Калькулятор линейных уравнений методом бернулли

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор можно использовать для проверки решения дифференциальных уравнений Бернулли.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция

Пример 1 . Найти общее решение уравнения y’ + 2xy = 2xy 3 . Это уравнение Бернулли при n=3. Разделив обе части уравнения на y 3 получаем Делаем замену Тогда и поэтому уравнение переписывается в виде -z’ + 4xz = 4x. Решая это уравнение методом вариации произвольной постоянной, получаем откуда или, что то же самое, .

Пример 2 . y’+y+y 2 =0
y’+y = -y 2

Разделим на y 2
y’/y 2 + 1/y = -1

Делаем замену:
z=1/y n-1 , т.е. z = 1/y 2-1 = 1/y
z = 1/y
z’= -y’/y 2

Получаем: -z’ + z = -1 или z’ — z = 1

Далее надо найти z и выразить через него y = 1/z .

Пример 3 . xy’+2y+x 5 y 3 e x =0
Решение.
а) Решение через уравнение Бернулли.
Представим в виде: xy’+2y=-x 5 y 3 e x . Это уравнение Бернулли при n=3 . Разделив обе части уравнения на y 3 получаем: xy’/y 3 +2/y 2 =-x 5 e x . Делаем замену: z=1/y 2 . Тогда z’=-2/y 3 и поэтому уравнение переписывается в виде: -xz’/2+2z=-x 5 e x . Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение: -xz’/2+2z=0
1. Решая его, получаем: z’=4z/x

Интегрируя, получаем:
ln(z) = 4ln(z)
z=x 4 . Ищем теперь решение исходного уравнения в виде: y(x) = C(x)x 4 , y'(x) = C(x)’x 4 + C(x)(x 4 )’
-x/2(4C(x) x 3 +C(x)’ x 4 )+2y=-x 5 e x
-C(x)’ x 5 /2 = -x 5 e x или C(x)’ = 2e x . Интегрируя, получаем: C(x) = ∫2e x dx = 2e x +C
Из условия y(x)=C(x)y, получаем: y(x) = C(x)y = x 4 (C+2e x ) или y = Cx 4 +2x 4 e x . Поскольку z=1/y 2 , то получим: 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

б) решение через замену переменных
y=uv
x(u’v + uv’)+2uv+x 5 u 3 v 3 e x =0
v(x u’ + 2u) + xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
a) xu’+2u = 0
или ln(u)=ln(x -2 ). Откуда u = x -2
b) xuv’+ x 5 u 3 v 3 e x = 0
x x -2 v’+ x 5 x -6 v 3 e x = 0
v’/x+ v 3 e x /x = 0
v’+ v 3 e x = 0

или 1/y 2 = Cx 4 +2x 4 e x

Видео:7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать

Калькулятор Обыкновенных Дифференциальных Уравнений (ОДУ) и Систем (СОДУ)

Порядок производной указывается штрихами — y»’ или числом после одного штриха — y’5

Ввод распознает различные синонимы функций, как asin , arsin , arcsin

Знак умножения и скобки расставляются дополнительно — запись 2sinx сходна 2*sin(x)

Список математических функций и констант :

• ln(x) — натуральный логарифм

• sh(x) — гиперболический синус

• ch(x) — гиперболический косинус

• th(x) — гиперболический тангенс

• cth(x) — гиперболический котангенс

• sch(x) — гиперболический секанс

• csch(x) — гиперболический косеканс

• arsh(x) — обратный гиперболический синус

• arch(x) — обратный гиперболический косинус

• arth(x) — обратный гиперболический тангенс

• arcth(x) — обратный гиперболический котангенс

• arsch(x) — обратный гиперболический секанс

• arcsch(x) — обратный гиперболический косеканс

Видео:Уравнение Бернулли Метод БернуллиСкачать

Решение дифференциальных уравнений

Данный онлайн калькулятор позволяет вычислять дифференциальные уравнения практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям.

По умолчанию в уравнении функция y является функцией от переменной x. Однако вы можете задать своё обозначение переменной, если напишете, например, y(t) в уравнении, то калькулятор автоматически распознает, что y есть функция от переменной t. С помощью калькулятора вы сможете решать дифференциальные уравнения любой сложности и вида: однородные и неоднородные, линейные или нелинейные, первого порядка или второго и более высоких порядков, уравнения с разделяющимися или не разделяющимися переменными и т.д. Решение диф. уравнения даётся в аналитическом виде, имеет подробное описание. Дифференциальные уравнения очень часто встречаются в физике и математике. Без их вычисления невозможно решать многие задачи (особенно в математической физике).
Одним из этапов решения дифференциальных уравнений является интегрирование функций. Есть стандартные методы решений дифференциальных уравнений. Необходимо привести уравнения к виду с разделяющимися переменными y и x и отдельно проинтегрировать разделенные функции. Чтобы это сделать иногда следует провести определенную замену.

📽️ Видео

10. Уравнения БернуллиСкачать

9. Метод вариации произвольной постоянной ( метод Лагранжа ). Линейные дифференциальные уравнения.Скачать

Метод Лагранжа & Метод Бернулли ★ Решение линейных неоднородных дифференциальных уравненийСкачать

Теория вероятностей #8: формула Бернулли и примеры ее использования при решении задачСкачать

Дифференциальные уравнения, 5 урок, Уравнение БернуллиСкачать

Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать

Метод БернуллиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 4y''-y=x^3-24x #1Скачать

Метод Бернулли. Метод ЛагранжаСкачать

Урок 133. Закон Бернулли. Уравнение БернуллиСкачать

Линейные дифференциальные уравнения (Метод Бернулли)Скачать

Дифференциальные уравнения. Уравнение БернуллиСкачать

Математика без Ху!ни. Теория вероятностей. Схема БернуллиСкачать

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентамиСкачать

Метод БернуллиСкачать

Уравнения Бернулли. Дифференциальны уравненияСкачать