С помощю этого онлайн калькулятора можно построить уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикуляной данной прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения уравнения плоскости задайте вид уравнения прямой (канонический или параметрический) введите координаты точки и коэффициенты уравнения прямой в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».
- Предупреждение
- Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения
- Решение задач по математике онлайн
- Калькулятор онлайн. Составить уравнение плоскости
- Немного теории.
- Общее уравнение плоскости
- Угол между двумя плоскостями
- Условие параллельности плоскостей
- Условие перпендикулярности плоскостей
- Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости
- Найти уравнение плоскости
- Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости
- Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости
- Теория. Уравнение плоскости.
- 🌟 Видео
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Видео:Задача 8. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.Скачать
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данной прямой − теория, примеры и решения
 . | (1) |
Построить уравнение плоскости α, проходящей через точку M0 и перпендинулярной прямой L.
 |
Решение. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0 и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> имеет следующий вид:
| A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (2) |
Направляющий вектор прямой L имеет вид q=<m, p, l>. Поскольку прямая L и плоскость α перпендикулярны друг другу, следовательно нормальный вектор плоскостти и направляющий вектор прямой должны быть коллинеарны (Рис.1). Тогда вместо координат нормального вектора плоскости нужно подставить координаты направляющего вектора прямой L. Получим следующее уравнение плоскости:
| m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (3) |
Упростим уравнение (3):
| mx+py+lz+D=0, | (4) |
Таким образом уравнение (4) определяет плоскость, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1).
Ответ. Уравнение плоскости прпоходящей через точку M0(x0, y0, z0) и перпендикулярной прямой (1) имеет вид (4).
Пример 1. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой L:
 | (7) |
Решение. Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой (2).
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид: :
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (2) примет следующий вид:
| m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (8) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (8), получим:
 | (9) |
Упростим уравнение (9):
| 2x+5y+4z−9=0. | (10) |
Ответ: Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(3, −1, 2) и перпендикулярной прямой (7) имеет вид (10).
Пример 2. Найти уравнение плоскости α, проходящую через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой L, заданной параметрическим уравнением:
 | (11) |
Решение. Приведем параметрическое уравнение (11) к каноническому виду:
 | (11′) |
Уравнение плоскости α, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий нормальный вектор n=<A, B, C> представляется формулой:
| A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0. | (12) |
Направляющий вектор прямой L имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая L была перпендикулярна плоскости α, нормальный вектор плоскости α должен быть коллинеарным направляющему вектору прямой L, т.е. уравнение плоскости (12) примет следующий вид:
| m(x−x0)+p(y−y0)+l(z−z0)=0. | (13) |
Подставляя координаты точки M0 и направляющего вектора q в (13), получим:
 |
Упростим уравнение (13):
| −5x+3y+11z+77=0. | (14) |
Ответ. Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(4, 3, −6) и перпендикулярной прямой (11) имеет вид (14).
Видео:1. Уравнение плоскости проходящей через точку перпендикулярно вектору / общее уравнение / примерыСкачать
Решение задач по математике онлайн
//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘
Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Калькулятор онлайн.
Составить уравнение плоскости
Этот калькулятор онлайн составляет (находит) уравнение плоскости по трем точкам, лежащим на плоскости или по нормали и одной точке лежащей на плоскости.
Онлайн калькулятор для нахождения уравнения плоскости не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.
Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.
Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.
Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3
Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.
Знаменатель не может быть отрицательным.
При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: ( -frac )
Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: ( -1frac )
Составить уравнение плоскости
Видео:Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному направлению.Скачать
Немного теории.
Видео:4. Уравнение плоскости проходящей через три точки / в отрезках / доказательство и примерыСкачать
Общее уравнение плоскости
Пусть заданы:
прямоугольная система координат Oxyz,
произвольная плоскость ( pi );
точка ( M_0(x_0;y_0;z_0) in pi );
вектор ( vec(A;B;C) ), перпендикулярный плоскости ( pi ) (смотри рисунок).
Рассмотрим произвольную точку М(х; у; z). Точка М лежит на плоскости ( pi ) тогда и только тогда, когда векторы ( vec ) и ( vec ) взаимно перпендикулярны. Так как координаты вектора ( vec ) равны ( x-x_0, ; y-y_0, ; z-z_0 ) , то в силу условия перпендикулярности двух векторов (скалярное произведение должно быть равно нулю) получаем, что точка М (х; у; z) лежит на плоскости ( pi ) тогда и только тогда, когда
Раскрывая скобки, приведем уравнение (1) к виду
( Ax+By+Cz+(-Ax_0-By_0-Cz_0)=0 )
Далее, обозначая число ( -Ax_0-By_0-Cz_0 ) через ( D ), получаем
Верно и обратное: всякое уравнение первой степени вида (2) определяет в заданной прямоугольной системе координат плоскость. Действительно, пусть заданы прямоугольная система координат Oxyz и уравнение ( Ax+By+Cz+D=0 ) с произвольными коэффициентами А, В, С и D, причем из коэффициентов А, В и С хотя бы один отличен от нуля. Данное уравнение заведомо имеет хотя бы одно решение ( x_0, ; y_0, ; z_0 ) ( если, например, ( C neq 0 ), то, взяв произвольные х0, и y0, из уравнения получим: ( z_0 = -fracx_0 — fracy_0-frac ) ).
