Как выделить полные квадраты в уравнениях 2 порядка (6 видео)

Выделить полный квадрат онлайн

Задача выделения полного квадрата заключается в преобразовании квадратного многочлена следующим образом:

где и неизвестные параметры которые требуется определить.

Для определения неизвестных параметров и , преобразуем приведенное выше равенство следующим образом:

и далее, раскроем скобки:

Для того, чтобы приведённое выше равенство соблюдалось, приравняем коэффициенты при одинаковых степенях:

В полученной системе уравнений, первое уравнение обозначает верное тождество при любых значениях параметра , поэтому его можно исключить. Из второго уравнения выражаем параметр и подставляем полученное выражение в третье уравнение системы:

Упрощаем третье уравнение системы и выражением из него значение параметра :

Подставляем полученные значения и в самое первое уравнение и получаем формулу для выделения полного квадрата из квадратного многочлена:

Необходимость выделения полного квадрата часто возникает при решении задач интегрирования рациональных функций. Кроме того, выделив полный квадрат, можно получить формулу для решения квадратных уравнений.

Наш онлайн калькулятор выделяет полный квадрат для многочлена второй степени с описанием подробного хода решения на русском языке.

Содержание

Как выделить полные квадраты в уравнениях 2 порядка
§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена
∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними
Метод выделения полного квадрата
Формула корней полного квадратного уравнения
🎥 Видео

Видео:Математика - Выделение полного квадратаСкачать

Как выделить полные квадраты в уравнениях 2 порядка

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Выражения вида 2 x 2 + 3 x + 5 , `-4x^2+5x+7` носят название квадратного трёхчлена. В общем случае квадратным трёхчленом называют выражение вида a x 2 + b x + c , где a , b , c a, b, c – произвольные числа, причём a ≠ 0 .

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 — 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 — 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 — 2 · 2 · x + 2 2 = ( x — 2 ) 2 , поэтому

x 2 — 4 x + 5 = ( x — 2 ) 2 — 4 + 5 = ( x — 2 ) 2 + 1 .

Преобразование, которое мы сделали, носит название «выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена».

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 — 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 — 2 · 2 x · 3 + 3 2 — 3 2 + 5 = 2 x — 3 2 — 4 = ( 2 x — 3 ) 2 — 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x — 3 — 2 ) ( 2 x — 3 + 2 ) = ( 2 x — 5 ) ( 2 x — 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен — 9 x 2 + 12 x + 5 .

— 9 x 2 + 12 x + 5 = — 9 x 2 — 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , — 12 x = — 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 — 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

— 3 x 2 — 2 · 3 x · 2 + 2 2 — 2 2 + 5 = — 3 x — 2 2 — 4 + 5 = — 3 x — 2 2 + 4 + 5 = = — 3 x — 2 2 + 9 = 3 2 — 3 x — 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

— 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 — 3 x — 2 3 + ( 3 x — 2 ) = ( 5 — 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 — 14 x — 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 — x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена — 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: — 16 x 2 + 8 x + 6 = — 4 x 2 — 2 · 4 x · 1 + 1 — 1 + 6 = — 4 x — 1 2 — 1 + 6 = = — 4 x — 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 — 6 x + 9 = x — 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x — 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 — 1 — 15 = x + 1 2 — 16 = x + 1 2 — 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 — 4 ) = ( x + 5 ) ( x — 3 ) .

Данную дробь привели к виду `/(x-3)^2` после сокращения на ( x — 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 — 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y — 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 — y 2 — 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 — 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y — 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x — y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `/`.

Видео:Метод выделения полного квадрата. 8 класс.Скачать

∑ Некоторые алгебраические понятия — определения и работа с ними

Видео:Математика Без Ху!ни. Метод выделения полного квадрата.Скачать

Метод выделения полного квадрата

Итак, традиционно корни многочлена находят, разложив его на множители. Разложение на множители очень помогает в поиске корней, так как, если произведение равно нулю, то один из множителей равен 0. При разложении на множители помогает вынесение общего множителя за скобку (пожалуй, это первое, что следует делать при разложении на множители). Далее обычно происходит группировка (если нет общего множителя, или этого не достаточно). Это по аналогии можно назвать методом группировки: одночлены разделяются по группам, имеющим общий множитель. Далее в идеале появляется общий множитель у всего выражения, который можно вынести и продолжить разложение. Потом, используя формулы сокращённого умножения, можно закончить разложение.

Однако, есть ещё один приём, заслуживающий отдельного внимания, основанный на формулах квадрата суммы и разности. Метод выделения полного квадрата. Особенность этих формул в том, что в них есть квадраты двух выражений и их удвоенное произведение. Если найти что-то, отдалённо напоминающее квадрат суммы или разности, но без какой-то необходимой части, то её можно прибавить, а затем отнять, тем самым не меняя конечного значения выражения. Далее, свернув квадрат суммы/разности, обычно нужно применить ещё какую-то формулу (например, разности квадратов) или совершить какую-то последовательность действий, и многочлен разложится на множители.

