Кинетическое уравнение больцмана в полупроводниках

КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА — интегродифференц. ур-ние, к-рому удовлетворяют неравновесные одночастичные функции распределения системы из большого числа частиц, напр, ф-ция распределения молекул газа по скоростям и координатам r, ф-ции распределения электронов в металле, фононов в кристалле и т. п. К. у. Б.- осн. ур-ние мик-роскопич. теории неравновесных процессов (кинетики физической), в частности кинетической теории газов. К. у. Б. в узком смысле наз. выведенное Л. Больцма-ном (L. Boltzmann) кинетич. ур-ние для газов малой плотности, молекулы к-рых подчиняются классич. механике. К. у. Б. для квазичастиц в кристаллах, напр. для электронов в металле, наз. также кинетич. ур-ниями или ур-ниями переноса.

К. у. Б. представляет собой ур-ние баланса числа частиц (точнее, точек, изображающих состояние частиц) в элементе фазового объёма ; dr= =dxdydz)и выражает тот факт, что изменение ф-ции распределения частиц со временем t происходит вследствие движения частиц под действием внеш. сил и столкновений между ними. Для газа, состоящего из частиц одного сорта, К. у. Б. имеет вид

где — изменение плотности числа частиц в элементе фазового объёма за единицу времени, F= =F(r,t) — сила, действующая на частицу (может зависеть также и от скорости), — изменение ф-ции распределения вследствие столкновений (интеграл столкновений). Второй и третий члены ур-ния (1) характеризуют соотв. изменения ф-ции распределения в результате перемещения частиц в пространстве и действия внеш. сил. Её изменение, обусловленное столкновениями частиц, связано с уходом частиц из элемента фазового объёма при т. н. прямых столкновениях и пополнением объёма частицами, испытавшими «обратные» столкновения. Если рассчитывать столкновения по законам классич. механики и считать, что нет корреляции между динамич. состояниями сталкивающихся молекул, то

— скорости частиц до столкновения, — скорости тех же частиц после столкновения, — величина относит. скорости сталкивающихся частиц, — дифференц. эфф. сечение рассеяния частиц в телесный угол в лаб. системе координат, — угол между относит. скоростью и линией центров. Напр., для жёстких упругих сфер, имеющих радиус R, = , для частиц, взаимодействующих по закону центр. сил, (b — прицельный параметр, — азимутальный угол линии центров).

К. у. Б. учитывает только парные столкновения между молекулами; оно справедливо при условии, что длина свободного пробега молекул значительно больше линейных размеров области, в к-рой происходит столкновение (для газа из упругих частиц это область порядка диаметра частиц). Поэтому К. у. Б. применимо для не слишком плотных газов. Иначе будет несправедливо осн. предположение об отсутствии корреляции между состояниями сталкивающихся частиц (гипотеза молекулярного хаоса). Если система находится в статистич. равновесии, то интеграл столкновений (2) обращается в нуль и решением К. у. Б. является Максвелла распределение.

При более строгом подходе для построения К. у. Б. исходят из Лиувилля уравнения для плотности распределения всех молекул газа в фазовом пространстве, из к-рого получают систему ур-ний для ф-ций распределения одной, двух и т д. молекул (Боголюбова уравнения). Эту цепочку ур-ний решают с помощью разложения по степеням плотности частиц с использованием граничного условия ослабления корреляций, заменяющего гипотезу молекулярного хаоса.

Решение К. у. Б. при разл. предположениях о силах взаимодействия между частицами — предмет кинетич. теории газов, к-рая позволяет вычислить кинетические коэффициенты и получить макроскопич. ур-ния для процессов переноса (вязкости, диффузии, теплопроводности).

Для квантовых газов значения эфф. сечений рассчитывают на основе квантовой механики с учётом неразличимости одинаковых частиц и того факта, что вероятность столкновения зависит не только от произведения ф-ций распределения сталкивающихся частиц, но и от ф-ций распределения частиц после столкновения. Для фермионов в результате этого вероятность столкновения будет уменьшаться, а для бозонов — увеличиваться. Оператор столкновения в квантовом случае принимает вид

где знак минус соответствует Ферми — Дирака статистике, а знак плюс — Бозе — Эйнштейна статистике, g — статистич. вес состояния (g = l для частиц со спином, равным нулю, и g=2 для частиц со спином),— импульс частицы. Ф-ции нормированы так, что представляют ср. число частиц в точке . Равновесные ф-ции распределения Ферми и Бозе обращают в нуль оператор столкновения (3).

Важным частным случаем К. у. Б. является кинетич. ур-ние для нейтронов, к-рые рассеиваются и замедляются ядрами среды. В этом случае внеш. сил нет и в ур-нии (1) надо положить F=0. Плотность числа нейтронов обычно мала, так что можно пренебречь столкновениями между ними и учитывать лишь их столкновения с ядрами среды (см. Диффузия нейтронов, Замедление нейтронов).

Процессы переноса, связанные с движением электронов в металле, также можно исследовать с помощью К. у. Б. В отсутствие колебаний решётки электроны свободно распространяются в металле н описываются плоскими волнами, модулированными с периодом решётки и зависящими от волнового вектора k; и номера энергетич. зоны l. Тепловое движение атомов решётки нарушает периодичность и приводит к рассеянию электронов (столкновениям между электронами и фононами). Ф-ция распределения электронов n(k, l, t)удовлетворяет К. у. Б. типа (1), в к-ром F= (E и Н — напряжённости электрич. и магн. полей, е — заряд электрона), а интеграл столкновений имеет вид

где n=n(k,l), — волновые векторы и номера зон до и после столкновения, N= =N (f, s) — ф-ция распределения фононов, f и s — волновой вектор и поляризация фононов, — нач. и конечная энергии электрона при возбуждении фонона с энергией — дельта-ф-ция, — матричные элементы перехода электрона из состояния k, l в состояние, к-рые оценивают, исходя из определ. гипотез о механизме взаимодействия электронов с решёткой. Выражение (4) получено в предположении, что время свободного пробега электронов значительно больше неопределённости для времени столкновения. Теория электропроводности, термоэлектрич. и гальвано-магн. явлений в металлах и полупроводниках основана на решении К. у. Б.

В нек-рых случаях конденсиров. систем, когда известен характер теплового движения, можно построить К. у. Б. для элементарных возбуждений (квазичастиц). Напр., теория процессов переноса энергии в кристал-лич. решётке основана на ур-нии такого типа. Если в выражении для потенц. энергии решётки ограничиться квадратичными относительно смещений атомов членами, то тепловое движение атомов в кристалле описывается свободно распространяющимися фононами — квантами нормальных колебаний решётки. Учёт членов 3-й степени приводит к возможности столкновений между фононами. В результате ф-ция распределения фононов N (f, s) будет изменяться во времени согласно кинетич. ур-нию

коэф. при кубич. членах в разложении потенц. энергии кристалла по отклонениям атомов из положения равновесия, — плотность. Ур-ние (5) описывает тройные столкновения фононов с уничтожением двух фононов и рождением одного (и обратные им процессы). Оно является ур-нием баланса фононов, движущихся в волновом пакете с групповой скоростью и сталкивающихся между собой. Теория теплопроводности непроводящих кристаллов основана на решении ур-ния (5) при малых отклонениях от статистич. равновесия.

К. у. Б. применимо также к процессам, в к-рых частицы испытывают взаимные превращения, напр, в теории ливней, образующихся при попадании космич. частиц больших энергий в атмосферу. В этом случае кинетич. ур-ния составляются как система ур-ний баланса для заряж. частиц и фотонов в данном интервале энергии и импульса. Эти ур-ния выражают тот факт, что изменение ф-ции распределения (кроме эффектов рассеяния) происходит вследствие образования пар заряж. частиц фотонами и испускания заряж. частицами фотонов в виде тормозного излучения в поле ядер.

На решении этих ур-ний основана каскадная теория ливней.

Лит. см. при статьях Кинетическая теория газов. Кинетика физическая. Д. Я. Зубарев.

Видео:Атмосфера #4 | Кинетическое уравнение БольцманаСкачать

«В. А. Пастернак МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К СПЕЦКУРСУ КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ для студентов V,VI курсов физического факультета Одесса Одесский национальный университет 2011 . »

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

Видео:Распределение Максвелла — Больцмана (часть 6) | Термодинамика | ФизикаСкачать

ОДЕССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.И. МЕЧНИКОВА

Видео:Составляем кинетические уравненияСкачать

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

Видео:Идеальный газ. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. 10 класс.Скачать

К СПЕЦКУРСУ

Видео:Кинетическое уравнение Больцмана (3). Макроскопические транспортные процессы. Самодиффузия (3).Скачать

«КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В

Видео:Грибов В. А. - Термодинамика и статистическая физика - Кинетическое уравнение БольцманаСкачать

ПОЛУПРОВОДНИКАХ»

для студентов V,VI курсов физического факультета Одесса «Одесский национальный университет»

Видео:Урок №2. Закон действующих масс. Кинетическое уравнение скорости химической реакции Beyond ChemistryСкачать

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ К СПЕЦКУРСУ

Видео:Кинетическое уравнение Больцмана (3). Макроскопические транспортные процессы. Самодиффузия (1).Скачать

«КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ»

Настоящее методическое пособие написано для студентов V,VI курсов, специализирующихся по физике полупроводников и диэлектриков на кафедре экспериментальной физики физического факультета.

Изучение процессов переноса носителей заряда под действием различных физических факторов или кинетических явлений представляет собой важную задачу физики полупроводников.

В настоящее время насчитывается около трехсот кинетических эффектов.

Их детальный анализ является сложной задачей и проводится на основе интегро-дифференциального кинетического уравнения Больцмана, учитывающего действие на носители заряда как внешних физических полей, так и процессы их рассеяния на дефектах кристаллической решетки.

Настоящее пособие предназначено для помощи студентам при овладении существующими методами исследования полупроводниковых материалов, а также в применении теоретических знаний для решения практических задач при написании дипломных и магистерских работ.

В.А. Пастернак, старший преподаватель Рецензент:

Н. В. Маслеева, кандидат физико-математических наук, доцент Печатается по решению Ученого Совета физического факультета ОНУ.

Протокол № 2 от 1.10. 2010 г.

© Одесский национальный университет имени И.И. Мечникова,

Видео:Кинетическое уравнение Больцмана (3). Макроскопические транспортные процессы. Самодиффузия (2).Скачать

СОДЕРЖАНИЕ

Видео:Урок 153. Распределение молекул по скоростямСкачать

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И МЕХАНИЗМЫ

РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА стр.

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана……. ……………………. …. …… 1.2. Время релаксации ……………..…………………. …. …..…. ……. … 1.3. Эффективное сечение рассеяния. Типы центров рассеяния ….…………. 1.4. Рассеяние на ионах примеси ………………………………………………. 1.5. Рассеяние на атомах примеси и дислокациях ……………………………… 1.6. Рассеяние на тепловых колебаниях решетки ……………………………….

Видео:Кинетическое уравнение Больцмана: функциональный, асимптотический и численный анализСкачать

2. АНАЛИЗ КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

2.1. Электропроводность полупроводников ……………………………………. 2.2. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры …………… 2.3. Гальваномагнитные явления. Эффект Холла ………………………………. 2.4. Термоэлектрические явления …….……………………………………. ….. 2.5. Теплопроводность полупроводников ….…….…………………………. 2.6. Термомагнитные эффекты…………………………………….………….….. 2.7. Гальваномагнитные эффекты…………………………..………………….… 2.8. Полупроводники в сильном электрическом поле…………………………. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ …. ………………………………………………….

Видео:Урок 305. Электрический ток в полупроводниках. Собственная и примесная проводимость.Скачать

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Видео:Грибов В. А. - Термодинамика и статистическая физика - Кинетическое уравнение ВласоваСкачать

1. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА И

Видео:Рассмотрение темы: "Распределение Максвелла"Скачать

МЕХАНИЗМЫ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

1.1. Кинетическое уравнение Больцмана Если система частиц находится в термодинамическом равновесии, то вероятность нахождения одной частицы в состоянии с энергией Е описывается функцией распределения Ферми-Дирака и в общем случае зависит от энергии частиц.

F- энергия Ферми, или химический потенциал, определяемый той работой, которую необходимо совершить, чтобы увеличить число частиц в системе на одну единицу.

Если в кристалле создать внешнее поле (электрическое, магнитное, градиент температуры), то движение носителей в кристалле приобретет упорядоченный характер. Явления, которые при этом происходят в кристалле, носят название явлений переноса или кинетических явлений.

Теперь система носителей будет описываться неравновесной функцией распределения, зависящей от энергии частиц, их координат и времени f ( r, k, t ), где k — волновой вектор.

Если f (r, k, t ) есть вероятность нахождения электрона в этих состояниях, то число электронов в элементе фазового пространства в момент времени t будет равно Выведем уравнение, которому удовлетворяет неравновесная функция распределения f (r, k, t ).

Для этого рассмотрим движение электронов в обычном пространстве и в пространстве волновых векторов k.

Пусть внешнее силовое поле приложено таким образом, что электроны движутся со скоростью Vx. Подсчитаем изменение числа электронов за время dt внутри объема d r (рис.1.1). За время dt через левую грань кубика войдет число электронов f ( k, x, y, z, t ) электронов, ушедших из объема через правую грань, составит d f ( k, x + x, y, z, t ) k3 Vx dt dy dz. Таким образом, за это время количество электронов в элементе объема изменится на величину В общем случае произвольного направления движения носителей заряда со скоростью V изменение количества электронов с данным k в элементе объема d r за время dt будет равно Это изменение количества электронов обусловлено процессами переноса, количества электронов за время dt при движении их в пространстве волнового вектора составляет величину, равную Выражение получено так же, как в обычном пространстве, только вместо V = нужно взять и вместо градиента в пространстве координат взять градиент в пространстве волнового вектора.

F — сила, действующая на электрон в точке r в момент времени t.

Последнее соотношение выражает собой изменение количества электронов в элементе фазового объема в результате действия внешней силы, обусловленной электрическими и магнитными полями.

Кроме того, число электронов в элементе объема фазового пространства dГ может меняться в результате взаимодействия электронов с локальными нарушениями периодичности поля кристаллической решетки. Область действия локального возмущения порядка 10-7 см, скорость электрона см/с, тогда время взаимодействия со структурными нарушениями составляет 10-14 с. Такое кратковременное взаимодействие не приводит к изменению координаты, но может сильно изменить скорость и квазиимпульс электрона.

Этот процесс аналогичен удару в механике, поэтому он получил название столкновения или соударения. При соударениях происходит изменение числа электронов, движущихся в данном направлении. В силу этого, процессы столкновения называются также процессами рассеяния.

Пусть при столкновении электрон переходит из состояния (r, k ) в состояние (r, k ). Поскольку при соударении координата не испытывает резкого изменения, то вероятность перехода в единицу времени не будет зависеть от (r, r ). Обозначим её W ( k, k ). Чтобы такой переход состоялся, нужно, чтобы состояние k было свободным.

Число электронов, способных за время dt в результате рассеяния перейти из состояния k в k, что приводит к уменьшению количества электронов в объеме dГ, будет равно В то же время существует конечная вероятность обратных переходов из k в k. Число электронов, совершивших обратный переход, приводит к увеличению их числа в dГ.

Следовательно, в результате соударений количество электронов в элементе объема фазового пространства за время dt изменится на величину волнового вектора.

результате соударений, необходимо учесть все возможные изменения k, т.е.

последнее выражение нужно проинтегрировать по объёму зоны Бриллюэна Таким образом, движение электронов и действие на них внешней силы, приводят к изменениям числа электронов в элементе объема фазового пространства. Это изменение за время t до t+ dt составляет величину, равную Следовательно, выражение (1.10) равно сумме (1.4), (1.5) и (1.9). После сокращения на Согласно принципу микроскопической обратимости, вероятности прямых и обратных переходов равны, т.е. W ( k, k ) = W ( k, k ). Тогда Это уравнение называется кинетическим уравнением Больцмана. Оно является интегро-дифференциальным, т.к. под интегралом стоит искомая функция.

Левая часть его отражает изменение функции распределения во времени. 1-й и 2-й члены в правой части уравнения показывают изменения f, создаваемыми внешними полями, приводящими к движению электронов в обычном пространстве и в пространстве волнового вектора. Изменения f электронов по состояниям в результате их рассеяния учтено последним членом.

Поэтому уравнение Больцмана можно записать в виде уравнения Больцмана, а величина называется интегралом столкновений (или соударений).

В случае стационарных процессов, когда величины, описывающие явления переноса, не зависят от времени, функция распределения удовлетворяет равенству =0. Тогда ( )пол= — ( )ст., или Из последнего уравнения следует, что в стационарном состоянии изменения функции распределения, вызванные движением носителей заряда и действием на них внешней силы, компенсируются соударениями носителей с локальными нарушениями периодичности поля решетки.

При термодинамическом равновесии, в котором состояние электрона описывается функцией f 0, движение электрона в кристалле обусловлено тепловой энергией. Поэтому для равновесного случая ( )пол=0. Это значит, что поскольку электрона и уровня Ферми для электронов с волновыми векторами k, k. Т.к. в условиях равновесия полная энергия электрона не меняется, то E1 = E2, F1 = F2.

Таким образом, в равновесном состоянии во всех частях системы, между которыми может происходить переход электронов, положение уровня Ферми одинаково.

1.2. Время релаксации Решение кинетического уравнения в общем виде является сложной задачей. Однако задача в стационарном случае значительно упрощается для тех случаев, когда можно ввести время релаксации.

Описание процессов рассеяния при помощи времени релаксации возможно, если при столкновении энергия носителя заряда мало изменяется и если процессы рассеяния приводят к случайному распределению скоростей.

Пусть в момент времени t=0 на систему, описываемую неравновесной функцией распределения f, перестали действовать внешние возмущения и полевой член обратился в 0. Тогда = ( )ст..

В том случае, когда отклонение распределения носителей заряда от равновесного состояния невелико, можно положить, что в отсутствии внешних полей скорость изменения f пропорциональна величине ее отклонения от пропорциональности.

Решение уравнения имеет вид Величина есть среднее время, в течение которого в системе существует неравновесное распределение носителей заряда после выключения внешних полей. Это время релаксации.

Поскольку установление равновесного состояния происходит в результате столкновений, и при этом достаточно нескольких соударений, то должно быть порядка времени свободного пробега электрона.

Теперь интеграл столкновений можно представить в виде Неравновесную функцию f (k ) можно представить как появившаяся в результате внешнего воздействия на систему. Представим её в виде Будем считать, что время релаксации не зависит от внешних полей. Это значит, что k определяет и процессы рассеяния при наличии внешних полей, поэтому уравнение (1.15) с учетом (1.18) можно записать в виде При этом интеграл столкновений принимает вид Из (1.17) найдем время релаксации d k. Учитывая, что f (k ) = f0 k + f1 (k ) и (1.18), получим Соударения могут быть упругими и неупругими. Соударения носят название упругих, если кинетическая энергия сталкивающихся частиц сохраняется. При неупругих соударениях энергия частиц меняется.

Будем считать, что соударения электронов со структурными нарушениями являются упругими. Это значит, что k = k, V = V и E = E, если зоны энергии сферические.

В силу этого время релаксации для упругого соударения с учетом последнего равенства будет равно Пусть векторы k, k и направлены следующим образом.

Таким образом, при рассмотрении процессов переноса носителей основной задачей является вычисление неравновесной функции f, с помощью которой можно рассчитать все величины, характеризующие кинетические эффекты: плотность электрического тока, тепловой поток, напряженность электрического поля и т.д. Но эта задача решается, если известно k, а следовательно, необходимо знание механизма рассеяния носителей заряда.

1.3. Эффективное сечение рассеяния. Типы центров рассеяния Любая неоднородность кристалла, искажающая периодичность поля решетки, является центром рассеяния.

Поскольку природа дефектов различна, то и рассеяние носителей заряда на них будет различным. Для количественной оценки процесса рассеяния вводится величина, называемая эффективным сечением.

Предположим, что имеется n свободных электронов, которые со средней скоростью V0 движутся в данном направлении. Тогда n V0 — это плотность потока электронов, т.е. число электронов, проходящих за единицу времени через единичное сечение. Пусть на пути этого потока на единичном сечении имеется N одинаковых центров рассеяния.

Каждый центр характеризуется эффективным сечением. Это, по сути, то пространство около центра, в области которого имеет место рассеяние электронов. Поэтому число рассеянных электронов n1 будет равно n1 = NnV0.

С другой стороны, если W – вероятность рассеяния одной частицы в единицу времени, то количество рассеянных частиц будет равно n1 = Wn, или Таким образом, эффективное сечение рассеяния есть отношение числа удаленных из пучка электронов в результате рассеяния на одном центре в единицу времени к плотности падающего пучка.

столкновения определяется эффективным сечением центра, их количеством и скоростью движения носителей заряда.

В то же время вероятность столкновения обратно пропорциональна времени свободного пробега.

Рассмотрим случай, когда существует несколько процессов рассеяния.

Пусть i-й механизм характеризуется эффективным сечением i и числом рассеивающих центров N i, и он определяет длину свободного пробега li.

Если есть несколько механизмов рассеяния, то полная вероятность рассеяния в единицу времени будет определяться суммой отдельных вероятностей рассеяния W = Wi.

определена из соотношения Полная длина свободного пробега всегда меньше самой малой парциальной длины свободного пробега.

В полупроводниках возможны несколько типов дефектов, нарушающих периодичность решетки, например, тепловые колебания, ионы примеси, вакансии, междоузельные атомы, дислокации, дефекты упаковки, границы кристаллитов и т.д.

Разные дефекты имеют разное сечение рассеяния. Для их количественной оценки за примем величину площади, в пределах которой возможно взаимодействие между носителями заряда и дефектом.

Для точечных дефектов (вакансии, междоузельные атомы) за можно принять площадь квадрата со стороной, равной постоянной решетки, т.е.

Для иона примеси будем считать, что его диаметр в 10 раз больше, т.е.

e = (5 108 10) 2 = 2,5 1013 см2. В случае N e = 10 см-3, le = 4 104 см =4 мкм.

Дислокации – это линейный дефект. Если она имеет длину 1мм, а её d = 5 108 100 101 = 5 107 см2. При плотности дислокаций N d = 108 см-3, ld = 2 102 см.

Эффективное сечение рассеяния на тепловых колебаниях решетки определяется площадью сечения области, которую занимает колеблющийся атом за вычетом площади сечения самого атома.

Если считать, что амплитуда колебаний r = 1A, а диаметр атома 10-8см, lT = 106 см=100A.

1.4. Рассеяние на ионах примеси В примесном полупроводнике каждый ион примеси создает вокруг себя электрическое поле. Под воздействием этого поля носитель заряда отклоняется от своего первоначального направления (рис. 1.2). При этом носитель заряда отклоняется тем сильнее, чем он медленнее движется и чем ближе проходит мимо иона примеси. Задача сводится к нахождению траектории движения заряженной частицы в центральном поле иона. Она может быть решена чисто классическими методами. Пусть носитель заряда – классическая частица, движущаяся в кулоновском поле положительного иона примеси с зарядом Ze.

