имеет единственный положительный корень.
(Теория решения кубических уравнений с помощью конических сечений была развита в Европе в XVII в. Декартом и другими учеными, которые не были знакомы с трудами О. Хайяма.)

Трактат О. Хайяма «Комментарии к трудным постулатам книги Евклида» написан им в 1077 году.

Первая часть посвящена теории параллельных линий. Он пытается разобраться с V постулатом Евклида. Мы знаем, что Евклид, живший примерно 365-300гг. до н.э. в своём знаменитом сочинении «Начало» изложил свой подход к построению геометрии. То есть сначала формулируются исходные положения — аксиомы, а затем на их основе путём логических рассуждений, доказываются другие утверждения.

Пятый постулат Евклида звучит так:

Через точку, не лежащую на данной

прямой, можно провести только

одну прямую, параллельную данной.

Многие математики, начиная с древних времён, предпринимали попытки доказать V постулат Евклида. Однако эти попытки каждый раз оказывались неудачными.

И лишь в XIX веке великий русский математик Николай Иванович Лобачевский доказал, что это утверждение нельзя доказать, а значит оно является аксиомой.

Стремясь доказать V постулат Евклида, Хайям сформулировал принцип:

«Две сходящиеся прямые пересекаются, и невозможно, чтобы две сходящиеся прямые расходились в направлении схождения». Используя свой принцип, Омар Хайям доказал V постулат.

Несколько слов еще об одном трактате Омара

Хайяма — «Об искусстве определения

количества золота и серебра в состоящем

из них теле» . В нем рассмотрена известная

классическая задача, решенная Архимедом.

О своих занятиях наукой Омар Хайям пишет так:

О взаимосвязи геометрии с арифметикой Омар Хайям пишет так: «Геометрия нуждается в числах» . Этим он предвосхитил Декарта, создавшего аналитическую геометрию.

Не была познанья жажда чуждой сердца моего,

Мало тайн осталось в мире, недоступных для него.

Омар Хайям ввел в новый календарь високосные годы продолжительностью 366 дней каждые пять лет. Средняя продолжительность года была определена Омаром Хайямом в 365,2424 дня. Ошибка в расчетах его календаря составляла один день за 5000 лет. Точность этого календаря, названного «летоисчислением Малики», превышает точность современного григорианского календаря в 1,5 раза. Омар Хайям написал знаменитые астрологические альманах-таблицы «Зидж-Малик-шахи», которыми пользовались многие арабские астрологи. В нем были не только положения планет и звезд, но и астрологические трактовки их воздействия.

В ранних работах, посвящённых кубическим уравнениям, Омар Хайам обнаружил, что кубическое уравнение может иметь более одного решения и утверждал, что уравнение не может быть решено с помощью циркуля и линейки. Он также нашёл геометрическое решение кубического уравнения. По сути Омар Хайам открыл или заложил фундамент открытия комплексных чисел.

Геометрическое решение кубического уравнения

Как показано на графике, для решения уравнения третьей степени , где Омар Хайям построил параболу и окружность, имеющую в качестве диаметра отрезок положительной полуоси x , и вертикальную прямую, проходящую через пересечение параболы и окружности. Решение определяется длиной горизонтального отрезка от начала координат до пересечения вертикальной прямой с осью x .

Омар Хайям внёс огромный вклад в развитие алгебры и астрологии. Именно благодаря этому гению были подробно изучены кубические уравнения и, в следствии, открыты комплексные числа, и заложены основы алгебры, как науки.