Линейным диофантовым уравнением с двумя неизвестными называется уравнение вида:
В основе нашего калькулятора лежит расширенный алгоритм Евклида, записанный в виде цепной дроби. Однако, в некоторых случаях (например, когда коэффициент ) применяются более простые подходы. Также калькулятор не рассматривает случаи, когда хотя бы один из коэффициентов или равен , так как они приводят к обычному линейному уравнению.
Если коэффициент не делится нацело на , то линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными не имеет решений. Напротив, если делится нацело на , то указанное уравнение имеет бесконечное множество целых решений.
Для решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными сначала необходимо найти частное решение и , а затем записать общее решение, используя формулы:
Рассмотрим пример решения линейного диофантового уравнения с двумя неизвестными:
Поскольку делится нацело на , то данное уравнение имеет решения в целых числах.
Далее, найдём какое-нибудь конкретное (частное) решение и исходного уравнения. Для этого, сначала необходимо найти частное решение и вспомогательного уравнения с коэффициентом :
а затем умножить найденное частное решение и вспомогательного уравнения на и получить частное решение и исходного уравнения:
Чтобы найти частное решение вспомогательного уравнения используем цепные дроби. Для этого составим дробь , числителем которой будет коэффициент , а знаменателем коэффициент .
Преобразуем данную дробь в цепную дробь:
В полученной цепной дроби отбросим последнюю дробь :
Полученная дробь является отношением частных решений и выбранных с правильным знаком:
Подставляя четыре значения во вспомогательное уравнение, определяем его частное решение:
Теперь, чтобы найти частное решение и исходного уравнения, умножим найденное частное решение и вспомогательного уравнения на :
Используя формулы для общего решения, запишем конечный ответ:
Наш онлайн калькулятор может решить любое линейное диофантово уравнение с двумя неизвестными с описанием подробного хода решения на русском языке. Чтобы начать работу, необходимо ввести уравнение и задать искомые переменные.
Видео:Диофантовы уравнения x³-y³=91Скачать
Диофантовое уравнение с тремя неизвестными
| Коэффиценты через пробел в уравнении Ax+By+Cz=D |
| Результат решения диофантового уравнения с тремя неизвестными | |||
| Целочисленные корни такого уравнения следующие | |||
После того, как автор сайта смог научить своего бота решать Линейное диофантово уравнение онлайн, возникло желание научить бота решать подобные уравнения, но уже с тремя неизвестными. Пришлось окунутся в книги. Вынырнув оттуда через два месяца, автор понял, что он ничего не понял. Зело умные математики, так мудрёно писали алгоритм вывода формул, что мне смертному было стыдно. Опечалился было, но мысль на книжных просторах все таки одну полезную нашел, и с этой мысли пришло понимание как решать диофантовые уравнения с тремя неизвестными. Итак для всех, кто не математик, но хочет им быть 🙂 Диофантовое уравнение с тремя неизвестными имеет вот такой вид где целые числа Если мы подумаем какое же общее решение может быть у неизвестных, то самое банальное выглядит так Подставим наше общее решение в уравнение Какой же от этого прок, спросит нетерпеливый читатель? А вот какой, сгруппируем все по неизвестным,получим Смотрите, в правой части стоит какое то постоянное число, обозначенное буквой d Значит, от t ( она же переменная, мало ли каким она значением хочет стать) оно не зависит а значит Логично предположить что и от z оно не зависит а значит а вот от постоянных значений A3 и B3 оно зависит напрямую , то есть Что же в конечном итоге мы получили? А получили мы три типовых классических диофантовых уравнений с двумя неизвестными, которые решать мы можем легко и непринужденно. В первых строках поисковых систем нашлось вот такое уравнение Первое уравнение будет вот такое Избавимся от нулей, взяв к примеру k=-1. ( Хотите можете взять 2 или 100 или -3) На окончательное решение это не повлияет. Решаем второе уравнение здесь пусть k=0 ( так как X и Y не совпадают уже при нулевых значениях) И последнее третье уравнение Корни тут такие Подставим теперь все найденные значения в общий вид Заметьте, что все решается очень легко и прозрачно! Наверняка преподаватели и способные студенты возьмут себе на вооружение эту методику, так как в книгах автор бота её так и нашел. Еще один пример, уже решенный с помощью бота.
