Как вычислить корень уравнения столбиком

Вы спросите для чего это нужно? В старших классах извлекать число из под корня нужно очень часто. Не всегда под рукой есть калькулятор, а этот способ позволяет извлекать корень из любого числа с любой точностью. Да и знаний много не бывает.

Значит, рассмотрим извлечение квадратного корня из целого числа. Для наглядности возьмем сначала пример с трехзначным числом, например, извлечем корень из числа 625.

Теперь для тренировки поробуем извлечь корень из числа с точностью до десятых. Для этого возьмем число 113.

Продолжая процесс, можно вычислить корень из любого числа с любой точностью.

Случай, если число дробное, приводится к нашему алгоритму умножением на 100 = 10 в квадрате, 10000 = 100 в квадрате и так далее. Например, перед использованием приведенного метода для извлечения числа 25,8 его нужно умножить на 100, а после извлечения результат поделить на 10.

Видео:Извлечение корня в столбик sqrt2Скачать

Кубические уравнения. Метод деления в столбик. Примеры *

Готовиться с нами — ЛЕГКО!

Видео:Решение уравнений в несколько действий. Как объяснить ребенку решение уравнений?Скачать

Эффективное решение существует!

Вы ищете теорию и формулы для ЕГЭ по математике ? Образовательный проект «Школково» предлагает вам заглянуть в раздел «Теоретическая справка». Здесь представлено пособие по подготовке к ЕГЭ по математике, которое фактически является авторским. Оно разработано в соответствии с программой школьного курса и включает такие разделы, как арифметика, алгебра, начала анализа и геометрия (планиметрия и стереометрия). Каждое теоретическое положение, содержащееся в пособии по подготовке к ЕГЭ по математике, сопровождается методически подобранными задачами с подробными разъяснениями.

Таким образом, вы не только приобретете определенные знания. Полный справочник для ЕГЭ по математике поможет вам научиться логически и нестандартно мыслить , выполнять самые разнообразные задачи и грамотно объяснять свои решения. А это уже половина успеха при сдаче единого государственного экзамена.

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Определение

Рассмотрим произвольное уравнение вида

[a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0=0 qquad qquad (1)]

где (a_n, a_,dots,a_0) – некоторые числа, причем (a_nne 0) , называемое алгебраическим уравнением (с одной переменной) (n) -ой степени.

Обозначим (P_n(x)=a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0) . Таким образом, сокращенно уравнение ((1)) можно записать в виде (P_n(x)=0) .

Замечание

Заметим, что квадратное уравнение — это алгебраическое уравнение, степень которого равна (2) , а линейное — степень которого равна (1) .
Таким образом, все свойства алгебраических уравнений верны и для квадратных уравнений, и для линейных.

Теорема

Если уравнение ((1)) имеет корень (x=x_0) , то оно равносильно уравнению

где (P_(x)) – некоторый многочлен степени (n-1) .

Для того, чтобы найти (P_(x)) , необходимо найти частное от деления многочлена (P_n(x)) на ((x-x_0))
(т.к. (P_n(x)=(x-x_0)cdot P_(x)) ).

Следствие: количество корней уравнения

Любое алгебраическое уравнение степени (n) может иметь не более (n) корней.

Замечание

В частности, квадратное уравнение действительно имеет всегда не более двух корней: два, один (или два совпадающих) или ни одного корня.

Для того, чтобы найти частное от деления одного многочлена на другой, удобно пользоваться следующим способом, который мы рассмотрим на примере.

Пример

Известно, что (x=2) является корнем уравнения (2x^3-9x^2+x^4-x+6=0) . Найдите частное от деления (2x^3-9x^2+x^4-x+6) на (x-2) .

