Квадратные уравнения часто появляются в ряде задач по математике и физике, поэтому уметь их решать должен каждый школьник. В этой статье подробно рассматриваются основные методы решения уравнений квадратных, а также приводятся примеры их использования.
- Какое уравнение называется квадратным
- Какие методы решения уравнений квадратных существуют
- Метод №1. Разложение на множители
- Пример решения методом факторизации
- Метод №2. Дополнение до полного квадрата
- Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата
- Метод №3. Применение известной формулы
- Теорема Виета
- Пример использования теоремы Виета
- Как решать квадратные уравнения
- Понятие квадратного уравнения
- Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
- Полные и неполные квадратные уравнения
- Решение неполных квадратных уравнений
- Как решить уравнение ax 2 = 0
- Как решить уравнение ax 2 + с = 0
- Как решить уравнение ax 2 + bx = 0
- Как разложить квадратное уравнение
- Дискриминант: формула корней квадратного уравнения
- Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корней
- Примеры решения квадратных уравнений
- Формула корней для четных вторых коэффициентов
- Формула Виета
- Упрощаем вид квадратных уравнений
- Связь между корнями и коэффициентами
- Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»
- 📸 Видео
Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Какое уравнение называется квадратным
В первую очередь ответим на вопрос этого пункта, чтобы лучше понимать, о чем пойдет речь в статье. Итак, уравнение квадратное имеет следующий общий вид: c + b*x+a*x2=0, где a, b, c — некоторые числа, которые называются коэффициентами. Здесь a≠0 — это обязательное условие, в противном случае указанное уравнение вырождается в линейное. Остальные коэффициенты (b, c) могут принимать абсолютно любые значения, включая ноль. Так, выражения типа a*x2=0, где b=0 и c=0 или c+a*x2=0,где b=0, или b*x+a*x2=0, где c=0 — это тоже уравнения квадратные, которые называют неполными, поскольку в них либо линейный коэффициент b равен нулю, либо нулевым является свободный член c, либо они оба зануляются.
Вам будет интересно: Химические цепочки превращений: примеры и способы решения
Уравнение, в котором a=1, называют приведенным, то есть оно вид имеет: x2 + с/a + (b/a)*x =0.
Решение квадратного уравнения заключается в нахождении таких значений x, которые удовлетворяют его равенству. Эти значения называются корнями. Поскольку рассматриваемое уравнение — это выражение второй степени, то это означает, что максимальное число его корней не может превышать двух.
Видео:Как решать дробно-рациональные уравнения? | МатематикаСкачать
Какие методы решения уравнений квадратных существуют
В общем случае существует 4 метода решения. Ниже перечисляются их названия:
Вам будет интересно: Каково значение слова «транспарентность»?
Как понятно из приведенного списка, первые три метода являются алгебраическими, поэтому они используются чаще, чем последний, который предполагает построение графика функции.
Существует еще один способ решения по теореме Виета уравнений квадратных. Его можно было бы включить 5-м в список выше, однако, это не сделано, поскольку теорема Виета является простым следствием 3-го метода.
Далее в статье рассмотрим подробнее названные способы решения, а также приведем примеры их использования для нахождения корней конкретных уравнений.
Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Метод №1. Разложение на множители
Для этого метода в математике квадратных уравнений существует красивое название: факторизация. Суть этого способа заключается в следующем: необходимо квадратное уравнение представить в виде произведения двух членов (выражений), которое должно равняться нулю. После такого представления можно воспользоваться свойством произведения, которое будет равно нулю только тогда, когда один или несколько (все) его членов являются нулевыми.
Теперь рассмотрим последовательность конкретных действий, которые нужно выполнить, чтобы найти корни уравнения:
Вам будет интересно: Коммуникативная методика обучения английскому языку: главные принципы, учебники, результаты, отзывы
Как видно, алгоритм факторизации является достаточно простым, тем не менее, у большинства школьников возникают трудности во время реализации 2-го пункта, поэтому поясним его подробнее.