Таким образом, существует хотя бы одна точка M0(x0; y0; z0), координаты которой удовлетворяют уравнению, т.е. Ax0+By0+Cz0+D=0. Вычитая это числовое равенство из уравнения Ax+By+Cz+D=0, получаем уравнение
A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) + D=0,
эквивалентное данному. Полученное уравнение (а стало быть, и уравнение Ax+By+Cz+D=0 ) совпадает с уравнением (1) и, значит, определяет плоскость ( pi ), проходящую через точку M0(x0 и перпендикулярную вектору ( vec(A;B;C) ).
Вектор ( vec(A;B;C) ), перпендикулярный плоскости, называется нормальным вектором или нормалью этой плоскости.
Теорема
Если два уравнения ( A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 ) и ( A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 ) определяют одну и ту же плоскость, то их коэффициенты пропорциональны, т.е. $$ frac = frac = frac = frac $$
Видео:Аналитическая геометрия, 5 урок, Уравнение плоскостиСкачать
Угол между двумя плоскостями
Рассмотрим две плоскости ( pi_1 ), и ( pi_2 ), заданные соответственно уравнениями
При любом расположении плоскостей ( pi_1 ), и ( pi_2 ) в пространстве один из углов ( varphi ) между ними равен углу между их нормалями ( vec(A_1;B_1;C_1) ) и ( vec(A_2;B_2;C_2) ) и вычисляется по следующей формуле:
$$ cos varphi = frac < veccdot vec>< |vec| |vec| > = frac <sqrt; sqrt > tag $$
Второй угол равен ( 180^circ -cos varphi )
Видео:Уравнение плоскости через 3 точкиСкачать
Условие параллельности плоскостей
Если плоскости ( pi_1 ) и ( pi_2 ) параллельны, то коллинеарны их нормали ( vec ) и ( vec ), и наоборот. Но тогда
$$ frac = frac = frac tag $$
Условие (4) является условием параллельности плоскостей ( pi_1 ) и ( pi_2 )
Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать
Условие перпендикулярности плоскостей
Если плоскости ( pi_1 ) и ( pi_2 ) взаимно перпендикулярны, то их нормали ( vec ) и ( vec ) также перпендикулярны, и наоборот. Поэтому из формулы (3) непосредственно получаем условие перпендикулярности плоскостей ( pi_1 ) и ( pi_2 ):
( A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0 )
Видео:Уравнение плоскости через 2 точки параллельно векторуСкачать
Онлайн калькулятор. Уравнение плоскости
Предлагаю вам воспользоваться онлайн калькулятором чтобы найти уравнение плоскости.
Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное пошаговое решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач на составление уравнения плоскости и закрепить пройденный материал.
Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать
Найти уравнение плоскости
Выберите метод решения исходя из имеющихся в задаче данных:
В задаче известны:
Ввод данных в калькулятор для составления уравнения плоскости
В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
Дополнительные возможности калькулятора для вычисления уравнения плоскости
- Используйте кнопки и на клавиатуре, для перемещения между полями калькулятора.
Теория. Уравнение плоскости.
Плоскость — поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые её точки
В зависимости от условий задачи уравнение плоскости можно составить следующими способами:
- Если заданы координаты трех точек A( x 1, y 1, z 1), B( x 2, y 2, z 2) и C( x 3, y 3, z 3), лежащих на плоскости, то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле
| x — x 1 | y — y 1 | z — z 1 | = 0 |
| x 2 — x 1 | y 2 — y 1 | z 2 — z 1 | |
| x 3 — x 1 | y 3 — y 1 | z 3 — z 1 |
Если заданы координаты точки A( x 1, y 1, z 1) лежащей на плоскости и вектор нормали n = , то уравнение плоскости можно составить по следующей формуле:
Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.
🌟 Видео
Точки пересечения графиков линейных функций. 7 класс.ОбразовательныйСкачать
Составьте уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку M (3;2;4).Скачать
2. Уравнение плоскости примеры решения задач #1Скачать
Матан за час. Шпаргалка для первокурсника. Высшая математикаСкачать
3. Частные случаи общего уравнения плоскости Неполные уравнения плоскостиСкачать
Найти уравнение плоскости проходящей через прямую и перпендикулярно плоскостиСкачать
Уравнение плоскости через точку и нормальСкачать
Разбор задач регионального этапа ВсОШ по астрономии – 2024Скачать
10 класс, 18 урок, Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскостиСкачать
