Канонический виду уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными (2 видео)

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка

Федеральное агентство по образованию

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики, экономики и информатики

Кафедра дифференциальных и интегральных уравнений

ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными …………………………………………………………………………

1.1. Необходимый теоретический материал………………………..

1.2. Пример выполнения задачи1 (приведение к

каноническому виду уравнений гиперболического типа) .

1.3. Пример выполнения задачи 2 (приведение к

каноническому виду уравнений параболического типа)

1.4. Пример выполнения задачи 3 (приведение к

каноническому виду уравнений эллиптического типа) ..

1.5. Задачи для самостоятельного решения ………………….….

Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2.1. Необходимый теоретический материал …………………..

2.2. Пример выполнения задачи 4

2.3. Задачи для самостоятельного решения ……………………..

В настоящих методических указаниях изложен теоретический материал и на конкретных примерах разобрано приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными для уравнений гиперболического, эллиптического и параболического типов.

Методические указания предназначены для студентов математических специальностей очной и заочной формы обучения.

§1. Приведение к каноническому виду линейных уравнений с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными.

Задача. Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

1.1. Необходимый теоретический материал.

I. Тип уравнения (1) определяется знаком выражения :

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением гиперболического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением эллиптического типа в этой точке;

· если в некоторой точке, то уравнение (1) называется уравнением параболического типа в этой точке.

Уравнение (1) будет являться уравнением гиперболического, эллиптического, параболического типа в области D, если оно гиперболично, эллиптично, параболично в каждой точке этой области.

Уравнение (1) может менять свой тип при переходе из одной точки (области) в другую. Например, уравнение является уравнением эллиптического типа в точках ; параболического типа в точках ; и гиперболического типа в точках .

II. Чтобы привести уравнение к канонического виду, необходимо:

1. Определить коэффициенты ;

2. Вычислить выражение ;

3. Сделать вывод о типе уравнения (1) (в зависимости от знака выражения );

4. Записать уравнение характеристик:

; (2)

5. Решить уравнение (2). Для этого:

а) разрешить уравнение (2) как квадратное уравнение относительно dy:

; (3)

б) найти общие интегралы уравнений (3) (характеристики уравнения (1)):

· (4)

в случае уравнения гиперболического типа;

· , (5)

в случае уравнения параболического типа;

· , (6)

в случае уравнения эллиптического типа.

6. Ввести новые (характеристические) переменные и :

· в случае уравнения гиперболического типа в качестве и берут общие интегралы (4) уравнений (3), т. е.

· в случае уравнения параболического типа в качестве берут общий интеграл (5) уравнения (3), т. е. , в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию , не выражающуюся через , т. е. ;

· в случае уравнения эллиптического типа в качестве и берут вещественную и мнимую часть любого из общих интегралов (6) уравнений (3):

7. Пересчитать все производные, входящие в уравнение (1), используя правило дифференцирования сложной функции:

, (7)

8. Подставить найденные производные в исходное уравнение (1) и привести подобные слагаемые. В результате уравнение (1) примет один из следующих видов:

· в случае уравнения гиперболического типа:

;

· в случае уравнения параболического типа:

;

· в случае уравнения эллиптического типа:

1.2. Пример выполнения задачи 1.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение гиперболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (9)

5. Решим уравнение (9). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy: ;

;

(10)

б) найдём общие интегралы уравнений (10) (характеристики уравнения (9)):

6. Введём характеристические переменные:

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (8) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на -100 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (8) является уравнением гиперболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.3. Пример выполнения задачи 2.

Определить тип уравнения

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты . В нашем примере они постоянны:

2. Вычислим выражение :

3. уравнение параболического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (12)

5. Решим уравнение (12). Для этого:

а) разрешаем уравнение (9) как квадратное уравнение относительно dy. Однако в этом случае левая часть уравнения является полным квадратом:

;

(13)

б) имеем только одно уравнение характеристик (13). Найдём его общий интеграл (уравнения параболического типа имеют только одно семейство вещественных характеристик):

6. Введём характеристические переменные: одну из переменных вводим как и ранее

а в качестве берут произвольную, дважды дифференцируемую функцию, не выражающуюся через , пусть

;

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (11) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Функцию, стоящую в правой части уравнения (11) необходимо также выразить через характеристические переменные.

