Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Законы Кирхгофа — формулы и примеры использования

Законы Кирхгофа устанавливают соотношения между токами и напряжениями в разветвленных электрических цепях произвольного типа. Законы Кирхгофа имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при постоянных и переменных напряжениях и токах.

Первый закон Кирхгофа вытекает из закона сохранения заряда. Он состоит в том, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле, равна нулю.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

где – число токов, сходящихся в данном узле. Например, для узла электрической цепи (рис. 1) уравнение по первому закону Кирхгофа можно записать в виде I1 — I2 + I3 — I4 + I5 = 0

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

В этом уравнении токи, направленные к узлу, приняты положительными.

Физически первый закон Кирхгофа – это закон непрерывности электрического тока.

Второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках замкнутого контура, произвольно выделенного в сложной разветвленной цепи, равна алгебраической сумме ЭДС в этом контуре

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

где k – число источников ЭДС; m – число ветвей в замкнутом контуре; Ii , Ri – ток и сопротивление i -й ветви.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Так, для замкнутого контура схемы (рис. 2 ) Е1 — Е2 + Е3 = I1R1 — I2R2 + I3R3 — I4R4

Замечание о знаках полученного уравнения:

1) ЭДС положительна, если ее направление совпадает с направлением произвольно выбранного обхода контура;

2) падение напряжения на резисторе положительно, если направление тока в нем совпадает с направлением обхода.

Физически второй закон Кирхгофа характеризует равновесие напряжений в любом контуре цепи.

Расчет разветвленной электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Метод законов Кирхгофа заключается в решении системы уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа.

Метод заключается в составлении уравнений по первому и второму законам Кирхгофа для узлов и контуров электрической цепи и решении этих уравнений с целью определения неизвестных токов в ветвях и по ним – напряжений. Поэтому число неизвестных равно числу ветвей b , следовательно, столько же независимых уравнений необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.

Число уравнений, которые можно составить на основании первого закона, равно числу узлов цепи, причем только ( y – 1) уравнений являются независимыми друг от друга.

Независимость уравнений обеспечивается выбором узлов. Узлы обычно выбирают так, чтобы каждый последующий узел отличался от смежных узлов хотя бы одной ветвью. Остальные уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. число уравнений b — (y — 1) = b — y +1 .

Контур называется независимым, если он содержит хотя бы одну ветвь, не входящую в другие контуры.

Составим систему уравнений Кирхгофа для электрической цепи (рис. 3 ). Схема содержит четыре узла и шесть ветвей.

Поэтому по первому закону Кирхгофа составим y — 1 = 4 — 1 = 3 уравнения, а по второму b — y + 1 = 6 — 4 + 1 = 3 , также три уравнения.

Произвольно выберем положительные направления токов во всех ветвях (рис. 4 ). Направление обхода контуров выбираем по часовой стрелке.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Составляем необходимое число уравнений по первому и второму законам Кирхгофа

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Полученная система уравнений решается относительно токов. Если при расчете ток в ветви получился с минусом, то его направление противоположно принятому направлению.

Рассмотрим контур abcda схемы, изображенной на рис. 4. В ветке ab между резистором R1 и ЭДС E1 обозначим дополнительную точку k.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Рис. 4. Контур для построения потенциальной диаграммы

Потенциал любого узла принимаем равным нулю (например, ?а= 0), выбираем обход контура и определяем потенциалы точек контура: ?а = 0, ?к = ?а — I1R1 , ? b = ? к + Е1, ?с = ? b — I2R2 , ? d = ?c — Е2, ? a = ?d + I3R3 = 0

При построении потенциальной диаграммы необходимо учитывать, что сопротивление ЭДС равно нулю (рис. 5 ).

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Рис. 5. Потенциальная диаграмма

Законы Кирхгофа в комплексной форме

Для цепей синусоидального тока законы Кирхгофа формулируются так же, как и для цепей постоянного тока, но только для комплексных значений токов и напряжений.

Первый закон Кирхгофа : «алгебраическая сумма комплексов тока в узле электрической цепи равна нулю»

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Второй закон Кирхгофа : «в любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма комплексных ЭДС равна алгебраической сумме комплексных напряжений на всех пассивных элементах этого контура».

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Если Вам понравилась эта статья, поделитесь ссылкой на неё в социальных сетях. Это сильно поможет развитию нашего сайта!

Не пропустите обновления, подпишитесь на наши соцсети:

Видео:Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы КирхгофаСкачать

Урок 4. Расчет цепей постоянного тока. Законы Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа

Если электрическая цепь с помощью эквивалентных преобразований не сводится к одноконтурной цепи, то для ее расчета используются специальные методы: уравнений Кирхгофа, контурных токов, наложения, узловых потенциалов, эквивалентного генератора. Рассмотрим их.

Самым общим методом расчета электрических цепей является метод уравнении Кирхгофа. Суть его заключается в составлении системы уравнений в соответствии с первым и вторым законами Кирхгофа и решении этой системы относительно неизвестных токов. Система уравнений разрешима, если все входящие в нее уравнения являются линейно независимыми и число уравнений в системе равно числу неизвестных величин. Например, если электрическая цепь имеет у узлов и Ь ветвей, а следовательно, и Ь неизвестных токов, то необходимо составить и решить систему Ь линейно независимых уравнений. Покажем, что эти уравнения можно составить по первому и второму законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа можно составить столько уравнений, сколько узлов имеет электрическая цепь, т.е. у уравнений. Однако линейно независимыми будут только у — 1 уравнения. Покажем это на примере.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для электрической схемы, у которой четыре узла и шесть ветвей (рис. 2.19).

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Произвольно выберем направления токов в ветвях; тогда для первого узла /К — 4 = 0, для второго К + А — /3 = 0, для третьего /6 + /3 — /4 = 0, для четвертого /4 — /| — /5 = 0. Сложив первые три уравнения, получим — /4 + /| + /5 = 0. Умножим это уравнение на — 1. Тогда уравнение для четвертого узла можно получить линейными комбинациями из уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для первых у — 1 узлов.

Видно, что одно из уравнений системы, составленное по числу узлов, является зависимым. Поэтому по первому закону Кирхгофа составляется только у — 1 уравнение, т.е. на одно меньше, чем число узлов в электрической цепи. Так как в схеме четыре узла, то число уравнений, которые составляются по первому закону Кирхгофа, равно трем. Остальные п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений составляются по второму закону Кирхгофа. Для рассматриваемой схемы п = 6 — (4 — 1) = 3.

Таким образом, для электрической цепи, содержащей у узлов и Ь ветвей, по второму закону Кирхгофа можно составить п = Ь — (у — 1) линейно независимых уравнений. При этом общее число уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, будет равно числу ветвей электрической цепи.

Расчет электрических цепей с помощью законов Кирхгофа целесообразно проводить в следующем порядке.

  • 1. Определить число узлов у и число ветвей Ь в электрической цепи. В соответствии с этим найти количество уравнений, которые необходимо составить по первому и второму законам Кирхгофа.
  • 2. Обозначить на схеме цепи токи в ветвях и произвольно выбрать их направления. Выбрать независимые замкнутые контуры электрической цепи таким образом, чтобы в каждый контур, во-первых, входило возможно меньшее число ветвей и, во-вторых, чтобы в каждый последующий контур входила хотя бы одна новая ветвь. Произвольно задаться направлением обхода контуров.
  • 3. Составить)’ — 1 уравнение по первому закону Кирхгофа. При этом считать положительными токи, входящие в узел, а отрицательными — выходящие из узла, или наоборот.
  • 4. Составить п = Ь — (у — 1) уравнений по второму закону Кирхгофа. В этих уравнениях значение ЭДС берется со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура. Падения напряжений на сопротивлениях в замкнутом контуре электрической цепи берутся со знаком «+», если направление обхода контура совпадает с выбранным направлением тока, и со знаком «-», если не совпадает.
  • 5. Решить составленную систему уравнений относительно неизвестных токов. Если при этом некоторые токи получаются отрицательными, это означает, что их действительные направления противоположны произвольно выбранным. Направления этих токов на схеме обратные.
  • 6. Проверить правильность решения задачи путем составления уравнения баланса мощности.