Решение.
Будем делить многочлен на многочлен в столбик. Запишем

Заметим, что записывать слагаемые в делимом необходимо по убыванию их степеней: в данном случае сначала (x^4) , затем (2x^3) и т.д.
Подбирать слагаемые в частном будем таким образом, чтобы при вычитании уничтожить сначала четвертую степень, затем третью и т.д.
Т.к. делитель (x-2) состоит из двух слагаемых, то при делении в столбик будем сносить по два слагаемых.

Посмотрим, на что необходимо домножить (x-2) , чтобы после вычитания из (x^4+2x^3) полученного многочлена уничтожилось слагаемое (x^4,) .
На (x^3) . Тогда после вычитания (x^4+2x^3-x^3(x-2)) останется (4x^3) . Снесем слагаемое (-9x^2) :

Теперь посмотрим, на что необходимо домножить (x-2) , чтобы после вычитания из (4x^3-9x^2) полученного многочлена уничтожилось слагаемое (4x^3) .
На (4x^2) : (quad 4x^3-9x^2-4x^2(x-2)=-x^2) .
Опять снесем следующее слагаемое (-x) :

Рассуждая аналогично, определяем, что третье слагаемое в частном должно быть (-x)

Четвертое слагаемое в частном должно быть (-3) :

Таким образом, можно сказать, что (x^4+2x^3-9x^2-x+6=(x-2)(x^3+4x^2-x-3)) .

Замечание

1) Если (x=x_0) действительно является корнем уравнения, то после такого деления в остатке должен быть (0) . В противном случае это означает, что деление в столбик выполнено неверно.

2) Если многочлен делится без остатка (то есть остаток равен (0) ) на (x+a) , то он также будет делиться без остатка на (c(x+a)) для любого числа (cne 0) . Например, в нашем случае, если бы мы поделили многочлен, к примеру, на (2x-4) , то получили бы в частном (frac12 x^3+2x^2-frac12x-frac32) .
Заметим, что также происходит и с числами: если мы разделим (10) на (2) , то получим (5) ; а если разделим (10) на (3cdot 2) , то получим (frac53) .

3) Деление в столбик помогает найти другие корни уравнения: теперь для того, чтобы найти остальные корни уравнения (x^4+2x^3-9x^2-x+6=0) , необходимо найти корни уравнения (x^3+4x^2-x-3=0) .
Поэтому рассмотрим несколько фактов, часто помогающих подобрать корни алгебраического уравнения.

Теорема

Если число (x=1) является корнем уравнения ((1)) , то сумма всех коэффициентов уравнения равна нулю:

Доказательство

Действительно, так как (x=1) является корнем уравнения ((1)) , то после подстановки (x=1) в него мы получим верное равенство. Так как (1) в любой степени равен (1) , то слева мы действительно получим сумму коэффициентов (a_i) , которая будет равна нулю.

Пример

У уравнения (x^2-6x+5=0) сумма коэффициентов равна нулю: (1-6+5=0) . Следовательно, (x=1) является корнем этого уравнения. Это можно проверить просто подстановкой: (1^2-6cdot 1+5=0quadLeftrightarrowquad 0=0) .

Теорема

Если число (x=-1) является корнем уравнения ((1)) , то сумма коэффициентов при четных степенях (x) равна сумме коэффициентов при нечетных степенях (x) .

Доказательство

1) Пусть (n) – четное. Подставим (x=-1) :

(a_ncdot (-1)^n+a_cdot (-1)^+a_cdot (-1)^+dots+a_1cdot (-1)+a_0=0 quadRightarrow) (a_n-a_+a_-dots-a_1+a_0=0 quad Rightarrow) (a_n+a_+dots+a_0=a_+a_+dots+a_1)

2) Случай, когда (n) – нечетное, доказывается аналогично.

Пример

В уравнении (x^3+2x^2-8x+5=0) сумма коэффициентов равна нулю:

Значит, число (x=1) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик (x^3+2x^2-8x+5) на (x-1) :

[begin x^3+2x^2-8x+5&&negthickspaceunderline\ underline phantom&&negthickspace quad x^2 + 3x -5\[-3pt] 3x^2 — 8x,phantom&&\ underlinephantom&&\[-3pt] -5x + 5&&\ underline&&\[-3pt] 0&&\ end]

Таким образом, (x^3+2x^2-8x+5=(x-1)(x^2 + 3x -5)) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения (x^2+3x-5=0) .