После деления на 25 (коэффициент при ):

Ответ. Уравнение (11) является уравнением параболического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.4. Пример выполнения задачи 3.

Определить тип уравнения

(14)

и привести его к каноническому виду.

1. Определим коэффициенты :

2. Вычислим выражение :

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (15)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (16)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений. Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(17)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

8. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

1.5. Задачи для самостоятельного решения.

Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду.

§2. Упрощение группы младших производных

для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

2. 1. Необходимый теоретический материал

В самом общем виде линейное уравнение с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными имеет вид

(1)

Преобразованием независимых переменных группа старших производных уравнения может быть упрощена. Уравнение (1) приводится к одному из следующих видов

· в случае уравнения гиперболического типа:

; (11)

· в случае уравнения параболического типа:

; (12)

· в случае уравнения эллиптического типа:

. (13)

Если коэффициенты исходного уравнения постоянны, то для дальнейшего упрощения уравнения любого типа нужно сделать замену неизвестной функции

, (14)

где — новая неизвестная функция, — параметры, подлежащие определению. Такая замена не «испортит» канонического вида, но при этом позволит подобрать параметры так, чтобы из трех слагаемых группы младших производных в уравнении осталось только одно. Уравнения гиперболического, параболического и эллиптического типов соответственно примут вид

;

Чтобы реализовать замену (14) в уравнениях (11), (12), (13), необходимо пересчитать все производные, входящие в эти уравнения по формулам

(15)

Подробно рассмотрим этот процесс на примере уравнения гиперболического типа, т. е. уравнения (11). Пересчитаем производные, входящие в это уравнение, используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (11). Собирая подобные слагаемые, получим

. (16)

В уравнении (16) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (16) и разделив его на , придем к уравнению

где .

2.2. Пример выполнения задачи 4

к каноническому виду и упростить группу младших производных.

9. Определим коэффициенты :

10. Вычислим выражение :

11. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

12. Запишем уравнение характеристик:

. (18)

5. Решим уравнение (18). Для этого:

а) разрешаем уравнение (18) как квадратное уравнение относительно dy: ;

; (19)

б) найдём общие интегралы уравнений (19) (характеристики уравнения (17)):

6. Введём характеристические переменные:

13. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (17) при соответствующих производных.

14. Собирая подобные слагаемые, получим:

(20)

Теперь с помощью замены неизвестной функции (14)

упростим группу младших производных.

Пересчитаем производные, входящие в уравнение (20), используя формулы (15).

Здесь слева расставлены соответствующие коэффициенты уравнения (20). Собирая подобные слагаемые, получим

. (21)

В уравнении (21) приравняем к нулю коэффициенты при и

Откуда Подставив эти значения параметров в уравнение (21) и разделив его на , придем к уравнению

Ответ. Уравнение (20) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Его канонический вид

где .

2.3. Задачи для самостоятельного решения

Задача 4. Привести уравнения к каноническому виду и упростить группу младших производных.

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Приведение к каноническому виду уравнения второго порядка с двумя независимыми переменными

В случае двух независимых переменных приведение к каноническому виду можно выполнить для уравнения с переменными коэффициентами a-ij = а^(х) для х, принадлежащих некоторой области D, в которой сохраняется тип уравнения. Вообще говоря, этого нельзя сделать, если п > 2.

1°. Замена переменных в дифференциальном уравнении. Рассмотрим уравнение

Будем предполагать, что а 2 + Ь 2 + с 2 0 в рассматриваемой

В соответствии с изложенной в § 1 классификацией уравнение (2.1) в точке Л7о(^о>?7о) будет уравнением

а) гиперболического типа, если (6 2 — «с)|_м > 0;
б) эллиптического типа, если (6 2 — ас)| 2 — ас)| _Vo = 0.

