Канонические уравнения эллипсоида и гиперболоидов (6 видео)

Канонические уравнения эллипсоида и гиперболоидов

С помощью векторов мы ввели понятие пространства и его размерности, в частности трехмерного. Рассмотрим в нем поверхности, которые «похожи» на поверхности, образованные вращением кривой второго порядка вокруг ее оси симметрии. Например, сфера может быть получена вращением окружности вокруг диаметра. Поверхность, описываемая некоторой линией, вращающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d. Наряду с такими поверхностями мы встретимся и с более сложными случаями.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат.

Поверхность второго порядка – геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых, удовлетворяют уравнению вида

в котором хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Уравнение (2.48) называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Уравнение (2.48) может и не определять действительного геометрического образа, но для сохранения общности в таких случаях говорят, что оно определяет мнимую поверхность второго порядка. В зависимости от значений коэффициентов общего уравнения (2.48) оно может быть преобразовано с помощью параллельного переноса и поворота системы координат к одному из канонических видов, каждому из которых соответствует определённый класс поверхностей второго порядка. Среди них выделяют пять основных классов поверхностей: эллипсоиды, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры. Для каждой из этих поверхностей существует декартова прямоугольная система координат, в которой поверхность задается простым уравнением, называемым каноническим уравнением.

Перечисленные поверхности второго порядка относятся к так называемым нераспадающимся поверхностям второго порядка. Можно говорить о случаях вырождения – распадающихся поверхностях второго порядка, к которым относятся: пары пересекающихся плоскостей, пары мнимых пересекающихся плоскостей, пары параллельных плоскостей, пары мнимых параллельных плоскостей, пары совпадающих плоскостей.

Наша цель – указать канонические уравнения для поверхностей второго порядка и показать, как выглядят эти поверхности.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется эллипсоидом (рис. 2.22) .

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что .

2. Эллипсоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс (см. рис. 2.22).

Так же, как для эллипса, точки пересечения эллипсоида с координатными осями называются вершинами эллипсоида, центр симметрии – центром эллипсоида. Числа а, b , с называются полуосями. Если полуоси попарно различны, то эллипсоид называется трехосным.

Если две полуоси равны друг другу, то эллипсоид называется эллипсоидом вращения. Эллипсоид вращения может быть получен вращением эллипса вокруг одной из осей.

Примечание. Сфера является частным случаем эллипсоида при а= b =с. Тогда все равные полуоси обозначают R и уравнение (2.49) после умножения на R 2 принимает вид .

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется эллиптическим параболоидом (рис. 2.23) .

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси 0z ,

· плоскостной симметрией относительно координатных осей 0xz и 0yz .

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y –парабола. (см. рис. 2.23).

Можно получить эллиптический параболоид симметричный относительно оси 0х или 0у, для чего нужно в уравнении (2.50) поменять между собой переменные х и z или у и z соответственно.

Если полуоси равны a = b , то параболоид называется параболоидом вращения и может быть получен вращением параболы вокруг ее оси симметрии. При этом в сечении параболоида вращения плоскостью, перпендикулярной оси 0z , получается окружность.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется гиперболическим параболоидом (рис . 2.24).

Свойства гиперболического параболоида.

1. Гиперболический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Гиперболический параболоид обладает

· осевой симметрией относительно оси 0z ,

· плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей 0xz и 0yz .

4. Гиперболический параболоид может быть получен поступательным перемещением в пространстве параболы так, что ее вершина перемещается вдоль другой параболы, ось которой параллельна оси первой параболы, а ветви направлены противоположно, причем их плоскости взаимно перпендикулярны.

5. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется однополостным гиперболоидом (рис. 2.25) .

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

2. Однополостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям 0x и 0y, – гипербола (см. рис. 2.25).

Если в уравнении (2.52) a = b , то сечения однополостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется однополостным гиперболоидом вращения.

Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением

называется двуполостным гиперболоидом (рис. 2.26) .

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что | z |≥ c и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

· центральной симметрией относительно начала координат,

· осевой симметрией относительно всех координатных осей,

· плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат 0z , при | z |> c получается эллипс, при | z |= c – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям 0x и 0y , – гипербола (см. рис. 2.26).