Таким образом мы нашли все корни исходного уравнения.

Пример

В уравнении (x^3-x^2+x+3=0) сумма коэффициентов при четных степенях (-1+3=2) , а при нечетных: (1+1=2) . Таким образом, число (x=-1) является корнем данного уравнения.

Можно разделить в столбик (x^3-x^2+x+3) на (x+1) :

[begin x^3-,x^2+ x+3phantom&&negthickspaceunderline\ underline phantom&&negthickspace quad x^2 -2x +3\[-3pt] -2x^2 + xphantom&&\ underline,phantom&&\[-3pt] 3x + 3&&\ underline&&\[-3pt] 0&&\ end]

Таким образом, (x^3-x^2+x+3=(x+1)(x^2 — 2x +3)) . Значит, остальные корни исходного уравнения — это корни уравнения (x^2-2x+3=0) .
Но это уравнение не имеет корней ( (D ), значит, исходное уравнение имеет всего один корень (x=-1) .

Замечание

Подбор корней таким образом, деление в столбик и разложение многочлена на множители помогают найти корни уравнения.

Существует еще одна очень важная теорема, позволяющая подобрать рациональный корень алгебраического уравнения, если таковой имеется.

Теорема

Если алгебраическое уравнение

[a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0=0,] где (a_n, dots, a_0) — целые числа,
имеет рациональный корень (x=dfrac pq) , то число (p) является делителем свободного члена (a_0) , а число (q) — делителем старшего коэффициента (a_n) .

Пример

Рассмотрим уравнение (2x^4-5x^3-x^2-5x-3=0) .

В данном случае (a_0=-3, a_n=2) . Делители числа (-3) — это (pm 1, pm 3) . Делители числа (2) – это (pm 1, pm 2) . Комбинируя из полученных делителей дроби, получаем все возможные варианты рациональных корней:

[pm 1, pm dfrac12, pm 3, pmdfrac32]

По предыдущим теоремам можно быстро понять, что (pm1) не являются корнями. Подставив (x=-dfrac12) в уравнение, получим:

[2cdot dfrac1+5cdot dfrac18-dfrac 14+5cdot dfrac12-3=0 quad Leftrightarrow quad 0=0]

Значит, число (x=-frac12) является корнем уравнения.

Можно перебрать остальные варианты: таким образом мы найдем еще один рациональный корень уравнения (x=3) . Значит, уравнение можно представить в виде

[left(x+frac12right)(x-3)cdot Q_2(x)=0 quad textquad (2x+1)(x-3)cdot P_2(x)=0] (тогда (P_2(x)=frac12 Q_2(x)) ). Заметим, что второй вид записи уравнения более удобный, т.к. нам не придется при делении в столбик работать с дробями.

После деления в столбик (2x^4-5x^3-x^2-5x-3) на ((2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3) :

получим, что (P_2(x)=x^2+1) . Данный многочлен не имеет корней, значит, уравнение имеет только два корня: (x=-frac12) и (x=3) .

Замечание

Заметим, что если, пользуясь предыдущей схемой, не удалось подобрать рациональный корень уравнения, это вовсе не значит, что уравнение не имеет корней.
Например, уравнение (x^3-2=0) имеет корень — это (x=sqrt[3]2) , и он не рациональный.
Для подбора иррациональных корней не существует универсального алгоритма.

Пример

Найдите корни уравнения (4x^3-3x^2-frac6x-1=0) .

Заметим, что в данном уравнении не все коэффициенты – целые числа (коэффициент при (x) равен (-frac6) ). Но мы можем преобразовать данное уравнение к нужному нам виду: необходимо умножить правую и левую части уравнения на (6) :

[24x^3-18x^2-23x-6=0]
Делители свободного члена: (pm 1, pm 2, pm 3, pm 6) .
Делители старшего коэффициента: (pm 1, pm 2, pm 3, pm4, pm 6, pm 8, pm 12, pm 24) .
Получилось достаточно много (:))
Выпишем некоторые возможные рациональные корни уравнения:

[pm 1, pm dfrac12, pm dfrac13, pm dfrac 16, pmdfrac18, pm2, pmdfrac23, pm dfrac14, pm3quad text<small>]

Перебирая варианты, убеждаемся, что (frac32) подходит. Значит, многочлен (24x^3-18x^2-23x-6) должен без остатка поделиться на (x-frac32) . Для удобства разделим на (2(x-frac32)=2x-3) (чтобы не работать с дробями):

Таким образом, (24x^3-18x^2-23x-6=(2x-3)(12x^2 +9x +2)) . Уравнение (12x^2 +9x +2=0) в свою очередь корней не имеет. Значит, (x=frac32) – единственный корень исходного уравнения.

Теорема

Любой многочлен (P_n(x)=a_nx^n+a_x^+dots+a_1x+a_0) можно разложить на произведение множителей: линейных ( (ax+b, ane 0) ) и квадратичных ( (cx^2+px+q, cne 0) ) с отрицательным дискриминантом.

Следствие

Кубическое уравнение (Ax^3+Bx^2+Cx+D=0) всегда имеет как минимум один вещественный корень, т.к. его левую часть всегда можно представить как

Замечание

На самом деле, такой вывод можно сделать о любом алгебраическом уравнении нечетной степени. Но, как правило, в школьном курсе математики крайне редко встречаются уравнения степени выше (4) .

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, — на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Видео:#140. КАК ИЗВЛЕКАТЬ КОРНИ В СТОЛБИК? В ШКОЛЕ НЕ ПОКАЖУТ!Скачать

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

1. Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
2. Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Видео:Как разобраться в корнях ? Квадратный корень 8 класс | Математика TutorOnlineСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Урок 6 УРАВНЕНИЕ И ЕГО КОРНИ 7 КЛАСССкачать

Калькулятор онлайн.
Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

Видео:ЕГЭ по математике. Деление многочлена на двучленСкачать

Немного теории.

Видео:Математика 5 класс. Уравнение. Корень уравненияСкачать

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов ( f(x) ) и ( g(x) ), ( g(x) neq 0 ), существуют единственные полиномы ( q(x) ) и ( r(x) ), такие что
$$ frac = q(x)+frac $$
причем ( r(x) ) имеет более низкую степень, чем ( g(x) ).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного ( q(x) ) и остатка ( r(x) ) для заданных делимого ( f(x) ) и ненулевого делителя ( g(x) )

Видео:Как решают уравнения в России и СШАСкачать

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
$$ frac $$

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ( (x^3/x = x^2) )

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого ( (x^2 cdot (x-3) = x^3-3x^2) )

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой ( (x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) )

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

5. Повторяем шаг 4.

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен ( q(x)=x^2-9x-27 ) — частное деления многочленов, а ( r(x)=-123 ) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 )
или
$$ frac = x^2-9x-27 + frac $$

🌟 Видео

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Деление многочленов | Математика | TutorOnlineСкачать

Кубические уравнения. Деление столбиком. Схема Горнера.Скачать

КАК ИЗВЛЕЧЬ КОРЕНЬ В СТОЛБИК?Скачать

СЛОЖИТЕ ДВА КОРНЯСкачать

Схема Горнера. 10 класс.Скачать

Деление многочлена на многочленСкачать

Математика без Ху!ни. Деление многочлена на многочлен.Скачать

Как быстро извлечь корень из числаСкачать

Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Деление многочлена на многочлен. 10 класс.Скачать

Как умножать сложные числа? Лайфхак👌 #shortsСкачать