Как записать дробь в виде частного и решить уравнение

О чем эта статья:

5 класс, 6 класс, 7 класс

Видео:207 математика 6 класс. Запишите в виде дроби Частные. И выделите целую часть.Скачать

Понятие дроби

Прежде чем отвечать на вопрос, как найти десятичную дробь, разберемся в основных определениях, видах дробей и разницей между ними.

Дробь — это рациональное число, представленное в виде a/b, где a — числитель дроби, b — знаменатель. Есть два формата записи:

• обыкновенный вид — ½ или a/b,
• десятичный вид — 0,5.

Дробь — это одна из форм деления, записываемая с помощью дробной черты. Над чертой принято писать делимое (число, которое делим) — числитель. А под чертой всегда находится делитель (на сколько делим), его называют знаменателем. Черта между числителем и знаменателем означает деление.

Дроби бывают двух видов:

1. Числовые — состоят из чисел. Например, 2/7 или (1,8 − 0,3)/5.
2. Алгебраические — состоят из переменных. Например, (x + y)/(x − y). Значение дроби зависит от данных значений букв.

Дробь называют правильной, когда ее числитель меньше знаменателя. Например, 4/9 и 23/57.

Неправильная дробь — та, у которой числитель больше знаменателя или равен ему. Например, 13/5. Такое число называют смешанным — читается так: «две целых три пятых», а записывается — 2 3/5.

Видео:196 математика 6 класс. Запишите в виде частного Дроби.Скачать

Основные свойства дробей

Дробь не имеет значения, если делитель равен нулю.

Дробь равняется нулю в том случае, если числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.

Дроби a/b и c/d называют равными, если a × d = b × c.

Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь.

Действия с дробями можно выполнять те же, что и с обычными числами: складывать, вычитать, умножать и делить. Также, дроби можно сравнивать между собой и возводить в степень.

Видео:Деление и дроби. Запись частного в виде дробиСкачать

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача — найти неизвестные числа так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство. Давайте на примере:

• Возьмем выражение 4 + 5 = 9. Это верное равенство, потому что 4+5 действительно 9. Если бы вместо 9 стояло любое другое число — мы бы сказали, что числовое равенство неверное.
• Уравнением можно назвать выражение 4 + x = 9, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое уравнивает выражения справа и слева, когда мы подставляем его на место неизвестной. В таком случае афоризм «зри в корень» — очень кстати при усердном решении уравнений.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Решить уравнение значит найти все его корни или убедиться, что корней нет.

Алгебраические уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные. Расскажем и про них.

Видео:Дроби и деление натуральных чисел. 5 классСкачать

Понятие дробного уравнения

Дробное уравнение — это уравнение с дробями. Да, вот так просто. Но это еще не все. Чаще всего неизвестная стоит в знаменателе. Например, вот так:

Такие уравнения еще называют дробно-рациональными. В них всегда есть хотя бы одна дробь с переменной в знаменателе.

Если вы видите в знаменателях числа, то это уравнения либо линейные, либо квадратные. Решать все равно нужно, поэтому идем дальше. Примеры:

На алгебре в 8 классе можно встретить такое понятие, как область допустимых значений — это множество значений переменной, при которых это уравнение имеет смысл. Его используют, чтобы проверить корни и убедиться, что решение правильное.

Мы уже знаем все важные термины, их определения и наконец подошли к самому главному — сейчас узнаем как решить дробное уравнение.

Видео:195 математика 6 класс. Запишите в виде дроби ЧастныеСкачать

Как решать уравнения с дробями

1. Метод пропорции

Чтобы решить уравнение методом пропорции, нужно привести дроби к общему знаменателю. А само правило звучит так: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних. Проверим, как это работает.

Итак, у нас есть линейное уравнение с дробями:

В левой части стоит одна дробь — оставим без преобразований. В правой части видим сумму, которую нужно упростить так, чтобы осталась одна дробь.

После того, как в левой и правой части осталась одна дробь, можно применить метод пропорции и перемножить крест-накрест числители и знаменатели.

2. Метод избавления от дробей

Возьмем то же самое уравнение, но попробуем решить его по-другому.

В уравнении есть две дроби, от которых мы очень хотим избавиться. Вот, как это сделать:

• подобрать число, которое можно разделить на каждый из знаменателей без остатка;
• умножить на это число каждый член уравнения.

Ищем самое маленькое число, которое делится на 5 и 9 и без остатка — 45 как раз подходит. Умножаем каждый член уравнения на 45 и избавляемся от знаменателей. Вуаля!

Вот так просто мы получили тот же ответ, что и в прошлый раз.

