9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.
Скачать:
Вложение
Размер aksanova_ii._olimpiadnye_zadaniya.reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx
100.62 КБ
Предварительный просмотр: МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2 Высокогорского муниципального района Республики Татарстан» Решение уравнений в целых числах Аксанова Ильсияр Исмагиловна Учитель математики высшей категории С. Высокая Гора – 2015 г. Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2. При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:
способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
применение цепных дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска;
оценка выражений, входящих в уравнение. В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Способ перебора вариантов. Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602. Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 . Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7. 2. Применение алгоритма Евклида. Теорема. Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0. Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами: y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел. Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19 Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например, Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда 5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0, 5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ). Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k. Значит, общее решение: х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k , где k – произвольное целое число. Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число. Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12. Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201: НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1. Запишем этот процесс в обратном порядке: 1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) = = 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 = = 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999. Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536 является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12. Общее решение этого уравнения запишется в виде х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число, или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число. Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число. 3. Метод остатков. Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений. Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода. Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333; Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1). Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y . Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y . Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2. Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится. Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится. Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится. Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1) Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0). Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2) Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим: 27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда 9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3) следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда 3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4) В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным. 4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным. Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у . Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х . Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11). Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 . Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x : x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается. Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2). Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0 D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2 Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0. -36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1. 5. Разложение на множители . Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7. Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7. Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем: 1) x – 2 y = 7, x + y = 1; 2) x – 2 y = 1, x + y = 7; 3) x – 2 y = –7, x + y = –1; 4) x – 2 y = –1, x + y = –7. Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2). Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2). Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2 Решение. Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23 Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи: Решая полученные системы, находим: Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91. Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: ( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91 Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений: Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy . Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1) x + y – xy – 1 = – 1 Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1 Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения. Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: ( x — y )( y — z )( z — x ) = 10 Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. 6. Метод бесконечного спуска. Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения. Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5. Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим: Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x : z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v . Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v. 7. Оценка выражений, входящих в уравнение. Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение. И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим: Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши, тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2. Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение. Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100 Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки? Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания 5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет. Методом подбора можно найти решение 3) Составим уравнение: Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174 Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить. Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них. I. Метод рассмотрения остатков от деления. Пример. Решить уравнение в целых числах 3x – 4y = 1. Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2. Ответ: где m Z. Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители. Пример: Решить уравнения в целых числах. Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4. y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4. y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4. y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4. Следовательно, y = 4n, тогда 4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n Ответ: , где n Z. II. Неопределенные уравнения 2-ой степени Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка. И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители. Пример: Решить уравнение в целых числах. 13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1) Рассмотрим эти случаи а) => б) => в) => г) =>
4) Домашнее задание. Примеры. Решить уравнение в целых числах: а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит 2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0 б) в) Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах? Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете? Упражнения для тренировки. 1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z 2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5 3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2) Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет 4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23) 5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1) Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”. Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах
методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.
Скачать:
Вложение
Размер aksanova_ii._olimpiadnye_zadaniya.reshenie_uravneniy_v_tselyh_chislah.docx
100.62 КБ
Предварительный просмотр: МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2 Высокогорского муниципального района Республики Татарстан» Решение уравнений в целых числах Аксанова Ильсияр Исмагиловна Учитель математики высшей категории С. Высокая Гора – 2015 г. Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам. Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры. Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2. При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:
способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
применение цепных дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска;
оценка выражений, входящих в уравнение. В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения 1. Способ перебора вариантов. Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602. Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 . Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7. 2. Применение алгоритма Евклида. Теорема. Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0. Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами: y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел. Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19 Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например, Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда 5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0, 5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ). Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k. Значит, общее решение: х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k , где k – произвольное целое число. Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число. Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12. Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201: НОД(1999, 201) = НОД(201, 190) = НОД(190, 11) = НОД(11, 3) = НОД(3 , 2) = НОД(2, 1) = 1. Запишем этот процесс в обратном порядке: 1 = 2 – 1 = 2 – (3 – 2) = 2·2 – 3 = 2· (11 – 3·3) – 3 = 2·11 – 7·3 = 2·11 – 7(190 – 11·17) = = 121·11 – 7·190 = 121(201 – 190) – 7·190 = 121·201 – 128·190 = = 121·201 – 128(1999 – 9·201) = 1273·201 – 128·1999. Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536 является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12. Общее решение этого уравнения запишется в виде х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число, или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число. Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число. 3. Метод остатков. Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений. Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода. Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333; Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1). Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y . Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y . Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2. Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится. Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится. Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится. Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет. Ответ: целочисленных решений нет. Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1) Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0). Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2) Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим: 27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда 9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3) следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда 3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4) В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным. 4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным. Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у . Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х . Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11). Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Ответ: (2; 11), (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3). Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 . Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x : x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0. Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается. Ответ: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2). Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0. Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х: 5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0 D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2 Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0. -36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1. 5. Разложение на множители . Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7. Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7. Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем: 1) x – 2 y = 7, x + y = 1; 2) x – 2 y = 1, x + y = 7; 3) x – 2 y = –7, x + y = –1; 4) x – 2 y = –1, x + y = –7. Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2). Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2). Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2 Решение. Перепишем уравнение в виде: у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23 Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи: Решая полученные системы, находим: Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91. Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: ( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91 Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений: Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy . Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1) x + y – xy – 1 = – 1 Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1 Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения. Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах. Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: ( x — y )( y — z )( z — x ) = 10 Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах. Ответ: целочисленных решений нет. 6. Метод бесконечного спуска. Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения. Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39. Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5. Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим: Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен. Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x : z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v . Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах. Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v. 7. Оценка выражений, входящих в уравнение. Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение. И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим: Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши, тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2. Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение. Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100 Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .
Видео:11.7. Найти все пары (x;y), которые являются решениями уравнения x^2+xy+y^2=0. В.ТКАЧУК М-КА АБ-ТУ.Скачать
Калькулятор онлайн. Решение системы двух линейных уравнений с двумя переменными. Метод подстановки и сложения.
С помощью данной математической программы вы можете решить систему двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки и методом сложения.
Программа не только даёт ответ задачи, но и приводит подробное решение с пояснениями шагов решения двумя способами: методом подстановки и методом сложения.
Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
В качестве переменной может выступать любая латинсая буква. Например: ( x, y, z, a, b, c, o, p, q ) и т.д.
При вводе уравнений можно использовать скобки. При этом уравнения сначала упрощаются. Уравнения после упрощений должны быть линейными, т.е. вида ax+by+c=0 с точностью порядка следования элементов. Например: 6x+1 = 5(x+y)+2
В уравнениях можно использовать не только целые, но также и дробные числа в виде десятичных и обыкновенных дробей.
Правила ввода десятичных дробей. Целая и дробная часть в десятичных дробях может разделяться как точкой так и запятой. Например: 2.1n + 3,5m = 55
Правила ввода обыкновенных дробей. В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число. Знаменатель не может быть отрицательным. При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: / Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Видео:Линейное уравнение с двумя переменными. 7 класс.Скачать
Немного теории.
Видео:Алгебра 7 класс. 25 сентября. Является ли пара чисел решением уравненияСкачать
Решение систем линейных уравнений. Способ подстановки
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом подстановки: 1) выражают из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую; 2) подставляют в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений: $$ left< begin 3x+y=7 \ -5x+2y=3 end right. $$
Выразим из первого уравнения y через x: y = 7-3x. Подставив во второе уравнение вместо y выражение 7-Зx, получим систему: $$ left< begin y = 7—3x \ -5x+2(7-3x)=3 end right. $$
Нетрудно показать, что первая и вторая системы имеют одни и те же решения. Во второй системе второе уравнение содержит только одну переменную. Решим это уравнение: $$ -5x+2(7-3x)=3 Rightarrow -5x+14-6x=3 Rightarrow -11x=-11 Rightarrow x=1 $$
Подставив в равенство y=7-3x вместо x число 1, найдем соответствующее значение y: $$ y=7-3 cdot 1 Rightarrow y=4 $$
Пара (1;4) — решение системы
Системы уравнений с двумя переменными, имеющие одни и те же решения, называются равносильными. Системы, не имеющие решений, также считают равносильными.
Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать
Решение систем линейных уравнений способом сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем линейных уравнений — способ сложения. При решении систем этим способом, как и при решении способом подстановки, мы переходим от данной системы к другой, равносильной ей системе, в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Последовательность действий при решении системы линейных уравнений способом сложения: 1) умножают почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами; 2) складывают почленно левые и правые части уравнений системы; 3) решают получившееся уравнение с одной переменной; 4) находят соответствующее значение второй переменной.
Пример. Решим систему уравнений: $$ left< begin 2x+3y=-5 \ x-3y=38 end right. $$
В уравнениях этой системы коэффициенты при y являются противоположными числами. Сложив почленно левые и правые части уравнений, получим уравнение с одной переменной 3x=33. Заменим одно из уравнений системы, например первое, уравнением 3x=33. Получим систему $$ left< begin 3x=33 \ x-3y=38 end right. $$
Из уравнения 3x=33 находим, что x=11. Подставив это значение x в уравнение ( x-3y=38 ) получим уравнение с переменной y: ( 11-3y=38 ). Решим это уравнение: ( -3y=27 Rightarrow y=-9 )
Таким образом мы нашли решение системмы уравнений способом сложения: ( x=11; y=-9 ) или ( (11; -9) )
Воспользовавшись тем, что в уравнениях системы коэффициенты при y являются противоположными числами, мы свели ее решение к решению равносильной системы (сумировав обе части каждого из уравнений исходной симтемы), в которой одно из уравнений содержит только одну переменную.
Видео:Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать
Какая пара чисел не является решением уравнения y xy 2
OBRAZOVALKA.COM — образовательный портал Наш сайт это площадка для образовательных консультаций, вопросов и ответов для школьников и студентов .
На вопросы могут отвечать также любые пользователи, в том числе и педагоги.
Консультацию по вопросам и домашним заданиям может получить любой школьник или студент.
Видео:Линейное уравнение с 2 переменными, 7 классСкачать
Уравнения с двумя переменными (неопределенные уравнения)
Разделы: Математика
Обращение автора к данной теме не является случайным. Уравнения с двумя переменными впервые встречаются в курсе 7-го класса. Одно уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений. Это наглядно демонстрирует график линейной функции, заданный в виде ax + by=c. В школьном курсе учащиеся изучают системы двух уравнений с двумя переменными. В результате из поля зрения учителя и, поэтому ученика, выпадает целый ряд задач, с ограниченными условиями на коэффициент уравнения, а также методы их решения.
Речь идет о решении уравнения с двумя неизвестными в целых или натуральных числах.
В школе натуральные и целые числа изучаются в 4-6-х классах. К моменту окончания школы не все ученики помнят различия между множествами этих чисел.
Однако задача типа “решить уравнение вида ax + by=c в целых числах” все чаще встречается на вступительных экзаменах в ВУЗы и в материалах ЕГЭ.
Решение неопределенных уравнений развивает логическое мышление, сообразительность, внимание анализировать.
Я предлагаю разработку нескольких уроков по данной теме. У меня нет однозначных рекомендаций по срокам проведения этих уроков. Отдельные элементы можно использовать и в 7-м классе (для сильного класса). Данные уроки можно взять за основу и разработать небольшой элективный курс по предпрофильной подготовке в 9-м классе. И, конечно, этот материал можно использовать в 10-11 классах для подготовки к экзаменам.
Цель урока:
повторение и обобщение знаний по теме “Уравнения первого и второго порядка”
воспитание познавательного интереса к учебному предмету
формирование умений анализировать, проводить обобщения, переносить знания в новую ситуацию
Урок 1.
Ход урока.
1) Орг. момент.
2) Актуализация опорных знаний.
Определение. Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида
mx + ny = k, где m, n, k – числа, x, y – переменные.
Определение. Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.
Уравнения с двумя переменными, имеющими одни и те же решения, называются равносильными.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2.5x+6
Данное уравнение может иметь сколько угодно решений. Для этого достаточно взять любое значение x и найти соответствующее ему значение y.
Пусть x = 2, y = -2.5•2+6 = 1
x = 4, y = -2.5•4+6 =- 4
Пары чисел (2;1); (4;-4) – решения уравнения (1).
Данное уравнение имеет бесконечно много решений.
3) Историческая справка
Неопределенные (диофантовы) уравнения – это уравнения, содержащие более одной переменной.
