Какое высказывание не отражает признак уравнения в полных дифференциалах тест

Видео:11. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Список вопросов теста

Вопрос 1

1. Вставить пропущенное слово

Дифференциальным уравнением (ДУ) называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x , искомую функции y и её … или дифференциалы.

Варианты ответов

• интеграл
• производные
• значения функции

Вопрос 2

ДУ первого порядка называется уравнение вида

Варианты ответов

• F(x,y,y’)=0
• F(x,y’,y» )=0
• aх+b=0

Вопрос 3

Варианты ответов

• линейное уравнение
• ДУ с разделяющими переменными
• ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами

Вопрос 4

Характеристическое уравнение ДУ имеет вид

Варианты ответов

• а2х+с=0
• ( λ)^2+pλ+q=0
• ( λ)^2+pλ+q=с(х)

Вопрос 5

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется

Варианты ответов

• Решение, содержащее n независимых произвольных постоянных
• Решение, выраженное относительно независимой переменной
• Решение, полученное без интегрирования

Вопрос 6

Отношение двух однородных функций одинаковых степеней есть однородная функция

Варианты ответов

• Нулевой степени
• Первой степени
• Степени на одну ниже степеней исходных функций

Вопрос 7

Какое высказывание не отражает признак уравнения в полных дифференциалах?

Варианты ответов

• Левая часть уравнения представляет собой сумму частных дифференциалов
• Частная производная по одной переменной одного слагаемого и Частная производная по другой переменной другого слагаемого равны
• Выражение, зависящее от y, входит только в левую часть, а выражение, зависящее от x — только в правую часть

Вопрос 8

Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами содержит тригонометрические функции, если

Варианты ответов

• Корни характеристического уравнения – комплексные
• Корни характеристического уравнения — действительные и различные
• Корни характеристического уравнения — вещественные и равные

Вопрос 9

При решении линейного дифференциального уравнения первого порядка не применяется

Варианты ответов

• Замена переменной
• Разделение переменных
• Метод неопределённых коэффициентов

Вопрос 10

Первым шагом решения уравнения является:

Видео:Уравнение в полных дифференциалахСкачать

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

Видео:Дифференциальные уравнения, 6 урок, Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Введение

Если найдена такая функция U ( x, y ) , то уравнение принимает вид:
dU ( x, y ) = 0 .
Его общий интеграл:
U ( x, y ) = C ,
где C – постоянная.

Если дифференциальное уравнение первого порядка записано через производную:
,
то его легко привести к форме (1). Для этого умножим уравнение на dx . Тогда . В результате получаем уравнение, выраженное через дифференциалы:
(1) .

Видео:12. Интегрирующий множитель. Уравнения в полных дифференциалахСкачать

Свойство дифференциального уравнения в полных дифференциалах

Для того, чтобы уравнение (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:
(2) .

Доказательство

Далее мы полагаем, что все функции, используемые в доказательстве, определены и имеют соответствующие производные в некоторой области значений переменных x и y . Точка x ₀ , y ₀ также принадлежит этой области.

Докажем необходимость условия (2).
Пусть левая часть уравнения (1) является дифференциалом некоторой функции U ( x, y ) :
.
Тогда
;
.
Поскольку вторая производная не зависит от порядка дифференцирования, то
;
.
Отсюда следует, что . Необходимость условия (2) доказана.

Докажем достаточность условия (2).
Пусть выполняется условие (2):
(2) .
Покажем, что можно найти такую функцию U ( x, y ) , что ее дифференциал:
.
Это означает, что существует такая функция U ( x, y ) , которая удовлетворяет уравнениям:
(3) ;
(4) .
Найдем такую функцию. Проинтегрируем уравнение (3) по x от x ₀ до x , считая что y – это постоянная:
;
;
(5) .
Дифференцируем по y считая, что x – это постоянная и применим (2):

.
Уравнение (4) будет выполнено, если
.
Интегрируем по y от y ₀ до y :
;
;
.
Подставляем в (5):
(6) .
Итак, мы нашли функцию, дифференциал которой
.
Достаточность доказана.

В формуле (6), U ( x ₀ , y ₀) является постоянной – значением функции U ( x, y ) в точке x ₀ , y ₀ . Ей можно присвоить любое значение.

Видео:Уравнение в полных дифференциалахСкачать

Как распознать дифференциальное уравнение в полных дифференциалах

Рассмотрим дифференциальное уравнение:
(1) .
Чтобы определить, является ли это уравнение в полных дифференциалах, нужно проверить выполнение условия (2):
(2) .
Если оно выполняется, то это уравнение в полных дифференциалах. Если нет – то это не уравнение в полных дифференциалах.

Пример

Проверить, является ли уравнение в полных дифференциалах:
.

Здесь
, .
Дифференцируем по y , считая x постоянной:

.
Дифференцируем по x , считая y постоянной:

.
Поскольку:
,
то заданное уравнение – в полных дифференциалах.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Дифференциальные уравнения.Скачать

Методы решения дифференциальных уравнений в полных дифференциалах

Метод последовательного выделения дифференциала

Наиболее простым методом решения уравнения в полных дифференциалах является метод последовательного выделения дифференциала. Для этого мы применяем формулы дифференцирования, записанные в дифференциальной форме:
du ± dv = d ( u ± v ) ;
v du + u dv = d ( uv ) ;
;
.
В этих формулах u и v – произвольные выражения, составленные из любых комбинаций переменных.

Пример 1

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Преобразуем его:
(П1) .
Решаем уравнение, последовательно выделяя дифференциал.
;
;
;
;

.
Подставляем в (П1):
;
.

Метод последовательного интегрирования

В этом методе мы ищем функцию U ( x, y ) , удовлетворяющую уравнениям:
(3) ;
(4) .

Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
.
Здесь φ ( y ) – произвольная функция от y , которую нужно определить. Она является постоянной интегрирования. Подставляем в уравнение (4):
.
Отсюда:
.
Интегрируя, находим φ ( y ) и, тем самым, U ( x, y ) .

Пример 2

Решить уравнение в полных дифференциалах:
.

Ранее мы нашли, что это уравнение – в полных дифференциалах. Введем обозначения:
, .
Ищем Функцию U ( x, y ) , дифференциал которой является левой частью уравнения:
.
Тогда:
(3) ;
(4) .
Проинтегрируем уравнение (3) по x , считая y постоянной:
(П2)
.
Дифференцируем по y :

.
Подставим в (4):
;
.
Интегрируем:
.
Подставим в (П2):

.
Общий интеграл уравнения:
U ( x, y ) = const .
Объединяем две постоянные в одну.

Метод интегрирования вдоль кривой

Функцию U , определяемую соотношением:
dU = p ( x, y ) dx + q ( x, y ) dy ,
можно найти, если проинтегрировать это уравнение вдоль кривой, соединяющей точки ( x ₀ , y ₀) и ( x, y ) :
(7) .
Поскольку
(8) ,
то интеграл зависит только от координат начальной ( x ₀ , y ₀) и конечной ( x, y ) точек и не зависит от формы кривой. Из (7) и (8) находим:
(9) .
Здесь x ₀ и y ₀ – постоянные. Поэтому U ( x ₀ , y ₀) – также постоянная.

Пример такого определения U был получен при доказательстве свойства уравнения в полных дифференциалах:
(6) .
Здесь интегрирование производится сначала по отрезку, параллельному оси y , от точки ( x ₀ , y ₀ ) до точки ( x ₀ , y ) . Затем интегрирование производится по отрезку, параллельному оси x , от точки ( x ₀ , y ) до точки ( x, y ) .

В более общем случае, нужно представить уравнение кривой, соединяющей точки ( x ₀ , y ₀ ) и ( x, y ) в параметрическом виде:
x ₁ = s ( t ₁) ; y ₁ = r ( t ₁) ;
x ₀ = s ( t ₀) ; y ₀ = r ( t ₀) ;
x = s ( t ) ; y = r ( t ) ;
и интегрировать по t ₁ от t ₀ до t .

Наиболее просто выполняется интегрирование по отрезку, соединяющим точки ( x ₀ , y ₀ ) и ( x, y ) . В этом случае:
x ₁ = x ₀ + ( x – x ₀) t ₁ ; y ₁ = y ₀ + ( y – y ₀) t ₁ ;
t ₀ = 0 ; t = 1 ;
dx ₁ = ( x – x ₀) dt ₁ ; dy ₁ = ( y – y ₀) dt ₁ .
После подстановки, получается интеграл по t от 0 до 1 .
Данный способ, однако, приводит к довольно громоздким вычислениям.