Тогда U ( r ) = ± (в системе Гаусса) – (см. рис.1.2).

движения носителя и его направлением движения после рассеяния. При этом угол зависит от прицельного расстояния (в) следующим образом Процесс рассеяния является случайным, поэтому различные носители будут отклоняться на различные углы. В силу этого при подсчете времени релаксации необходимо учитывать усредненное по углам рассеяния сечение.

Пусть угол рассеяния меняется от до +d (рис.1.3). Поскольку в нашем случае рассеивающий центр обладает осевой симметрией, то эти углы являются углами двух конусов.

дифференциальным эффективным сечением ( ). По определению, это отношение числа частиц, отклоненных одним центром в 1 с на угол в единичный телесный угол, к потоку падающих частиц на 1 см2 в 1с.

Пусть имеется n электронов, движущихся хаотически со скоростью V.

Если выбрать перпендикулярно каждому направлению движения электрона площадку в 1см2, то на нее за 1 с попадет nV электронов.

Полное число частиц, отклоняющихся в 1с в телесный угол d, будет равно потоку частиц, падающих на кольцо площадью 2 в dв. Поэтому Эта формула была получена Резерфордом при изучении рассеяния частиц полем ядер.

Для подсчета времени релаксации необходимо выразить вероятность перехода W ( k, k ) через дифференциальное сечение рассеяния.

Предположим, что в кристалле единичного объема имеется Ne ионов примеси. Тогда число рассеянных носителей всеми центрами в 1 с в телесный угол d составят величину Таким образом, вероятность перехода электрона из состояния k в состояние k определяется дифференциальным эффективным сечением, количеством центров рассеяния и скоростью движения носителей заряда.

Соударение носителей заряда с ионами примеси можно считать упругими по двум причинам :

1. Масса электрона в 104 раз меньше массы иона.

2. Ионы решетки гораздо менее подвижны относительно своего положения равновесия, чем электроны. Поэтому при соударении носителя заряда с ионом примеси энергия носителя изменяется очень Если при упругом соударении носитель рассеивается в телесный угол d, то время релаксации Выражение справа подобно записанному ранее (1.24), имеет размерность 1/сек и смысл обратного времени релаксации.

дифференциальное эффективное сечение. Усреднение по углам производится с весовой функцией [1 cos ].

c называется эффективным сечением проводимости или подвижности, а также транспортным эффективным сечением.

() () () Оценим максимальное прицельное расстояние, когда рассеяние еще имеет место. Если ионы примеси распределены равномерно по кристаллу и их концентрация равна Ne, то среднее расстояние между ними N e.

Сферу действия каждого иона можно ограничить половиной среднего расстояния между ними. Поэтому верхний предел прицельного расстояния в маx = N e. Он соответствует наименьшему значению угла рассеяния min, который можно определить из соотношения:

ctg вместо ( ) выражение (1.28), получим Таким образом, время релаксации при рассеянии носителей заряда на ионах примеси равно:

Это соотношение для называется формулой Конуэлл-Вайскопфа.

Если выразить скорость через энергию V =, то время релаксации носителей заряда при рассеянии на ионах примеси примет вид:

1.5. Рассеяние на атомах примеси и дислокациях Рассеяние носителей заряда на нейтральных атомах примеси проявляется гораздо слабее, чем рассеяние на ионах примеси.

Однако, при низких температурах, когда концентрация нейтральных атомов гораздо выше концентрации ионизированных, этот механизм играет существенную роль.

В этом случае рассеяние носителей осуществляется двумя путями:

1. с помощью прямого упругого соударения;

2. путем обмена падающего электрона с электроном примесного атома.

Определение времени релаксации в этом случае является сложной задачей.

В качестве модели для оценки A используется представление о рассеянии медленных электронов на атоме водорода, находящегося в среде с диэлектрической проницаемостью.

Для времени релаксации с учетом электронного обмена и индуцирования дипольного момента у рассеивающего атома, получена формула:

где N A — концентрация атомов примеси. Как следует из формулы, A не зависит ни от температуры, ни от энергии рассеиваемого носителя заряда, и определяется лишь концентрацией атомов примеси.

Рассеяние носителей заряда может происходить и на дислокациях.

Дислокации в полупроводниках удобно представить в виде линейного отрицательного заряда, имеющего форму бесконечно длинного цилиндра с радиусом R, вокруг которого имеется положительный пространственный заряд.

Электроны, взаимодействуя с отрицательно заряженной дислокацией, отталкиваются, что и приводит к рассеянию. Этот механизм присущ полупроводникам n – типа (дислокации носят акцепторный характер), и отсутствуют в полупроводниках р- типа. Численный расчет дает Д не зависит от Т и определяется поверхностной плотностью дислокаций и скоростью электрона. Если V = 107 см/с, R = 3 105 cм, N Д = 106 см-2, то Д = 1,25 109 с. Эта величина на 3 порядка больше, чем время релаксации для рассеяния на фононах при комнатной температуре. Поэтому это рассеяние незначительно при комнатных температурах, но может быть существенным при низких температурах.

1.6. Рассеяние на тепловых колебаниях решетки Взаимодействие электрона или дырки с колебаниями решетки может осуществляться двояким образом:

1. Электрон передает часть своей энергии решетке, так что определенное нормальное колебание с частотой q увеличивает свое квантовое число на единицу. В результате такого процесса рассеяния образуется фонон с энергией q и квазиимпульсом p = q, и число фононов возрастает на единицу.

p = q — это квазиимпульс, который приобретает решетка вследствие соударения с электроном.

2. Электрон при взаимодействии получает часть энергии от решетки, так что квантовое число определенного колебания с частотой q уменьшается на единицу. В этом случае исчезает фонон с энергией q и квазиимпульсом p = q. Число фононов уменьшается на единицу.

Помимо однофононного резонанса возможен и многофононный, но он Пусть до столкновения электрон имел волновой вектор k и энергию При поглощении электроном фонона (фонон исчез) k = k + q — закон сохранения импульса.

При испускании электроном фонона (фонон родился) Рассеяние носителя заряда при этом может быть упругим и неупругим.

Для характеристики рассеяния необходимо знание относительного изменения энергии электрона за одно столкновение.

В случае изотропного и упругого рассеяния 1, и среднее время рассеяния имеет смысл времени релаксации системы по импульсу, а E = / — время релаксации по энергии.

Пусть энергия электрона в кристалле подчиняется зависимости E =.

Если в кристалле кубической сингонии распространяется акустическая волна, например, продольная, то она вызывает появление в полупроводнике деформации сжатия и растяжения, что приводит к изменению постоянной решетки. При сжатии кристалла, сопровождающимся уменьшением постоянной решетки — (а), нижний край зоны проводимости смещается вверх, а верхний край валентной зоны – вниз, и в результате этого ширина запрещенной зоны увеличивается. При растяжении кристалла, приводящем к уменьшению постоянной решетки — (а), нижний край зоны проводимости смещается вниз, а верхний край валентной зоны – вверх, и в результате этого ширина запрещенной зоны уменьшается. Следовательно, в таком кристалле локальная деформация, создаваемая продольной акустической волной, приводит к волнообразному смещению дна зоны проводимости и потолка валентной зоны (рис. 1.4.).

Поэтому движущийся электрон, сталкиваясь с волной смещения, обусловленной тепловыми колебаниями решетки, будет рассеиваться только на продольных колебаниях. На поперечных колебаниях, приводящих к деформации сдвига (в кубических кристаллах это не приводит к изменению постоянной решетки), электроны не рассеиваются.

Покажем, что это рассеяние упругое и происходит на длинноволновых фононах.

Закон сохранения энергии запишем в виде:

где — угол между направлениями векторов k и q.

Если электрон взаимодействует только с длинноволновыми фононами, то то Tkp = 1К.

Следовательно, при температуре, намного превышающей 1К, можно пренебречь вторым слагаемым в уравнении для q :

В зависимости от, q меняется от 0до 2k, т.е. в среднем на 1k.

Поскольку при Т=300К, k 107 см-1 из (1.39), то q может принимать значения от 0 до 2 107 см-1, что соответствует энергии фотонов от 0 до q = Vзв k = 1027 105 107 = 1015 эрг = 6 104 эв. Отсюда следует, что электрон рассеивается на длинноволновых фононах, поглощая или излучая фонон с q k.

Следовательно, рассеяние электронов на продольных акустических колебаний является упругим и основную роль в рассеянии играют длинноволновые фононы с энергией значительно меньшей энергии электронов.

Поэтому k = k и E = E, поскольку в уравнении сохранения энергии можно не учитывать энергию фонона.

При низких температурах средняя скорость движения электрона приближается к скорости распространения упругих волн в кристалле и энергией фонона пренебречь нельзя. В этом случае имеет место неупругое столкновение электрона с фононом. Для упругого рассеяния запишем время релаксации в виде Первый член правой части учитывает поглощение, а второй — испускание Вероятность перехода электрона из состояния k в состояние k, как показывает расчет (см. Ансельм, «Введение в теорию полупроводников»), равна в случае поглощения фонона а в случае испускания фонона ( E E ± q ), где — функция, С –постоянная Блоха, приблизительно пропорциональная дебаевской температуре кристалла, N- число элементарных ячеек в кристалле, М- масса атома.

В элементарных процессах переноса функция распределения фононов мало отличается от равновесной N q, поэтому можно считать, что в виде ряда Если в выражение (1.41) подставить (1.42) и (1.43), учитывая равенства (1.44) и (1.45), а затем перейти к сферической системе координат, то в результате получим, что где а – постоянная решетки.

Таким образом, время релаксации при рассеянии электронов на акустических колебаниях решетки атомных полупроводников имеет зависимость от энергии вида Длина свободного пробега l обратно пропорциональна температуре Т и не зависит от энергии носителей заряда.

Из сравнения формул (1.47) и (1.33а) видно, что при повышении энергии носителей заряда время релаксации при рассеянии на ионизированной примеси увеличивается, а при рассеянии на акустических колебаниях – уменьшается.

Это означает, что в случае примесного рассеяния преобладающее влияние оказывают медленные электроны и дырки, поэтому этот механизм рассеяния должен сильнее проявляться при низких температурах. При рассеянии на акустических фононах основной вклад вносят сравнительно быстрые электроны, и этот механизм рассеяния должен значительно сказываться при высоких температурах.

В полярных полупроводниках, а также в полупроводниковых соединениях типа A3B5, в которых связь между атомами носит частично ионный характер, электроны проводимости гораздо сильнее взаимодействуют с оптическими колебаниями, чем акустическими.

Поскольку при оптических колебаниях смещение ионов в ячейке происходит в противоположные стороны, то разноименные заряды создадут электрические поля, перемещающиеся по кристаллу в виде плоских волн.

Длинноволновые оптические колебания получили название поляризационных волн. Взаимодействие носителей заряда с поляризационными волнами и приводит их к рассеянию. При этом продольные колебания рассеивают значительно сильнее, чем поперечные.

Каждое столкновение электрона с оптическим фононом приводит к возникновению или исчезновению фонона с энергией опт. Поскольку частота оптического фонона слабо зависит от квазиимпульса q (оптическая ветвь почти плоская), то при соударении энергия электрона либо увеличивается, либо уменьшается на одинаковую величину, равную ± опт = ± о, где о — предельная частота продольной оптической ветви. В теории показано, что энергия, передаваемая носителем заряда решетке за одно столкновение, определяется величиной энергии возникшего фонона, умноженной на отношение разности вероятности испускания и вероятности поглощения, к сумме этих вероятностей. Вероятность испускания фонона N q + 1, а вероятность поглощения N q (с учетом (1.42) и (1.43)).

Следовательно, энергия, передаваемая электроном фонону за одно столкновение, равна При высоких температурах, когда T 0, или k0T 0, т.е. когда энергия фонона о много меньше энергии электрона k0T, тогда и рассеяние можно считать упругим. В этом случае у большинства электронов изменение энергии при поглощении или испускании оптического фонона будет незначительно. Для случая рассеяния на оптических фононах, как показывает расчет (А.И.Ансельм), время релаксации а длина свободного пробега расстояние между ближайшими разноименными ионами.

При низких температурах, когда T 0, или k0T 0, большинство электронов, у которых энергия о, могут только поглощать оптические фононы. Поглотив фонон, электрон увеличивает свою энергию, однако, поскольку вероятность испускания фонона в ( N q + 1) / N q раз превышает вероятность поглощения фонона, то время пребывания электрона в состоянии с большой энергией будет очень мало. Можно считать, что электрон сразу после поглощения фонона испускает фонон той же энергии. Фактически рассеяние можно рассматривать как процесс обмена фононами, поэтому энергия электрона практически остается неизменной, но направление его квазиимпульса сильно изменится. Это позволяет считать, что и при низких температурах, значительно меньших характеристической 0 = 0 / k0, электрон на оптических фононах рассеивается упруго.

В случае низких температур и расчет времени релаксации по формуле (1.41), в которой учитывается только поглощение фотона, дает выражение которое не зависит от энергии электрона, но экспоненциально зависит от температуры.

Длина свободного пробега в случае рассеяния на оптических фононах при низких температурах определяется соотношением

Видео:Урок 148. Тепловое равновесие. Температура.Скачать

2. АНАЛИЗ КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ В

Видео:Урок 139. Основные положения МКТ.Скачать

ПОЛУПРОВОДНИКАХ

2.1. Электропроводность полупроводников Определим удельную проводимость однородного невырожденного полупроводника, изоэнергетические поверхности которого представляют сферы. Пусть полупроводник находится в постоянном однородном электрическом поле напряженностью.

В элементе объема d k кристалла единичного объема содержится количество электронов, равное dn = f k V. Эти электроны, движущиеся под действием электрического поля со скоростью V, создадут элементарную плотность тока Если в полупроводнике два сорта носителей заряда, то полная плотность тока будет равна распределения электронов и дырок соответственно.

Если в выражение (2.1) подставить f 0, то j = 0. Это значит, что при термодинамическом равновесии в веществе тока нет.

условия стационарного состояния Полевой член в уравнении Больцмана должен быть равен интегралу столкновений.

электрическом поле, действует сила F = = e. Поскольку полупроводник однородный, то r f = 0 и изменение функции распределения под влиянием поля будет определяться выражением Из (2.3) находим f1n k. Используя (2.4) и подставляя его в (2.2), находим плотность электронного тока Здесь e — время релаксации электрона.

Будем считать, что неравновесная функция f n k мало отличается от равновесной f 0. Тогда в (2.5) можно заменить f n k на f 0.

Для невырожденного полупроводника Подставляя в (2.5), получим Если воспользоваться соотношением (Ансельм А.И., стр. 416), Получаем Соответственно дырочная составляющая тока будет равна Полная плотность тока в полупроводнике, имеющем два типа носителей заряда, равна 2.2. Зависимость подвижности носителей заряда от температуры Проведенный расчет показывает, что для определения подвижности необходимо знание среднего времени релаксации. Но на время релаксации существенным образом сказывается механизм рассеяния, поэтому при столкновении носителей заряда с разными по природе дефектами подвижность по разному будет зависеть от температуры.

При рассеянии носителей заряда в атомных полупроводниках на акустических фононах время релаксации равно E = k0T. Поэтому или =. Здесь использовано выражение для e.

Из (2.15) следует, что подвижность в этом случае уменьшается с ростом температуры. Она обратно пропорциональна эффективной массе носителя в степени 5/2, что хорошо согласуется с экспериментальными данными (в полупроводниках с малой эффективной массой носителей подвижность очень большая).

При рассеянии на ионах примеси время релаксации e в зависимости от энергии имеет вид (по (1.33а) и (1.34)) При усреднении этого выражения, логарифмический член, являющийся медленно меняющейся функцией, можно вынести за знак интеграла, если в этот член подставить такое значение энергии, при котором остальная часть подинтегрального выражения (2.11) достигает максимума. Это происходит при E = 3k0T. Покажем это.

Тогда гамма-функция Эйлера при р=4, (р- показатель степени при плюс единица) равна равно:

При этом подвижность при рассеянии на ионах примеси запишется в виде Если пренебречь логарифмической зависимостью подвижности от температуры, что можно сделать при достаточно высоких температурах, то можно считать, что Отсюда следует, что подвижность электронов, обусловленная рассеянием на ионах примеси, уменьшается при уменьшении температуры.

Это происходит потому, что с увеличением температуры кристалла возрастает тепловая скорость носителей заряда. Это приводит к ослаблению взаимодействия носителей с ионизированными атомами примеси, т.к.

уменьшается длительность взаимодействия. Кроме того, при данной температуре подвижность уменьшается с увеличением концентрации примеси.

При рассеянии носителей заряда на нейтральной примеси время релаксации (1.36) не зависит от температуры и энергии носителей. В силу этого, подвижность носителей, обусловленная рассеянием на нейтральных атомах примеси, имеет вид:

При рассеянии на дислокациях, согласно (1.37), Д Е 1 2, следовательно В реальных полупроводниках имеют место все виды нарушения строгой периодичности поля решетки, поэтому механизм рассеяния носит сложный характер. Если считать, что все виды механизмов рассеяния независимы, то полная вероятность рассеяния равна сумме вероятностей рассеяния на каждом типе рассеивающих центров, т.е.

W k, k = Wi k, k. В этом случае полное время релаксации согласно (1.24) При очень низких температурах в (2.22) можно учитывать только рассеяние на нейтральной примеси и дислокациях. С повышением температуры роль этих механизмов уменьшается по сравнению с рассеянием на ионах примеси. При высоких температурах доминирующим становится рассеяние на фононах. Поэтому можно считать, что подвижность носителей заряда в зависимости от температуры согласно (2.15) и (2.19) будет определяться соотношением вида в котором 1-е слагаемое соответствует фононам, а 2 — е — ионам.

Как следует из (2.23), в атомных полупроводниках с ростом температуры подвижность растет пропорционально T 3/ 2, если рассеяние происходит только на ионах примеси, затем проходит через максимум и уменьшается пропорционально T 3/ 2, если рассеивающими центрами электрического и магнитного H полей, называют гальваномагнитными эффектами. Эффект Холла является одним из них. На рисунке 2.1.- j плотность тока.

Рассмотрим эффект Холла без учета рассеяния.

Измерив только, мы не можем раздельно определить n и. Для их нахождения используют эффект Холла. Если полупроводник однороден, то эквипотенциальная поверхность проходит через АБ, поэтому разность Пусть теперь к полупроводнику приложено магнитное поле H, как показано на рисунке 2.1. На движущийся носитель действует сила Лоренца индукция, — относительная магнитная проницаемость вещества, 0 — магнитная постоянная. Направление силы Лоренца зависит от знака носителей зарядаи векторного произведения скорости V на напряженность магнитного поля H.

При одинаковом направлении тока сила Лоренца, действующая на положительные и отрицательные носители, имеет одинаковое направление (в сторону грани А). Между А и Б возникает разность потенциалов Vн, знак которой зависит от знака заряда носителей (для дырок + на грани А).

Напряженность электрического поля уже не будет совпадать с направлением тока j. В стационарном состоянии для дырочного полупроводника Величина R- называется коэффициентом Холла и для дырок равна Таким образом, зная коэффициент Холла, можно вычислить концентрацию носителей заряда и определить их знак.

Более строгое описание эффекта Холла с учетом рассеяния носителей заряда можно получить на основе решения кинетического уравнения Больцмана.

Рассмотрение эффекта Холла, когда на носители заряда действует сила F = e[ + V B ], проведем для слабого магнитного поля.

Под слабым магнитным полем понимают такое поле, для которого обращения Tc по круговой орбите в магнитном поле, т.е. Tc.

условие слабого поля.

Принимая во внимание, что представляет собой подвижность носителей заряда, получаем Это условие обычно и служит критерием слабого поля.

Рассмотрение эффекта Холла проведем для однородного полупроводника со сферическими изоэнергетическими поверхностями, находящегося в постоянных электрическом и магнитном полях.

Чтобы найти постоянную Холла R, вычислим плотность тока (см. (2.2) и учитывая, что V = ).

Для нахождения f1 k используем формулу (1.19) а также то, что f k от r не зависит, т.е. ( r f ) = 0. Получаем Представим f1 k в виде где ( E ) — некоторый вектор, зависящий лишь от энергии носителей заряда.

Будем считать, что неравновесная функция f k = f 0 + f1 k незначительно отличается от равновесной (слабое поле) и в уравнении (2.25) вместо f подставим f 0 везде, кроме члена, содержащего вектор магнитного поля.

(2.26) и (2.28), то (2.27) примет вид Следовательно, из (2.26) после сокращения на k и 0 получим Решая векторные уравнения (2.30) и (2.31) для случая слабого магнитного поля B 1 (разлагая каждое уравнение на проекции на оси координат и решая совместно полученные три уравнения), получим :

Используя (2.2), (2.26) и (2.32), получим Используя преобразования Ансельма (2.9) а также Вводя среднее значение времени релаксации для электронов, среднее значение квадрата времени релаксации для электронов, и учитывая, что n =, получим для плотности электронной составляющей тока где По аналогии плотность дырочной составляющей тока запишется в виде где Полная плотность тока В этом уравнении коэффициенты rn, rp зависят от механизма рассеяния носителей заряда, который определяет время релаксации k.

В случае упругого рассеяния, когда k = k, E = E, для любого механизма рассеяния отношение Обозначим rn = r и, учитывая (2.39), имеем Если электрический ток направлен вдоль оси x, т.е. jx = j, и j y = jz = 0, а магнитное поле вдоль оси z, т.е. Bz = B и Bx = By = 0, то при этом (2.41) распадается на два Решая эту систему уравнений относительно y в случае слабого магнитного поля, получаем для выражения напряженности холловского поля так как B 2 0 (поле слабое). Коэффициент Холла зависит от механизма упругого рассеяния, что учитывается сомножителем r.

При рассеянии на акустических колебаниях решетки время релаксации, учитывая (1.47) и E = k0T, будет равно Согласно (2.34а) Согласно (2.34в) Тогда в соответствии (2.36), получим При рассеянии на ионах примеси (1.33а), проделав аналогичные вычисления, получим При определении коэффициента Холла при низких температурах, когда основную роль в рассеянии играют ионы примеси, нужно полагать подвижность.

Следовательно выражение называют холловской подвижностью.

Холловская подвижность, определяющая угол Холла (угол между векторами j и E ), пропорциональна дрейфовой подвижности.

В случае, когда время релаксации – постоянно, т.е. не зависит от энергии r = 1 и Это имеет место у металлов и вырожденных полупроводников.

2.4. Термоэлектрические явления К термоэлектрическим явлениям относятся три эффекта:

1. Эффект Зеебека – возникновение термоэлектрического напряжения в цепи, состоящей их двух проводников, места соединения которых находятся при разных температурах.

2. Эффект Пельтье – выделение или поглощение тепла на контакте двух проводников при протекании через них электрического тока.

3. Эффект Томсона — выделение или поглощение тепла в объеме проводника при прохождении электрического тока и наличии градиента температуры.

Рассмотрим однородный полупроводник при наличии градиента температуры. Средняя энергия носителей заряда и их концентрация в полупроводнике будут больше там, где выше температура. Следовательно, градиент температуры в однородном полупроводнике приводит к градиенту средней энергии носителей заряда и градиенту их концентрации, вследствие чего возникает диффузионный поток носителей, т.е. появляется электрический ток. Но в разомкнутой цепи тока быть не должно. Это возможно только благодаря появлению в результате разделения заряда разности потенциалов между горячим и холодным концами полупроводника, которая вызывает обратный ток, компенсирующий поток носителей, обусловленный градиентом температуры. Таким образом, на концах полупроводника появится термоэлектродвижущая сила (термо-эдс).

Термо-эдс, отнесенная к единичной разности температур, называется дифференциальной термо-эдс -.

Определение термо-эдс проведем на основе кинетического уравнения (1.19):

Если химический потенциал для электронов равен F, то для дырок он будет Равновесная функция распределения для электронов (рис. 2.2) При малой величине отклонения f1 k = f k f0 в левой части уравнения (1.19) можно заменить f на f0. Тогда учитывая (2.50 – 2.52), получим электрическое поле = r, и учитывая что F = e = e r, получим Отсюда Для дырок Вычисление плотности тока проведем для полупроводников в предположении, что рассеяние носителей заряда обусловлено акустическими колебаниями кристаллической решетки. В этом случае длина свободного пробега l = V не зависит от энергии носителей – (1.48) и и (2.56, 2.58), а также (2.2) получим Следовательно определить n через длину свободного пробега(при рассеянии на Аналогично можно найти дырочную составляющую тока Полная плотность тока будет равна Таким образом, в полупроводнике при наличии градиента температуры возникает электронный и дырочный токи, которые обусловлены действием градиента электрохимического потенциала ( F e ) и градиента температуры T.

Для нахождения термо-эдс необходимо определить разность потенциалов для разомкнутой цепи, для которой j = 0.

Величина будет равна разности контактных потенциалов в граничных точках, если считать, что полупроводник и металл на контакте находятся в термодинамическом равновесии, тогда дифференциальную термоэдс можно определить как Полагая в (2.63) ток равным 0, получим В случае электронного полупроводника на горячем торце образца возникает положительный объемный заряд, поскольку электроны диффундируют от горячего торца к холодному. В дырочном полупроводнике, наоборот, на горячем торце возникает отрицательный объемный заряд.

Таким образом, если полупроводник примесный, то направление внутреннего электрического поля и полярность термо-эдс определяются знаком носителей заряда, следовательно, по знаку термо-эдс можно определить тип примесной проводимости исследуемого образца.

Величина термо-эдс собственного полупроводника определяется лишь шириной запрещенной зоны и соотношением подвижности электронов и дырок.

Изменение механизма рассеяния в полупроводнике, которое может иметь место при различных температурах, влияет на термо-эдс через подвижность. Например, его величина для рассеяния на акустических колебаниях и ионах примеси в атомных кристаллах, оптических колебаниях в ионных кристаллах выше и ниже температуры Дебая принимает соответственно значения 2, 4, 3, 5/2.

На основании (2.65) нельзя объяснить большое возрастание термо-эдс, которое обнаруживается иногда в чистом веществе при низких температурах.

Этот эффект определяется особым видом электронно-фононного взаимодействия, которое получило название увлечения носителей заряда фононами.

При наличии градиента температуры в полупроводнике имеет место анизотропия в распространении фононов, которые преимущественно движутся от горячего к холодному краю образца. При каждом столкновении электрона с фононом, которое сопровождается уничтожением фонона, его импульс передается электрону. Поскольку фононов с импульсом, направленным к холодному краю образца, больше, чем с противоположно направленным импульсом, то вследствие этого электроны станут дрейфовать к холодной части образца. Дрейф электронов будет продолжаться до тех пор, пока в связи с их перераспределением возникнет электрическое поле, которое уравновесит силу, действующую на электроны со стороны фононного потока.

Эта разность потенциалов и представляет собой дополнительную термо-эдс.

Эффект увлечения приводит к значительному росту термо-эдс только при низких температурах, т.к. из-за взаимных столкновений распределение фононов медленно возвращается к равновесному. При более высоких температурах рассеяние фононов на фононах быстро восстанавливает равновесное распределение фононов и эффект увлечения исчезает.

Два других термоэлектрических эффекта – эффект Пельтье и эффект Томсона. Для их детального анализа, а также анализа гальваномагнитных явлений в функциях n ( E ) и n ( E ), которые мы использовали при рассмотрении эффекта Холла (2.32) – (2.33), необходимо, кроме учета наличия электрического поля и магнитного поля H, учесть градиент температуры.

Тогда в этом общем случае Эти выражения очень сложны, и мы ограничимся более простым анализом этих эффектов.

Явление Пельтье заключается в том, что при прохождении электрического тока через контакт двух веществ в нем, кроме тепла Джоуля, в зависимости от направления тока выделяется или поглощается тепло.

Количество тепла при эффекте Пельтье пропорционально плотности тока и времени П — коэффициент Пельтье.

Если вдоль однородного проводника существует градиент температуры, то при прохождении тока в объеме материала выделяется или поглощается тепло Томсона, количество которого пропорционально количеству протекающего заряда и перепаду температур.

T — коэффициент Томсона.

Коэффициенты, П, T связаны между собой соотношениями Томсона.

Для их вывода проведем элементарное рассмотрение термоэлектрических эффектов. Для этого составим замкнутую цепь из двух проводников. Пусть между контактами существует разность температур dT (рис. 2.3).

Наличие градиента температур вызывает появление термо-эдс, равной d = dT, которая обеспечит в данной цепи прохождение тока dI. При этом на одном из контактов в единицу времени выделяется тепло Пельтье в количестве П dI, а на другом — поглощается — ПdI.

В результате в цепи выделяется тепло Пельтье, и если отличается от П, то количество этого тепла будет равно Наличие электрического тока и градиента температуры вызовет появление тепла за счет эффекта Томсона, равного за 1 сек.

Эти термодинамические явления можно считать обратимыми, т.к. они зависят от направления тока и градиента температуры. Но в данной замкнутой цепи имеют место и необратимые процессы – теплопроводность и выделение тепла Джоуля. В стационарных условиях теплопроводность не изменяет общего количества тепла в системе, имеет место только перенос тепла из одного участка цепи в другой. Тепло Джоуля пропорционально квадрату тока dI 2, поэтому при малых значениях изменения тока и температуры эти необратимые эффекты можно не учитывать. На основании закона сохранения энергии можно написать Откуда найдем Если положить для горячего конца T, П, T2, а для холодного T, П, T1, то на основании второго закона термодинамики, согласно которому полное изменение энтропии замкнутой системы при обратимых процессах равно 0, имеем:

Если за начало отсчета энтропии взять ее значение на горячем конце, то продифференцировав (2.74) по Т, получим откуда Сравнивая уравнения (2.73а) и (2.75), находим Если продифференцируем полученное равенство по Т, то найдем Обычно проводится экспериментальное измерение дифференциальной термо-эдс, а сложно измеряемые коэффициенты П и T определяются на основе соотношений Томсона.

В первом приближении эффект Томсона можно объяснить следующим образом (рис. 2.4). Если вдоль проводника, по которому протекает электрический ток, существует перепад температур, причем направление тока соответствует движению электронов от горячего конца к холодному, то, переходя из более горячего участка, электроны передают избыточную энергию окружающим атомам, что вызывает нагрев проводника (выделение тепла); при обратном направлении тока электроны, проходя из более холодного участка, пополняют свою энергию за счет окружающих атомов решетки (поглощение тепла). Для более точного описания явления следует учесть, что в первом случае электроны тормозятся полем термо-эдс, а во втором – ускоряются, что изменяет значение коэффициента Томсона, а в некоторых случаях приводит даже к перемене знака.

Причина возникновения явления Пельтье заключается в том, что средняя энергия электронов, участвующих в переносе тока в двух материалах, находящихся в контакте, различна, несмотря на то, что уровни их электрохимических потенциалов совпадают, т.к. различно среднее отступление от уровня электрохимического потенциала.

Рис. 2.4а. Энергия поглощается Рис. 2.4б. энергия выделяется 2.5. Теплопроводность полупроводников Если в веществе создан градиент температуры T, то в нем возникает поток энергии W в направлении, противоположном T :

где = носит название коэффициента теплопроводности, и численно равен количеству энергии, проходящей в единицу времени через поперечное единичное сечение в образце, на концах которого создана разность температур в один градус. В системе СИ он измеряется в.

Благодаря теплопроводности происходит передача энергии от «нагревателя» к «холодильнику». В системе, в которой отсутствует источник тепла и поглотитель, но был создан градиент температуры, теплопроводность приводит к выравниванию температуры, т.е. приводит к установлению теплового равновесия.

Передача тепла осуществляется двумя различными механизмами.

Теплопроводность, обусловленная движением носителей заряда, называется электронной или дырочной. Коэффициент теплопроводности при этом – е.

Второй механизм связан с тепловыми колебаниями решетки. Атомы (или ионы) решетки, совершая колебания относительно положения равновесия, обмениваются энергией. Если в веществе создан градиент температуры, то обмен энергией происходит таким образом, что энергия в большей степени передаётся от атома, совершающие бльшие колебания, к атому, совершающему меньшие колебания, т.е. в сторону меньших температур.

называется решеточной, или фононной теплопроводностью; она характеризуется величиной L.

Полная теплопроводность тем самым характеризуется величиной :

Величина L связана с упругими свойствами твердых тел, е – с концентрацией носителей заряда. В диэлектриках L е. В металлах, возможно, L е. В полупроводниках е в очень сильной степени зависит от их состава и температуры.

обусловленной носителями заряда.

Запишем уравнение для плотности тока и плотности потока энергии в предположении, что магнитное поле отсутствует ( B = 0 ). Эти уравнения можно получить из (2.67) и (2.68).

Для упрощения записи используем кинетические коэффициенты. В качестве кинетических коэффициентов используем выражение В общем случае кинетические коэффициенты K rS являются тензорами второго ранга, эффективная масса m также тензор. Решение кинетического уравнения Больцмана в этом случае очень сложно. Однако, если эффективная масса является скалярной величиной, а изоэнергетические поверхности в k ij пространстве – сферы, то кинетические коэффициенты K rS = K rS являются скалярными величинами. Для невырожденного полупроводника функция Ферми – Дирака переходит в функцию Больцмана, для которой И наконец, когда время релаксации является степенной функцией энергии где 0, 0 — некоторые константы, вид которых определяется конкретным механизмом рассеяния носителей заряда, то кинетические коэффициенты при B 0 (в случае слабого поля) сводятся к гамма – функции Эйлера Таким образом, мы рассмотрим атомарные невырожденные полупроводники со скалярной эффективной массой m и со сферическими изоэнергетическими поверхностями.

Уравнение для плотности тока:

Направленный поток частиц создает не только электрический ток, но и вследствие чего плотность потока энергии W, т.е. количество энергии, проходящей в единицу времени через нормальное единичное сечение, определяется выражением отсутствие поля ( B = 0 ), можно получить для потока энергии аналогично уравнению для тока (см. эффект Холла) следующее выражение:

Это уравнение аналогично уравнению для тока, только первый индекс у кинетического коэффициента на единицу больше, а показатель у заряда на единицу меньше.

Найдем выражение для коэффициента теплопроводности е, который в предположении, что Из условия (2.87) и выражения для тока определим величину e T, значение которой подставим в (2.85). e T = 21 T.

Для невырожденного полупроводника, в случае, если время релаксации является степенной функцией энергии, согласно (2.82), получим В это выражение входит неизвестная постоянная величина 0. Её можно исключить, если рассмотреть отношение е и. Для, используя кинетический коэффициент (2.83), получается выражение = e 2 K11. Если рассмотреть отношение е / T =L, то оно не зависит от 0 и называется числом Лоренца:

Для невырожденного полупроводника, согласно (2.90), получим для числа Лоренца Оно следует из простых вычислений:

Мы видим, что число Лоренца зависит только от p, то есть от показателя степени, с которым энергия входит в выражение для ( E ) (2.81).

Если записать е через и L, то получим закон Видемана – Франца Для вырожденного полупроводника число Лоренца получается только с учетом последующих членов разложения f 0 по E, то есть во втором приближении.

Путем более трудоемких расчетов можно получить выражение числа Лоренца для полупроводника с носителями заряда двух типов при условии Если сравнить (2.92) и (2.94), то увидим, что в случае носителей заряда двух типов коэффициент Лоренца, а следовательно, и случаем, когда имеются носители заряда одного знака. E0 — ширина запрещенной зоны.

Этот результат имеет наглядное физическое объяснение. При создании градиента температур возникает диффузионный ток носителей заряда. Но его возникновение приводит к разделению зарядов, и следовательно, к появлению электрического поля, которое препятствует движению носителей, приводящему к их разделению. Так как полный ток j = 0, то потоки носителей вдоль и против T должны быть равны, но так как носители заряда, идущие вдоль T ( к горячему концу) имеют меньшую энергию, чем носители заряда, идущие против T (к холодному концу), то происходит перенос энергии от горячего к холодному концу без переноса заряда.

Теплопроводность при этом оказывается сравнительно небольшой, и она не зависит от положения уровня Ферми, поскольку весь эффект основан на разности энергий потоков носителей заряда, идущих от горячего и холодного концов образца. Это происходит в случае монополярной проводимости.

Если же в полупроводнике имеются носители заряда двух типов разного знака, то диффузионные потоки носителей приводят к возникновению электрических полей, направленных в противоположные стороны.

Следовательно, суммарное электрическое поле будет небольшим, оно должно удовлетворять условию j = 0, но одинаково направленные потоки носителей заряда разного знака дают токи, противоположно направленные. Поскольку электрическое поле мало, оно не препятствует движению носителей заряда, поэтому поток частиц будет большим. При этом он обусловлен градиентом концентрации, однако выравнивание концентраций не произойдет, поскольку в области горячего конца происходит непрерывное преимущественное рождение пары носителей заряда, а в области холодного конца рекомбинация носителей преобладает над их генерацией. Но при каждой рекомбинации пары носителей выделяется энергия E0, затраченная на их генерацию на горячем конце. Другими словами, каждая пара носителей заряда переносит дополнительную энергию E0, что и приводит к резкому возрастанию числа Лоренца, и следовательно, коэффициента теплопроводности.

2.6. Термомагнитные эффекты Явления, которые наблюдаются в полупроводниках, в которых создан градиент температуры, в отсутствие электрического поля, при наложении на полупроводник магнитного поля, называются термомагнитными явлениями.

Физической основой их возникновения является взаимодействие носителей заряда с магнитным полем, или, другими словами, линейная зависимость силы Лоренца от скорости носителей заряда.

К числу термомагнитных явлений относятся:

1) Эффект Риги – Ледюка – возникновение поперечного градиента температуры ( тепловой аналог эффекта Холла);

2) Эффект Маджи – Риги – Ледюка – изменение теплопроводности в направлении градиента температуры, т.е. возникновение продольного градиента температуры;

3) Поперечный эффект Нернста – Эттингсгаузена – возникновение поперечного электрического поля;

4) Продольный эффект Нернста – Эттингсгаузена – изменение термоэдс или возникновение продольного электрического поля.

Поперечными называются эффекты (разности потенциалов V или разности температур T ), возникающие в направлении, перпендикулярном первичному потоку тепла W, и продольными — эффекты, возникающие в направлении, параллельном первичному потоку тепла. В продольном магнитном поле, т.е. в поле, параллельном потоку тепла, термомагнитные эффекты в изотропных полупроводниках не возникают.

Под изотропными понимаем полупроводники, у которых эффективные массы m и времена релаксации носителей тока не зависят от направления и выражаются скалярами, а не тензорами.

Поперечные эффекты являются нечетными, т.е. их знак зависит от направления магнитного поля, продольные эффекты – четные, их знак не зависит от направления магнитного поля.

Продольный и поперечный эффект Нернста – Эттингсгаузена были обнаружены Нернстом и Эттингсгаузеном на пластинке висмута в 1886 г., а эффекты 1) и 2) — Риги и Ледюком независимо друг от друга в 1887 г. также на висмуте.

Все перечисленные эффекты могут быть математически описаны с помощью следующих формул.

Поперечный эффект Нернста – Эттингсгаузена Рис. 2.5. а) Поперечные эффекты:

Нернста – Эттингсгаузена — V ; Риги – Ледюка — T.

б) Продольные эффекты:

Нернста – Эттингсгаузена — V ; Маджи — Риги – Ледюка — T.

W — тепловой поток; H — магнитное поле.

Эффект Риги – Ледюка:

Продольный эффект Нернста – Эттингсгаузена, т.е. изменение термоэдс в магнитном поле:

Эффект Маджи – Риги – Ледюка – (изменение теплопроводности в магнитном поле):

Здесь (также см. рис.2.5) x, y — составляющие электрического поля, возникающего в присутствии магнитного поля, вдоль осей x (0 ) — электрические поля вдоль оси x при наличии и отсутствии магнитного поля соответственно; Q и Q — коэффициенты поперечного и продольного эффектов; ( H ) и ( 0 ) — коэффициенты термоэдс при H 0 и H = 0 ; S — коэффициент эффекта Риги – Ледюка, 0 и H — величины теплопроводности в отсутствии и наличии магнитного поля соответственно ( = –коэффициент эффекта Маджи – Риги – Ледюка, характеризующий относительное изменение теплопроводности в магнитном поле; — градиенты температуры в направлении осей x, y.

Эффект Риги – Ледюка можно трактовать как поворот теплового потока по отношению к градиенту температуры (по аналогии с эффектом Холла, который мы рассматривали как поворот электрического тока по отношению к первоначальному полю), причем угол поворота, если он мал, определится, как следует из (2.96), формулой Поперечный эффект считается положительным, если при наличии положительного градиента температуры в направлении оси x и магнитного поля в направлении оси z возникает электрическое поле y или градиент температуры в направлении оси y ( правая система координат). Эффект Риги – Ледюка положителен для дырочного полупроводника, и отрицателен для электронного. Знак поперечного эффекта Нернста – Эттингсгаузена не зависит от знака носителей тока.

Продольный эффект Нернста – Эттингсгаузена считается положительным, если термоэлектрическое поле x ( 0 ) в магнитном поле возрастает по абсолютной величине, т.е. x ( H ) — x ( 0 ) 0 и отрицательным при обратном условии x ( H ) — x ( 0 ) 0.

Знак эффекта Маджи — Риги – Ледюка определяется непосредственно из формулы (2.98).

Следует отметить, что нужно различать изотермические и адиабатические эффекты.

Изотермическими называются эффекты, которые измеряются в условиях, когда отсутствуют поперечные, в направлении осей y, z, градиенты температуры.

Адиабатическими называются эффекты, при измерении которых отсутствуют поперечные потоки тепла. Т.о. эффект Риги – Ледюка является по определению только адиабатическим, остальные эффекты могут быть как изотермическими феноменологически определяются уравнениями (2.95 – 2.98), можно провести на основании кинетического уравнения Больцмана.

2.7. Гальваномагнитные эффекты Гальваномагнитные эффекты наблюдаются в веществе при совместном действии электрического и магнитного полей.

К гальваномагнитным явлениям относятся:

1) эффект Холла; 2) магнитнорезистивный эффект; 3) эффект Эттингсгаузена или поперечный гальванотермомагнитный момент; 4) эффект Нернста, или продольный гальванотермомагнитный эффект.

Названия «поперечный» или «продольный» отражают направления градиентов температуры относительно тока, по отношению к магнитному полю они могут быть поперечными или продольными.

Из этих явлений мы подробно рассмотрели эффект Холла. Аналогично могут быть описаны и другие гальваномагнитные явления.

Качественное описание гальваномагнитных явлений заложено в рассмотрении движения заряженной частицы в электрическом и магнитном полях под действием силы Лоренца:

В параллельных электрическом и магнитном полях частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим шагом.

В поперечных (или скрещенных полях) и B частица, не имеющая начальной скорости, движется по циклоиде: частица вращается по окружности радиуса r=, центр которой движется равномерно в направлении, перпендикулярном электрическому и магнитному полям со скоростью дрейфа При движении частиц в твердом теле необходимо учесть соударения, которые нарушают направленное движение частиц.

После каждого соударения частица будет двигаться по винтовой линии или трахоиде, которые характеризуются новыми параметрами.

2) Магнетосопротивление или эффект Гаусса Магнитное поле приводит не только к появлению угла между векторами j, E, но и влияет на величину электропроводности.

Без магнитного поля частица движется прямолинейно и между двумя столкновениями проходит путь, равный длине свободного пробега l.

Если включить магнитное поле, то траектория будет представлять собой в неограниченном образце участок циклоиды длиной l, и за время свободного пробега вдоль поля E частица пройдет путь меньший, чем l, а именно Поскольку за время частица проходит меньший путь вдоль поля E, то это равносильно уменьшению дрейфовой скорости, или подвижности, а тем самым и проводимости, т.е. сопротивление должно возрастать.

Если учесть статистический разброс времен (и длин) свободного пробега, то получим Таким образом, сопротивление в магнитном поле возрастает. Диск Корбино.

3) Эффект Эттингсгаузена Если в среднем действие силы Лоренца и поля Холла компенсируют друг друга, то вследствие разброса скоростей носителей отклонение «более горячих» и «более холодных» происходит по-разному – они отклоняются к противоположным граням полупроводника. Если они при этом отдают энергию, то полупроводник нагревается; если они отбирают энергию у решетки, то полупроводник охлаждается, в результате чего возникает градиент температуры в направлении, перпендикулярном полю B и току j.

Для характеристики эффекта Эттингсгаузена служит коэффициент Эттингсгаузена AE :

При изменении направления магнитного поля, (так же, как и тока) знак zT E меняется, как и знак поля в эффекте Холла.

Эффекты Холла и Эттингсгаузена, зависящие от направления B, называются нечетными.

4) Эффект Нернста, или продольный гальванотермомагнитный Этот эффект состоит в том, что вдоль тока j возникает градиент температур, который не зависит от направления магнитного поля, но меняет знак при изменении направления тока. Эффект возникает в результате того, что в направлении тока уменьшается поток «горячих» и «холодных»

электронов. Эффекты Гаусса и Нернста являются четными.

изотермические. Явления называются адиабатическими, если образец не обменивается энергией с окружающей средой, и изотермическими, если в результате обмена энергией с окружающей средой в направлении, перпендикулярном полю B и току j, не возникает градиента температур.

Эффект Эттингсгаузена может быть только адиабатическим, остальные могут быть как адиабатическими, так и изотермическими.

Знак эффектов Эттингсгаузена и Нернста зависит от механизма рассеяния, так как = c = c 0 E p и при малых При р = 0 относительное изменение длины свободного пробега не зависит от энергии, следовательно, разброс в скоростях не должен сказываться на составе тока при наложении магнитного поля, поэтому эффекты Эттингсгаузена и Нернста должны отсутствовать.

Если p 1/ 2, то относительно уменьшается роль «горячих» электронов, и полупроводник должен охлаждаться вдоль направления движения носителей заряда: xT совпадает с током jx в электронном полупроводнике и противоположен по знаку в дырочном полупроводнике. При p увеличивается доля «горячих» электронов в составе тока, и знак градиента температуры изменится по сравнению с предыдущим случаем.

2.8. Полупроводники в сильном электрическом поле При выводе кинетического уравнения Больцмана мы предполагали, что время релаксации не зависит от величины поля. Используя кинетическое уравнение для невырожденного полупроводника со сферическими изоэнергетическими поверхностями, мы показали, что плотность тока подчиняется закону Ома, т.е. пропорциональна напряженности Это значит, что величина оставалась постоянной при воздействии электрического поля на кристалл, т.е. поле не изменяло ни концентрацию, ни подвижность носителей заряда. В сильных электрических полях имеет место нарушение закона Ома. Во-первых, в сильном электрическом поле скорость дрейфа носителей становится соизмеримой с тепловой скоростью. Это скажется на процессе рассеяния, что проявится в изменении времени релаксации, а следовательно, и подвижности. Во-вторых, сильные электрические поля могут вызвать изменение концентрации носителей.

Рассмотрим эти причины раздельно.

Подвижность можно записать в виде:

где VT — тепловая скорость носителя заряда.

Поле увеличивает тепловую скорость в своем направлении на величину V. Пока добавка V мала по сравнению с VT, электрическое поле можно считать слабым. V VT. Добавку к тепловой скорости V можно оценить, исходя из закона сохранения энергии l — длина свободного пробега носителя заряда. Т.к. V VT = (поскольку VT — направлена беспорядочно, а V — по полю), то Таким образом, критерий слабых электрических полей будет иметь вид:

Обычно считают, что если относительное изменение скорости носителя V / VT составляет 10%, то поле, вызывающее такое изменение скорости носителей называют критическим и обозначают k.

Проанализируем влияние сильного поля на подвижность при различных механизмах рассеяния.

Зависимость подвижности от температуры и энергии может быть представлена в виде:

где r — фактор рассеяния, равный нулю при рассеянии на акустических фононах и равный двум при рассеянии на ионах примеси.

рассеяния на фононах:

при рассеянии на ионах:

Сильное поле, увеличивая скорость носителей, по-разному будет влиять на время релаксации. В первом случае оно уменьшает, а во втором – увеличивает.

Если имеет место смешанный механизм рассеяния, то суммарная подвижность приближенно определяется соотношением где i — подвижность при рассеянии на ионах; L — подвижность при рассеянии на фононах.

Из рис. 2.6 и рис. 2.7 видно, что увеличение напряженности электрического поля эквивалентно росту температуры. Поэтому для описания влияния сильного поля на поведения носителей заряда часто вводят понятие электронной температуры электронного газа.

По определению Te вычисляют из соотношения mV 2 = k0Te.

Если температура кристалла при этом T, то mV 2 k0T или Te T.

Носители заряда в этом случае не находятся в тепловом равновесии с решеткой. Такие носители заряда называются «горячими».

Следует отметить, что критические поля в неоднородных полупроводниках могут появляться при очень малых разностях потенциалов.

Рис. 2.6. Зависимость Рис. 2.7. Температурная зависимость где N -концентрация ионов 2 – область низких температур, Например, в кристалле с p n переходом, на который падает практически все приложенное к образцу напряжение, т.к. сопротивление p n перехода много больше сопротивления толщи полупроводника.

Толщина p n перехода d меняется в различных приборах от 103 до 107 cм.

При d = 107 cм и разности потенциалов 1B поле достигает весьма значительных значений: = = 7 = 107 B / cм.

Поэтому в тех случаях, когда эффекты, связанные с сильным полем, нежелательны, p n переход должен быть достаточно толстым. Это относится к силовым выпрямительным диодам: одним из условий, необходимых для того, чтобы они выдерживали большое обратное напряжение (порядка 103 B / cм ), является достаточная толщина p n перехода ( d = 103 cм ). В приборах, принцип действия которых основан на явлениях в сильных полях (туннельных диодах, лавинных диодах и т. п.), p n переход должен быть тонким.

Аналогичный эффект имеет место в поликристаллических образцах.

Сопротивление прослоек между зернами во много раз превышает сопротивление зерен. Размеры зерна 102 101 cм, а толщина прослоек 103 106 cм. Следовательно, и в этом случае поле в прослойках может быть в 10 106 раз больше, чем поле, приложенное к образцу. На этом эффекте основан ряд полупроводниковых приборов: нелинейные сопротивления из карбида кремния SiC и др. материалов, фоточувствительные пленки из PbS, PbSe и т.д.

На изменении подвижности в сильных электрических полях обусловлено появление эффекта Ганна.

В полупроводниках, зона проводимости которых имеет более одного минимума энергии, электрон с волновым вектором k, соответствующим одному из минимумов, при рассеянии может оказаться в состоянии с волновым вектором k, принадлежащем другому минимуму. В результате такого рассеяния будет наблюдаться переброс электрона из минимума в минимум. Такой вид рассеяния носит название «междолинного».

Междолинное рассеяние носителей заряда может приводить к возникновению электрических колебаний в полупроводнике при приложении к нему постоянного напряжения достаточной величины. Это явление называется эффектом Ганна и впервые наблюдалось на GaAs. На рис. 2.8.

изображена зависимость энергии электрона в зоне проводимости GaAs от волнового вектора k для направления [100].

Для GaAs существенным является наличие двух минимумов А и Б, разделенных зазором E1 = 0,36эВ, в которых эффективные массы электронов различны: легкие с эффективной массой m1 = 0,072 m и тяжелые электроны с Рис. 2.9. Распределение образца. Но если в образце имеется электрического поля вдоль некоторая неоднородность с повышенным образца. сопротивлением (заштрихованная область), будет выше. Следовательно, Eкр, при котором будет наблюдаться переброс электронов в более высокий минимум, возникнет именно в этом сечении образца. В этой области происходит возрастание концентрации свободных электронов и распределение поля становится резко неоднородным (см. рис.

Слой объемного заряда с повышенной концентрацией тяжелых электронов носит название электрического домена.

Подойдя к аноду, домен исчезнет. При образовании домена ток в цепи уменьшается, при исчезновении – возрастает. В кристалле возникнут колебания тока – токовая неустойчивость. Установлено, что скорость перемещения домена равна дрейфовой скорости электронов Vдр = V ( ), а частота колебаний = 5 10 см / B c, поле E = 3 10 B / cм. Наблюдались колебания тока с частотой f = 0,5 109 Гц, что соответствует (2.112).

Возникновение колебаний возможно в образцах с ВАХ N- и S- типов (см. рис. 2.10).

Помимо изменения подвижности в сильном электрическом поле могут проявляться несколько механизмов увеличения концентрации носителей.

Такими механизмами являются: термоэлектронная ионизация (эффект Френкеля), электростатическая ионизация (туннельный эффект) и ударная ионизация (лавинный пробой).

Термоэлектрическая ионизация (эффект Френкеля) Сильное электрическое поле, приложенное к кристаллу, изменяет вид потенциальных барьеров между атомами кристаллической решетки.

Выберем в кристалле направление x, вдоль которого приложено поле.

Если поле отсутствует, то в кристалле между атомами действует периодическое поле (пунктирная линия). Если приложено поле, то на периодический потенциал V наложится дополнительный потенциал VE = ex.

Как видно из рис. 2.11, влияние сильного поля проявляется в уменьшении потенциального барьера на величину W. Если рассматриваемый барьер относится к примесному атому, то концентрация носителей, переходящих за Рис. 2.11. Влияние сильного потенциал поля на величину потенциального барьера W.

В некоторой точке x0 величина потенциала достигнет максимальной величины Vmax. В этой точке x0 =. Подставляя x0 в выражение (2.113), находим где 0 — удельная электрическая проводимость полупроводников в слабом поле.

Эта зависимость показывает, что ток растет с увеличением поля пропорционально e. Эффект наблюдается при полях 5 103 5 104 B / cм (с поправками к теории Френкеля).

Электростатическая ионизация (туннельный эффект) Изменение потенциальной энергии атомов при приложении к образцу электрического поля приводит к наклону энергетических зон полупроводника, что дает возможность для межзонного туннелирования, а также туннелирования с примесных уровней, или на примесные уровни (рис. 2.12).

Если поле направлено слева направо, то зоны наклоняются так, что левая часть оказывается ниже правой (полная энергия электрона изображается горизонтальными прямыми АС, А1С1). Для перехода из точки А, т.е. со дна зоны проводимости, в точку С, т.е. на потолок валентной зоны, и для обратного перехода из С в А электрону необходимо туннелировать через треугольный барьер высотой ВС и шириной АС. При этом полная энергия Е остается неизменной. Вероятность туннелирования через барьер характеризуется коэффициентом прозрачности. Ввиду более высокой концентрации электронов в валентной зоне туннелирование происходит преимущественно из валентной зоны в зону проводимости. Вследствие этого возрастает концентрация электронов и дырок проводимости. Процесс такой генерации происходит в равновесии с процессом рекомбинации, если поле остается ниже, чем Eпроб. При этом концентрация носителей заряда оказывается повышенной. Ширину барьера L = AC определяют из условия eL = E0, где E0 — высота барьера, равная ширине запрещенной зоны.

Прозрачность барьера, определенная по квантовой теории, дается формулой (2.118).

U ( x ) E dx для треугольного барьера, изображенного на рис. 2.12. Высота барьера ВС равна E0, поэтому можно записать где U 0 — потенциальная энергия в точке С.

Коэффициент прозрачности барьера Д зависит от величины E0 и. Расчет показывает, что туннелирование в полупроводниках типа германия, кремния может наблюдаться при Туннелирование с примесных уровней E Д в зону проводимости осуществляется при более слабых полях, т.к. ширина и высота барьера в этом случае значительно меньше, чем при туннелировании через запрещенную зону. Туннелирование возможно в высокоомных полупроводниках и диэлектриках, в которых можно создать поле высокой напряженности (106 107 B / cм ).

Ударная ионизация В сильном электрическом поле E 105 B / cм электрон (или дырка) приобретают энергию, достаточную для ионизации вещества, в результате чего возникают электронно-дырочные пары, которые в свою очередь ускоряются и генерируют дополнительные свободные носители заряда. Этот процесс называется ударной ионизацией. Наблюдать его можно в резко неоднородных полупроводниках, т.е. в области барьерных запирающих слоях, т.к. создать поля 105 106 B / cм в однородном полупроводнике весьма трудно.

Однако ударная ионизация примесных уровней требует значительно меньших полей и наблюдается при низких температурах, когда примеси не Рис. 2.13. Два варианта ударной ионизации.

ионизированы. Например, ударная ионизация примесей элементов третьей и пятой группы в Ge происходит при полях E 5 10 B / cм.

Ударная ионизация характеризуется коэффициентом ударной ионизации ( E ), который равен среднему числу ионизационных столкновений на единице длины квантовомеханическим путем; f ( E ) — функция распределения; N ( E ) плотность квантовых состояний; Vd — скорость дрейфа. Для полупроводников с большой диэлектрической проницаемостью вероятность ионизации (для Ge и Si) равна Wи ( E ) A ( E Eи ), где А – коэффициент пропорциональности, а Eи — энергия ионизации. Пороговая энергия ионизации Eи 2E0, где E0 ширина запрещенной зоны. Зависимость коэффициента ударной ионизации от поля в основном определяется видом функции распределения f ( E ).

Ускорение электронов до порога ионизации Eи зависит от соотношения двух факторов – ускорения во внешнем электрическом поле и рассеяния энергии при столкновениях с фононами. Ускорение до порога ионизации Eи с фононами, на одной или нескольких длинах пробега, т.к. относительная потеря энергии в каждом таком столкновении мала (линия 1). Это случай высоковольтной ударной ионизации. В этом случае расчет дает Во втором случае, когда поля слабые, el 0, носители набирают энергию на расстоянии, равном многим длинам свободного пробега (линия 2).

При этом, чтобы достичь энергии Eи, носитель не должен сталкиваться на всем своем пути с фононами. Поскольку путь до порога ионизации Lи = Eи / e, а средний свободный пробег между столкновениями с фононами l, то вероятность пробега до порога ионизации без столкновений есть e, т.е. функция распределения, а следовательно, и коэффициент ударной ионизации пропорциональны величине Функция распределения будет сильно вытянута вдоль направления электрического поля, т.е. в направлении дрейфа носителей. Это низковольтная ударная ионизация.

«Министерство образования Российской Федерации Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова А.Б. Чурилов ВВЕДЕНИЕ В НАНОЭЛЕКТРОНИКУ Учебное пособие Ярославль 2002 УДК 621.382.017.7(075.8) ББК 385я73 Ч93 Рецензенты: кафедра общей физики ЯГПУ им. К.Д. Ушинского; д–р физ.–мат. наук В.К. Смирнов Чурилов А.Б. Введение в наноэлектронику: Учеб. пос. / Яросл. гос. ун-т. Ярославль, 2002. 132 с. ISBN 5-8397-0249-8 Учебное пособие является введением в физику и технологию микроэлектроники с. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ БИОЛОГИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра биохимии СТРУКТУРНАЯ БИОХИМИЯ УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ МИНСК 2011 1 УДК 577. 11 (112, 113, 114, 115). 15. 16. ББК в.р. Б Авторы О.И. Губич, Т.Н. Зырянова, Е.О. Корик, Т.А.Кукулянская, С.И. Мохорева, Д.А. Новиков, Н. М. Орл, И.В. Семак Рекомендовано Ученым советом биологического факультета 7. 09. 2011 г., протокол № Рецензенты: кафедра биохимии и биофизики УО Международный государственный. »

«МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ ОБОРОНЫ, ЧРЕЗВЫЧАЙНЫМ СИТУАЦИЯМ И ЛИКВИДАЦИИ ПОСЛЕДСТВИЙ СТИХИЙНЫХ БЕДСТВИЙ Академия Государственной противопожарной службы И. Р. Бегишев Расчётно-теоретическое исследование параметров взрыва газо-воздушных смесей КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине Физико-химические методы исследования процессов горения и взрыва (для слушателей магистратуры очной и заочной формы обучения) Москва 2012 МИНИСТЕРСТВО РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ДЕЛАМ ГРАЖДАНСКОЙ. »

«Петрозаводский государственный университет ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛЕВОГО МДП ТРАНЗИСТОРА Методические указания к лабораторной работе для студентов 4 курса физико-технического факультета специальности “Твердотельная электроника и микроэлектроника” Петрозаводск Издательство Петрозаводского государственного университета 2003 Рассмотрены и рекомендованы к печати на заседании редакционной комиссии по отрасли науки и техники “физика” марта 2003г. Печатаются по решению. »

«Министерство образования Российской Федерации ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра физики В.Г. Казачков Ф.А. Казачкова С.Н. Чмерев Т.М. Чмерева СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ОБЩЕЙ ФИЗИКИ Часть 2 Учебное пособие для заочного отделения Оренбург 2000 ББК 22.3я7 С 23 УДК53 (076.5) Рекомендовано Редакционно — издательским Советом ОГУ протокол №_, от 2000 г. Рецензент кандидат технических наук, доцент Э.А.Савченков Казачков В.Г., Казачкова Ф.А., Чмерев С.Н., Чмерева Т.М. С 23 Сборник задач по. »

«1 МИНИСТЕРСТВО ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИИ ВОЛГОГРАДСКАЯ МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ Кафедра физики ФИЗИКА И БИОФИЗИКА Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников 2 курса по специальности 040500 ФАРМАЦИЯ Волгоград-2002 2 Автор: З.А.Филимонова – старший преподаватель кафедры физики Волгоградской медицинской академии Научный консультант: Е.С.Верстаков –заведующий кафедрой физики ВМА, к.ф.-м.н., доцент Рецензент: профессор кафедры общей физики ВГПУ В.С.Харькин Методические указания и. »

«Министерство образования науки и инноваций Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Казанский (Приволжский) Федеральный университет им. В.И. Ульянова-Ленина Институт физики Кафедра общей физики, ОНЦ Медицинская физика А.В. Аганов ВВЕДЕНИЕ В МЕДИЦИНСКУЮ ЯДЕРНУЮ МАГНИТНО – РЕЗОНАНСНУЮ ТОМОГРАФИЮ Учебное пособие Казань – 2013 Печатается по решению Редакционно-издательского совета Института Физики КФУ А.В. Аганов. Введение в медицинскую ядерную. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ “МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)” Подлежит возврату № 0000 ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКИЕ УСТРОЙСТВА И СИСТЕМЫ Методические указания по выполнению лабораторных работ для студентов, обучающихся по специальностям 210301, 210302 и по направлению 210.300.62 МОСКВА Составители Л. М. Белкин, М. Е. Белкин, Э. А. Засовин Редактор. »

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ, МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ВЫСШЕЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ И.П. Гаркуша, В.П. Куринной ФИЗИКА Часть 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА Учебное пособие Днепропетровск НГУ 2012 УДК 53(075.4) ББК 22.3я72 Г44 Рекомендовано редакційною радою Державного ВНЗ НГУ як навчальний посібник для бакалаврів галузі знань 0503 Розробка корисних копалин (протокол № 11 від 30.11.2012) Гаркуша И.П. Г 44 Физика. Ч. 2. Молекулярная физика и. »

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Амурский государственный университет Кафедра Физики УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНЫ Основы радио и телевещания Специальности 010701 – Физика Благовещенск 2012 УМКД разработан: доц. кафедры физики, канд.физ.-мат. наук, Копылова И.Б. _ _ _ _ И.о. зав. кафедрой /И.А.Голубева/ Протокол заседания кафедры № _ от 2002 г. СОГЛАСОВАНО: Протокол заседания УМСС № от 2012 г. »

«ОПТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ЖИВЫХ СИСТЕМ Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского Посвящается Международному году света, которым объявлен 2015 год ОПТИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ ЖИВЫХ СИСТЕМ Учебное пособие Симоненко Г. В., Тучин В.В. Саратов НОВЫЙ ВЕТЕР УДК 535. ББК 22.343. С Оптический практикум по физике живых систем. Учебное пособие / Симоненко Г. В., С78 Тучин В.В. – Саратов : Изд — во Новый ветер, 2014. – 62 с. : ил. ISBN 978-5-98116-178- В учебном. »

«Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет Теоретические основы прогрессивных технологий Концепции современного естествознания (химические основы) Методические указания к лабораторным работам для студентов всех специальностей и всех форм обучения Санкт-Петербург 2002 Допущено редакционно-издательским советом СПбГИЭУ в качестве методических указаний Составители: канд. хим. наук, доц. В.В.Фокин канд. хим. наук, доц. »

«ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ РОССИИ ВОЛОГОДСКИЙ ИНСТИТУТ ПРАВА И ЭКОНОМИКИ КАФЕДРА ФИЛОСОФИИ И ИСТОРИИ Логика научного исследования (Учебное пособие для слушателей и адъюнктов ВИПЭ ФСИН России) ВОЛОГДА 2010 г. Авторы: д.филос.н., профессор каф. философии и истории ВИПЭ ФСИН России Б. В. Ковригин. к.ф.н., доцент каф. философии и истории ВИПЭ ФСИН России Н. В. Дрянных Рецензенты: к. филос. н., доцент каф. философии МГЮА (филиал в г. Вологде) В. В. Смирнов. к.ф.н., доцент каф. философии. »

«Методические рекомендации Кафедра наноматериалов и к выполнению рефератов нанотехнологий УТВЕРЖДАЮ Заведующий кафедрой НМНТ ИФВТ, д.т.н. О.Л. Хасанов 2010 г. 05 мая Методические рекомендации по подготовке, содержанию и оформлению реферата Методические рекомендации для студентов 1-2 курсов специальности 010700 Физика ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ Написание рефератов студентами специальности 010700 Физика является необходимым элементом учебного процесса и выполнения учебного плана на факультете. »

«МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) А. И. Кобрунов МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ В ПРИКЛАДНОЙ ГЕОФИЗИКЕ (ИЗБРАННЫЕ ГЛАВЫ) Часть 1 Функционально-аналитические основы Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по образованию в области прикладной геологии в качестве учебного пособия для студентов высших. »

«Титульный лист методических Форма рекомендаций и указаний, методических Ф СО ПГУ 7.18.3/40 рекомендаций, методических указаний Министерство образования и науки Республики Казахстан Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова Кафедра Вычислительная техника и программирование МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И РЕКОМЕНДАЦИИ к лабораторным работам по дисциплине Компьютерное моделирование для студентов специальности 050704 Вычислительная техника и программное обеспечение Павлодар Лист. »

«КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УТВЕРЖДАЮ Проректор В.С.Бухмин ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ Современные методы экспериментальной физики Цикл ФТД ГСЭ — общие гуманитарные и социально-экономические дисциплины; ЕН — общие математические и естественнонаучные дисциплины; ОПД — общепрофессиональные дисциплины; ДС — дисциплины специализации; ФТД — факультативы. Специальность: 010400 – Физика (Номер специальности) (Название специальности) Принята на заседании кафедры физики твёрдого тела (Название. »

«Министерство образования и науки Российской Федерации Владивостокский государственный университет экономики и сервиса В.Н. САВЧЕНКО В.П. СМАГИН КОНЦЕПЦИИ СОВРЕМЕННОГО ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ Т.2. Планетное, химическое, биологическое, эволюционное, философия и инструменты, мега-история Вселенной. Тезаурус и персоналии (от Л до Я) Учебное пособие Издание второе, переработанное и дополненное Допущено Научно-методическим советом по физике Министерства образования и науки Российской Федерации в качестве. »

«Министерство транспорта Российской Федерации Федеральное агентство железнодорожного транспорта Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования Дальневосточный государственный университет путей сообщения Кафедра Социально-культурный сервис и туризм О.В. Маркова РЕГИОНОВЕДЕНИЕ Методические указания по изучению дисциплины Регионоведение Хабаровск Издательство ДВГУПС 2013 УДК 911 (0.75) ББК Д 89я73 М 268 Рецензент – кандидат культурологи. »

«ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНСТРУКЦИЯ ПО СОДЕРЖАНИИЮ И ПОРЯДКУ СОСТАВЛЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ ПО КУРСУ СТРУКТУРНАЯ ГЕОЛОГИЯ И ГЕОЛОГИЧЕСКОЕ КАРТИРОВАНИЕ Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 2008 Утверждено научно-методическим советом геологического факультета февраля 2008 г., протокол № Рецензент проф. А.Д. Савко Авторы: С.А. »

© 2013 www.diss.seluk.ru — «Бесплатная электронная библиотека — Авторефераты, Диссертации, Монографии, Методички, учебные программы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.

🌟 Видео

ПОЛУПРОВОДНИКИ | Электропроводность полупроводников и их свойстваСкачать

Уравнение состояния идеального газа. 10 класс.Скачать

Физика. МКТ: Уравнение Менделеева-Клапейрона для идеального газа. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать

Урок 150. Задачи по молекулярно-кинетической теорииСкачать