В III в. н.э. – Диофант Александрийский написал “Арифметику”, в которой расширил множество чисел до рациональных, ввел алгебраическую символику.
Так же Диофант рассмотрел проблемы решения неопределенных уравнений и им даны методы решения неопределенных уравнений второй и третьей степени.
4) Изучение нового материала.
Определение: Неоднородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = k, где m, n, k, x, y Z k0
Если свободный член k в уравнении (1) не делится на наибольший общий делитель (НОД) чисел m и n, то уравнение (1) не имеет целых решений.
Пример: 34x – 17y = 3.
НОД (34; 17) = 17, 3 не делится нацело на 17, в целых числах решения нет.
Пусть k делится на НОД (m, n). Делением всех коэффициентов можно добиться, что m и n станут взаимно простыми.
Если m и n уравнения (1) взаимно простые числа, то это уравнение имеет по крайней мере одно решение.
Если коэффициенты m и n уравнения (1) являются взаимно простыми числами, то это уравнение имеет бесконечно много решений:
где (; ) – какое-либо решение уравнения (1), t Z
Определение. Однородным диофантовым уравнением первого порядка с двумя неизвестными x, y называется уравнение вида mx + ny = 0, где (2)
m, n, x, y Z
Если m и n – взаимно простые числа, то всякое решение уравнения (2) имеет вид
5) Домашнее задание. Решить уравнение в целых числах:
9x – 18y = 5
x + y= xy
Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?
Замечание. На данном уроке не представлены примеры решения уравнений в целых числах. Поэтому домашнее задание дети решают исходя из утверждения 1 и подбором.
Урок 2.
1) Организационный момент
2) Проверка домашнего задания
5 не делится нацело на 9, в целых числах решений нет.
Методом подбора можно найти решение
3) Составим уравнение:
Пусть мальчиков x, x Z, а девочек у, y Z, то можно составить уравнение 21x + 15y = 174
Многие учащиеся, составив уравнение, не смогут его решить.
Ответ: мальчиков 4, девочек 6.
3) Изучение нового материала
Столкнувшись с трудностями при выполнении домашнего задания, учащиеся убедились в необходимости изучения их методов решений неопределенных уравнений. Рассмотрим некоторые из них.
Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая.
Если y = 3m, m Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
Если y = 3 m + 1, то 4y +1 = 4• (3m + 1)+1 = 12m + 5 не делится на 3.
Если y = 3 m + 2, то 4y +1 = 4• (3m + 2)+1 = 12m + 9 делится на 3, поэтому 3x = 12m + 9, следовательно, x = 4m + 3, а y = 3m + 2.
Ответ: где m Z.
Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.
Пример: Решить уравнения в целых числах.
Пусть y = 4n, тогда 16 — 7y = 16 – 7•4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) делится на 4.
y = 4n+1, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n не делится на 4.
y = 4n+2, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n не делится на 4.
y = 4n+3, тогда 16 – 7y = 16 – 7• (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n не делится на 4.
Следовательно, y = 4n, тогда
4x = 16 – 7•4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Ответ: , где n Z.
II. Неопределенные уравнения 2-ой степени
Сегодня на уроке мы лишь коснемся решения диофантовых уравнений второго порядка.
И из всех типов уравнений рассмотрим случай, когда можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.
Пример: Решить уравнение в целых числах.
13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами: 13 = 13•1 = 1•13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Рассмотрим эти случаи
а) =>
б) =>
в) =>
г) =>
4) Домашнее задание.
Примеры. Решить уравнение в целых числах:
а)
2x = 4
2x = 5
2x = 5
x = 2
x = 5/2
x = 5/2
y = 0
не подходит
не подходит
2x = -4
не подходит
не подходит
x = -2
y = 0
б)
в)
Итоги. Что значит решить уравнение в целых числах?
Какие методы решения неопределенных уравнений вы знаете?
Упражнения для тренировки.
1) Решите в целых числах.
