Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Содержание
  1. График линейной функции, его свойства и формулы
  2. Понятие функции
  3. Понятие линейной функции
  4. Свойства линейной функции
  5. Построение линейной функции
  6. Решение задач на линейную функцию
  7. Алгоритм определения формулы линейной функции по графику
  8. Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна
  9. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  10. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  11. Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС
  12. Дистанционные курсы для педагогов
  13. Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
  14. Материал подходит для УМК
  15. Другие материалы
  16. Вам будут интересны эти курсы:
  17. Оставьте свой комментарий
  18. Автор материала
  19. Дистанционные курсы для педагогов
  20. Подарочные сертификаты
  21. Как составить уравнение касательной к графику функции
  22. Как составлять уравнение касательной в заданной точке
  23. Алгоритм написания уравнения
  24. Задачи на написание уравнения касательной
  25. Видео
  26. Видео

Видео:Формула линейной функции по ее графикуСкачать

Формула линейной функции  по ее графику

График линейной функции, его свойства и формулы

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

О чем эта статья:

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является независимой переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, следуя которому по значениям независимой переменной можно найти соответствующие значения функции. Вот какими способами ее можно задать:

Табличный способ помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.

Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.

Словесный способ.

Графический способ — наглядно. Его мы и разберем в этой статье.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Видео:Как запомнить графики функцийСкачать

Как запомнить графики функций

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

если х = 0, то у = -2;

если х = 2, то у = -1;

если х = 4, то у = 0 и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х024
y-2-10

Графиком линейной функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

k и b — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты k и b.

ФункцияКоэффициент kКоэффициент b
y = 2x + 8k = 2b = 8
y = −x + 3k = −1b = 3
y = 1/8x − 1k = 1/8b = −1
y = 0,2xk = 0,2b = 0

Может показаться, что в функции y = 0,2x нет числового коэффициента b, но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа y = kx + b есть коэффициенты k и b.

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Свойства линейной функции

Область определения функции — множество всех действительных чисел.

Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.

График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.

Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.

Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:

b ≠ 0, k = 0, значит, y = b — четная;

b = 0, k ≠ 0, значит, y = kx — нечетная;

b ≠ 0, k ≠ 0, значит, y = kx + b — функция общего вида;

b = 0, k = 0, значит, y = 0— как четная, так и нечетная функция.

Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.

График функции пересекает оси координат:

ось абсцисс ОХ — в точке (−b/k; 0);

ось ординат OY — в точке (0; b).

x = −b/k — является нулем функции.

Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.

Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.

Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0 функция принимает отрицательные значения на промежутке (−∞; −b/k) и положительные значения на промежутке (−b/k; +∞).

При k 0, то этот угол острый, если k

Видео:Занятие 1. График линейной функции y=kx+bСкачать

Занятие 1. График линейной функции y=kx+b

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида у = kx + b, достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1/3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

если k > 0, то график наклонен вправо;

если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;

если b 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b

В задачах 7 класса можно встретить график уравнения х = а. Он представляет собой прямую линию, которая параллельна оси ОY все точки которой имеют абсциссу х = а.

Важно понимать, что уравнение х = а не является функцией, так как различным значениям аргумента соответствует одно и то же значение функции, что не соответствует определению функции.

Например, график уравнения х = 3:

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Условие параллельности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 параллелен графику функции y = k2x + b2, если k1 = k2.

Условие перпендикулярности двух прямых:

График функции y = k1x + b1 перпендикулярен графику функции y = k2x + b2, если k1k2 = −1 или k1 = −1/k2.

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.

Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).

С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = −b/k.

Координаты точки пересечения с осью OX: (−b/k; 0).

Видео:Построить график ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:Скачать

Построить график  ЛИНЕЙНОЙ функции и найти:

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.

Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.

Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:

Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10

Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).

Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.

Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.

Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.

Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

Ответ: уравнение прямой y = 3x — 2.

Видео:Все графики функций за 20 секундСкачать

Все графики функций за 20 секунд

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Рабочие листы и материалы для учителей и воспитателей

Более 2 500 дидактических материалов для школьного и домашнего обучения

Видео:Линейная функция и ее график. 7 класс.Скачать

Линейная функция и ее график. 7 класс.

Выполнила учительница математики МБОУ Башкирский лицей № 1 муниципального района Учалинский район Республики Башкортостан Хидиятова Залифа Даутовна

Алгоритм определения формулы линейной функции по графику»

На рисунке представлен график функции у = kx +b.
Записать формулу линейной функции, соответствующей данному графику.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

1) Так как ордината точки пересечения графика функции с осью Оy равна 1, следовательно, b=1.
Значит, у = kx+ 1

2) Выбираем на графике произвольную точку, например, А (2;2) и определяем её координаты: если x = 2, то у = 2. Подставим в нашу формулу вместо Х и У и получим уравнение относительно k.
2 = 2k+1
2k=1
k = 0.5
Записываем формулу линейной функции: у = 0,5х + 1.

Написать ФОРМУЛУ линейной функции У= КХ+В, график которой изображен на рисунке :

Это ВПР задание 8) это ответ:

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

ВНИМАНИЕ : задание на сегодня 16 апреля

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Внимание : вот эти следующие задания пока НЕ РЕШАТЬ.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 700 человек из 76 регионов

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 860 человек из 78 регионов

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Курс повышения квалификации

Педагогическая деятельность в контексте профессионального стандарта педагога и ФГОС

  • Сейчас обучается 47 человек из 21 региона

«Мотивация здорового образа жизни. Организация секций»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

  • Для всех учеников 1-11 классов
    и дошкольников
  • Интересные задания
    по 16 предметам

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

«Как закрыть гештальт: практики и упражнения»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Дистанционные курсы для педагогов

Самые массовые международные дистанционные

Школьные Инфоконкурсы 2022

33 конкурса для учеников 1–11 классов и дошкольников от проекта «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 846 257 материалов в базе

Материал подходит для УМК

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

16. Линейная функция и её график

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Другие материалы

  • 16.09.2020
  • 223
  • 11

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 31.03.2020
  • 1231
  • 33

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 16.03.2020
  • 243
  • 1

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 16.03.2020
  • 209
  • 1

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 08.03.2020
  • 299
  • 6

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 20.02.2020
  • 1377
  • 87

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 21.01.2020
  • 195
  • 0

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • 09.12.2019
  • 459
  • 18

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

«Учись, играя: эффективное обучение иностранным языкам дошкольников»

Свидетельство и скидка на обучение
каждому участнику

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

  • 30.09.2020 19448
  • DOCX 549.2 кбайт
  • 194 скачивания
  • Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Хидиятова Залифа Даутовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

  • На сайте: 5 лет и 5 месяцев
  • Подписчики: 0
  • Всего просмотров: 45103
  • Всего материалов: 37

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Алгебра 8 класс (Урок№14 - Функция y = k/x и её график.)Скачать

Алгебра 8 класс (Урок№14 - Функция y = k/x и её график.)

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Вузы РФ не будут повышать стоимость обучения на первом курсе

Время чтения: 1 минута

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Роспотребнадзор сообщил об опасности размещения вышек сотовой связи на территории школ

Время чтения: 1 минута

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Путин объявил 2022-2031 годы Десятилетием науки и технологий

Время чтения: 1 минута

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Минпросвещения рекомендует школьникам сдавать телефоны перед входом в школу

Время чтения: 1 минута

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

В России выросло число детей с ОВЗ, поступающих в колледжи

Время чтения: 1 минута

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Российские школьники начнут изучать историю с первого класса

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Графики функций. Алгебра, 7 классСкачать

Графики функций. Алгебра, 7 класс

Как составить уравнение касательной к графику функции

Задания, связанные с нахождением уравнения касательной, часто вызывают трудности у учеников старших классов. Подобные задачи встречаются и на ЕГЭ по математике. Они могут иметь различную формулировку. К примеру, школьникам предлагают определить тангенс угла наклона касательной или написать, чему будет равна производная в какой-либо конкретной точке. Для решения всех подобных заданий нужно придерживаться простой последовательности действий, которая будет подробно рассмотрена ниже.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Видео:Как легко составить уравнение параболы из графикаСкачать

Как легко составить уравнение параболы из графика

Как составлять уравнение касательной в заданной точке

При написании уравнения будем использовать следующие обозначения:

  • x0 — заданная в условии точка, принадлежащая функции, через которую проводится касательная;
  • f(x) — исходная функция;
  • f'(x) — производная от функции;
  • k — угловой коэффициент.

Перед написанием уравнения следует проверить существование функции в заданной точке касания, является ли она непрерывной и дифференцируемой в ней. Например, гипербола f(x) = 14 / (x + 11) прерывается в x = –11, а g(x) = |8x + 9|, хоть и является непрерывной на всей числовой прямой, в x = 0 не является дифференцируемой.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Алгоритм написания уравнения

После проверки можно приступать к нахождению уравнения. Разберем несложную задачу, в которой нужно найти касательную к f(x) = 3x³ – 6x² + 2x – 1 в x0 = 1. Для этого будем следовать данному алгоритму:

  1. Вычислим f(x0). Для этого просто подставим значение 1 в функцию: f(1) = 3·1³ – 6·1² + 2·1 – 1 = –2.
  2. Теперь необходимо записать производную: f'(x) = 9x² – 12x + 2.
  3. Подсчитаем значение производной в x0: f'(1) = 9·1² – 12·1 + 2 = –1.
  4. Необходимо подставить все найденные выше значения в общую формулу: y = f(x0) + f'(x0)(x – x0). После этого получаем: y = –2 + (–1)·(x – 1) = –x – 1.

В результате приобретает вид: y = –x – 1. Изобразим графики исходной функции и касательной в x0 = 1.

Рассмотрим уравнение более подробно. Как уже было сказано ранее, в общем виде оно имеет вид y = kx + b. В задачах, встречающихся на ЕГЭ, часто нужно рассчитать угловой коэффициент, тангенс угла наклона или же определить, чему будет равна производная в точке касания. Их роль выполняет k — коэффициент, находящийся перед x. Для полученного в примере уравнения k = –1.

Рассмотрим некоторые виды заданий, для решения которых необходимо уметь выписывать касательную к функции в конкретной точке.

Как записать функцию в виде уравнения по ее графику

Видео:Уравнение квадратичной функции по ее графику. Часть 1Скачать

Уравнение квадратичной функции по ее графику. Часть 1

Задачи на написание уравнения касательной

Различают несколько типов задач на уравнение касательной в определенной точке. Самый первый и простой тип уже был разобран при написании алгоритма решения подобных заданий. В них необходимо выписать уравнение или коэффициент k. Условием определяется исходная функция и точка касания.

Ко второму типу относятся задачи, в которых известно k, но неизвестно, где происходит касание. Как правило, в их формулировках указывается, что касательная будет проходить параллельна по отношению к оси абсцисс (тогда подразумеваем k = 0), или к какой-либо линейной функции (тогда угловой коэффициент касательной совпадает с коэффициентом k линейной функции). Рассмотрим, как нужно рассуждать, решая такие задания.

Записать уравнение касательной для параболы f(x) = 2x² – 3, если известно, что она будет параллельна y = –8x + 2.

  • Поскольку касательная параллельна заданной прямой, можно сделать вывод, что угол их наклона совпадает. Запишем, что k = f'(x0) = –8.
  • Возьмем от функции производную: f'(x) = 4x.
  • Определим точку касания. Для этого приравняем производную к числу k: 4x = –8. Решим уравнение и найдем x0 = –2.
  • Вычислим, чему будет равна функция в этой точке: f(–2) = 2·(–2)² – 3 = –11.
  • Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для записи уравнения. Подставим их в формулу для нахождения уравнения: y = –11 + (–8)(x – (–2)) = –8x – 27.

В третьем типе заданий в условии задается функция и точка, которая не принадлежит ее графику, но лежит на ее касательной.

Написать уравнение касательной к кубической функции g(x) = 2x³, если известно, что она проходит через точку Q(0;–0,5).

  • Поскольку точка принадлежит касательной, подставим ее координаты в общий вид уравнения: –0,5 = g(x0) + g'(x0)(– x0).
  • Запишем производную: g'(x) = 6x².
  • Очевидно, что g(x0) = 2·(x0)³, a g'(x0) = 6·(x0)². Подставим в общий вид: –0,5 = 2·.(x0)³ + 6·(x0)²(– x0). Решим уравнение, и из него определим абсциссу точки касания: x0 = 0,5.
  • Подсчитываем значение функции в точке: g(0,5) = 2·0,5³ = 0,25.
  • Вычисляем производную в точке касания: g'(0,5) = 6·0,5² =1,5.
  • В заключение записываем готовое уравнение, подставив в него рассчитанные данные: y = 0,25 + 1,5(x – 0,5) = 1,5x – 0,5.

Часто встречаются различные графические задачи, не требующие подробного решения. Пример такого задания приведен ниже.

Показан график функции, которая определена на участке [–7;7]. Необходимо выяснить, сколько точек существует на промежутке [–4;6], в которых касательная к изображенной функции будет параллельна y = –66.

Будем рассуждать так. Прямая y = –66 проходит параллельно оси абсцисс. Это значит, что ее угловой коэффициент, а также значение производной в точке, где произошло касание, и угол наклона касательной будут нулевыми. Это возможно лишь в точках экстремума. Подсчитать их количество не составит труда: 4 максимума и 3 минимума, т. е. 7 точек. Однако –5 не входит в промежуток, заданный условием. Поэтому окончательным ответом будет число 6.

Видео:Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.Скачать

Уравнение касательной в точке. Практическая часть. 1ч. 10 класс.

Видео

Закрепить это тему вам поможет видео.

🔍 Видео

Как построить график линейной функции.Скачать

Как построить график линейной функции.

Как определить уравнение параболы по графику?Скачать

Как определить уравнение параболы по графику?

7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)Скачать

7 класс, 36 урок, Что означает в математике запись y = f(х)

Показательная функция. 11 класс.Скачать

Показательная функция. 11 класс.

Линейная Функция — как БЫСТРО построить график и получить 5-куСкачать

Линейная Функция — как БЫСТРО построить график и получить 5-ку

Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.Скачать

Логарифмическая функция, ее свойства и график. 11 класс.
Поделиться или сохранить к себе: