Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функции и производные (или дифференциалы) этой функции. Если дифференциальное уравнение имеет одну независимую переменную, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением, если же независимых переменных две или более, то такое дифференциальное уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных. Наивысший порядок производных, входящих в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.
Видео:Поле направлений дифференциального уравнения первого порядкаСкачать
Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Задачей Коши называется нахождение любого частного решения дифференциального уравнения вида у = (х, С0), удовлетворяющего начальным условиям у(х0) = у0. Теорема Коши. (теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения 1- го порядка) Если функция f(x, y) непрерывна в некоторой области D в плоскости XOY и имеет в этой области непрерывную частную производную , то какова бы не была точка (х0, у0) в области D, существует единственное решение уравнения , определенное в некотором интервале, содержащем точку х0, принимающее при х = х0 значение (х0) = у0, т.е. существует единственное решение дифференциального уравнения.
Видео:Геометрический смысл дифференциального уравненияСкачать
Геометрический смысл
Геометрически речь идет о нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку М (х ,у ). Исключительно большое значение для теории дифференциальных уравнений и ее приложений имеет вопрос о существенности решения задачи Коши и о единственности этого решения. Будем говорить, что задача Коши имеет единственное решение, если можно указать такую окрестность точки х
Видео:13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать
Геометрический смысл уравнения первого порядка
Рассмотрим уравнение у‘ = /(х, у). Пусть у = ф(х) — его решение, график которого представляет собой непрерывную интегральную кривую, причем в каждой се точке существует касательная. Из дифференциального уравнения следует, что угловой коэффициент касательной к интегральной кривой в каждой се точке равен правой части этого уравнения. Следовательно, уравнение первого порядка задаст угловой коэффициент у’ касательной к интегральной кривой как функцию двух переменных. Если каждой точке (х, у) сопоставить отрезок, направленный под углом наклона а = arctg (/(х, у)) к оси Ох, то мы получим поле направлений данного уравнения. В этом и заключается геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка.
Поле направлений позволяет проанализировать решение дифференциального уравнения и даже приближенно построить интегральные кривые.
Пример 5. Построить поле направлений уравнения у’ = х 2 — у.
Решение. Нетрудно видеть, что правая часть этого уравнения удовлетворяет условиям теоремы Коши единственности и существования решения при любых х и уу т.е. интегральные кривые заполняют всю плоскость Оху Найдем линии, на которых наклон направлений одинаков, — так называемые изоклины.
Так, если у’ = 0, то имеем х 2 — у = 0, т.с. на параболе у — х 2 касательные к интегральным кривым горизонтальны (короткие черточки на рис. 18.1). При у‘ = 1 имеем х 2 — у = 1, т.с. касательные к интегральным кривым направлены под углом 45° к оси Ох на параболе у = х 2 — 1. Наконец, на параболе у = х 2 + 1 угол наклона касательных равен 135°. По полю направлений можно приближенно восстановить ход интегральных кривых (сплошные линии).
Видео:Математика без Ху!ни. Линейное неоднородное уравнение 1 порядка. Метод вариации постоянной.Скачать
Какой геометрический смысл имеет начальная задача для дифференциальных уравнений 1 го порядка
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах…
Часть II. Глава IV. Обыкновенные дифференциальные уравнения
Видео:Задача Коши ➜ Частное решение линейного однородного дифференциального уравненияСкачать
§ 1. Дифференциальные уравнения первого порядка
1. Основные понятия. Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (или дифференциалы) этой функции. Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется дифференциальным уравнением в частных производных.
Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Например:
1) х²у’ + 5xy = у² – обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка;
2) 
– обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка;
3) y’³ + y»y»’ = х – обыкновенное дифференциальное уравнение третьего порядка;
4) F (х, у, у’, у») = 0 – общий вид обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка;
5) 
– уравнение в частных производных первого порядка.
В этом параграфе рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, т. е. уравнения вида F (х, у, у’) = 0 или (в разрешенном относительно у’ виде) y’ = f(х, у).
Решением дифференциального уравнения называется такая дифференцируемая функция у = φ (x), которая при подстановке в уравнение вместо неизвестной функции обращает его в тождество. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка у’ = f(x, у) в области D называется функция у = φ(x, C), обладающая следующими свойствами: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной С, принадлежащих некоторому множеству; 2) для любого начального условия у(х0) = у0 такого, что (x0; y0) ∈ 0, существует единственное значение С = С0, при котором решение у = φ(x, C0) удовлетворяет заданному начальному условию.
Всякое решение у = φ(x, C0), получающееся из общего решения у = φ (x, C) при конкретном значении С = С0, называется частным решением.
Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y’ = f(х, у) удовлетворяющее начальному условию у(х0) = y0, называется задачей Коши.
Построенный на плоскости хОу график всякого решения у = φ(х) дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Таким образом, общему решению у = φ(х, С) на плоскости хОу соответствует семейство интегральных кривых, зависящее от одного параметра – произвольной постоянной С, а частному решению, удовлетворяющему начальному условию y(x0) = y0, – кривая этого семейства, проходящая через заданную точку М0(x0; у0).
Если функция f(х, у) непрерывна и имеет непрерывную производную 
в области D, то решение дифференциального уравнения у’= f (х, у) при начальном условии у(х0) = у0 существует и единственно, т. е. через точку (x0; y0) проходит единственная интегральная кривая данного уравнения (теорема Коши).
Особым решением называется такое решение, во всех точках которого условие единственности не выполняется, т. е. в любой окрестности каждой точки (х; у) особого решения существуют по крайней мере две интегральные кривые, проходящие через эту точку.
Особые решения не получаются из общего решения дифференциального управления ни при каких значениях произвольной постоянной С (в том числе и при С = ± ∞).
Особым решением является огибающая семейства интегральных кривых (если она существует), т. е. линия, которая в каждой своей точке касается по меньшей мере одной интегральной кривой.
Например, общее решение уравнения 
записывается в виде у = sin (х + С). Это семейство интегральных кривых имеет две огибающие: у = 1 и у = -1, которые и будут особыми решениями.
2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида
относится к типу уравнений с разделяющимися переменными. Если ни одна из функций f1(x), f2(y), φ1(x), φ2(y) не равна тождественно нулю, то в результате деления исходного уравнения на f2 (x) φ1 (y) оно приводится к виду
Почленное интегрирование последнего уравнения приводит к соотношению
которое и определяет (в неявной форме) решение исходного уравнения. (Решение дифференциального уравнения, выраженное в неявной форме, называют интегралом этого уравнения.)
507. Решить уравнение х(у²-4)dx + y dy = 0.
△ Разделив обе части уравнения на у² – 4 ≠ 0, имеем
x² + ln|у² – 4| = ln|C|, или у² – 4 = Сe -λ²
Это общее решение данного дифференциального уравнения.
Пусть теперь у² – 4 = 0, т. е. у = ± 2. Непосредственной подстановкой убеждаемся, что у = ±2 – решение исходного уравнения. Но оно не будет особым решением, так как его можно получить из общего решения при С = 0. ▲
508. Найти частный интеграл уравнения у’ cos х = у / ln у, удовлетворяющий начальному условию y(0) = l.
△ Полагая 
, перепишем данное уравнение в виде
Проинтегрируем обе части уравнения:
, или 
Используя начальное условие у = 1 при х = 0, находим С = 0. Окончательно получаем
▲
509. Найти общий интеграл уравнения у’ = tg x tg y.
△ Полагая и разделяя переменные, приходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируя, имеем
, или ln|sin у| = -ln|cos x| + ln С.
Отсюда находим sin y = C/cos x, или sin y / cos x = С (общий интеграл). ▲
510. Найти частное решение дифференциального уравнения (l + x²)dy + y dx = 0 при начальном условии у(1) = 1.
△ Преобразуем данное уравнение к виду 
. Интегрируя, получим
, или ln |y| = – arctg x + С
Это и есть общий интеграл данного уравнения.
Теперь, используя начальное условие, найдем произвольную постоянную С; имеем ln 1 = — arctg 1 + С, т. е. С = π/4. Следовательно,
ln у = – arctg х + π/4,
откуда получаем искомое частное решение y = e π/4 – arctg x . ▲
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах… Ч. II. Стр. 117-119.
🔍 Видео
18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать
7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Метод Бернулли.Скачать
Дифференциальные уравнения, 1 урок, Дифференциальные уравнения. Основные понятияСкачать
Дифференциальные уравнения. 11 класс.Скачать
Дифференциальные уравнения 1-го порядка.Скачать
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Основные понятия. Высшая математика.Скачать
1. Что такое дифференциальное уравнение?Скачать
Линейное дифференциальное уравнение первого порядка (1-x^2)*y'-xy=1Скачать
Откуда появляются дифференциальные уравнения и как их решатьСкачать
Задача Коши ДУ I п. 1. Caushy`s ProblemСкачать
Дифференциальные уравнения, 4 урок, Линейные дифференциальные уравнения первого порядкаСкачать
Решите уравнение ★ y'-2y=e^(2x) ★ Линейное дифференциальное уравнение 1-го порядкаСкачать
Решение физических задач с помощью дифференциальных уравненийСкачать