а) 8x + 12y = 32
x = 1 + 3n, y = 2 — 2n, n Z
б) 7x + 5y = 29
x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, n Z
в) 4x + 7y = 75
x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, n Z
г) 9x – 2y = 1
x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, m Z
д) 9x – 11y = 36
x = 4 + 11n, y = 9n, n Z
е) 7x – 4y = 29
x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, n Z
ж) 19x – 5y = 119
x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, p Z
з) 28x – 40y = 60
x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, t Z
2) Найти целые неотрицательные решения уравнения:
а) 8x + 65y = 81
x = 2, y = 1
б) 17x + 23y = 183
x = 4, y = 5
3) Найти все пары целых чисел (x; y), удовлетворяющие следующим условиям
а) x + y = xy
(0;0), (2;2)
б)
(1;2), (5;2), (-1;-1), (-5;-2)
Число 3 можно разложить на множители:
a)
б)
в)
г)
в)
(11;12), (-11;-12), (-11;12), (11;-12)
г)
(24;23), (24;-23), (-24;-23), (-24;23)
д)
(48;0), (24;1), (24;-1)
е)
x = 3m; y = 2m, mZ
ж) y = 2x – 1
x = m: y = 2m – 1, m Z
з)
x = 2m; y = m; x = 2m; y = -m, m Z
и)
решений нет
4) Решить уравнения в целых числах
(-3;-2), (-1;1), (0;4), (2;-2), (3;1), (5;4)
(x — 3)(xy + 5) = 5
(-2;3), (2;-5), (4;0)
(y + 1)(xy – 1)=3
(0;-4), (1;-2), (1;2)
(-4;-1), (-2;1), (2;-1), (4;1)
(-11;-12), (-11;12), (11;-12), (11;12)
(-24;23), (-24;23), (24;-23), (24;23)
5) Решить уравнения в целых числах.
а)
(-1;0)
б)
(5;0)
в)
(2;-1)
г)
(2; -1)
Детская энциклопедия “Педагогика”, Москва, 1972 г.
Алгебра-8, Н.Я. Виленкин, ВО “Наука”, Новосибирск, 1992 г.
Конкурсные задачи, основанные на теории чисел. В.Я. Галкин, Д.Ю. Сычугов. МГУ, ВМК, Москва, 2005г.
Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов. Н.П. Косрыкина. “Просвещение”, Москва, 1991 г.
Алгебра 7, Макарычев Ю.Н., “Просвещение”.
Видео:Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать
Олимпиадные задания. Решение уравнений в целых числах методическая разработка по алгебре (9, 10, 11 класс) на тему
В данной работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах. Работа может быть использована при подготовке к олимпиадам, на кружковых и факультативных занятиях.
Видео:ЛИНЕЙНОЕ УРАНЕНИЕ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ — Как решать линейное уравнение // Алгебра 7 классСкачать
Видео:7 класс. Линейное уравнение с двумя переменными и его графикСкачать
Предварительный просмотр:
МБОУ «Высокогорская средняя общеобразовательная школа №2
Высокогорского муниципального района Республики Татарстан»
Решение уравнений в целых числах
Аксанова Ильсияр Исмагиловна
Учитель математики высшей категории
С. Высокая Гора – 2015 г.
Работа посвящена решению уравнений в целых числах. Актуальность этой темы обусловлена тем, что задачи, основанные на решении уравнений в целых числах, часто встречаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения и на олимпиадах по математике и на ЕГЭ в старших классах. В школьной программе эта тема рассматривается в ознакомительном порядке. В работе представлены различные способы решения уравнений в целых числах, разобраны конкретные примеры. Данная работа будет полезна учителям старших классов для подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.
Уравнения в целых числах – это алгебраические уравнения с двумя или более неизвестными переменными и целыми коэффициентами. Решениями такого уравнения являются все целочисленные наборы значений неизвестных переменных, удовлетворяющих этому уравнению. Такие уравнения ещё называют диофантовыми , в честь древнегреческого математика Диофанта Аксандрийского, который исследовал некоторые типы таких уравнений ещё до нашей эры.
Наиболее известное уравнение в целых числах – великая теорема Ферма: уравнение
не имеет ненулевых рациональных решений для всех натуральных n > 2.
При решении уравнений в целых и натуральных числах можно условно выделить следующие способы решения:
способ перебора вариантов;
применение алгоритма Евклида;
применение цепных дробей;
разложения на множители;
решение уравнений в целых числах как квадратных относительно какой-либо переменной;
метод остатков;
метод бесконечного спуска;
оценка выражений, входящих в уравнение.
В работе представлены два приложения: п риложение 1. Таблица остатков при делении степеней ( a n : m ); приложение 2. Задачи для самостоятельного решения
1. Способ перебора вариантов.
Пример 1.1. Найти множество всех пар натуральных чисел, которые являются решениями уравнения 49 х + 51 у = 602.
Решение. Выразим из уравнения переменную х через у х = , так как х и у – натуральные числа, то
х = 602 — 51 у ≥ 49, 51 у ≤553, 1≤ у ≤10 .
Полный перебор вариантов показывает, что натуральными решениями уравнения являются х =5, у =7.
2. Применение алгоритма Евклида. Теорема.
Дано уравнение ax+by=c , где a, b, c -целые числа, a и b не равны 0.
Теорема: Если c не делится нацело на НОД( a,b ), то уравнение не разрешимо в целых числах. Если НОД( a,b )=1или c делится на НОД( a,b ), то уравнение разрешимо в целых числах. Если (x 0 , y 0 )- какое-нибудь решение уравнения, то все решения уравнения задаются формулами:
y=y 0 +at , где t — принадлежит множеству целых чисел.
Пример 2.1. Решить уравнение в целых числах 5 х + 7 у = 19
Подберём сначала некоторое конкретное решение. В данном случае, это просто, например,
Тогда 5 x 0 + 7 y 0 = 19, откуда
5( х – x 0 ) + 7( у – y 0 ) = 0,
5( х – x 0 ) = –7( у – y 0 ).
Поскольку числа 5 и 7 взаимно простые, то
х – x 0 = 7 k , у – y 0 = –5 k.
Значит, общее решение:
х = 1 + 7 k , у = 2 – 5 k ,
где k – произвольное целое число.
Ответ: (1+7 k ; 2–5 k ), где k – целое число.
Пример 2.2. Решить уравнение 201 х – 1999 у = 12.
Найти некоторое конкретное решение подбором в данном случае достаточно сложно. Воспользуемся алгоритмом Евклида для чисел 1999 и 201:
Значит, пара (1273, 128) является решением уравнения 201 х – 1999 у = 1. Тогда пара чисел
x 0 = 1273·12 = 15276, y 0 = 128·12 = 1536
является решением уравнения 201 х – 1999 у = 12.
Общее решение этого уравнения запишется в виде
х = 15276 + 1999 k , у = 1536 + 201 k , где k – целое число,
или, используя, что 15276 = 1283 + 7·1999, 1536 = 129 + 7·201, имеем
х = 1283 + 1999 n , у = 129 + 201 n , где n – целое число.
Ответ: (1283+1999 n , 129+201 n ), где n – целое число.
3. Метод остатков.
Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число.
Замечание . Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений.
Рассмотрим примеры, которые раскрывают сущность данного метода.
Пример 3.1. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 3333333;
Так как x 3 и y 3 при делении на 9 могут давать только остатки 0, 1 и 8 (смотрите таблицу в приложении 1), то x 3 + y 3 может давать только остатки 0, 1, 2, 7 и 8. Но число 3333333 при делении на 9 даёт остаток 3. Поэтому исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
Пример 3.2. Решить уравнение в целых числах x 3 + y 3 = 4( x 2 y + xy 2 + 1).
Перепишем исходное уравнение в виде ( x + y ) 3 = 7( x 2 y + xy 2 ) + 4. Так как кубы целых чисел при делении на 7 дают остатки 0, 1 и 6, но не 4, то уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
Пример 3.3. Решить в целых числах уравнение x 2 + 1 = 3 y .
Решение. Заметим, что правая часть уравнения делится на 3 при любом целом y .
Исследуем какие остатки может иметь при делении на три левая часть этого уравнения.По теореме о делении с остатком целое число х либо делится на 3, либо при делении на три в остатке дает 1 или 2.
Если х = 3 k , то правая часть уравнения на 3 не делится.
Если х = 3 k+ 1, то x 2 + 1= (3 k+ 1) 2 +1=3 m +2, следовательно, опять левая часть на 3 не делится.
Если х = 3 k+ 2, то x 2 + 1= (3 k+ 2) 2 +1=3 m +2, следовательно, и в этом случае левая часть уравнения на три не делится.
Таким образом, мы получили, что ни при каких целых х левая часть уравнения на 3 не делится, при том, что левая часть уравнения делится на три при любых значениях переменной y . Следовательно, уравнение в целых числах решений не имеет.
Ответ: целочисленных решений нет.
Пример 3.4. Решить в целых числах x³ — 3y³ — 9z³ = 0 (1)
Решение. Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0).
Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение (1) к виду
x ³ = 3 y ³ + 9 z ³ (2)
Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая должна делиться на три, следовательно, так как 3 — число простое, х делится на 3, т.е. х = 3 k , подставим это выражение в уравнение (2), получим:
27 k 3 = 3 y ³ + 9 z ³, откуда
9 k 3 = y ³ + 3 z ³ (3)
следовательно, y ³ делится на 3 и y = 3 m . Подставим полученное выражение в уравнение (3): 9 k 3 = 27 m ³ + 3 z ³, откуда
3 k 3 = 9 m ³ + z ³ (4)
В свою очередь, из этого уравнения следует, что z 3 делится на 3, и z = 3 n . Подставив это выражение в (4), получим, что k 3 должно делиться на 3.
Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.
4. Решение уравнений в целых числах сведением их к квадратным.
Пример 4.1. Решить в простых числах уравнение
х 2 – 7 х – 144 = у 2 – 25 у .
Решим данное уравнение как квадратное относительно переменной у . Получим: у = х + 9 или у = 16 – х .
Поскольку при нечётном х число х + 9 является чётным, то единственной парой простых чисел, которая удовлетворяет первому равенству, является (2; 11).
Так как х, у – простые, то из равенства у = 16 – х , имеем
С помощью перебора вариантов находим остальные решения: (3; 13), (5; 11), (11; 5), (13; 3).
Пример 4.2 . Решить в целых числах уравнение x + y = x 2 – xy + y 2 .
Рассмотрим данное уравнение как квадратное уравнение относительно x :
x 2 – ( y + 1) x + y 2 – y = 0.
Дискриминант этого уравнения равен –3 y 2 + 6 y + 1. Он положителен лишь для следующих значений у : 0, 1, 2. Для каждого из этих значений из исходного уравнения получаем квадратное уравнение относительно х , которое легко решается.
Пример 4.3 . Решить уравнение в целых числах: 5 х 2 +5 у 2 +8 ху +2 у -2 х +2=0.
Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:
5 х 2 + (8 у — 2) х + 5 у 2 + 2 у + 2 = 0
D = (8 у — 2) 2 — 4·5(5 у 2 + 2 у + 2) = 64 у 2 — 32 у + 4 = -100 у 2 — 40 у – 40 = = -36( у 2 + 2 у + 1) = -36( у + 1) 2
Для того, чтобы уравнение имело решения, необходимо, чтобы D = 0.
-36( у + 1) 2 = 0. Это возможно при у = -1, тогда х = 1.
5. Разложение на множители .
Пример 5.1. Решить в целых числах уравнение x 2 – xy – 2 y 2 = 7.
Разложим левую часть на множители ( x – 2 y )( x + y ) = 7.
Так как х, у – целые числа, то находим решения исходного уравнения, как решения следующих четырёх систем:
1) x – 2 y = 7, x + y = 1;
2) x – 2 y = 1, x + y = 7;
3) x – 2 y = –7, x + y = –1;
4) x – 2 y = –1, x + y = –7.
Решив эти системы, получаем решения уравнения: (3; –2), (5; 2), (–3; 2) и (–5; –2).
Ответ: (3; –2), (5; 2), (–3; 2), (–5; –2).
Пример 5.2 . Решить уравнение в целых числах: х 2 + 23 = у 2
Решение. Перепишем уравнение в виде:
у 2 — х 2 = 23, ( у — х )( у + х ) = 23
Так как х и у – целые числа и 23 – простое число, то возможны случаи:
Решая полученные системы, находим:
Пример 5.3 . Решить уравнение в целых числах y 3 — x 3 = 91.
Решение. Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители:
( y — x )( y 2 + xy + x 2 ) = 91
Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91
Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число
y 2 + yx + x 2 ≥ y 2 — 2| y || x | + x 2 = (| y | — | x |) 2 ≥ 0,
следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение равносильно совокупности систем уравнений:
Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют.
Пример 5.4 . Решить в целых числах уравнение x + y = xy .
Решение. Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (–1)
x + y – xy – 1 = – 1
Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: ( x — 1)( y — 1) = 1
Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (–1). Записав соответствующие системы уравнений и, решив их, получим решение исходного уравнения.
Пример 5.5 . Доказать, что уравнение ( x — y ) 3 + ( y — z ) 3 + ( z — x ) 3 = 30 не имеет решений в целых числах.
Решение. Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение:
( x — y )( y — z )( z — x ) = 10
Делителями 10 являются числа ±1, ±2, ±5, ±10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах.
Ответ: целочисленных решений нет.
6. Метод бесконечного спуска.
Метод спуска предполагает сначала последовательное выражение одной переменой чрез другую, пока в представлении переменной не останется дробей, а затем, последовательное «восхождение» по цепочке равенств для получения общего решения уравнения.
Пример 6.1 . Решить уравнение в целых числах 5 x + 8 y = 39.
Выберем неизвестное, имеющее наименьший коэффициент , и выразим его через другое неизвестное: . Выделим целую часть: Очевидно, что х будет целым, если выражение окажется целым, что, в свою очередь, будет иметь место тогда, когда число 4 – 3 y без остатка делится на 5.
Введем дополнительную целочисленную переменную z следующим образом: 4 –3 y = 5 z . В результате получим уравнение такого же типа, как и первоначальное, но уже с меньшими коэффициентами. Решать его будем уже относительно переменной y , рассуждая аналогично: . Выделяя целую часть, получим:
Рассуждая аналогично предыдущему, вводим новую переменную
Выразим неизвестную с наименьшим коэффициентом, в этом случае переменную z : = . Требуя, чтобы было целым, получим: 1 – u = 2 v , откуда u = 1 – 2 v . Дробей больше нет, спуск закончен.
Теперь необходимо «подняться вверх». Выразим через переменную v сначала z , потом y и затем x :
z = = = 3 v – 1; = 3 – 5 v .
Формулы x = 3+8 v и y = 3 – 5 v , где v – произвольное целое число, представляют общее решение исходного уравнения в целых числах.
Ответ: x = 3+8 v и y = 3 – 5 v.
7. Оценка выражений, входящих в уравнение.
Пример 7.1. Решить в целых числах уравнение ( х 2 + 4)( у 2 + 1) = 8ху
Решение. Заметим, что если ( х ;у ) – решение уравнения, то (- х ;- у ) – тоже решение.
И так как х = 0 и у = 0 не являются решением уравнения, то, разделив обе части уравнения на ху, получим:
Пусть х > 0, у > 0, тогда, согласно неравенству Коши,
тогда их произведение ( х + )( у + ) = 4·2 = 8, значит, х + = 4 и у + = 2.
Отсюда находим х = 2 и у = 1 – решение, тогда х = -2 и у = -1 – тоже решение.
Пример 7.2 . Решить уравнение в целых числах
x 2 + 13 y 2 – 6 xy = 100
Решение . x 2 + 13 y 2 –6 xy= 100 ↔ ( x- 3 y ) 2 + 4 y 2 = 100 . Так как ( x- 3 y ) 2 ≥ 0 , то 4 y 2 ≤ 100 , или │ 2 y│≤ 10 . Аналогично, в силу 4 y 2 ≥ 0 должно выполняться │x- 3 y│≤ 10 .
(2)y = -2.5x+6
Z k
0
где (
; 
) – какое-либо решение уравнения (1), t 
Z, то 4y + 1= 4•3m + 1 = 12m + 1 не делится на 3.
где m 
, где n 
=> 
=> 
=> 
=> 
