Основное уравнение свободных незатухающих колебаний.
3. Кинематические и динамические характеристики свободных незатухающих колебаний.
4. Векторное представление колебаний.
Механические колебания
Рис. 1.
Колебательным называется такое движение, при котором тело многократно проходит через одно и то же устойчивое положение равновесия. При этом под устойчивым понимается такое положение, в котором тело может находиться бесконечно долго.
Рис. 2. Представление колебаний: а – сложной формы, б – прямоугольные, в – пилообразные, г – гармонические, д – затухающие, е – нарастающие
· периодические (изменяющиеся величины повторяются через равные промежутки времени);
Простейший вид периодических колебаний – гармонические колебания, при которых изменение величин происходит по закону синуса или косинуса.
Негармонические колебания можно представить как сумму гармонических (теорема Фурье).
Рис. 3.
В зависимости от физической природы процесса различают колебания:
· электромеханические и т.д.
В зависимости от характера действующих сил различают колебания:
2. Основное уравнение свободных незатухающих колебаний
Рис. 4.
Свободные незатухающие колебания совершаются в консервативных системах при отсутствии сил трения.
Такие колебания возникают под действием упругой (квазиупругой) силы:
. (1)
Уравнение второго закона Ньютона
, (2)
где , w0 — циклическая частота. (3)
Общее решение уравнения (2) имеет вид
где А и j0 – произвольные постоянные.
(4) (2) ; ;
0 = 0 .
5. Кинематические и динамические характеристики
свободных незатухающих колебаний
Кинематические характеристики: смещение, амплитуда, фаза, частота, период, скорость, ускорение.
Динамические характеристики: сила, энергия.
1. Смещение x — отклонение системы от положения равновесия.
2. Амплитуда А = xmax — максимальное отклонение системы от положения равновесия.
3. Фаза j = (ω0t + j0) — угол, определяющий положение колеблющегося тела в данный момент времени t; j0 = j(t = 0) — начальная фаза (значение фазы в начальный момент времени).
4. Циклическая частота колебаний w0 = dj/dt — характеризует скорость изменения фазы.
5. Период колебаний Т — промежуток времени одного полного колебания за который фаза колебания получает приращение, равное 2p.
(5)
6. Частота колебаний n0 — число полных колебаний, совершаемых в одну секунду
, [с -1 = Гц] , (6)
. (7)
7. Скорость колеблющегося тела v = dx/dt
, (8)
— амплитуда скорости. Скорость также изменяется по гармоническому закону, причем скорость опережает смещение по фазе на .
8. Ускорение колеблющегося тела v = d 2 x/dt 2 = dv/dt
(9)
— амплитуда ускорения. Ускорение также изменяется по гармоническому закону, причем оно находится в противофазе со смещением.
Рис. 6
, x = A cos (ω0t + j0) , (10)
т.е. период и фаза силы и ускорения совпадают.
10. Полная энергия незатухающих колебаний
(11)
,
. (12)
Рис. 7
1. Период изменения кинетической и потенциальной энергии в 2 раза меньше периода изменения смещения, скорости и т.д.
.
2. Полная энергия колеблющегося тела пропорциональна квадрату амплитуды.
3. Полная энергия пропорциональна квадрату частоты колебаний.
4. При свободных незатухающих колебаниях полная энергия системы сохраняется постоянной, что выражает консервативность системы. Происходит лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и наоборот.
4. Векторное представление колебаний
Векторное изображение колебаний облегчает и делает более наглядным решение ряда практически важных задач, в частности сложение нескольких колебаний одинаковой частоты.
Если изображать колебания графически с помощью векторов, вращающихся с угловой скоростью w0, равной собственной частоте колебания, то полученная таким способом схема называетсявекторной диаграммой.
Проекция вектора на ось совершает гармоническое колебание, амплитуда которого равна длине вектора, круговая частота — угловой скорости вращения вектора, а начальная фаза — углу, образуемому вектором с осью в начальный момент времени.
|
следующая лекция ==>
У — угол наклона ветви к вертикали.
|
ПОНЯТИЕ ПРЕДИКАТА
Дата добавления: 2015-08-21 ; просмотров: 663 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.
Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.
Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $frac$ , где
Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $frac$ , где
N ― количество колебаний;
Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $frac$ , где
ω ― циклическая частота [рад/с];
Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:
ω ― циклическая частота [рад/с];
φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.
Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.
Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.
Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где
φ ― полная фаза колебаний [рад];
φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Пример анализа гармонических колебаний точки
Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где
ω ― циклическая частота [рад/с].
Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия. Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1. Когда x = A фаза колебаний равна φ = $frac +2pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $frac +2pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.
График колебания координаты точки имеет вид:
Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt‘, где
v ― скорость движения точки [м/с];
Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt‘ = |Asin(ωt)|’t = Acos(ωt).
Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где
v ― скорость движения точки [м/с];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.
График колебания скорости точки имеет вид:
Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.
Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt‘, где
a ― ускорение движения точки [м/с2];
v ― скорость движения точки [м/с];
Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt‘ = [Aωcos(ωt)]t‘ = –Aω2sin(ωt).
Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где
a ― ускорение движения точки [м/с2];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.
График колебания ускорения точки имеет вид:
Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации. В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную. Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где
E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];
EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];
EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].
Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).
Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $frac$ , где
EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].
У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $frac$ = $frac$ = $frac cdot A^2 sin^2 (omega t)$ .
Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $frac cdot A^2 sin^2 (omega t)$ , где
EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $fracA^2$ , где
EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.
График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:
Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $frac$ , где
Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];
v ― скорость движения тела, [м/с].
У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.
Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $frac$ = $frac cdot (Aomegacos(omega t))^2$ = $frac cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ .
Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $frac cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ , где
Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];
ω ― циклическая частота [рад/с];
Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $frac cdot A^2 omega^2$ , где
EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];
ω ― циклическая частота [рад/с].
Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.
График колебаний кинетической энергии маятника:
Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.
Период колебаний математического маятника равен T = $2pi sqrt<frac>$ , где
l ― длина нити математического маятника [м];
g ― ускорение свободного падения [м/с2].
Период колебаний пружинного маятника равен T = $2pi sqrt<frac>$ , где
Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.
Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.
На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.
Видео:МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ период колебаний частота колебанийСкачать
Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.
Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.
Видео:Уравнения и графики механических гармонических колебаний. Практ. часть - решение задачи. 11 класс.Скачать
Свободные колебания
Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.
Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.
А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.
Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.
Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.
Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.
Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.
Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.
У автоколебательной системы есть три важных составляющих:
сама колебательная система
источник энергии
устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой
Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.
Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.
Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.
Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.
Формула периода колебаний
T= t/N
N — количество колебаний [—]
Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.
Формула частоты
ν= N/t = 1/T
N — количество колебаний [—]
Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо x max .
Она используется в уравнении гармонических колебаний:
Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:
Уравнение гармонических колебаний
x — координата в момент времени t [м]
t — момент времени [с]
(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ
Фаза колебаний
t — момент времени [с]
Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.
На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.
Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.
На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.
В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.
Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.
Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.
Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).
Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:
Формула периода колебания математического маятника
l — длина нити [м]
g — ускорение свободного падения [м/с 2 ]
На планете Земля g = 9,8 м/с 2
Видео:Уравнение колебания струны. Решение методом ДаламбераСкачать
Пружинный маятник
Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.
В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.
Формула периода колебания пружинного маятника
m — масса маятника [кг]
k — жесткость пружины [Н/м]
Видео:Урок 333. "Энергетический" метод расчета частоты свободных колебанийСкачать
Закон сохранения энергии для гармонических колебаний
Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.
Рассмотрим его на примере математического маятника.
Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.
Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!
. (1)
, (2)
, w0 — циклическая частота. (3)
; 
;
(5)
, [с -1 = Гц] 
, (6)
. (7)
, (8)
— амплитуда скорости. Скорость также изменяется по гармоническому закону, причем скорость опережает смещение по фазе на 
.
(9)
— амплитуда ускорения. Ускорение также изменяется по гармоническому закону, причем оно находится в противофазе со смещением.
, x = A cos (ω0t + j0) 
, (10)
(11)
, 
. (12)
.
Читать 0 мин.