Введем вместо (ж, у) новые независимые переменные (. /). Пусть ? = р(х, у), у = ф(х, у) — дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан

Производные первого и второго порядков от функции и по старым (х,у) и новым (. /) независимым переменным по теореме о производной сложной функции связаны следующим соотношением:

ди ди д? ди ду ди ди д? ди ду

дх д? дх ду дх’ ду д? ду ду ду’

д 2 и д 2 и (д? 2 д 2 и д? ду д 2 и/ду 2

дх 2 дф 2 Удх/ д?ду дх дх ду 2 2 ^ ди д 2 у

* д? дх 2 + ду дх 2 ‘

д 2 и д 2 и д? д? д 2 и /д? ду д? ду

дхду дф 2 дх ду д^ду Удх ду ду дх/

д 2 и ду ду ди д 2 ^ ди д 2 у

* ду 2 дх ду д? дхду ду дхду’

д 2 и д 2 и/д^ 2 д 2 и д? ду д 2 и / 2

ду 2 дф 2 Уду/ д^ду ду ду ду 2 Уду/

ди д ф ди д 2 у

Подставляя формулы (2.3) в уравнение (2.1) и приводя подобные члены, получим уравнение

+ cft + /(«-

Выпишем коэффициенты при старших производных:

z ^ a H 2 _L9/r удф дф s( 9 V 2

дф> дф дф дф ду дх / ду ду

При преобразовании (2.2) порядок дифференциального уравнения не может увеличиться. Кроме того, в уравнении (2.4) коэффициенты А = А(ффу), В = В(?,у) и С = С(^, ?/) не могут одновременно обращаться в нуль, так как при обратном преобразовании х = Ф(. /), У = Ф(?, ? ?) (а оно существует из-за невырожденности нашего преобразования) мы должны вернуться к исходному уравнению (2.1), где а 2 + Ь 2 + с 2 0. Но это невозможно, если в некоторой точке имеем 4 2 + В 2 + С 2 = 0.

Таким образом, уравнение (2.4) есть уравнение также второго порядка.

Непосредственной подстановкой можно проверить, что (2.5) допускает следующую матричную запись:

Из (2.6) и теоремы умножения определителей [8, 9] следует, что

В 2 — АС = (Ь 2 — ас№ д / — W = (Р — ас)Я. (2.7) дх оу оу дх /

Из (2.7) следует инвариантность типа уравнения при невырожденном преобразовании аргументов. Таким образом, доказана

Теорема 1. При невырожденной замене независимых переменных в квазилинейном дифференциальном уравнении (2.1) не меняются 1 .

Можно доказать аналогично изложенному, что в линейном уравнении при невырожденной замене аргументов сохраняется его линейность.

Отметим частный случай, когда в исходном уравнении (2.1) слагаемое / линейно относительно производных искомой функции, т. е.

J = р(х, у, и) — + и(х, у, и) — + q(x, у, и). дх ду

Тогда из формул (2.3) следует, во-первых, что в преобразованном уравнении (2.4) слагаемое / имеет аналогичный вид:

f = М — + N — + Q, д? ду

а во-вторых, пару новых коэффициентов (M,N) тоже можно найти с помощью действий с матрицами. Именно, надлежащие подсчеты и группировка слагаемых показывают, что

Нетрудно запомнить, что выражение для Л4 напоминает первую половину правой части формулы (2.6), а строки матрицы Л^2 получаются в результате подстановки вместо и функций ф и ф в группу старших членов уравнения (2.1).

2°. Характеристики уравнения. Под характеристическим семейством кривых понимается однопараметрическое семейство, обладающее тем свойством, что если параметр семейства принять за новую криволинейную координату, то в преобразованном дифференциальном уравнении будет отсутствовать член, содержащий вторую производную от неизвестной функции по этой координате.

Другими словами, характеристическое семейство — это семейство кривых ф(х, у) = с (с = const), являющихся решением уравнения

так как если положить ? = ф(х,у то в уравнении (2.4) коэффициент А обратится в нуль.

Уравнение (2.8) есть уравнение с частными производными первого порядка, аналогичное рассмотренным в гл. 1, но второй степени относительно производных искомой функции. Чтобы решить его, надо найти решение обыкновенного дифференциального уравнения, называемого уравнением характеристик’.

В самом деле, так как производная функции у = у(х), заданной неявно соотношением 2 — ас, а

Если D > 0 (гиперболическое уравнение), то (2.9) распадается на два уравнения первого порядка. Обозначим их первые интегралы соответственно 2 и

нение примет наиболее простой вид: 2В—— = Л. Разделив на о?ог]

nn = fl^u-nend

Это — первый канонический вид уравнения гиперболического типа.

Если за новые переменные примем

то в результате получим уравнение вида

Это — второй канонический вид уравнения гиперболического типа.