Чтобы догадаться, какие 2-а линейных выражения при умножении их друг на друга дадут искомое квадратное уравнение, необходимо запомнить два простых правила:
- Линейные коэффициенты двух линейных выражений при умножении их друг на друга должны давать первый коэффициент квадратного уравнения, то есть число a.
- Свободные члены линейных выражений при их произведении должны давать число c искомого уравнения.
После того, как подобраны все числа множителей, следует выполнить их перемножение, и если они дают искомое уравнение, тогда переходить к пункту 3 в изложенном выше алгоритме, в противном случае следует изменить множители, но делать это нужно так, чтобы приведенные правила всегда выполнялись.
Видео:Решение квадратных уравнений. Дискриминант. 8 класс.Скачать
Пример решения методом факторизации
Покажем наглядно, как алгоритм решения уравнения квадратного составить и найти неизвестные корни. Пусть дано произвольное выражение, например, 2*x-5+5*x2-2*x2 = x2+2+x2+1. Перейдем к его решению, соблюдая последовательность пунктов от 1-го до 3-х, которые изложены в предыдущем пункте статьи.
Пункт 1. Перенесем все члены в левую часть и выстроим их в классической последовательности для квадратного уравнения. Имеем следующее равенство: 2*x+(-8)+x2=0.
Пункт 2. Разбиваем на произведение линейных уравнений. Поскольку a=1, а с=-8, то подберем, например, такое произведение (x-2)*(x+4). Оно удовлетворяет изложенным в пункте выше правилам поиска предполагаемых множителей. Если раскрыть скобки, то получим: -8+2*x+x2, то есть получается точно такое же выражение, как в левой части уравнения. Это означает, что мы правильно угадали множители, и можно переходить к 3-му пункту алгоритма.
Пункт 3. Приравниваем каждый множитель нулю, получаем: x=-4 и x=2.
Если возникают какие-либо сомнения в полученном результате, то рекомендуется выполнить проверку, подставляя найденные корни в исходное уравнение. В данном случае имеем: 2*2+22-8=0 и 2*(-4)+(-4)2-8=0. Корни найдены правильно.
Таким образом, методом факторизации мы нашли, что заданное уравнение два корня различных имеет: 2 и -4.
Видео:Теорема Виета. 8 класс.Скачать
Метод №2. Дополнение до полного квадрата
В алгебре уравнений квадратных метод множителей не всегда может использоваться, поскольку в случае дробных значений коэффициентов квадратного уравнения возникают сложности в реализации пункта 2 алгоритма.
Метод полного квадрата, в свою очередь, является универсальным и может применяться для квадратных уравнений любого типа. Суть его заключается в выполнении следующих операций:
Описанный алгоритм может на первый взгляд быть воспринят, как достаточно сложный, однако, на практике его реализовать проще, чем метод факторизации.
Видео:Решение квадратных уравнений. Метод разложения на множители. 8 класс.Скачать
Пример решения с помощью дополнения до полного квадрата
Приведем пример уравнения квадратного для тренировки его решения методом изложенным в предыдущем пункте. Пусть дано уравнение квадратное -10 — 6*x+5*x2 = 0. Начинаем решать его, следуя описанному выше алгоритму.
Пункт 1. Используем метод переброски при решении уравнений квадратных, получаем: — 6*x+5*x2 = 10.
Пункт 2. Приведенный вид этого уравнения получается путем деления на число 5 каждого его члена (если равенства обе части поделить или умножить на одинаковое число, то равенство сохранится). В результате преобразований получим: x2 — 6/5*x = 2.
Пункт 3. Половина от коэффициента — 6/5 равна -6/10 = -3/5, используем это число для составления полного квадрата, получаем: (-3/5+x)2. Раскроем его и полученный свободный член следует вычесть из части равенства левой, чтобы удовлетворить исходному виду квадратного уравнения, что эквивалентно его добавлению в правую часть. В итоге получаем: (-3/5+x)2 = 59/25.
Пункт 4. Вычисляем квадратный корень с положительным и отрицательным знаками и находим корни: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. Два найденных корня имеют значения: x1 = (√59+3)/5 и x1 = (3-√59)/5.