Если в уравнении (2.53) a = b , то сечения двуполостного гиперболоида плоскостями, параллельными плоскости х0у, являются окружностями. В этом случае поверхность называется двуполостным гиперболоидом вращения.

Примечание. Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид: F ( x 2 + y 2 ; z )=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения 0z. Аналогично: F ( x 2 + z 2 ; y )=0 – поверхность вращения с осью вращения 0у, F ( z 2 + y 2 ; x )=0 – с осью вращения 0х

С учетом данного примечания могут быть записаны уравнения для рассмотренных выше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси 0х или 0у.

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая. Неподвижная кривая, по которой скользит образующая, называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность – второго порядка.

Если уравнение поверхности не содержит в явном виде какой–либо переменной, то это уравнение определяет в пространстве цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси отсутствующего переменного и направляющей, которая в плоскости двух других переменных имеет то же самое уравнение.

Достаточно нарисовать на плоскости х0у направляющую, уравнение которой на этой плоскости совпадает с уравнением самой поверхности, и затем через точки направляющей провести образующие параллельно оси 0z. Для наглядности следует построить также одно–два сечения плоскостями, параллельными плоскости х0у. В каждом таком сечении получим такую же кривую, как и исходная направляющая. Аналогично поступают, рассматривая направляющую в плоскости х0z или у0z.

Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образующих. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения – его основаниями. Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:

1) эллиптические – нормальное сечение представляет собой эллипс (рис. 2.27а), каноническое уравнение

2) круговые – нормальное сечение круг, при a = b = r уравнение

3) гиперболические – нормальное сечение гипербола (рис. 2.27б), каноническое уравнение

4) параболические – нормальное сечение парабола (рис. 2.27в), каноническое уравнение

5) общего вида – нормальное сечение кривая случайного вида.

Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (рис. 2.27). Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным. Например, наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами. Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае – эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг.

Конической поверхностью называется поверхность, производимая движением прямой, перемещающейся в пространстве так, что она при этом постоянно проходит через неподвижную точку и пересекает данную линию. Данная прямая называется образующей, линия – направляющей, а точка – вершиной конической поверхности (рис. 2.28).

Конусом называется тело, ограниченное частью конической поверхности, расположенной по одну сторону от вершины, и плоскостью, пересекающей все образующие по ту же сторону от вершины. Часть конической поверхности, ограниченная этой плоскостью, называется боковой поверхностью, а часть плоскости, отсекаемая боковой поверхностью, – основанием конуса. Перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания, называется высотой конуса.

Конус называется прямым круговым, если его основание есть круг, а высота проходит через центр основания. Такой конус можно рассматривать как тело, происходящее от вращения прямоугольного треугольника, вокруг катета как оси. При этом гипотенуза описывает боковую поверхность, а катет – основание конуса.

В курсе геометрии общеобразовательной школы рассматривается только прямой круговой конус, который для краткости называется просто конусом.

Если вершина конуса расположена в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат, то уравнение эллиптического конуса имеет вид:

( a >0, b >0, c >0). (2.58)

При а = b конус становится круговым.

Примечание. По аналогии с коническими сечениями (аналогично теореме 2.1) существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x 2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x 2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x 2 – y 2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x 2 + y 2 + z 2 = 0 описывает точку с координатами (0;0;0). Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии

Содержание

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.
Поверхности второго порядка
Поверхности вращения.
Эллипсоид.
Конус второго порядка.
Однополостный гиперболоид.
Двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид.
Гиперболический параболоид.
🌟 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Поверхности второго порядка. Поверхности вращения.

Поверхность S называется поверхностью вращения вокруг оси OZ, если для любой точки M₀(x₀,y₀,z₀)

этой поверхности окружность, проходящая через эту точку в плоскости z=z₀ с центром в (0,0,z₀) и радиусом

, целиком принадлежит этой поверхности.

Теорема (об уравнении поверхности вращения).

Если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат поверхность S задана уравнением

F(x 2 +y 2 ,z)=0, то S — поверхность вращения вокруг оси OZ.

Эллипсоид:

Мнимый эллипсоид.

где a > 0, b > 0, c > 0. Эта поверхность не имеет ни одной вещественной точки.

Свойства эллипсоида.

1. Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Эллипсоид обладает:

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

3. В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается

Однополостной гиперболоид.

Свойства однополостного гиперболоида.

1. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

2. Однополостной гиперболоид обладает:

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается

эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

Канонические уравнения эллипсоида и гиперболоидов

Двуполостной гиперболоид.

Свойства двуполостного гиперболоида.

1. Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что и неограничен сверху.

2. Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3. В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при

получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям

Ox и Oy, – гипербола.

Эллиптический параболоид.

В случае, если a=b≠0, перечисленные выше (эллипсоид, однополостной гиперболоид, двуполостной

гиперболоид, эллиптический параболоид) поверхности являются поверхностями вращения.

Эллиптический параболоид.

Свойства эллиптического параболоида.

1. Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует,

что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

2. Эллиптический параболоид обладает:

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.

3. В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а

плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

Уравнение эллиптического параболоида имеет вид:

Если a=b, то эллиптический параболоид представляет собой поверхность вращения, образованную

вращением параболы, параметр которой , вокруг вертикальной оси, проходящей через

вершину и фокус данной параболы.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью z=z₀>0 является эллипсом.

Пересечение эллиптического параболоида с плоскостью x=x₀ или y=y₀ является параболой.

Видео:Аналитическая геометрия, 8 урок, Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности второго порядка

Видео:Поверхности второго порядкаСкачать

Поверхности вращения.

Поверхность (S) называется поверхностью вращения с осью (d), если она составлена из окружностей, которые имеют центры на прямой (d) и лежат в плоскостях, перпендикулярных данной прямой.

Рассмотрим линию (L), которая лежит в плоскости (P), проходящей через ось вращения (d) (рис. 43), и будем вращать ее вокруг этой оси. Каждая точка линии опишет окружность, а вся линия — поверхность вращения.

Рис. 10.1. Поверхность вращения.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат (O, boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_) на оси (d), вектор (boldsymbol_) направим вдоль (d), а вектор (boldsymbol_) поместим в плоскости (P). Таким образом, (O, boldsymbol_, boldsymbol_) — декартова система координат в плоскости (P). Пусть линия (L) имеет в этой системе координат уравнение (f(x, y)=0).

Рассмотрим точку (M(x, y, z)). Через нее проходит окружность, которая имеет центр на оси (d) и лежит в плоскости, перпендикулярной этой оси. Радиус окружности равен расстоянию от (M) до оси, то есть (sqrt<x^+y^>). Точка (M) лежит на поверхности вращения тогда и только тогда, когда на указанной окружности имеется точка Мь принадлежащая вращаемой линии (L).

Точка (M_(x_, y_, z_)) лежит в плоскости (P), и потому (y_=0). Кроме того, (z_=z) и (|x|=sqrt<x^+y^>), так как (M_) лежит на той же окружности, что и (M). Координаты точки (M_) удовлетворяют уравнению линии (L): (f(x_, z_)=0). Подставляя в это уравнение (x_) и (z_), мы получаем условие на координаты точки (M), необходимое и достаточное для того, чтобы (M) лежала на поверхности вращения (S): равенство
$$
fleft(pm sqrt<x^+y^>, zright)=0label
$$
должно быть выполнено хотя бы при одном из двух знаков перед корнем. Это условие, которое можно записать также в виде
$$
fleft(sqrt<x^+y^>, zright)fleft(-sqrt<x^+y^>, zright)=0,label
$$
и является уравнением поверхности вращения линии (L) вокруг оси (d).

Видео:Эллипс (часть 1). Каноническое уравнение. Высшая математика.Скачать

Эллипсоид.

Рассмотрим поверхности, которые получаются при вращении эллипса вокруг его осей симметрии. Направив вектор (boldsymbol_) сначала вдоль малой оси эллипса, а затем вдоль большой оси, мы получим уравнения эллипса в следующих видах:
$$
frac<x^><a^>+frac<z^><c^>=1, frac<z^><a^>+frac<x^><c^>=1.nonumber
$$
(Здесь через (c) обозначена малая полуось эллипса.) В силу формулы eqref уравнениями соответствующих поверхностей вращения будут
$$
frac<x^+y^><a^>+frac<z^><c^>=1, frac<z^><a^>+frac<x^+y^><c^>=1 (a > c).label
$$
Поверхности с такими уравнениями называются соответственно сжатым и вытянутым эллипсоидами вращения (рис. 10.2).

Рис. 10.2. Сжатый (а) и вытянутый (б) эллипсоиды вращения.

Каждую точку (M(x, y, z)) на сжатом эллипсоиде вращения сдвинем к плоскости (y=0) так, чтобы расстояние от точки до этой плоскости уменьшилось в постоянном для всех точек отношении (lambda Рис. 10.3. Эллипсоид.

Эллипсоид так же, как и эллипсоид вращения, из которого он получен, представляет собой замкнутую ограниченную поверхность. Из уравнения eqref видно, что начало канонической системы координат — центр симметрии эллипсоида, а координатные плоскости — его плоскости симметрии.

Эллипсоид можно получить из сферы (x^+y^+z^=a^) сжатиями к плоскостям (y=0) и (z=0) в отношениях (lambda=b/a) и (mu=c/a).

В этой статье нам часто придется прибегать к сжатию, и мы не будем его каждый раз описывать столь подробно.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Конус второго порядка.

Рассмотрим на плоскости (P) пару пересекающихся прямых, задаваемую в системе координат (O, boldsymbol_, boldsymbol_) уравнением (a^x^-c^z^=0). Поверхность, получаемая вращением этой линии вокруг оси аппликат, имеет уравнение
$$
a^(x^+y^)-c^z^=0label
$$
и носит название прямого кругового конуса (рис. 10.4). Сжатие к плоскости (y=0) переводит прямой круговой конус в поверхность с уравнением
$$
a^x^+b^y^-c^z^=0label
$$
называемую конусом второго порядка.

Обратите внимание на то, что левая часть уравнения eqref — однородная функция, и поверхность является конусом в смысле определения, введенного ранее.

Рис. 10.4. Прямой круговой конус.

Видео:Кривые второго порядка. Эллипс. Приведение к каноническому виду и чертежСкачать

Однополостный гиперболоид.

Однополостный гиперболоид вращения — это поверхность вращения гиперболы
$$
frac<x^><a^>-frac<z^><c^>=1nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее не пересекает. По формуле eqref мы получаем уравнение этой поверхности (рис. 10.5)
$$
frac<x^+y^><a^>-frac<z^><c^>=1.label
$$

Рис. 10.5. Однополостный гиперболоид вращения.

В результате сжатия однополостного гиперболоида вращения к плоскости (y=0) мы получаем однополостный гиперболоид с уравнением
$$
frac<x^><a^>+frac<y^><b^>-frac<z^><c^>=1.label
$$

Интересное свойство однополостного гиперболоида — наличие у него прямолинейных образующих. Так называются прямые линии, всеми своими точками лежащие на поверхности. Через каждую точку однополостного гиперболоида проходят две прямолинейные образующие, уравнения которых можно получить следующим образом.

Покажем на примере, как найти образующие, проходящие через данную точку поверхности. Рассмотрим поверхность (x^+y^-z^=0) и точку (M_(1, 1, 1)) на ней. Подставляя координаты (M_) в уравнения eqref, мы получаем условия на (lambda) и (mu): (2lambda=2mu) и (0 cdot lambda=0 cdot mu). Первое из них определяет (lambda) и (mu) с точностью до общего множителя, но только с такой точностью они и нужны. Подставляя эти значения в eqref, получаем уравнения прямолинейной образующей
$$
x+z=1+y, x-z=1-y.nonumber
$$

Она проходит через (M_), так как (lambda) и (mu) так и выбирались, чтобы координаты (M_) удовлетворяли этой системе. Аналогично, подставляя координаты (M_) в (10), находим условия на (lambda’) и (mu’): (2mu’=0) и (2mu’=0). Коэффициент (lambda’) можно взять любым ненулевым, и мы приходим к уравнению второй образующей: (x=z), (y=1).

Если вместе с гиперболой мы будем вращать ее асимптоты, то они опишут прямой круговой конус, называемый асимптотическим конусом гиперболоида вращения. При сжатии гиперболоида вращения его асимптотический конус сжимается в асимптотический конус общего однополостного гиперболоида.