Простейшим примером служит уравнение колебаний струны:

Знание характеристик и канонический вид иногда помогают найти общее решение (если оно есть). Так, уравнение характеристик для волнового уравнения (2.14) имеет вид

dx 2 — a 2 dt 2 = 0,

(dx — a dt) (dx + a. dt) = 0,

откуда получаем два семейства характеристик:

х — at = С, х + a,t = С%.

уравнение (2.14) к первому каноническому виду: д ( ди

или, что то же самое: — — =0. Отсюда следует, др д?/

зависит от р. Обозначим — = и(?). Тогда

и(?, д) = j *>(?) + р(?/) = /(О + 9 2 — ас = 0. При этом, так как а 2 + 6 2 + с 2 0, коэффициенты а. и с не могут одновременно обратиться в нуль. Тогда (2.9) dy b превращается в уравнение первого порядка: -j- = -, и мы можем найти только одно семейство действительных характеристик Ж?/)

Тогда в силу (2.5) в уравнении (2.4) коэффициент А = 0. Вычислим коэффициент В в этом случае. Покажем, что В = 0. В самом деле, умножим уравнение (2.8) на 0 и добавим и отнимем ₂/ 2

слагаемое о j ; тогда получим

+ 2&с——-—(- с ( —— ) + О I -т— I — b I — dx ду ду / V дх / да

Собирая подобные члены, приведем уравнение к виду:

А так как ас — Ъ 2 = 0, то Ъ^- + с^ = 0, и уравнение (2.1) д 2 и „

в новых переменных примет вид с—« = или ду д 2 и „ /. ди ди

Это — канонический вид уравнения параболического типа.

Примером уравнения параболического типа может служить уравнение теплопроводности

Замечание 1. Если коэффициент с = 0, то из условия ас — Ь 2 = 0 получаем, что и b = 0, и, следовательно, уравнение (2.1) имеет канонический вид (2.16), и преобразование излишне.

Замечание 2. Можно показать, что в параболическом случае, для приведения уравнения к каноническому виду в качестве переменной г/ можно взять любую дважды дифференцируемую функцию, лишь бы преобразование ? = 2 — ас 2 и

= /1, но отличие в том, что правая часть этого уравнения будет функцией комплексного переменного.

Чтобы не иметь дело с комплексными переменными, сделаем в этом уравнении действительную замену:

7/1 = |й-т/),
7/1 = Imcp(x,y)
(сравните с гиперболическим случаем, п.4°, (2.11), (2.12)). Можно доказать, что тогда получим уравнение с действительной правой частью

д 2 и д 2 и oy + oy =h ‘

Это — канонический вид эллиптического уравнения.

Примерами уравнений эллиптического типа служат уравнения Лапласа Ди = О, Пуассона Ди = f(x, и), Гельмгольца Ди + & 2 и = 0.

6°. Примеры. Определить тип уравнения и привести его к каноническому виду:

ox z охоу oy z оу

б) х — 2# 2 ——- + 2# 3 —- — = 0, #^0;

ох/ ох оу oy z ох

д 2 и д 2 и эд 2 и _пди

в) — 2х —— + х — — 2 — = 0.

ox z ох оу oy z оу

а). Данное уравнение

д 2 и д 2 и ₂ d) 2 u

ox z ох оу oy z оу

относится к гиперболическому типу, ибо D = sin 2 # + cos 2 !# = 1. Дифференциальным уравнением характеристик для него будет уравнение , _п

откуда следует, что

Проинтегрировав эти уравнения, получим

у = COS X + X + С1, у = COS X — X + С2,

= d( Smx+ dv’ ду = дГ д 2 и д 2 и о л d) 2 u ? d) 2 u

= ТУТ 8111 х + 2 81ПЖ + + У7 cos

dx z dtp dt, ду dip д^

д 2 и д 2 и . д 2 и д 2 и д 2 и

дх ду д^ 2 Sm 3 д^ ду ’ ду 2 2 ‘

Подставляя их в исходное уравнение, получим канонический вид: a 2 u _ а 2 и

Взяв за новые переменные

р = у — cos х + х, q = у — cos х — х

(т. е. использовав характеристики уравнения), приведем его д‘ 2 и _п

к первому каноническому виду: = 0, что позволит наити

общее решение. Обозначим = и. Тогда будем иметь —^ = О, др dq

следовательно, и не зависит от q, т. е. и = h(p), где Л(р) — произвольная функция. Отсюда

и(р, — COS х + х), где /1 и /₂ — любые дважды дифференцируемые функции.

dx z дх ду dy z дх является уравнением эллиптического типа, так как D = —х 4 [1]

При х ф 0 преобразование невырожденное, так как

Для производных, входящих в рассматриваемое уравнение, будем иметь следующие выражения:

ди / ди ди ди ди

д 2 и %(д 2 и л д 2 и ди ди

дх 2 Х 2 * д^ду * ду 2 ) ‘ (Д ‘ ду’

дх ду Х сД 2 * д?д у)’ ду 2 сД 2

Подставляя их в исходное уравнение, получим его канонический вид:

Замечание*. Используя комплексную форму записи и уравнения Коши-Римана [16], можем написать и(х,у) = Rew(?), где w = w(C) — произвольная аналитическая функция комплексного аргумента С = С + iy, причем согласно изложенному

д 2 и д 2 и 2^ и

дх 2 1 дх ду * 1 ду 2 ду

относится к уравнениям параболического типа, так как D = О, и ему соответствует следующее дифференциальное уравнение характеристик:

( — ) + 2х — + х 2 = 0 или — dx/ dx dx

Интегрируя его, получим одно семейство характеристик: у = х / Iq,-. 1 9

— — + с, т. е. ф(х,у) = у + -х. Положим ? = у + -аг, у = х

Выразим производные, входящие водные по новым переменным:

в уравнение, через произ-

д 2 и д 2 и д 2 и д 2 и д 2 и

дхду Х д^ 2 * д^ду’ ду 2 д^ 2

Подставив найденные выражения в уравнение, приведем его к следующему каноническому виду:

В отличие от двух предыдущих примеров здесь нет возможности записать общее решение явной формулой с произвольными функциями, но найденный канонический вид облегчает построение частных решений, если будут заданы граничные условия.

Видео:2. Приведение уравнений второго порядка к каноническому видуСкачать

Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду

С помощью должным образом подобранного преобразования переменных

уравнение (4.3) можно преобразовать к наиболее простому <каноническому)виду, зависящему от типа этого уравнения.

Предположим, что функции ?(х, у) и Г|(х, у) дважды непрерывно дифференцируемы и якобиан преобразования (4.5) отличен от нуля в области D:

Тогда система (4.5) однозначно разрешима относительно х и у в некоторой области G точек (?, Г|), см. [3]. В предположении о двойной непрерывной дифференцируемости функции и(х, у), в области D вычислим ее производные по новым переменным ? и г по правилу дифференцирования сложной функции:

Подставляя найденные выражения для вторых производных в уравнение (4.2), получаем:

где

Легко убедиться в том, что

Из (4ЛЗ) следует, что преобразование независимых переменных (4.5) сохраняет тип уравнения (4.2) или (4.3).

Выберем преобразование (4.5), для которого часть уравнения

(4.2) , зависящая от старших производных, в новых переменных (?, г|) имеет наиболее простой вид. Тогда уравнение (4.2) принимает форму, которую называют канонической формой или каноническим видом данного уравнения.

Чтобы перейти к каноническому виду уравнения (4.2), найдем функции % = Ь> <х, у)и т| = t|(jc, у), для которых часть коэффициентов из (4.12) обращаются в нуль.

Из (4.12) видно, что для обращения в нуль коэффициентов а_и и а₂₂ в качестве функций % = ?,(х, у) и Г| = г(х, у) необходимо выбрать решения уравнения

Наряду с исходным уравнением в частных производных (4.2), введем в рассмотрение обыкновенное дифференциальное уравнение

которое называется характеристическим уравнением для уравнения

(4.2) , а его решения — характеристиками уравнения (4.2).

Теорема 4.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемая

функция z = Ф(*, у) была частным решением уравнения (4.14) в области ЛсК 2 , необходимо и достаточно, чтобы равенство ср(х, у) = С определяло в этой области общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (4.15).

е D. Через эту точку проходит интегральная кривая у₀ уравнения (4.15), для которой ф(х₀, у₀) = Q- Неявное уравнение кривой у₀ имеет вид ф(х, у) = С₀, а в явном виде она описывается функцией у = у(х, С₀), причем у₀ = у(х₀, С₀). С учетом правила дифференцирования неявной функции для всех точек интегральной кривой у₀ имеем:

В частности, для х = х₀ получим:

т.е. в точке (х₀, у₀) функция z = ф(х, у) удовлетворяет уравнению (4.14). В силу произвольности точки (х₀, у₀) е D приходим к выводу, что эта функция является решением уравнения (4.14) во всей области D. >

Таким образом, для преобразования уравнения (4.2) к каноническому виду необходимо найти общие интегралы характеристического уравнения (4.15). Рассмотрим случаи.

Случай 1. Пусть d = а_г — а_иа_п > 0 в области D, т.е. уравнение (4.2) относится к гиперболическому типу. Тогда характеристическое уравнение (4.15) эквивалентно совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений:

Общие интегралы этих уравнений фДх, у) = С_х и ф₂(х, у) = С₂ определяют два семейства вещественных характеристик. Поскольку функции ф](х, у) и ф₂(х, у) являются решениями уравнения (4.14), то, положив

в результате преобразования (4.5) с учетом (4.12) получим а_п = а₂₂ = = 0 в уравнении (4.11). В итоге это уравнение преобразуется к канонической форме уравнения гиперболического типа:

Замечание. Если вместо (4.18) использовать преобразование

то уравнение (4.2) примет вторую каноническую форму уравнения гиперболического типа:

Случай 2. Пусть d = af₂ — а_па_и = 0 в области D, т.е. (4.2) — это уравнение параболического типа. Тогда характеристическое уравнение (4.15) принимает вид

и имеет только одно семейство характеристик ф, (х, у) = С. В преобразовании (4.18) полагаем ? = ?(х, у) = ф(х, у) и г| = ц(х, у) = ф₂(х, у), где ф₂(х, у) — произвольная дважды непрерывно дифференцируемая функция такая, что якобиан (4.6) преобразования (4.5) отличен от нуля в области D. Тогда в преобразованном уравнении (4.11) коэффициент а_и =0, так как ? = ф(х, у) есть решение уравнения (4.14). Кроме того, а_п = 0, поскольку d = а^₂ — б_па₁₂ = 0 (см. (4.13)) и а_и = 0.

Таким образом, в результате преобразования (4.5) уравнение примет каноническую форму уравнения параболического типа:

Случай 3. Пусть d = а?₂ — fin а и

Соотношение (4.24) представляет собой каноническую форму уравнения эллиптического типа.

Замечание. Приведение уравнения к каноническому виду связано с упрощением части уравнения (4.2), зависящей от старших (вторых) производных.

Для линейного уравнения (4.3) с постоянными коэффициентами возможно и дальнейшее упрощение, связанное с исключением из него первых производных.

Введем новую функцию v(?, г|), связанную с исходной неизвестной функцией м(^, т|) равенством

где а и р — неопределенные коэффициенты, за счет выбора которых достигается исключение первых производных и в преобразованном уравнении.

Найдем производные функции и

и с помощью соотношений (4.25), (4.26) перейдем к уравнению относительно функции v. После приведения подобных в этом уравнении приравниваем к нулю коэффициенты при и v_n. Решив полученную систему двух уравнений, найдем значения аир.

Пример 4.3. Упростить уравнение

исключив из него первые производные.

2 + р 2 — 4а + 2(3 = -5. Окончательно получаем преобразованное уравнение:

Пример 4.4. Привести к каноническому виду уравнение

и провести его дальнейшее упрощение.

0 и уравнение относится к гиперболическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно эквивалентно совокупности дифференциальных уравнений (4.17):

Отсюда находим характеристики и делаем замену переменных

Вычислим частные производные функций ^ и г:

Для упрощения дальнейших расчетов найдем по формулам (4.7)—

(4.10) и (4.29) выражения для всех производных, входящих в уравнение (4.27), и запишем слева от вертикальной черты коэффициенты при этих производных:

Теперь легко подсчитать коэффициенты, с которыми производные неизвестной функции входят в преобразованное уравнение:

Итак, мы нашли каноническую форму уравнения (4.27): или

Проведем дальнейшее упрощение уравнения с помощью преобразования (4.25). По формулам (4.26) находим:

После группировки коэффициентов при v^, v^, и v получаем:

откуда следует, что а = 2, (3 = -1. В итоге всех упрощений уравнение

(4.27) принимает вид

Замечание. Отметим, что результат примера 4.4 позволяет найти общее решение уравнения (4.27) в явном виде. Действительно, общий интеграл уравнения (4.30) имеет вид

где Ф и — произвольные один раз непрерывно дифференцируемые функции, см. (1.4).