Пример разложения на множители методом выделения полного квадрата: y 4 + 4 ⁢ x 4 = y 2 2 + 2 2 ⁢ x 2 2 + 2 × 2 ⁢ x 2 ⁢ y 2 — 2 × 2 ⁢ x 2 ⁢ y 2 = y 2 + 2 ⁢ x 2 2 — 4 ⁢ x 2 ⁢ y 2 = y 2 + 2 ⁢ x 2 — 2 ⁢ x ⁢ y ⁢ y 2 + 2 ⁢ x 2 + 2 ⁢ x ⁢ y
Метод выделения полного квадрата имеет много применений, связанных с квадратными уравнениями. Его можно применить к квадратному трёхчлену (общему виду квадратного уравнения). a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = a ⁢ x 2 + b a × x + c a = a ⁢ x 2 + b ⁢ 2 a ⁢ 2 ⁢ x + c a = a ⁢ x 2 + 2 ⁢ b 2 ⁢ a + c a ; метод выделения полного квадрата : a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = a ⁢ x 2 + 2 ⁢ b 2 ⁢ a + b 2 4 ⁢ a 2 — b 2 4 ⁢ a 2 + c a = a ⁢ x + b 2 ⁢ a 2 — b 2 4 ⁢ a 2 + c a = a ⁢ x + b 2 ⁢ a 2 — b 2 — 4 ⁢ a ⁢ c 4 ⁢ a
Великолепная иллюстрация к методу выделения полного квадрата из Wikimedia Commons О свойствах и некоторых полезных следствиях получившегося представления можно прочитать здесь. Это ещё одна удобная форма представления квадратичной функции.

Также метод выделения полного квадрата позволяет именно решать квадратные уравнения. Для этого есть хорошо определённый и вполне известный алгоритм (написан для a x ²+b x +c = 0).

Разделить каждую часть на a — старший коэффициент (при квадрате).
Вычесть из обеих частей свободный член c/a.
Добавить с обеих сторон квадрат половины среднего коэффициента b/a (при x).
Свернуть левую часть и упростить правую (если нужно).
Произвести два линейных уравнения, приравнивая квадратный корень левой части к положительному и отрицательному квадратному корню правой.
Решить получившуюся систему.

У многих квадратных уравнений есть более красивые и простые решения.

Пример нестандартного, но более интуитивного и быстрого решения:
x 2 + 14 ⁢ x + 45 = 0 x 2 + 14 ⁢ x + 45 + 4 — 4 = 0 x 2 + 14 ⁢ x + 49 — 4 = 0 x + 7 2 — 4 = 0 x + 7 2 — 2 2 = 0 x + 7 — 2 ⁢ x + 7 + 2 = 0 x + 5 ⁢ x + 9 = 0 x + 5 = 0 x + 9 = 0 x = — 5 x = — 9 Ответ: x ∈ -5 -9 .
Пример решения уравнения с использованием алгоритма: 4 ⁢ x 2 + 20 ⁢ x — 24 = 0 | × 1 4 x 2 + 5 ⁢ x — 6 = 0 | — — 6 x 2 + 5 ⁢ x = 6 | + 2.5 2 x 2 + 5 ⁢ x + 6.25 = 12.25 x + 2.5 2 = 12.25 x + 2.5 = 3.5 x + 2.5 = — 3.5 x = 1 x = — 6 Ответ: x ∈ 1 — 6 .

Видео:Полный квадрат. Где и когда он может пригодиться? | Математика TutorOnlineСкачать

Формула корней полного квадратного уравнения

Решение квадратных уравнений с разложением на множители — это достаточно хороший способ решения. Однако, он далеко не единственный. Корни квадратного уравнения также можно вычислять по формуле (используя их зависимость от дискриминанта и коэффициентов — подробнее о дискриминанте и зависимости), но данная формула также выводится, используя описанный выше метод выделения полного квадрата (хотя, как и везде, точное следование заданному алгоритму необязательно, и есть другие (возможно более удобные) пути выведения формулы).

Начнём, как водится, с записи квадратного уравнения общего вида: a x ²+b x +c = 0. А затем, можно проделать над уравнением ряд действий, основанных на алгоритме.

a ⁢ x 2 + b ⁢ x + c = 0 | × 1 a x 2 + b a ⁢ x + с a = 0 x + b 2 ⁢ a 2 = b 2 4 ⁢ a 2 — c a x + b 2 ⁢ a 2 = b 2 — 4 ⁢ a ⁢ c 4 ⁢ a 2
Выражение b² — 4ac называется дискриминантом квадратного уравнения (подробнее о дискриминанте можно прочитать по ссылке выше). Его можно обозначать D.
Получается. x + b 2 ⁢ a = D ⁡ 4 ⁢ a 2 x + b 2 ⁢ a = — D ⁡ 4 ⁢ a 2 Используя свойство квадратного корня из дроби, получаем конечную формулу корней квадратного уравнения. x 1 = — b + D ⁡ 2 ⁢ a x 2 = — b — D ⁡ 2 ⁢ a Это называется основной формулой корней квадратного уравнения. Далее следовало бы обсудить как по дискриминанту определить вид корней и т.д., но это тоже описано по ссылке выше.

Соответственно при решении квадратных уравнений по формуле целесообразно поступать по данному алгоритму.

Вычислить дискриминант.
Сравнить дискриминант с нулём.
Найти корни по формуле.
Если дискриминант меньше 0, то уравнение не имеет корней в поле действительных чисел &reals; .

fedor1113
К остальным темам