Что еще важно учитывать при решении

• если значение переменной обращает знаменатель в 0, значит это неверное значение;
• делить и умножать уравнение на 0 нельзя.

Универсальный алгоритм решения

Определить область допустимых значений.

Найти общий знаменатель.

Умножить каждый член уравнения на общий знаменатель и сократить полученные дроби. Знаменатели при этом пропадут.

Раскрыть скобки, если нужно и привести подобные слагаемые.

Решить полученное уравнение.

Сравнить полученные корни с областью допустимых значений.

Записать ответ, который прошел проверку.

Курсы по математике от Skysmart помогут закрепить материал и разобраться в сложных темах.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Примеры решения дробных уравнений

Чтобы стать успешным в любом деле, нужно чаще практиковаться. Мы уже знаем, как решаются дробные уравнения — давайте перейдем к решению задачек.

Пример 1. Решить дробное уравнение: 1/x + 2 = 5.

1. Вспомним правило х ≠ 0. Это значит, что область допустимых значений: х — любое число, кроме нуля.
2. Отсчитываем справа налево в числителе дробной части три знака и ставим запятую.
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Решим обычное уравнение.

Пример 2. Найти корень уравнения

1. Область допустимых значений: х ≠ −2.
2. Умножим обе части уравнения на выражение, которое сократит оба знаменателя: 2(х+2)
3. Избавимся от знаменателя. Умножим каждый член уравнения на х.

Переведем новый множитель в числитель..

Сократим левую часть на (х+2), а правую на 2.

Пример 3. Решить дробное уравнение:

Найти общий знаменатель:

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель. Сократим. Получилось:

Выполним возможные преобразования. Получилось квадратное уравнение:

Решим полученное квадратное уравнение:

Получили два возможных корня:

Если x = −3, то знаменатель равен нулю:

Если x = 3 — знаменатель тоже равен нулю.

Видео:Уравнение. 5 класс.Скачать

Урок 37 Бесплатно Деление и дроби

Сегодня на уроке речь пойдет о хорошо уже известной вам арифметической операции деления.

Вы уже имеете общее представление о делении натуральных чисел, знаете, как называются компоненты данной математической операции, и по каким правилам находится каждое из них.

До сих пор при решении различных задач на деление мы находили частое чисел, где делимое было большее делителя.

Давайте попробуем разобраться, возможно ли выполнять деление меньшего натурального числа на большее, выясним, что в таком случае будет получаться, и как данное действие правильно записывать.

Разберем решение уравнений, содержащих дроби.

Рассмотрим решение текстовых задач с использованием обыкновенных дробей.

Видео:5 класс.Математика. Обыкновенная дробь.Чтение.Запись частного в виде дроби и дроби в виде частного.Скачать

Запись деления натуральных чисел в виде дробного числа

В жизни нам часто приходится что-то делить или чем-то делиться.

Например, в детском саду дети нередко делят игрушки; чтобы пицца или праздничный торт достались каждому гостю, мы делим его на кусочки; с друзьями мы всегда рады поделиться яблоком, мороженным, конфетами, шоколадкой и др.

Так, если нам придется поделить два яблока на двоих, то это для нас не составит большого труда.

Каждому, в таком случае, достанется по одному яблоку.

Математически данное действие запишем в виде равенства: 2 ÷ 2 = 1.

Рассмотрим ситуацию посложней.

Допустим у нас есть две груши и их нужно разделить между четырьмя друзьями.

Как же нам угостить каждого и не обидеть никого?

На первый взгляд это кажется невозможным (число 2 не делится нацело на 4).

Однако выход есть, разрежем первую и вторую грушу на четверти (т.е. каждую грушу разрежем на четыре равные части).

В итоге у нас получится 8 равных частей- 8 долей груши.

Каждая из этих частей- это (mathbf<frac>) часть груши.

Всем четырем желающим попробовать фрукт достанется по (mathbf<frac>) от каждой груши.

Таким образом каждый из друзей получит по две доли груши, т.е.(mathbf<frac + frac>).

Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:

В итоге каждый друг получит(mathbf<frac>) груши.

Дробь (mathbf<frac>) образовалась при делении двух (яблок) на четыре (части).

В результате, никого не обидев, нам удалось разделить две груши на четверых желающих их попробовать.

Рассмотрим еще одну, казалось бы, неразрешимую ситуацию.

Разделим поровну две одинаковые плитки шоколада на троих друзей.

Как же это осуществить?

Шоколадных плиток две, а друзей трое (число 2 нацело не разделить на 3).

