Самыми сложными задачами 6 считаются задачи с параметром. Сегодня мы разберем одну из таких задач — это еще относительно простой пример, на котором, однако, довольно удобно тренироваться.
Задача B9. Прямая y = 10 x − 30 является касательной к графику функции:
y = 2 x 2 + bx + 2
Найдите значение параметра b , если известно, что абсцисса точки касания положительна.
Следующий видеоурок — последний в этой короткой серии — будет посвящен самой сложной задаче B9 из всех, которые могут встретиться на реальном ЕГЭ по математике. Разумеется, при желании можно придумать еще более сложные задачи. Но на настоящем экзамене более сложных уже не будет.
- Уравнение касательной к графику функции
- п.1. Уравнение касательной
- п.2. Алгоритм построения касательной
- п.3. Вертикальная касательная
- п.4. Примеры
- Касательная к графику функции в точке соответствующей значению параметра имеет уравнение
- Решение.
-         Найдём координаты точки:         Найдём производные:
- 📹 Видео
Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать
Уравнение касательной к графику функции
п.1. Уравнение касательной
Рассмотрим кривую (y=f(x)).
Выберем на ней точку A с координатами ((x_0,y_0)), проведем касательную AB в этой точке.
Как было показано в §42 данного справочника, угловой коэффициент касательной равен производной от функции f в точке (x_0): $$ k=f'(x_0) $$ Уравнение прямой AB, проведенной через две точки: ((y_B-y_A)=k(x_B-x_A)).
Для (A(x_0,y_0), B(x,y)) получаем: begin (y-y_0)=k(x-x_0)\ y=k(x-x_0)+y_0\ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) end
Чтобы записать уравнение касательной с угловым коэффициентом в виде (y=kx+b), нужно раскрыть скобки и привести подобные: $$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)=underbrace_x+underbrace_ $$
п.2. Алгоритм построения касательной
На входе: уравнение кривой (y=f(x)), абсцисса точки касания (x_0).
Шаг 1. Найти значение функции в точке касания (f(x_0))
Шаг 2. Найти общее уравнение производной (f’ (x))
Шаг 3. Найти значение производной в точке касания (f'(x_0 ))
Шаг 4. Записать уравнение касательной (y=f’ (x_0)(x-x_0)+f(x_0)), привести его к виду (y=kx+b)
На выходе: уравнение касательной в виде (y=kx+b)
 | Пусть (f(x)=x^2+3). Найдем касательную к этой параболе в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=1^2+3=4 )
(f'(x)=2x )
(f'(x_0)=2cdot 1=2)
Уравнение касательной: $$ y=2(x-1)+4=2x-2+4=2x+2 $$ Ответ: (y=2x+2)
п.3. Вертикальная касательная
Не путайте вертикальные касательные с вертикальными асимптотами.
Вертикальная асимптота проходит через точку разрыва 2-го рода (x_0notin D), в которой функция не определена и производная не существует. График функции приближается к асимптоте на бесконечности, но у них никогда не бывает общих точек.
А вертикальная касательная проходит через точку (x_0in D), входящую в область определения. График функции и касательная имеют одну общую точку ((x_0,y_0)).
Вертикальные касательные характерны для радикалов вида (y=sqrt[n]).
 | Пусть (f(x)=sqrt[5]+1). Найдем касательную к этой кривой в точке (x_0=1). |
(f(x_0)=sqrt[5]+1=1)
(f'(x)=frac15(x-1)^+0=frac15(x-1)^=frac<5(x-1)^> )
(f'(x_0)=frac<5(1-1)^>=frac10=+infty)
В точке (x_0) проходит вертикальная касательная.
Её уравнение: (x=1)
Ответ: (y=2x+2)
п.4. Примеры
Пример 1. Для функции (f(x)=2x^2+4x)
a) напишите уравнения касательных, проведенных к графику функции в точках его пересечения с осью OX.
 | Находим точки пересечения, решаем уравнение: $$ 2x^2+4x=0Rightarrow 2x(x+2)=0Rightarrow left[ begin x=0\ x=-2 end right. $$ Две точки на оси: (0;0) и (-2;0). Касательная в точке (x_0=0): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot 0+4=4\ y=4(x-0)+0=4x end Касательная в точке (x_0=-2): begin f(x_0)=0, f'(x)=4x+4\ f'(x_0)=4cdot (-2)+4=-4\ y=-4(x+2)+0=-4x-8 end |
б) Найдите, в какой точке касательная образует с положительным направлением оси OX угол 45°. Напишите уравнение этой касательной.
 | Общее уравнение касательной: (f'(x)=4x+4) По условию (f'(x_0)=tgalpha=tg45^circ=1) Решаем уравнение: $$ 4x_0+4=1Rightarrow 4x_0=-3Rightarrow x_0=-frac34 $$ Точка касания (x_0=-frac34) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac34right)^2+4cdotleft(-frac34right)=frac98-3=-frac end Уравнение касательной: begin y=1cdotleft(x+frac34right)-frac=x-frac98 end |
в) найдите, в какой точке касательная будет параллельна прямой (2x+y-6=0). Напишите уравнение этой касательной.
 | Найдем угловой коэффициент заданной прямой: (y=-2x+6Rightarrow k=-2). Касательная должна быть параллельной, значит, её угловой коэффициент тоже (k=-2). Получаем уравнение: begin f'(x_0)=-2\ 4x_0+4=-2Rightarrow 4x_0=-6Rightarrow x_0=-frac32 end Точка касания (x_0=-frac32) begin f(x_0)=2cdotleft(-frac32right)^2+4cdotleft(-frac32right)=\ =frac92-6=-frac32 end Уравнение касательной: begin y=-2cdotleft(x+frac32right)-frac32=-2x-frac92 end Или, в каноническом виде: begin 2x+y+frac92=0 end |
г) в какой точке функции можно провести горизонтальную касательную? Напишите уравнение этой касательной.
 | У горизонтальной прямой (k=0). Получаем уравнение: (f'(x_0)=0). begin 4x_0+4=0Rightarrow 4x_0=-4Rightarrow x_0=-1 end Точка касания (x_0=-1) begin f(x_0)=2cdot(-1)^2+4cdot(-1)=-2 end Уравнение касательной: begin y=0cdot(x+1)-2=-2 end |
Ответ: а) (y=4x) и (y=-4x-8); б) (y=x-frac98); в) (2x+y+frac92=0); г) (y=-2)
Пример 3*. Найдите точку, в которой касательная к графику функции (f(x)=frac-x) перпендикулярна прямой (y=11x+3). Напишите уравнение этой касательной.
Угловой коэффициент данной прямой (k_1=11).
Угловой коэффициент перпендикулярной прямой (k_2=-frac=-frac) begin f'(x)=left(fracright)’-x’=frac-1=frac=\ =frac=- frac end В точке касания: begin f'(x_0)=k_2Rightarrow=-frac=-fracRightarrow (x+3)^2=121Rightarrow (x+3)^2-11^2=0Rightarrow\ Rightarrow (x+14)(x+8)=0Rightarrow left[ begin x=-14\ x=8 end right. end 
Уравнение касательной при (x_0=-14) begin f(x_0)=frac+14=frac+14=-18+14=-4\ y=-frac(x+14)-4=-frac end Уравнение касательной при (x_0=8) begin f(x_0)=frac-8=frac-8=-2\ y=-frac(x-8)-2=-frac end
Ответ: точка касания (-14;-4), уравнение (y=-frac)
и точка касания (8;-2), уравнение (-frac)
Пример 4*. Найдите уравнения общих касательных к параболам (y=x^2-5x+6) и (y=x^2+x+1). Укажите точки касания.
Найдем производные функций: begin f_1′(x)=2x-5, f_2′(x)=2x+1 end Пусть a – абсцисса точки касания для первой параболы, b — для второй.
Запишем уравнения касательных (g_1(x)) и (g_2(x)) через эти переменные. begin g_1(x)=f_1′(a)(x-a)+f_1(a)=(2a-5)(x-a)+a^2-5a+6=\ =(2a-5)x-2a^2+5a+a^2-5a+6=(2a-5)x+(6-a^2)\ \ g_2(x)=f_2′(b)(x-b)+f_2(b)=(2b+1)(x-b)+b^2+b+1=\ =(2b+1)x-2b^2-b+b^2+b+1=(2b+1)x+(1-b^2) end Для общей касательной должны быть равны угловые коэффициенты и свободные члены. Получаем систему уравнений: begin begin 2a-5=2b+1\ 6-a^2=1-b^2 end Rightarrow begin 2(a-b)=6\ a^2-b^2=5 end Rightarrow begin a-b=3\ (a-b)(a+b)=5 end Rightarrow begin a-b=3\ a+b=frac53 end Rightarrow \ Rightarrow begin 2a=3+frac53\ 2b=frac53-3 end Rightarrow begin a=frac73\ b=-frac23 end end Находим угловой коэффициент и свободный член из любого из двух уравнений касательных: $$ k=2a-5=2cdotfrac73-5=-frac13, b=6-a^2=6-frac=frac59 $$ Уравнение общей касательной: $$ y=-frac x3+frac59 $$ 
Точки касания: begin a=frac73, f_1(a)=left(frac73right)^2-5cdotfrac73+6=frac-frac+6=frac=-frac29\ b=-frac23, f_2(b)=left(-frac23right)^2-frac23+1=frac49-frac23+1frac=frac79 end
Ответ: касательная (y=-frac x3+frac59); точки касания (left(frac73;-frac29right)) и (left(-frac23;frac79right))
Пример 5*. Докажите, что кривая (y=x^4+3x^2+2x) не пересекается с прямой (y=2x-1), и найдите расстояние между их ближайшими точками.
Решим уравнение: (x^4+3x^2+2x=2x-1) begin x^4+3x^2+1=0Rightarrow D=3^2-4=5Rightarrow x^2=frac<-3pmsqrt> end Оба корня отрицательные, а квадрат не может быть отрицательным числом.
Значит, (xinvarnothing) — решений нет, кривая и прямая не пересекаются.
Что и требовалось доказать.
Чтобы найти расстояние, необходимо построить касательную к кривой с тем же угловым коэффициентом (k=2), то и y данной прямой. Тогда искомым расстоянием будет расстояние от точки касания до прямой (y=2x-1).
Строим уравнение касательной. По условию: (f'(x)=4x^3+6x+2=2) begin 4x^3+6x=0Rightarrow 2x(2x^2+3)=0Rightarrow left[ begin x=0\ 2x^2+3=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x^2=-frac32 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ xinvarnothing end right. Rightarrow x=0 end Точка касания (x_0=0, y_0=0^4+3cdot 0^2+2cdot 0=0).
Уравнение касательной: (y=2(x-0)+0=2x)
 | Ищем расстояние между двумя параллельными прямыми: (y=2x) и (y=2x-1). Перпендикуляр из точки (0;0) на прямую (y=2x-1) имеет угловой коэффициент (k=-frac12), его уравнение: (y=-frac12 x+b). Т.к. точка (0;0) принадлежит этому перпендикуляру, он проходит через начало координат и (b=0). |
Уравнение перпендикуляра: (y=-frac x2).
Находим точку пересечения прямой (y=2x-1) и перпендикуляра (y=-frac x2): begin 2x-1=-frac x2Rightarrow 2,5x=1Rightarrow x=0,4; y=-frac=-0,2 end Точка пересечения A(0,4;-0,2).
Находим расстояние (OA=sqrt=0,2sqrt=frac<sqrt>)
Ответ: (frac<sqrt>)
Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать
Касательная к графику функции в точке соответствующей значению параметра имеет уравнение
        Вариант 1     Вариант 2     Вариант 3     Вариант 4     Вариант 5     Вариант 6
        Вариант 7     Вариант 8     Вариант 9     Вариант 10     Вариант 11     Вариант 12
    Вариант 13     Вариант 14     Вариант 15     Вариант 16     Вариант 17     Вариант 18
    Вариант 19     Вариант 20     Вариант 21     Вариант 22     Вариант 23     Вариант 24
    Вариант 25     Вариант 26     Вариант 27     Вариант 28     Вариант 29     Вариант 30
        16.4. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке, соответствующей значению параметра t=t0.
Решение.
        Найдём координаты точки:
        Найдём производные:
        Тогда производная функции, заданной параметрически: 
        В точке     
    имеем 
        Уравнение касательной 
        Уравнение нормали 
        Для нашего случая получаем: 
        — уравнение касательной; 
        — уравнение нормали.
        — уравнение нормали.
📹 Видео
14.1. Касательная к параметрически заданной функцииСкачать
С параметром. КасательнаяСкачать
Касательная к графику функции в точке. 10 класс.Скачать
Параметр. Серия 10. Нахождение касательной к графику функции. Уравнение, задающее отрезокСкачать
Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 2ч. 10 класс.Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать
Уравнение касательной к графику функции | Алгебра 10 класс #45 | ИнфоурокСкачать
3. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной и нормали.Скачать
Геометрический смысл производной. Уравнение касательнойСкачать
Как составить уравнение касательной и нормали к графику функцииСкачать
Геометрический смысл производной | КасательнаяСкачать
Уравнения касательной и нормали к кривой, заданной в неявном видеСкачать
Прямая y=8x+11 параллельна касательной к графику функции y=x^2+7x-7. Найдите абсциссу точки касания.Скачать
Уравнение касательной к графику функции в заданной точкеСкачать
Уравнение касательнойСкачать
ЕГЭ по математике, задача B9: касательная к графику функцииСкачать
Уравнение касательнойСкачать
Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать
