Каноническое уравнение гиперболы исследование ее формы асимптоты (7 видео)

Исследование формы гиперболы

Так как в каноническое уравнение гиперболы координаты х и у входят во второй степени. То оси Ох и Оу являются осями симметрии гиперболы, заданной уравнением: . (1)

а начало координат – центром симметрии.

Из уравнения (1) следует, что

т.е. или , или . Геометрически это означает, что между прямыми и нет ни одной точки гиперболы (1).

Ось симметрии Оу не пересекает гиперболу, заданную уравнением (1), и называется мнимой осью. Ось Ох – пересекает гиперболу (1) в двух точках:

Эта ось называется действительной осью гиперболы. Точки, в которых действительная ось пересекается гиперболу, называются вершинами гиперболы.

Числа а и b в каноническом уравнении называются действительной и мнимой полуосями гиперболы.

Решая уравнение (1) относительно у, беря лишь положительное значение: (2)

и считая , мы получим точки гиперболы (1), лежащие в первой четверти. Из уравнения (2) следует, что у в полуинтервале есть возрастающая функция; при этом

Всякая прямая пересекает гиперболу не более чем в двух точках, так как прямая определяется уравнением первой степени, а гипербола – второй.

Рассмотрим уравнение прямой (3)

Найдем расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, определяемой уравнением (2), до прямой (3); переписывая уравнение (3) в виде , находим:

Отсюда следует, то на полуинтервале расстояние от точки М(х, у) рассматриваемой части гиперболы до прямой (3) есть убывающая функция от х и (рис. 167). Прямая, определяемая уравнением называется асимптотой гиперболы.

В силу того, что гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична относительно начала координат, расстояние от точки М(х, у), лежащей на дуге гиперболы, заданной уравнением до прямой стремиться к нулю при . Так как гипербола, заданная каноническим уравнением, симметрична и относительно оси Оу, то она имеет вторую асимптоту ,

которая обладает свойством, аналогичным свойству первой асимптоты по отношению к дугам гиперболы, расположенным во второй и четвертой четвертях.

Асимптоты гиперболы являются диагоналями прямоугольника , , , .

При одной и той же абсциссе х ординаты точки ветви гиперболы, лежащей в первой четверти, с ординатой точки асимптоты связаны неравенством: .

Отсюда и из того, что гипербола симметрична относительно осей координат, следует, что она имеет две ветви, заключенные в двух областях: одна из них ограничена отрезком и продолжениями отрезков и за точки и , другая симметрична этой области относительно мнимой оси гиперболы (рис 168).

Рис.168

Гипербола, у которой полуоси равны, называются равносторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

Уравнение асимптот равносторонней гиперболы таковы:

это биссектрисы углов между ее осями симметрии. Асимптоты равносторонней гиперболы взаимно перпендикулярны.

Обратно, если асимптоты гиперболы взаимно перпендикулярны, то ее полуоси равны между собой и, значит гипербола равносторонняя.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Уравнение асимптот гиперболы

Общее уравнение кривых второго порядка

Кривыми второго порядка называются фигуры, множество точек которых расположено в плоскости двумерной системы координат.

Общее уравнение кривой второго порядка:

Ax 2 +By 2 +2Cxy+Dx+Ey+F=0

Где A 2 +B 2 +C 2 ≠0

К кривым второго порядка относятся:

Определение и вывод канонического уравнения окружности.

Окружностью называется множество точек плоскости, удаленных на одно и то же расстояние, называемое радиусом, от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Вывод канонического уравнения:

Пусть введена система координат и центр с координатами C (a, b). Тогда точка M (x, y) принадлежит окружности, если расстояние от центра до M будет равно радиусу: CM=R

(x-a) 2 +(y-b) 2 = R 2

Это уравнение и называют каноническим уравнением окружности.

Определение и вывод канонического уравнения эллипса.

Эллипсом называют множество точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и большая, чем расстояние между фокусами.

Выведем каноническое уравнение эллипса.

Таким оно будет в специально выбранной системе координат на плоскости: проведем прямую через фокусы F1 и F2 и направим её оси от первого ко второму, возьмем середину F1F2, обозначим её за О и поместим в О начало системы координат. Так определяется ось Ох. Повернем ось Ох относительно О на 90˚ против часовой стрелки и тем самым образуем ось Оy. Фокусы имеют координаты: F1 (-c, 0), F2 (c, 0).

√((x+c) 2 +y 2 ) + √ ((x-c) 2 +y 2 ) = 2a

√((x+c) 2 +y 2 )= 2a-√ ((x-c) 2 +y 2 )

x 2 +2xc+c 2 +y 2 =4a 2 -4a√ ((x-c) 2 +y 2 )+ x 2 -2xc+c 2 +y 2

4cx-4a 2 =-4a√ ((x-c) 2 +y 2 )

a 2 -cx =a√ ((x-c) 2 +y 2 )

a 4 -2a 2 cx+c 2 x 2 =a 2 ((x-c) 2 +y 2 )

a 4 -2a 2 cx+c 2 x 2 =a 2 x 2 -2a 2 cx+a 2 c 2 +a 2 y 2

a 4 -a 2 c 2 =(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2

(a 2 -c 2 )x 2 +a 2 y 2 =a 2 (a 2 -c 2 )

b 2 x 2 +a 2 y 2 =a 2 b 2 :a 2 b 2

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 – каноническое уравнение эллипса

Исследование формы эллипса по его каноническому уравнению. Параметры эллипса; связь между ними.

y 2 =b 2 (1-x 2 /a 2 )

y 2 =b 2 /a 2 (a 2 -x 2 )

Эллипс находится внутри прямоугольника со сторонами а, b.

Если точка М0 (х0, у0) принадлежит эллипсу, то и точки М1 (-х0, у0), М2 (х0, -у0), М3 (-х0, -у0) принадлежат этому эллипсу. Это значит что эллипс имеет две оси симметрии – Ох и Оу, и центр симметрии – точку О. Заметим, что точки (а, 0) и (0, b) находятся на осях симметрии и принадлежат эллипсу. Эти точки пересечения эллипса с осями симметрии называются вершинами. Числа a и b называют полуосями эллипса, а 2a и 2b – осями эллипса.

Эксцентриситет эллипса. Оптическое свойство эллипса

Эксцентриситетом эллипса называют отношение расстояния между фокусами к большей оси.

E=√((a 2 -b 2 )/a 2 )= √(1-b 2 /a 2 )

Если Е=0, то это означает, что b=a, с=0, уравнение эллипса x 2 +y 2 =a 2 – окружность с центром в начале координат и радиусом а. Иначе говоря, окружность – это эллипс с Е=0.

Если Е=1, то с=а, b=0, тогда эллипс становится отрезком [-a, a].

Если зафиксировать а, то смысл эксцентриситета становиться таким: чем больше эксцентриситет, тем больше вытянут эллипс вдоль оси Ох.

Оптическое свойство эллипса.

Предположим, что изнутри эллипс покрыт зеркальным веществом. Пусть из одного фокуса посылают световой луч. Отражаясь от касательной к эллипсу в точке падения луча, он попадает во второй фокус эллипса.

Параметрические уравнения окружности и эллипса.

Возьмем окружность: x 2 +y 2 =R 2

Параметрическое уравнение окружности

Если t принадлежит [0,2П], то точка М(х, у) принадлежит окружности.

Параметрическое уравнение эллипса:

x 2 /a 2 +b 2 sin 2 (t)/b 2 =0

x=a*cos(t), т.к знак cos(t) и знак x во всех четвертях совпадают.

7. Связь между параметрами эллипса в случае b>a.

Если a 2 =a 2 +c 2 , c 2 =b 2 -a 2

Эллипс вытянут вдоль оси Оу.

Определение и вывод канонического уравнения гиперболы

Гиперболой называется множество точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Для вывода канонического уравнения гиперболы используется такая же система координат, как и для эллипса. (см билет №3)

√((x+c) 2 +y 2 )- √((x-c) 2 +y 2 )=±2a

(√((x+c) 2 +y 2 )) 2 =(√((x-c) 2 +y 2 ) ±2a) 2

x 2 +2xc+c 2 +y 2 =x 2 -2xc+c 2 +y 2 ±4a√((x-c) 2 +y 2 )+4a 2

4cx-4a 2 =±4a√((x-c) 2 +y 2 )

c 2 x 2 -2cxa 2 +a 4 =a 2 (x 2 -2cx+c 2 +y 2 )

c 2 x 2 +a 4 =a 2 x 2 +a 2 c 2 +a 2 y 2

(c 2 -a 2 )x 2 -a 2 y 2 =a 2 (c 2 -a 2 )

c 2 -a 2 >0 т.к. c>a

b 2 x 2 -a 2 y 2 =a 2 b 2 : a 2 b 2

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 – каноническое уравнение гиперболы

Исследование формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Уравнение асимптот гиперболы

Т.к уравнение содержит только x 2 и y 2 , то, как и в случае эллипса, доказывается, что гипербола имеет две оси симметрии (Ох и Оу) и центр симметрии в точке О.

Выразим из уравнения у.

x 2 /a 2 -1=y 2 /b 2

y 2 =b 2 x 2 /a 2 -b 2

x≠0 ни при каких y

F (±c, 0) – фокусы гиперболы.

График гиперболы в первой четверти: y=b/a*√(x 2 -a 2 )

Найдем асимптоту гиперболы:

h= lim_(x=>+∞) (b/a√(x 2 -a 2 )-b/a*x)=b/a lim_(x=>+∞) (√(x 2 -a 2 )-x) = b/a lim_(x=>+∞) ((x 2 -a 2 -x 2 )/( √ (x 2 -a 2 )+x)=b/a * -a 2 /∞=0

Прямая y=b/a *x является асимптотой гиперболы в первой и третьей четверти. Очевидно, что прямая y=-b/a *x является асимптотой во второй и четвертой координатных четвертях.

Числа а и b называют вещественной и мнимой полуосями соответственно. Числа 2а и 2b – вещественной и мнимой осями.

Видео:Математика без Ху!ни. Нахождение асимптот, построение графика функции.Скачать

68. Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению. Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол

В § 3 доказано, что в канонической системе координат OXy Уравнение гиперболы имеет вид:

. (1)

1. Гипербола не проходит через начало системы координат, так как координаты точки О(0,0) не удовлетворяют уравнению (1).

2. Найдем точки пересечения гиперболы с осями координат. Для нахождения точки пересечения с осью ОХ полагаем в уравнении (1) У = 0 и находим X = ±A. Таким образом гипербола пересекает ось ОХ В точках A1(-A, 0), A2(A, 0). Так как уравнение (3) не имеет решений при У = 0, то гипербола не пересекает ось ОY.

Точки A1, A2 называются Действительными вершинами гиперболы, Отрезок A1A2, B1B2 Действительной осью гиперболы; |A1A2| =2A; A называются действительной полуосью гиперболы. Точки B1(0,-B), B2(0, B) называются Мнимыми вершинами гиперболы, Отрезок B1B2 Мнимой осью гиперболы; |B1B2| =2B; B называются мнимой полуосью гиперболы.

3. Так как все переменные входят в уравнение (1) в четной степени, то вместе с точкой (X, Y) гиперболе принадлежат четыре точки (±X, ±Y) (с произвольными комбинациями знаков). Таким образом, гипербола симметрична относительно, всех координатных осей OX, OY и начала координат. Точка О называется Центром Гиперболы.