Поскольку проведенные вычисления связаны с корнями, то велика вероятность допустить ошибку. Поэтому рекомендуется проверить правильность корней x2 и x1. Получаем для x1: 5*((3+√59)/5)2-6*(3+√59)/5 — 10 = (9+59+6*√59)/5 — 18/5 — 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. Подставляем теперь x2: 5*((3-√59)/5)2-6*(3-√59)/5 — 10 = (9+59-6*√59)/5 — 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
Таким образом, мы показали, что найденные корни уравнения являются истинными.
Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать
Метод №3. Применение известной формулы
Этот метод решения уравнений квадратных является, пожалуй, самым простым, поскольку он заключается в подставлении коэффициентов в известную формулу. Для его использования не нужно задумываться о составлении алгоритмов решения, достаточно запомнить только одну формулу. Она приведена на рисунке выше.
В этой формуле подкоренное выражение (b2-4*a*c) называется дискриминантом (D). От его значения зависит то, какие корни получатся. Возможны 3-и случая:
- D>0, тогда уравнение корня два имеет действительных и разных.
- D=0, тогда получается корень один, который можно вычислить из выражения x = -b/(a*2).
- D 0 — параболы ветви направлены вверх, наоборот, если a 0. Ее экстремум имеет координаты: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5)2+10 = 9,2. Поскольку минимум кривой лежит над осью абсцисс (y=9,2), то она не пересекает последнюю ни при каких значениях x. То есть действительных корней приведенное уравнение не имеет.
Видео:Квадратное уравнение. 1 урок.Скачать
Теорема Виета
Как выше было отмечено, эта теорема является следствием метода №3, который основан на применении формулы с дискриминантом. Суть теоремы Виета заключается в том, что она позволяет связать в равенство коэффициенты уравнения и его корни. Получим соответствующие равенства.
Воспользуемся формулой для вычисления корней через дискриминант. Сложим два корня, получаем: x1+x2 = -b/a. Теперь умножим корни друг на друга: x1*x2, после ряда упрощений получается число c/a.
Таким образом, для решения уравнений квадратных по теореме Виета можно использовать полученных два равенства. Если все три коэффициента уравнения известны, тогда корни можно найти путем решения соответствующей системы из этих двух уравнений.
Видео:Неполные квадратные уравнения. Алгебра, 8 классСкачать
Пример использования теоремы Виета
Необходимо составить квадратное уравнение, если известно, что оно имеет вид x2+c = -b*x и корни его равны 3 и -4.
Поскольку в рассматриваемом уравнении a=1, то формулы Виета будут иметь вид: x2+x1 =-b и x2*x1= с. Подставляя известные значения корней, получаем: b = 1 и c = -12. В итоге восстановленное уравнение квадратное приведенное будет вид иметь: x2-12 = -1*x. Можно подставить в него значение корней и убедиться, что равенство выполняется.
Обратное применение Виета теоремы, то есть вычисление корней по известному виду уравнения, позволяет для небольших целых чисел a, b и c быстро (интуитивно) находить решения.
Видео:Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать
Как решать квадратные уравнения
О чем эта статья:
Видео:Алгебра 8. Урок 11 - Дробно-рациональные уравненияСкачать
Понятие квадратного уравнения
Уравнение — это равенство, содержащее переменную, значение которой нужно найти.
Например, х + 8 = 12 — это уравнение, которое содержит переменную х.
Корень уравнения — это такое значение переменной, которое при подстановке в уравнение обращает его в верное числовое равенство.
Например, если х = 5, то при подстановке в уравнение мы получим 5 + 8 = 12. 13 = 12 — противоречие. Значит, х = 5 не является корнем уравнения.
А вот если х = 4, то при подстановке в уравнение мы получим 4 + 8 = 12. 12 = 12 — верное равенство. Значит, х = 4 является корнем уравнения.
Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что их не существует.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a — первый или старший коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Чтобы запомнить месторасположение коэффициентов, давайте потренируемся определять их.
Квадратные уравнения могут иметь два корня, один корень или не иметь корней.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Чтобы его найти, берем формулу: D = b 2 − 4ac. А вот свойства дискриминанта:
- если D 0, есть два различных корня.
С этим разобрались. А сейчас посмотрим подробнее на различные виды квадратных уравнений.
Разобраться в теме еще быстрее с помощью опытного преподавателя можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.
Видео:Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
Приведенные и неприведенные квадратные уравнения
Квадратное уравнение может быть приведенным или неприведенным — все зависит от от значения первого коэффициента.
Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, где старший коэффициент, тот который стоит при одночлене высшей степени, равен единице.
Неприведенным называют квадратное уравнение, где старший коэффициент отличается от единицы.
Давайте-ка на примерах — вот у нас есть два уравнения:
- x 2 — 2x + 6 = 0
- x 2 — x — 1/4 = 0
В каждом из них старший коэффициент равен единице (которую мы мысленно представляем при x 2 ), а значит уравнение называется приведенным.
- 2x 2 − 4x — 12 = 0 — первый коэффициент отличен от единицы (2), значит это неприведенное квадратное уравнение.
Каждое неприведенное квадратное уравнение можно преобразовать в приведенное, если произвести равносильное преобразование — разделить обе его части на первый коэффициент.
Пример 1. Превратим неприведенное уравнение: 8x 2 + 20x — 9 = 0 — в приведенное.
Для этого разделим обе части исходного уравнения на старший коэффициент 8:
Ответ: равносильное данному приведенное уравнение x 2 + 2,5x — 1,125 = 0.
Видео:Квадратное уравнение. 8 класс.Скачать
Полные и неполные квадратные уравнения
В определении квадратного уравнения есть условие: a ≠ 0. Оно нужно, чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 было именно квадратным. Если a = 0, то уравнение обретет вид линейного: bx + c = 0.
Что касается коэффициентов b и c, то они могут быть равны нулю, как по отдельности, так и вместе. В таком случае квадратное уравнение принято называть неполным.
Неполное квадратное уравнение —— это квадратное уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где оба или хотя бы один из коэффициентов b и c равен нулю.
Полное квадратное уравнение — это уравнение, у которого все коэффициенты отличны от нуля.
| Для самых любопытных объясняем откуда появились такие названия: | |
|---|---|
Такие уравнения отличны от полного квадратного тем, что их левые части не содержат либо слагаемого с неизвестной переменной, либо свободного члена, либо и того и другого. Отсюда и их название — неполные квадратные уравнения. Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать  Решение неполных квадратных уравненийКак мы уже знаем, есть три вида неполных квадратных уравнений:
Давайте рассмотрим по шагам, как решать неполные квадратные уравнения по видам. Как решить уравнение ax 2 = 0Начнем с решения неполных квадратных уравнений, в которых b и c равны нулю, то есть, с уравнений вида ax 2 = 0. Уравнение ax 2 = 0 равносильно x 2 = 0. Такое преобразование возможно, когда мы разделили обе части на некое число a, которое не равно нулю. Корнем уравнения x 2 = 0 является нуль, так как 0 2 = 0. Других корней у этого уравнения нет, что подтверждают свойства степеней. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 = 0 имеет единственный корень x = 0. Пример 1. Решить −6x 2 = 0.
Как решить уравнение ax 2 + с = 0Обратим внимание на неполные квадратные уравнения вида ax 2 + c = 0, в которых b = 0, c ≠ 0. Мы давно знаем, что слагаемые в уравнениях носят двусторонние куртки: когда мы переносим их из одной части уравнения в другую, они надевает куртку на другую сторону — меняют знак на противоположный. Еще мы знаем, что если обе части уравнения поделить на одно и то же число (кроме нуля) — у нас получится равносильное уравнение. Ну есть одно и то же, только с другими цифрами. Держим все это в голове и колдуем над неполным квадратным уравнением (производим «равносильные преобразования»): ax 2 + c = 0:
Ну все, теперь мы готовы к выводам о корнях неполного квадратного уравнения. В зависимости от значений a и c, выражение — c/а может быть отрицательным или положительным. Разберем конкретные случаи. Если — c/а 2 = — c/а не имеет корней. Все потому, что квадрат любого числа всегда равен неотрицательному числу. Из этого следует, что при — c/а 0, то корни уравнения x 2 = — c/а будут другими. Например, можно использовать правило квадратного корня и тогда корень уравнения равен числу √- c/а, так как (√- c/а) 2 = — c/а. Кроме того, корнем уравнения может стать -√- c/а, так как (-√- c/а) 2 = — c/а. Ура, больше у этого уравнения нет корней.
Пример 1. Найти решение уравнения 8x 2 + 5 = 0.
Разделим обе части на 8: Ответ: уравнение 8x 2 + 5 = 0 не имеет корней. Как решить уравнение ax 2 + bx = 0Осталось разобрать третий вид неполных квадратных уравнений, когда c = 0. Неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 можно решить методом разложения на множители. Как разложить квадратное уравнение: Разложим на множители многочлен, который расположен в левой части уравнения — вынесем за скобки общий множитель x. Теперь можем перейти от исходного уравнения к равносильному x * (ax + b) = 0. А это уравнение равносильно совокупности двух уравнений x = 0 и ax + b = 0, последнее — линейное, его корень x = −b/a. Таким образом, неполное квадратное уравнение ax 2 + bx = 0 имеет два корня: Пример 1. Решить уравнение 0,5x 2 + 0,125x = 0 0,5x = 0,125, Ответ: х = 0 и х = 0,25. Как разложить квадратное уравнениеС помощью теоремы Виета можно получить формулу разложения квадратного трехчлена на множители. Выглядит она так: Формула разложения квадратного трехчлена Если x1 и x2 — корни квадратного трехчлена ax 2 + bx + c, то справедливо равенство ax 2 + bx + c = a (x − x1) (x − x2). Видео:Как решать уравнения с модулем или Математический торт с кремом (часть 1) | МатематикаСкачать  Дискриминант: формула корней квадратного уравненияЧтобы найти результат квадратного уравнения, придумали формулу корней. Выглядит она так: где D = b 2 − 4ac — дискриминант квадратного уравнения. Эта запись означает: Чтобы легко применять эту формулу, нужно понять, как она получилась. Давайте разбираться. Алгоритм решения квадратных уравнений по формулам корнейТеперь мы знаем, что при решении квадратных уравнения можно использовать универсальную формулу корней — это помогает находить комплексные корни. В 8 классе на алгебре можно встретить задачу по поиску действительных корней квадратного уравнения. Для этого важно перед использованием формул найти дискриминант и убедиться, что он неотрицательный, и только после этого вычислять значения корней. Если дискриминант отрицательный, значит уравнение не имеет действительных корней. Алгоритм решения квадратного уравнения ax 2 + bx + c = 0:
Чтобы запомнить алгоритм решения квадратных уравнений и с легкостью его использовать, давайте тренироваться! Примеры решения квадратных уравненийКак решать квадратные уравнения мы уже знаем, осталось закрепить знания на практике. Пример 1. Решить уравнение −4x 2 + 28x — 49 = 0.
Ответ: единственный корень 3,5. Пример 2. Решить уравнение 54 — 6x 2 = 0.
Оставим неизвестное в одной части, остальное перенесем с противоположным знаком в другую Ответ: два корня 3 и — 3. Пример 3. Решить уравнение x 2 — х = 0.
Ответ: два корня 0 и 1. Пример 4. Решить уравнение x 2 — 10 = 39.
Ответ: два корня 7 и −7. Пример 5. Решить уравнение 3x 2 — 4x+94 = 0.
D = (-4) 2 — 4 * 3 * 94 = 16 — 1128 = −1112 Ответ: корней нет. В школьной программе за 8 класс нет обязательного требования искать комплексные корни, но такой подход может ускорить ход решения. Если дискриминант отрицательный — сразу пишем ответ, что действительных корней нет и не мучаемся. Видео:Формула корней квадратного уравнения. Алгебра, 8 классСкачать  Формула корней для четных вторых коэффициентовРассмотрим частный случай. Формула решения корней квадратного уравнения Например, нам нужно решить квадратное уравнение ax 2 + 2nx + c = 0. Сначала найдем его корни по известной нам формуле. Вычислим дискриминант D = (2n) 2 — 4ac = 4n 2 — 4ac = 4(n 2 — ac) и подставим в формулу корней: 2 + 2nx + c = 0″ height=»705″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc11a460e2f8354381151.png» width=»588″> Для удобства вычислений обозначим выражение n 2 -ac как D1. Тогда формула корней квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2·n примет вид: где D1 = n 2 — ac. Самые внимательные уже заметили, что D = 4D1, или D1= D/4. Проще говоря, D1 — это четверть дискриминанта. И получается, что знак D1 является индикатором наличия или отсутствия корней квадратного уравнения. Сформулируем правило. Чтобы найти решение квадратного уравнения со вторым коэффициентом 2n, нужно:
Видео:Как решать квадратные уравнения. 8 класс. Вебинар | МатематикаСкачать  Формула ВиетаЕсли в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так: Сумма корней x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену. Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства: Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам. Рассмотрим теорему Виета на примере: x 2 + 4x + 3 = 0. Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре: Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит: Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения: Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Вот она: Обратная теорема Виета Если числа x1 и x2 таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа и есть корни x 2 + bx + c = 0. Обычно вся суть обратных теорем в том самом выводе, которое дает первая теорема. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x1 и x2 равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это и есть утверждение. Пример 1. Решить при помощи теоремы Виета: x 2 − 6x + 8 = 0.
2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc101ce2e346034751939.png» width=»117″> Когда у нас есть эти два равенства, можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять обоим равенствам системы. Чтобы проще подобрать корни, нужно их перемножить. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x1 и x2 надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже. Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x1 + x2 = 6. А значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 — корни уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. p> Упрощаем вид квадратных уравненийЕсли мы ходили в школу всегда одной тропинкой, а потом вдруг обнаружили путь короче — это значит теперь у нас есть выбор: упростить себе задачу и сократить время на дорогу или прогуляться по привычному маршруту. Так же и при вычислении корней квадратного уравнения. Ведь проще посчитать уравнение 11x 2 — 4 x — 6 = 0, чем 1100x 2 — 400x — 600 = 0. Часто упрощение вида квадратного уравнения можно получить через умножение или деление обеих частей на некоторое число. Например, в предыдущем абзаце мы упростили уравнение 1100x 2 — 400x — 600 = 0, просто разделив обе части на 100. Такое преобразование возможно, когда коэффициенты не являются взаимно простыми числами. Тогда принято делить обе части уравнения на наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов. Покажем, как это работает на примере 12x 2 — 42x + 48 = 0. Найдем наибольший общий делитель абсолютных величин его коэффициентов: НОД (12, 42, 48) = 6. Разделим обе части исходного квадратного уравнения на 6, и придем к равносильному уравнению 2x 2 — 7x + 8 = 0. Вот так просто. А умножение обеих частей квадратного уравнения отлично помогает избавиться от дробных коэффициентов. Умножать в данном случае лучше на наименьшее общее кратное знаменателей его коэффициентов. Например, если обе части квадратного уравнения умножить на НОК (6, 3, 1) = 6, то оно примет более простой вид x 2 + 4x — 18 = 0. Также для удобства вычислений можно избавиться от минуса при старшем коэффициенте квадратного уравнения — для этого умножим или разделим обе части на −1. Например, удобно от квадратного уравнения −2x 2 — 3x + 7 = 0 перейти к решению 2x 2 + 3x — 7 = 0. Связь между корнями и коэффициентамиМы уже запомнили, что формула корней квадратного уравнения выражает корни уравнения через его коэффициенты: Из этой формулы, можно получить другие зависимости между корнями и коэффициентами. Например, можно применить формулы из теоремы Виета: Для приведенного квадратного уравнения сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней — свободному члену. Например, по виду уравнения 3x 2 — 7x + 22 = 0 можно сразу сказать, что сумма его корней равна 7/3, а произведение корней равно 22/3. Можно активно использовать уже записанные формулы и с их помощью получить ряд других связей между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Таким образом можно выразить сумму квадратов корней квадратного уравнения через его коэффициенты: Видео:😉Такого метода решения вы ТОЧНО не видели #квадратное уравнениеСкачать  Теоретический материал по теме «10 способов решений квадратных уравнений»Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах. 10 способов решения квадратных уравнений Квадратные уравнения — это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств. Многие практические задачи решаются с их помощью. Например, квадратное уравнение позволяет рассчитать тормозной путь автомобиля, мощность ракеты для вывода на орбиту космического корабля, траектории движения различных физических объектов – от элементарных частиц до звёзд. В школе изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения. Предлагаю 10. Определение 1. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах 2 + b х + с = 0, где коэффициенты а, в, с- действительные числа, а ≠ 0. Определение 2 . Полное квадратное уравнение — это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых т.е. коэффициенты в и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или, с равен нулю. Определение 3. Корнем квадратного уравнения ах 2 + вх + с = 0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах 2 + вх + с обращается в нуль. Определение 4 . Решить квадратное уравнение — значит найти все его корни или установить, что корней нет. Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х 2 + 10х — 24 = 0 . Разложим левую часть на множители: х 2 + 10х — 24 = х 2 + 12х — 2х — 24 = х(х + 12) — 2(х + 12) = (х + 12)(х — 2). Следовательно, уравнение можно переписать так: Произведение множителей равно нулю, если по крайней мере, один из его множителей равен нулю. х + 12= 0 или х – 2=0 2. Метод выделения полного квадрата двучлена. Решим уравнение х 2 + 6х — 7 = 0 . Выделим в левой части полный квадрат: тогда, данное уравнение можно записать так: х + 3=4 или х + 3 = -4 3.Решение квадратных уравнений по формулам.
а) Решим уравнение: б) Решим уравнение: в) Решим уравнение: 2х 2 + 3х + 4 = 0, Данное уравнение корней не имеет. Ответ: корней нет. 4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета. Чтобы квадратное уравнение привести к приведенному виду, нужно все его члены разделить на a ,, тогда
сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. 5. Решение уравнений способом «переброски». Рассмотрим квадратное уравнение Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а b х + ас = 0. Пусть ах = у , откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета и окончательно: При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его называют способом «переброски» . Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат. Решим уравнение 2х 2 – 11х + 15 = 0. Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение Согласно теореме Виета 6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения. 1. Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + b х + с = 0, где а ≠ 0. Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), А. Решим уравнение 345х 2 – 137х – 208 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (345 – 137 – 208 = 0), то Б. Решим уравнение 132х 2 – 247х + 115 = 0. Решение. Так как а + b + с = 0 (132 – 247 + 115 = 0), то 2) Решим уравнение 2х 2 + 3х +1= 0. Так как 2 — 3+1=0, значит х 1 = — 1, х 2 = -с/а= -1/2 Данный метод удобно применять к квадратным уравнениям с большими коэффициентами. 2. Если второй коэффициент уравнения b = 2 k – четное число, то формулу корней можно записать в виде Решим уравнение 3х 2 — 14х + 16 = 0 .
Приведенное уравнение х 2 + рх + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид Формулу ( ) удобно использовать, когда р — четное число. Пример. Решим уравнение х 2 – 14х – 15 = 0. Решение. Имеем а=1, в =-14, (к=-7),с=-15. 7.Графическое решение квадратного уравнения. И спользуя знания о квадратичной и линейной функциях и их графиках, можно решить квадратное уравнение так называемым функционально-графическим методом. Причем некоторые квадратные уравнения можно решить различными способами, рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения. Пример. Решить уравнение =0 1способ . Построим график функции , воспользовавшись алгоритмом. Значит, вершиной параболы служит точка (1;-4), а осью параболы – прямая x=1 2) Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы, например точки рис.2 х= -1 и х=3, тогда f (-1)= f (3)=0. 3) Через точки (-1;0) , (1;-4), (3;0) проводим параболу (рис 2). Корнями уравнений являются абсциссы точек пересечения параболы с осью х; значит, корни уравнения Преобразуем уравнение к виду . Построим в одной системе координат графики функций и (рис 3 ). Они пересекаются в двух точках A(-1;1) и B(3;9). Корнями уравнения служат абсциссы точек A и B , значит, . 3 способ Преобразуем уравнения к виду. Построим в одной системе координат графики функций и (рис.4) Они пересекаются в двух точках A(-1;-2) и В (3;6). Корнями уравнения являются абсциссы точек А и В, поэтому . Преобразуем уравнение к виду , затем т.е. Построим в одной системе координат параболу и прямую . Они пересекаются в точках А(-1;4) и В(3;4). Корнями уравнений служат абсциссы точек А и В, поэтому (рис.5) . Рис.5 Разделим почленно обе части уравнения на x, получим: Построим в одной системе координат гиперболу и прямую (рис.6). Они пересекаются в двух точках А(-1;-3) и В(3;1). Корнями уравнений являются абсциссы точек А и В, следовательно, . Первые четыре способа применимы к любым уравнениям вида ах 2 + b х + с = 0, а пятый- только к тем, у которых с не равно нулю. Графические способы решения квадратных уравнений красивы, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения. 8. Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и Предлагаю следующий способ нахождения корней квадратного уравнения ах 2 + b х + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рис.7 ). Допустим, что искомая окружность пересекает ось Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров SF и SK , восстановленных в серединах хорд AC и BD , поэтому
Итак: 1) построим точки (центр окружности) и A (0; 1) ; 2) проведем окружность с радиусом SA ; 3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения. При этом возможны три случая. 2) Радиус окружности равен ординате центра ( AS = SB , или R = a + c /2 a ) , окружность касается оси Ох (рис.8б) в точке В(х 1 ; 0) , где х 1 — корень квадратного уравнения. 3) Радиус окружности меньше ординаты центра окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис 8в), в этом случае уравнение не имеет решения.
Решим уравнение х 2 — 2х — 3 = 0 (рис.9). Решение. Определим координаты точки центра окружности по формулам:
Проведем окружность радиуса SA , где А (0; 1). 9. Решение квадратных уравнений с помощью Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. — М., Просвещение, 1990. Таблица XXII . Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициен- Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис.10):
Полагая ОС = р, ED = q , ОЕ = а (все в см.), из подобия треугольников САН и CDF получим
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы. 2) Решим с помощью номограммы уравнение Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, 3) Для уравнения z 2 — 25 z + 66 = 0 коэффициенты p и q выходят за пределы шкалы, выполним подстановку z = 5 t , получим уравнение t 2 — 5 t + 2,64 = 0, 10. Геометрический способ решения квадратных уравнений. В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» ал — Хорезми. 1) Решим уравнение х 2 + 10х = 39. В оригинале эта задача формулируется следующим образом : «Квадрат и десять корней равны 39» (рис.12). Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25.
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4• 2,5х = 10х ) и четырех пристроенных квадратов (6,25• 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х + 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39 , получим, что S = 39 + 25 = 64 , откуда следует, что сторона квадрата ABCD , т.е. отрезок АВ = 8 . Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у 2 + 6у — 16 = 0 . Решение представлено на рис 13. где Решение. Выражения у 2 + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у 2 + 6у — 16 + 9 — 9 = 0 — одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = — 8 (рис. .
3) Решить геометрически уравнение у 2 — 6у — 16 = 0. Преобразуя уравнение, получаем На рис 14. находим «изображения» выражения у 2 — 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3 . Значит, если к выражению у 2 — 6у прибавить 9 , то получим площадь квадрата со стороной у — 3 . Заменяя выражение у 2 — 6у равным ему числом 16, 📸 ВидеоБыстрый способ решения квадратного уравненияСкачать  Решение квадратных уравнений с большим дискриминантомСкачать  |
там определить корни уравнения.
получаем: (у — 3) 2 = 16 + 9, т.е. у — 3 = ± √25 , или у — 3 = ± 5, где у 1 = 8 и у 2 = — 2.