Использованная литература:
В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-08-2012 Изменено: 02-07-2015

Видео:Видеоурок "Уравнение в полных дифференциалах"Скачать

Тест с ответами: “Дифференциальные уравнения”

1. Уравнение, которое помимо функции содержит её производные:
а) дифференциальное уравнение +
б) иррациональное уравнение
в) тригонометрическое уравнение

2. Решите задачу Коши , . В ответе укажите значение его предел при :
а) 1
б) 0 +
в) 10

3. Порядок входящих в уравнение производных:
а) ограничен
б) может быть различен +
в) зависит от условия задачи

4. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

5. Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или отсутствовать вовсе, кроме хотя бы одной производной, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

6. Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

7. При решении дифференциальных уравнений ищется:
а) функция (семейство функций) +
б) число (несколько чисел)
в) оба варианта верны

8. После определения вида указанных постоянных и неопределённых функций решения становятся:
а) частными +
б) общими
в) практическими

9. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного дифференциального уравнения, так ли это:
а) нет
б) да +
в) отчасти

10. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на:
а) теоретические
б) общие +
в) практические

11. Что является порядком дифференциального уравнения:
а) наивысший порядок входящих в него производных +
б) низший порядок входящих в него производных
в) средний порядок входящих в него производных

12. Решения дифференциальных уравнений подразделяются на:
а) дробные
б) частные +
в) цельные

13. Если дифференциальное уравнение является многочленом относительно старшей производной, то степень этого многочлена называется:
а) степенью дифференциального уравнения +
б) порядком дифференциального уравнения
в) объектом дифференциального уравнения

14. Решите задачу Коши , . В ответе укажите значение её решения при :
а) 5
б) 25
в) -25 +

15. Дифференциальное уравнение для функции от одной переменной:
а) обыкновенное дифференциальное уравнение +
б) простейшие дифференциальные уравнения первого порядка
в) дифференциальные уравнения в частных производных

16. Решите задачу Коши , . В ответе укажите значение её решения при :
а) 3
б) 2 +
в) 1

17. Одно из простейших применений дифференциальных уравнений — решение нетривиальной задачи нахождения траектории тела по известным проекциям ускорения, так ли это:
а) да +
б) нет
в) лишь отчасти

18. Найдите абсциссу точки пересечения прямой и решения уравнения , проходящего через точку :
а) 2
б) -1 +
в) 0

19. Класс дифференциальных уравнений первого порядка, наиболее легко поддающихся решению и исследованию:
а) дифференциальные уравнения в частных производных
б) обыкновенное дифференциальное уравнение
в) простейшие дифференциальные уравнения первого порядка +

20. Найдите решение уравнения удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его предел при :
а) 4
б) -2
в) 2

21. Дифференциальное уравнение, содержащее неизвестные функции нескольких переменных и их частные производные:
а) дифференциальные уравнения в частных производных +
б) обыкновенное дифференциальное уравнение
в) простейшие дифференциальные уравнения первого порядка

22. Найдите решение уравнения удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение при :
а) -4
б) 6 +
в) 4

23. Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых :
а)
б)
в) +

24. Найдите решение уравнения удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение при :
а) 1
б) -1 +
в) 10

25. Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых :
а)
б)
в) +

26. Найдите решение уравнения удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение при :
а) 1
б) -1 +
в) -10

27. Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых :
а) +
б)
в)

28. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение при :
а) 31
б) 51
в) 101 +

29. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию. В ответе укажите его значение при :
а) 30 +
б) 10
в) 20

30. Найдите решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию . В ответе укажите его значение при :
а) 2
б) 1 +
в) 3

🔥 Видео

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах (часть 1)Скачать

Восстановление функции по полному дифференциалу. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах.Скачать

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах| poporyadku.schoolСкачать

Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной | poporyadku.schoolСкачать

Видеоурок "Интегрирующий множитель"Скачать

ДУ Уравнения, не разрешенные относительно производнойСкачать

6. Особые решения ДУ первого порядкаСкачать

Решение дифференциальных уравнений. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Составить дифференциальные уравнения семейств линийСкачать

13. Как решить дифференциальное уравнение первого порядка?Скачать

Курс по ОДУ: Уравнения, не разрешённые относительно производной | Занятие 7Скачать