Давайте разломим каждую плитку шоколада на 3 равные части.

В результате у нас получится 6 равных частей- 6 долей шоколада.

Каждая такая доля шоколадной плитки представляет собой (mathbf<frac>) плитки.

Угостим каждого друга (mathbf<frac>) части от каждой шоколадной плитки.

В таком случае каждому из друзей достанется по две доли шоколадной плитки, т.е.(mathbf<frac + frac>).

Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, получим:

В итоге каждый друг получит(mathbf<frac>) шоколадной плитки.

Дробь (mathbf<frac>) образовалась при делении двух (шоколадных плиток) на три (части).

Так мы смогли, никого не обидев, разделить две шоколадные плитки на троих желающих попробовать шоколад.

Обобщая рассмотренные выше примеры, мы можем заметить, что обыкновенная дробь (mathbf<frac>) представляет собой математическую операцию деления m объектов на n частей.

Мы получили прямую связь между обыкновенной дробью и арифметической операцией деления.

С помощью обыкновенной дроби можно записать частное двух любых натуральных чисел.

Дробную черту (горизонтальную или наклонную), которая отделяет числитель от знаменателя, применяют как знак деления.

Знак деления и дробная черта представляет одно и тоже арифметическое действие- деление, т.е. m ÷ n и (mathbf<frac>) одно и то же.

Следовательно,m ÷ n и (mathbf<frac>) равны.

Результат деления двух натуральных чисел может быть натуральным числом или дробным числом.

• Если деление выполняется нацело, то частное является натуральным числом.

Пример №1.

Пример №2.

Любое натуральное число можно представить в виде неправильной дроби, в которой числитель любое натуральное число, а знаменатель равен единице.

• Если числитель не делится на знаменатель, то частное является дробным числом.

Пример №1.

Пример №2.

Четыре яблока разделили на восьмерых человек.

Сколько яблок достанется каждому?

Общее количество яблок (четыре) разделим на количество частей (восемь).

Деление m объектов на n частей можно представить в виде обыкновенной дроби (mathbf<frac>).

В результате получаем: (mathbf<m div n = frac = frac>) (яблока) достанется каждому.

Нам известно, что одну и ту же обыкновенную дробь можно представить разными способами.

Разделить целое на восемь частей и взять четыре, будет тоже самое, что разделить это же целое на две части и взять одну.

Таким образом получаем (mathbf<frac = frac>).

Дробь (mathbf<frac>) означает по своей сути половину чего-либо, следовательно, каждому достанется по одной половинке яблока.

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Математика 5 класс (Урок№71 - Понятие смешанной дроби.)Скачать

Примеры решения текстовых задач и решения уравнений, содержащих обыкновенные дроби

Рассмотрим несколько примеров решение уравнений и текстовых задач на нахождение неизвестного компонента арифметической операции деления.

Каждый компонент математической операции деления имеет свое название.

Взаимосвязь компонентов арифметической операции деления нам хорошо известна.

В общем виде деление мы можем записать следующим образом:

Делимое- это число, которое делят.

Делитель- это число, на которое делят делимое.

Частное- результат арифметической операции деления (число, которое получается в результате деления одного числа на другое).

Частное двух чисел можно записать в виде обыкновенной дроби, где числитель- это делимое, знаменатель- это делитель, а знак деления- это дробная черта.

Часто, решая задачи и уравнения, приходится находить неизвестный компонент операции деления.

Вспомним, по каким правилам можно найти каждый компонент деления.

Применим данные знания при решении текстовых задач и решении уравнений, содержащих обыкновенные дроби.

Правила нахождения неизвестных компонентов операции деления едино для любой формы записи частного двух чисел.

1. Нахождение неизвестного частного, если известны делимое и делитель.

Частное- это результат, полученный при выполнении деления, очевидно, что частное находят с помощью данной арифметической операции.

Зная делимое и делитель, можно найти частное, для этого необходимо делимое разделить на делитель.

Двенадцать пирожных стоят 300 рублей.

Сколько стоит одно пирожное?

300 руб.- стоимость двенадцати пирожных (делимое).

12 шт.- общее количество пирожных (делитель).

Цена одного пирожного (частное)- ?

Чтобы найти частное, необходимо делимое разделить на делитель.

(mathbf<frac = 25>) (руб.) стоит одно пирожное.

Ответ: 25 (руб.)

2. Нахождение неизвестного делимого, если известны делитель и частное.

Правило: чтобы найти неизвестное делимое, необходимо частное умножить на делитель (или наоборот делитель умножить на частное).

Пример №1.

Решите уравнение (mathbf<frac = 80>).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.

