Как записывается уравнение произвольной кривой (5 видео)

Уравнения прямых и кривых на плоскости с примерами решения

Содержание:

Содержание

Уравнения прямых и кривых на плоскости
Уравнение кривой и поверхности
Уравнения кривых.
🔍 Видео

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Уравнения прямых и кривых на плоскости

Уравнения кривых в большом количестве встречаются при чтении экономической литературы. Укажем некоторые из этих кривых.

Кривая безразличия — кривая, показывающая различные комбинации двух продуктов, имеющих одинаковое потребительское значение, или полезность, для потребителя.

Кривая потребительского бюджета — кривая, показывающая различные комбинации количеств двух товаров, которые потребитель может купить при данном уровне его денежного дохода.

Кривая производственных возможностей — кривая, показывающая различные комбинации двух товаров или услуг, которые могут быть произведены в условиях полной занятости и полного объема производства в экономике с постоянными запасами ресурсов и неизменной технологией.

Кривая инвестиционного спроса — кривая, показывающая динамику процентной ставки и объем инвестиций при разных процентных ставках.

Кривая Филлипса — кривая, показывающая существование устойчивой связи между уровнем безработицы и уровнем инфляции.

Кривая Лаффера — кривая, показывающая связь между ставками налогов и налоговыми поступлениями, выявляющая такую налоговую ставку, при которой налоговые поступления достигают максимума.

Уже простое перечисление терминов показывает, как важно для экономистов умение строить графики и анализировать уравнения кривых, каковыми являются прямые линии и кривые второго порядка — окружность, эллипс, гипербола, парабола. Кроме того, при решении большого класса задач требуется выделить на плоскости область, ограниченную какими-либо кривыми, уравнения которых заданы. Чаще всего эти задачи формулируются так: найти наилучший план производства при заданных ресурсах. Задание ресурсов имеет обычно вид неравенств, уравнения которых даны. Поэтому приходится искать наибольшее или наименьшее значения, принимаемые некоторой функцией в области, заданной уравнениями системы неравенств.

В аналитической геометрии линия на плоскости определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат. Прямая на плоскости может быть задана одним из уравнений:

1. Общее уравнение прямой:

Вектор ортогонален прямой, числа А и В одновременно не равны нулю.

2. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

где — угловой коэффициент прямой, то есть величина угла, образованного прямой с осью некоторая точка, принадлежащая прямой.

Уравнение (2.2) принимает вид есть точка пересечения прямой с осью

3. Уравнение прямой в отрезках:

где а и b — величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки —

5. Уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно данному вектору

6. Нормальное уравнение прямой:

где — радиус-вектор произвольной точки этой прямой, — единичный вектор, ортогональный этой прямой и направленный от начала координат к прямой; — расстояние от начала координат до прямой.

Нормальное уравнение прямой в координатной форме имеет вид:

где величина угла, образованного прямой с осью Ох.

Уравнение пучка прямых с центром в точке имеет вид:

где — параметр пучка. Если пучок задается двумя пересекающимися прямыми то его уравнение имеет вид:

где — параметры пучка, не обращающиеся в 0 одновременно.

Величина угла между прямыми задается формулой:

Равенство есть необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых.

Для того, чтобы два уравнения

задавали одну и ту же прямую, необходимо и достаточно, чтобы их коэффициенты были пропорциональны:

Уравнения (2.7), (2.8) задают две различные параллельные прямые, если и прямые пересекаются, если Расстояние d от точки до прямой есть длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой. Если прямая задана нормальным уравнением, то — радиус-вектор точки или, в координатной форме,

Общее уравнение кривой второго порядка имеет вид:

Предполагается, что среди коэффициентов уравнения есть отличные от нуля.

Уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным R: Эллипсом называется геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а. Каноническое (простейшее) уравнение эллипса:

Эллипс, заданный уравнением (2.10), симметричен относительно осей координат.

Параметры а и b называются полуосями эллипса.

Пусть тогда фокусы и находятся на оси Ох на расстоянии от начала координат. Отношение называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояния от точки эллипса до его фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Если же то фокусы находятся на оси

Если а=b, то эллипс является окружностью с центром в начале координат радиуса а.

Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных точек (фокусов) равна по абсолютной величине данному числу 2а.

Каноническое уравнение гиперболы:

Гипербола, заданная уравнением (2.11), симметрична относительно осей координат. Она пересекает ось в точках — вершинах гиперболы и не пересекает ось Параметр а называется вещественной полуосью, b — мнимой полуосью. Параметр есть, расстояние от фокуса до начала координат. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые, уравнения которых называются асимптотами гиперболы.

Расстояния от точки гиперболы до ее фокусов (фокальные радиусы-векторы) определяются формулами:

Гипербола, у которой а=b, называется равносторонней, ее уравнение а уравнение асимптот

Гиперболы называются сопряженными. Параболой называется геометрическое место точек, одинаково удаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Каноническое уравнение параболы имеет два вида:

1. — парабола симметрична относительно оси Ох. 2. — парабола симметрична относительно оси Оy. В обоих случаях и вершина параболы, то есть точка, лежащая на оси симметрии, находится в начале координат.

Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки Парабола, уравнение которой имеет фокус и директрису фокальный радиус-вектор точки параболы равен

Уравнение задает линию, разбивающую плоскость на две или несколько частей. В одних из этих частей выполняется неравенство а в других — неравенство Иными словами, линия отделяет часть плоскости, где от части плоскости, где

Прямая, уравнение которой разбивает плоскость на две полуплоскости. На практике для выяснения того, в какой полуплоскости мы имеем а в какой применяют метод контрольных точек. Для этого берут контрольную точку (разумеется, не лежащую на прямой, уравнение которой ) и проверяют, какой знак имеет в этой точке выражение Тот же знак имеет указанное выражение и во всей полуплоскости, где лежит контрольная точка. Во второй полуплоскости имеет противоположный знак.

Точно так же решаются и нелинейные неравенства с двумя неизвестными.

Например, решим неравенство Его можно переписать в виде

Уравнение задает окружность с центром в точке С(2,-3) и радиусом 5. Окружность разбивает плоскость на две части — внутреннюю и внешнюю. Чтобы узнать, в какой из них имеет место данное неравенство, возьмем контрольную точку во внутренней области, например, центр С(2,-3) нашей окружности. Подставляя координаты точки С в левую часть неравенства, получаем отрицательное число -25. Значит, и во всех точках, лежащих внутри окружности, выполняется неравенство Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Пример:

Составьте уравнения прямых, проходящих через точку А(3,1) и наклоненных к прямой под углом 45°.

Решение:

Будем искать уравнение прямой в виде Поскольку прямая проходит через точку А, то ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, т.е.

Величина угла между прямыми определяется формулой Так как угловой коэффициент исходной прямой равен то имеем уравнение для определения

Имеем два значения Находя соответствующие значения b по формуле получим две искомые прямые, уравнения которых:

Пример:

При каком значении параметра t прямые, уравнения которых параллельны ?

Решение:

Прямые, заданные общими уравнениями, параллельны, если коэффициенты при x и y пропорциональны, т.е. Решая полученное уравнение, находим t:

Пример:

Найти уравнение общей хорды двух окружностей: и

Решение:

Найдем точки пересечения окружностей, для этого решим систему уравнений: Решая первое уравнение, находим значения Из второго уравнения -соответствующие значения Теперь получим уравнение общей хорды, зная две точки А(3,1) и В(1,3), принадлежащие этой прямой:

Пример:

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям

Решение:

Первое неравенство системы определяет внутренность круга, не включая границу, т.е. окружность с центром в точке (3,3) и радиуса Второе неравенство задает полуплоскость, определяемую прямой, уравнение которой х = у, причем, так как неравенство строгое, точки самой прямой не принадлежат полуплоскости, а все точки ниже этой прямой принадлежат полуплоскости. Поскольку мы ищем точки, удовлетворяющие обоим неравенствам, то искомая область — внутренность полукруга.

Пример:

Вычислить длину стороны квадрата, вписанного в эллипс, уравнение которого

Решение:

Пусть — вершина квадрата, лежащая в первой четверти. Тогда сторона квадрата будет равна 2с. Т.к. точка М принадлежит эллипсу, ее координаты удовлетворяют уравнению эллипса откуда значит, сторона квадрата —

Пример:

Зная уравнение асимптот гиперболы и одну из ее точек составить уравнение гиперболы.

Решение:

Запишем каноническое уравнение гиперболы: Асимптоты гиперболы задаются уравнениями значит, откуда Поскольку М — точка гиперболы, то ее координаты удовлетворяют уравнению гиперболы, т.е. Учитывая, что а=2b , найдем b: Тогда уравнение гиперболы

Пример:

Вычислить длину стороны правильного треугольника АВС, вписанного в параболу с параметром р, предполагая, что точка А совпадает с вершиной параболы.

Решение:

Каноническое уравнение параболы с параметром р имеет вид вершина ее совпадает с началом координат, и парабола симметрична относительно оси абсцисс. Так как прямая АВ образует с осью Оx угол в 30°, то уравнение прямой имеет вид: Следовательно, мы можем найти координаты точки В, решая систему уравнений откуда Значит, расстояние между точками

Рекомендую подробно изучить предметы:

Математика
Алгебра
Линейная алгебра
Векторная алгебра
Высшая математика
Дискретная математика
Математический анализ
Математическая логика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

Плоскость и прямая в пространстве
Определитель матрицы
Критерий совместности Кронекера-Капелли
Формулы Крамера
Производные тригонометрических функции
Производная сложной функции
Пределы в математике
Функции многих переменных

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Как написать уравнения касательной и нормали | МатематикаСкачать

Уравнение кривой и поверхности

Определение. Пусть g – некоторая кривая на плоскости, а j(x, y) – функция двух переменных. Говорим, что уравнение

есть уравнение кривой g в неявном виде, если координаты любой точки MÎ g удовлетворяют (1), и обратно, каждая

пара (x, y) чисел, удовлетворяющих (1), задает точку M(x, y) на кривой.

Подчеркнем, что при составлении уравнений следствие обязательно надо проверять в обе стороны.

Пример 1. Уравнение

задает на плоскости пару прямых (см.чертеж). Координаты любой точки A(x, y)Î l₁ удовлетворяют (*), но нельзя

сказать, что (*) есть уравнение l₁ , поскольку есть еще точки, координаты которых удовлетворяют (*), но на l₁ эти точки не лежат.

С другой стороны, каждая точка, координаты которой удовлетворяют уравнению

x – 2 = 0, (**)

лежит на фигуре l₁U l₂ , но нельзя сказать что (**) задает эту фигуру, поскольку есть еще точки на l₁U l₂, координаты которых (**) не удовлетворяют.

Пример 2. Составим уравнение окружности g радиуса R с центром в точке O¢(a, b). Пусть M(x, y) – произвольная точка окружности g . Тогда

Обратно, если координаты точки M(x, y) удовлетворяют (2), то ½O¢M½= R, а значит, MÎg. Таким образом (2) и есть уравнение нашей окружности.

Если из уравнения (1) удается выразить одну координату через другую, то получим уравнение в явном виде:

Не всегда удается привести неявное уравнение кривой к явному виду. В каком случае это возможно гласит теорема о неявной функции, изучаемая в курсе математического анализа. Например, с уравнением окружности это сделать нельзя.

Предположим, что точка движется по кривой. Тогда ее координаты изменяются со временем:

x = j( t ),

При этом параметр t изменяется в определенных пределах: tÎI, где I – интервал числовой прямой. Говорим, что (4) есть параметрические уравнения кривой g, если точка M(x, y) лежит на кривой g тогда и только тогда, когда найдется такое tÎI, что будут выполнены оба равенства (4) одновременно. При этом, обязательно к системе (4) надо добавлять интервал изменения параметра. Физический смысл параметра в (4) не всегда время.

Пример 2. Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат имеют вид:

x = R·cos a ,

y = R·cos a , aÎR .

Не важно, что для одной и той же точки

может найтись несколько (или даже

бесконечно много) соответствующих ей

значений параметра. Это не запрещается.

Пример 3.Уравнения

x = t 2 ,

задают полукубическую параболу. Уравнения

x = e 2 t ,

тоже задают полукубическую параболу, но не всю, а только ее верхнюю половину. Для точки M, лежащей ниже оси, Ox не найдется такого t, для которого выполнено (***).

Определение. Пусть F – некоторая поверхность в пространстве, а F(x, y, z) – функция от трех переменных. Говорим, что

есть уравнение поверхности F в неявном виде, если координаты любой точки MÎF удовлетворяют (6), и обратно, каждая пара (x, y) чисел, удовлетворяющих (6), задает точку M(x, y, z) на поверхности.

Так же, как и для кривой, при составлении уравнения поверхности, необходимо проверять следствие в обе стороны.

Упражнение. Самостоятельно докажите, что сфера радиуса R с центром в точке O¢(a, b, с) задается уравнением

Если из уравнения (6) удается выразить одну переменную через две другие, то получим уравнение поверхности в явном виде: z = f (x, y). Вопрос, когда это возможно сделать, изучается в курсе математического анализа. Уравнение сферы невозможно переписать в явном виде.

Кривая в пространстве одним уравнением, как правило, не задается. Бывают исключительные случаи, типа уравнения x 2 + y 2 = 0, которое задает прямую – ось Oz. Кривая в пространстве обычно задается системой из двух уравнений

F₁(x, y, z) = 0,

Каждое из уравнений в отдельности задает поверхность. Если координаты

точки удовлетворяют системе, то она лежит на двух поверхностях одновременно, т.е. MÎF₁IF₂. Таким образом, система (8) задает линию пересечения двух поверхностей (хотя заметим, что не всегда это пересечение будет кривой). Аналогично, если мы хотим найти точки пересечения любых двух множеств, заданных своими уравнениями, мы должны объединить данные уравнения в одну систему.

Пример 4. Система уравнений

x 2 + y 2 + z 2 = R 2 .

задает окружность в плоскости Oxy. Первое уравнение системы задает сферу с центром в начале координат, а второе – плоскость Oxy. Их пересечение есть окружность g. Если подставить z = 0 в первое уравнение, то получим

Казалось бы, можно сказать, что это и есть уравнение окружности g. Но это не так. Уравнение (**** )

задает цилиндрическую поверхность (см. параграф «цилиндрические и конические поверхности»). Подставляя z = 0 в первое уравнение системы, нельзя отбрасывать при этом само уравнение z = 0.

Также кривая в пространстве может быть задана параметрическими уравнениями вида

x = j( t ),

где I – интервал числовой прямой. С параметрическими уравнениями поверхности мы встретимся в разделе «Дифференциальная геометрия».

Обозначим – радиус-вектор произвольной точки M(x, y, z) на кривой, т.е. вектор с координатами, составленными из неизвестных (x, y, z), а – вектор с координатами (j( t ), y( t ), s( t )). Тогда параметрические уравнения кривой можно переписать в виде одного векторного уравнения

Видео:§31.1 Приведение уравнения кривой к каноническому видуСкачать

Уравнения кривых.

В аналитической геометрии всякому уравнению вида F(x; у) = 0 может соответствовать некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением.

Под F(x; у) = 0 понимаем многочлен степени n; степень многочлена n – порядок линии.

Значит, кривая первого порядка, в декартовой системе координат, описывается алгебраическим уравнением первого порядка ax + by + c = 0, где хотя бы один из коэффициентов a или b отличен от нуля. Это уравнение называют также линейным уравнением. А само выражение, типа ax+by+c=0 и a 2 +b 2 ≠ 0, принято обозначать как общее уравнение прямой.

Следовательно, любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая.

Общее уравнение кривой второго порядка в декартовых координатах имеет вид:

причем, в зависимости от значения произведение аb получаем:

— эллипс, частный случай — окружность ( когда ab > 0);