Дополнение: Когда будете решать подобные уравнения с помощью бота, можете столкнуться с тем, что бот Вам выдаст ошибку с просьбой, поменять переменные местами, для другой попытки решить уравнение. Это связано с тем что при промежуточных вычислениях, получается нерешаемое уравнение При попытке решить уравнение мы получим ошибку, так как при любых значениях, в левой части будет всегда(!!) чётное число, а в правой части как мы видим нечетное. Но это не значит что изначальное уравнение нерешаемое. Достаточно поменять слагаемые в другом порядке, например так и получаем ответ
Дополнение от 23 ноября 2015 года Зашел спор как решать уравнение подобное этому Мол, позволяет ли методика которая была описана выше определить существует ли целочисленные решения этому уравнению? Я не могу доказать, но предполагаю, что если при всех циклических перестановках слагаемых как это было показано на примере уравнения у нас получаются нерешаемые линейные уравнения, то такое уравнение нерешаемое. В нашем примере так и получается что при любых переставновках, в левой части линейного уравнения всегда(!) будут НЕ взаимно простые числа, и НОД их не является делителем числа в правой части уравнения ( =8 ) Таким образом утверждается что такое диофантовое уравнение нерешаемое в целых числах, но зато оно решается в случае рациональных дробей при любых значениях z и t уравнение будет верным По горячим следам, окончательное дополнение от 23 нобяря 2015Все таки я ошибся в последнем примере. решаемое оно Так что вышеописанная методика и бот, применим ТОЛЬКО для тех случаев, когда хотя бы одна пара слагаемых из левой части являются взаимно простыми числами. Если конечно не воспользуетесь новым калькулятором который лишен, всех этих недостатков Видео:Математика. Линейные диофантовы уравнения с двумя неизвестными. Центр онлайн-обучения «Фоксфорд»Скачать  Линейные диофантовы уравнения с двумя переменнымиКалькулятор решает линейные диофантовы уравнения с двумя переменными. Сначала калькулятор, теория под ним.
Линейные диофантовы уравнения с двумя переменнымиДиофантово уравнение с двумя неизвестными имеет вид: где a, b, c — заданные целые числа, x и y — неизвестные целые числа. Для нахождения решений уравнения используется Расширенный алгоритм Евклида (исключая вырожденный случай, когда a = b = 0 и уравнение имеет либо бесконечно много решений, либо же не имеет решений вовсе). Утверждается, что если число c делится на g, то диофантово уравнение имеет решение; в противном случае диофантово уравнение решений не имеет. Это следует из очевидного факта, что линейная комбинация двух чисел по-прежнему должна делиться на их общий делитель. То есть если c делится на g, тогда выполняется соотношение: т. е. одним из решений диофантова уравнения являются числа: Если одно из чисел a и b или они оба отрицательны, то можно взять их по модулю и применить к ним алгоритм Евклида, как было описано выше, а затем изменить знак найденных коэффициентов и в соответствии с настоящим знаком чисел a и b соответственно. Если мы знаем одно из решений, мы можем получить выражение для всех остальных решений, которых бесконечное множество. Итак, пусть g = НОД (a,b), выполняется условие: Тогда, прибавив к число и одновременно отняв от , мы не нарушим равенства: Этот процесс можно повторять сколько угодно, т. е. все числа вида: , 🎦 ВидеоКак решать Диофантовы уравнения ★ 9x+13y=-1 ★ Решите уравнение в целых числахСкачать  ПЕРЕЧНЕВЫЕ ОЛИМПИАДЫ. Диофантовы уравненияСкачать  РЕШАЕМ ДИОФАНТОВОЕ УРАВНЕНИЕ | ПРОСТЫМИ СЛОВАМИСкачать  Классический способ решения Диофантовых уравнений ➜ Решите уравнение в целых числах ➜ 13x-7y=6Скачать  Решите уравнение в целых числах 3x^2+5y^2=345 ✱ Диофантовы уравнения ✱ Как решать?Скачать  Решение диофантовых уравненийСкачать  Линейные диофантовы уравненияСкачать  Диофантовы уравнения в задачах на ЕГЭСкачать  Диофантовы уравнения x²+xy-y=2Скачать  Решите уравнение в целых числах 5x-4y=3 ➜ Как решать Диофантовы уравнения?Скачать  Как решать Диофантовы уравнения ➜ Решите уравнение в целых числах 4x+5y=6Скачать  Решите уравнение в целых числах 6x^2+5y^2=74 ★ Диофантовы уравнения ★ Как решать?Скачать  #86. Делимость и диофантовы уравнения! ТРУДНАЯ ЗАДАЧА!Скачать  Решите уравнение в целых числах ★ √x+√y=√50 ★ Как решать диофантовы уравнения?Скачать  Калькулятор не поможет ★ Жесть от Колмогорова ★ Что больше 2^3^100 или 3^2^150 ★ Сравните числаСкачать  Алексей Савватеев "Диофантовы уравнения". Лекции 1-2Скачать  Diophantine Equation - Calculator Techniques #shortsСкачать  Универсальный способ решения симметрических систем с тремя неизвестнымиСкачать  |