Неизвестное х (числитель дроби)- делимое.

Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.

Так как числитель дроби- неизвестное делимое, следовательно, воспользуемся правилом нахождения неизвестного делимого.

Чтобы найти неизвестное делимое (х), необходимо частное (80) умножить на делитель (5).

х = 80 • 5

х = 400

Проверка: в исходное уравнение (mathbf<frac = 80>) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение х = 400.

400 ÷ 5 = 80

80 = 80

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 400.

Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делимого алгебраическим способом.

Взаимосвязь компонентов математических операций применяют для решения текстовых задач.

Решить задачу алгебраическим способом- значит найти ответ на требование задачи, путем составления уравнения.

При составлении уравнения учитывают соотношения и взаимосвязи между величинами, которые могут быть даны в условии задачи или вытекать из смысла этой задачи.

Пример №2.

Сыну восемь лет. Он младше своего отца в четыре раза.

Определите возраст отца.

Пусть х (лет) возраст отца.

Тогда (mathbf<frac>) (лет) возраст сына.

Зная, что сыну 8 лет, составим уравнение.

Решим полученное уравнение.

Выражение, стоящее в левой части уравнения- это частное двух чисел.

х— неизвестное делимое.

Найдем неизвестное делимое (х), для этого необходимо найти произведение частного (8) и делителя (4).

х = 8 • 4

х = 32 (года) возраст отца.

Ответ: х = 32 (года).

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби с любым натуральным знаменателем.

В таком случае числитель этой дроби будет равен произведению этого исходного натурального числа и знаменателя этой дроби.

Представим число 23 в виде дроби со знаменателем 7.

Искомая дробь должна быть со знаменателем равным 7, числитель этой дроби обозначим буквой х.

Найдем числитель дроби (mathbf<frac>).

Числитель (х) этой дроби будет равен произведению заданного натурального числа (23) и знаменателя (7) этой дроби.

х = 23 • 7

х = 161

Подставим найденное значение числителя дроби в искомую дробь со знаменателем 7, получим следующий результат:

Натуральное число 23 можно представить в виде дроби (mathbf<frac>).

3. Нахождение неизвестного делителя, если известны делимое и частное.

Правило: чтобы найти неизвестный делитель, необходимо делимое разделить на частное.

Пример №1.

Решите уравнение (mathbf<frac = 4>).

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным двух чисел.

Неизвестное х (знаменатель дроби)- это неизвестный делитель.

Найдем значение х, при котором уравнение обратится в верное равенство.

Так как знаменатель дроби- неизвестный делитель, то воспользуемся правилом нахождения неизвестного делителя.

Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (252) разделить на частное (4).

х = 252 ÷ 4

х = 63

Проверка: в исходное уравнение (mathbf<frac = 4>) вместо неизвестного х нужно подставить найденное значение х = 63.

252 ÷ 63 = 4

4 = 4

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 63.

Решим текстовую задачу на нахождение неизвестного делителя.

Пример №2.

96 шоколадных конфет разложили в подарочные коробки.

В каждую коробку положили одинаковое количество конфет, получили 12 коробок.

Сколько конфет положили в каждую коробку?

Пусть х (конф.) в одной коробке.

Тогда (mathbf<frac>) (кор.) с конфетами получилось.

Зная, что всего получили 12 коробок конфет, составим уравнение.

Решим полученное уравнение.

Левая часть уравнения представляет собой частное двух чисел.

Неизвестная х, стоящая в знаменателе дроби- это неизвестный делитель.

Чтобы найти неизвестный делитель (х), необходимо делимое (96) разделить на частное (12).

х = 96 ÷ 12

х = 8 (конф.) в одной коробке.

Так как в каждую коробку положили одинаковое количество конфет, то в каждой подарочной коробке окажется 8 шоколадных конфет.

Ответ: х = 8 (конф.)

У меня есть дополнительная информация к этой части урока!

Решая уравнения и задачи алгебраическим способом, составленное уравнение часто приходится преобразовывать, применяя для этого различные методы упрощения, правила и свойства математических операций.

Рассмотрим некоторые свойства деления.

Нам известно правило: при сложении обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями числители складывают, а знаменатель оставляют тот же.

Данное правило в буквенном виде выглядит так:

Так как дробная черта- это знак деления, то получим еще одно верное равенство, которое уже знакомо нам.

a ÷ n + b ÷ n = (a + b) ÷ n (если суммируемые частные имеют общий делитель, то можно его вынести за скобку.

Верно и обратное равенство- это свойство деления суммы чисел на число:

(a + b) ÷ n = a ÷ n + b ÷ n

Чтобы разделить сумму чисел на число, можно разделить каждое слагаемое на это число, а потом полученные частные сложить.

Подобная ситуация складывается при делении разности на число.

(a — b) ÷ c = (a ÷ c) — (b ÷ c)

Заменим знак деления на дробную черту, получим известное нам свойство вычитания дробей с одинаковым знаменателем записанное справа налево.

Пример №1.

Так как дробная черта- это знак деления, то (mathbf<frac = 30 div 10 = 3>).

Пример №2.

Решите уравнение (mathbf<frac + frac = 3>).

Первое и второе слагаемое имеют одинаковый знаменатель, следовательно, уравнение можно записать в виде:

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.

За неизвестное примем целое выражение х + 5.

х + 5— это неизвестное делимое.

Чтобы найти неизвестное делимое, необходимо найти произведение частного и делителя.

х + 5 = 3 • 5

х + 5 = 15

Получили простое уравнение с неизвестным слагаемым.

Чтобы найти неизвестное слагаемое (х), необходимо из суммы (15) вычесть известное слагаемое (5).

х = 15 — 5

х = 10

Проверка: подставим в исходное уравнение (mathbf<frac + frac = 3>) найденное значение неизвестной х = 10.

3 = 3

Полученное равенство верно, следовательно, корень уравнения найден верно.

Ответ: х = 10.

Пример №3.

Решим задачу алгебраическим способом.

Купили 4 мороженных на палочке и 4 мороженных в стаканчике, причем за четыре мороженных на палочке заплатили в 2 раза больше, чем за четыре мороженных в стаканчике.

Общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей.

Сколько стоит одно мороженное в стаканчике?

Сколько стоит одно мороженное на палочке?

Пусть х (руб.)- стоят 4 мороженных в стаканчике.

Тогда 2х (руб.)- стоят 4 мороженных на палочке.

(mathbf<frac>)- стоит одно мороженное в стаканчике.

(mathbf<frac>)- стоит одно мороженное на палочке.

Зная, что общая стоимость одного мороженного в стаканчике и одного мороженного на палочке составляет 120 рублей, составим уравнение.

Так как дроби имеют одинаковый знаменатель, уравнение запишем в виде:

Выражение, стоящее в левой части уравнения, является частным.

За неизвестное примем целое выражение х + 2х.

х + 2х (числитель дроби)- это неизвестное делимое.

Так как первое и второе слагаемое содержит одинаковую буквенную часть, то сложим их коэффициенты и умножим на буквенную часть.

х + 2х = (1 + 2) • х = 3х

Исходное уравнение примет вид:

В данном уравнении 3х— неизвестное делимое.

Чтобы найти неизвестное делимое (3х), необходимо частное (120) умножить на делитель (4).

3х = 120 • 4

3х = 480

Получили простое уравнение, в котором неизвестен множитель.

Чтобы найти неизвестный множитель, необходимо произведение разделить на известный множитель.

х = 480 ÷ 3

х = 160 (руб.) стоят четыре мороженных в стаканчике.

Известно, что одно мороженное в стаканчике стоит (mathbf<frac>)(руб.), подставим вместо х найденное его значение (х = 160).

(mathbf<frac = frac = 40>) (руб.) стоит одно мороженное в стаканчике.

Известно, что (mathbf<frac>) (руб.) стоит одно мороженное на палочке, подставим вместо х найденное его значение (х = 160).

(mathbf<frac = (2 cdot x) div 4 = (2 cdot 160) div 4 = 320 div 4 = 80>) (руб.) стоит одно мороженное на палочке.

Ответ: 40 (руб.), 80 (руб.)

Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации

Видео:Десятичная дробь. Чтение и запись. 5 класс.Скачать

Решение уравнений вида х : 6 = 18 – 5 и 48 : х = 92 : 46

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы рассмотрим решение уравнений с неизвестным делимым и неизвестным делителем. Повторим, что такое уравнение и что такое «решить уравнение». Вспомним компоненты деления и их связи между собой. Решим несколько уравнений на нахождение неизвестного делимого и нахождение неизвестного делителя.

📸 Видео

Решить уравнение с дробями - Математика - 6 классСкачать

Многоэтажные дроби. 6 класс.Скачать

Как представить частное в виде дроби. 5 клСкачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Сократить дробь. Пример 08.Скачать

Задание №5 "записать дроби в виде натуральных чисел" по теме "Дроби". Математика 5 классСкачать

Перевод бесконечной периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь. 6 класс.Скачать

как решать дробиСкачать

Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Представьте в виде дробиСкачать