Видео:Эллипс, парабола и гипербола. Конические сечения | Ботай со мной #055 | Борис Трушин |Скачать

Двуполостный гиперболоид.

Двуполостный гиперболоид вращения — это поверхность, получаемая вращением гиперболы
$$
frac<z^><c^>-frac<x^><a^>=1nonumber
$$
вокруг той оси, которая ее пересекает. По формуле eqref мы получаем уравнение двуполостного гиперболоида вращения
$$
frac<z^><c^>-frac<x^+y^><a^>=1.label
$$
В результате сжатия этой поверхности к плоскости у=0 получается поверхность с уравнением
$$
frac<z^><c^>-frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=1.label
$$

Поверхность, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат имеет уравнение вида eqref, называется двуполостным гиперболоидом (рис. 10.6). Двум ветвям гиперболы здесь соответствуют две не связанные между собой части (“полости”) поверхности, в то время как при построении однополостного гиперболоида вращения каждая ветвь гиперболы описывала всю поверхность.

Асимптотический конус двуполостного гиперболоида определяется так же, как и для однополостного.

Рис. 10.6. Двуполостный гиперболоид вращения.

Видео:§18 Каноническое уравнение эллипсаСкачать

Эллиптический параболоид.

Вращая параболу (x^=2pz) вокруг ее оси симметрии, мы получаем поверхность с уравнением
$$
x^+y^=2pz.label
$$
Она называется параболоидом вращения. Сжатие к плоскости (y=0) переводит параболоид вращения в поверхность, уравнение которой приводится к виду
$$
frac<x^><a^>+frac<y^><b^>=2z.label
$$

Поверхность, которая имеет такое уравнение в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется эллиптическим параболоидом (рис. 10.7).

Рис. 10.7. Эллиптический параболоид.

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Гиперболический параболоид.

По аналогии с уравнением eqref мы можем написать уравнение
$$
frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=2z.label
$$

Поверхность, которая имеет уравнение вида eqref в некоторой декартовой прямоугольной системе координат, называется гиперболическим параболоидом.

Исследуем форму этой поверхности. Для этого рассмотрим ее сечение плоскостью (x=alpha) при произвольном (alpha). В этой плоскости выберем декартову прямоугольную систему координат (O’, boldsymbol_, boldsymbol_) с началом в точке (O'(alpha, 0, 0)). Относительно этой системы координат линия пересечения имеет уравнение
$$
-frac<y^><b^>=2left(z-frac<alpha^><2a^>right).label
$$
Эта линия — парабола, в чем легко убедиться, перенеся начало координат в точку (O″) с координатами ((0, alpha^/(2a^))). (Координаты этой точки относительно исходной системы координат (O, boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_) в пространстве равны ((alpha, 0, alpha^/(2a^))).)

Точка (O″), очевидно, является вершиной параболы, ось параболы параллельна вектору (boldsymbol_), а знак минус в левой части равенства eqref означает, что ветви параболы направлены в сторону, противоположную направлению (boldsymbol_). Заметим, что после переноса начала координат в точку (O″) величина а не входит в уравнение параболы, и, следовательно, сечения гиперболического параболоида плоскостями (x=alpha) при всех (alpha) представляют собой равные параболы.

Будем теперь менять величину (alpha) и проследим за перемещением вершины параболы (O″) в зависимости от (alpha). Из приведенных выше координат точки (O″) следует, что эта точка перемещается по линии с уравнениями
$$
z=frac<x^><2a^>, y=0nonumber
$$
в системе координат (O, boldsymbol_, boldsymbol_, boldsymbol_). Эта линия — парабола в плоскости (y=0). Вершина параболы находится в начале координат, ось симметрии совпадает с осью аппликат, а ветви параболы направлены в ту же сторону, что и вектор (boldsymbol_).

Теперь мы можем построить гиперболический параболоид следующим образом: зададим две параболы и будем перемещать одну из них так, чтобы ее вершина скользила по другой, оси парабол были параллельны, параболы лежали во взаимно перпендикулярных плоскостях и ветви их были направлены в противоположные стороны.

При таком перемещении подвижная парабола описывает гиперболический параболоид (рис. 10.8).

Рис. 10.8. Гиперболический параболоид. (OB) — неподвижная парабола, (KLM, NOP, QRS) — положения подвижной параболы.