Перейдем по формуле (4.25) при а = 2, (3 = -1 к исходной функции:

Возвращаясь к первоначальным переменным (х, у) по формулам

где Ф и Ч* — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Таким образом, приведение уравнений гиперболического типа к каноническому виду в некоторых случаях можно использовать как метод решения таких уравнений. 1>

Пример 4.5. Привести к каноническому виду уравнение

2 , за исключением точек осей координат, т.е. D = <(х, у) е R 2 | х * 0, у * о>.

В данном случае а_и = х 2 , а_п = ху, а₂₂ = у 2 , поэтому d = 0 и уравнение относится к параболическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно равносильно одному дифференциальному уравнению (4.17):

общий интеграл которого имеет вид ф = — = С. Делаем замену пере-

менных, полагая, например, г| = х:

Такая замена допустима, так как якобиан (4.6)

После применения формул (4.8)—(4.10) и приведения подобных членов получаем

Выразим из (4.32) исходные переменные (х, у) через новые переменные (?, rj): х = г|, у = ^г). Подставив эти выражения в (4.33), окончательно найдем канонический вид уравнения (4.31):

Замечание. Отметим, что, используя полученный результат, можно найти общее решение уравнения (4.31) в явном виде. Для этого про-

интегрируем равенство Т)) = — по переменной Т| дважды. После первого интегрирования получим:

Интегрируя вторично, найдем:

где Ф и ? — произвольные непрерывные функции.

Возвратимся к старым переменным (х, у), используя равенства (4.32):

где Ф и — произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции.

Таким образом, приведение уравнений и параболического типа к каноническому виду в некоторых случаях можно применять как метод решения таких уравнений.

Пример 4.6. Привести к каноническому виду уравнение

2 ) 2 . Таким образом, d = 0 — (1 + у 2 ) 2 2 , поэтому уравнение относится к эллиптическому типу.

Характеристическое уравнение (4.15) имеет вид

Оно эквивалентно совокупности дифференциальных уравнений (4.23):

Отсюда находим характеристики и делаем замену переменных

Вычислим частные производные функций ?, и г:

Как и в примере 4.4, для упрощения дальнейших расчетов найдем по формулам (4.7)—(4.10) и (4.36) выражения для всех производных, входящих в уравнение (4.34), и запишем слева от вертикальной черты коэффициенты при этих производных:

Подсчитаем коэффициенты, с которыми производные неизвестной функции входят в преобразованное уравнение:

Итак, каноническая форма уравнения (4.34) имеет вид

Мы рассмотрели классификацию уравнений в частных производных второго порядка, зависящих от двух независимых переменных. Аналогично классифицируются уравнения, зависящие от большего числа переменных.

Обычно число независимых переменных в математических моделях физики и других наук не превосходит четырех (от одной до трех пространственных переменных и, возможно, время). В достаточно общем случае уравнения математической физики сводятся к одной из следующих канонических форм.

1. Математическое описание различных видов волн — упругих, звуковых, электромагнитных, а также других колебательных явлений обычно сводится к волновому уравнению (1.5):

относящемуся, как и уравнение колебаний струны (3.3), к гиперболическому типу, см. пример 4.1, а). Здесь с имеет физический смысл скорости волн в данной среде.

2. Процессы распространения тепла в однородном изотропном теле, а также явления диффузии описываются уравнением теплопроводности (1.6):

которое, как и уравнение (3.14), относится к параболическому типу (см. пример 4.1, б).

3. Математической моделью установившегося (стационарного) теплового процесса в однородной изотропной среде является уравнение Пуассона, см. (1.7) и (3.28):

Это уравнение описывает также потенциалы поля тяготения и электростатического поля в областях, где плотность распределения масс или зарядов пропорциональна f(x, у, z)•

При отсутствии источников тепла или масс и электрических зарядов уравнение Пуассона переходит в уравнение Лапласа (1.8):

Уравнения Пуассона и Лапласа относятся к эллиптическому типу, см. пример 4.1, в).

Как уже отмечалось в п. 1.3, перечисленные уравнения называют основными уравнениями математической физики. Они лежат в основе теории широкого круга физических явлений.