Пример 2.4. В электрической цепи (рис. 2.20) Е =50 В, ?3 = 10 В, Гц = 0,4 Ом, г,2 = 1 Ом, /*| = 3 Ом, /’2 = г у = 2 Ом. Требуется определить токи в ветвях.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Решение. В схеме два узла и три ветви. Следовательно, по первому закону Кирхгофа необходимо составить одно уравнение, а по второму — два. Обозначим на схеме электрической цепи узлы, токи в ветвях и стрелками произвольно укажем их положительные направления. Выберем два независимых контура и стрелками покажем направления их обхода. Составим уравнение по первому закону Кирхгофа для первого узла: /( + Л, — /3 = 0 .

Составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных независимых контуров:

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Полученные уравнения образуют систему независимых уравнений с тремя неизвестными:

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Решив эту систему, будем иметь: 1 = 10 А, /2 = —2А, /3 = 8 А. По полученным знакам токов устанавливаем, что действительные направления токов 1 и /3 совпадают, а тока /2 — противоположно произвольно выбранным положительным направлениям.

Правильность расчета токов проверяют по балансу мощностей.

При расчете электрических цепей с помощью законов Кирхгофа источники электрической энергии, заданные в виде источника тока, должны учитываться при составлении уравнений по первому закону Кирхгофа.

Недостатком рассмотренного метода расчета электрических цепей является его громоздкость (число уравнений равно числу ветвей).

Видео:Лекция 117. Правила КирхгофаСкачать

Лекция 117. Правила Кирхгофа

№3 Метод уравнений Кирхгофа.

Этот метод сводится к решению системы уравнений, количество которых равно числу неизвестных токов (числу ветвей). Покажем его применение на примере схемы, изображенной на рис. 3.1.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Рис. 3.1 — Сложная электрическая цепь

Первый закон Кирхгофа: в узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю.

Произвольно задавшись направлениями токов в ветвях и принимая токи, подтекающие к узлу, положительными, а оттекающие от узла – отрицательными, записываем:

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Число независимых уравнений в первом законе Кирхгофа – на единицу меньше числа узлов, поэтому для последнего узла d уравнение не пишем.

В заданной схеме семь ветвей, семь неизвестных токов. Система (1.6) содержит только три уравнения. Недостающие четыре записываем по второму закону Кирхгофа.

Второй закон Кирхгофа: в замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура.

Число уравнений, составляемых по этому закону, равно числу взаимно независимых контуров. При рассмотрении схемы каждый последующий контур является независимым относительно предыдущих, если он отличается от них хотя бы одной новой ветвью. В заданной схеме таких контуров четыре. Они отмечены пронумерованными дугообразными стрелками. Любой другой контур новых ветвей не содержит, поэтому не является независимым. Дугообразные стрелки показывают произвольно выбранные направления обхода контуров. Если направления ЭДС и токов совпадают с направлением обхода контура, то они записываются с плюсом, если не совпадают – то с минусом.

Как выбирать контуры чтобы уравнения кирхгофа для них оказались взаимно независимыми

Системы (1.6) и (1.7) дают достаточное количество уравнений для отыскания всех неизвестных токов.

📸 Видео

Законы Кирхгофа. Метод контурных уравненийСкачать

Законы Кирхгофа. Метод контурных уравнений

Как составить уравнения по законам Кирхгофа?Скачать

Как составить уравнения по законам Кирхгофа?

Урок 265. Задачи на правила КирхгофаСкачать

Урок 265. Задачи на правила Кирхгофа

Законы Кирхгофа - самое простое и понятное объяснение этих законовСкачать

Законы Кирхгофа - самое простое и понятное объяснение этих законов

Метод контурных токов - определение токов. ЭлектротехникаСкачать

Метод контурных токов - определение токов. Электротехника

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам КирхгофаСкачать

Расчет цепи с ИСТОЧНИКОМ ТОКА по законам Кирхгофа

Применение законов Кирхгофа при решении задачСкачать

Применение законов Кирхгофа при решении задач

Правила Кирхгофа: пример расчёта цепи с источниками токаСкачать

Правила Кирхгофа: пример расчёта цепи с источниками тока

Правила Кирхгофа - определение токов. ЭлектротехникаСкачать

Правила Кирхгофа - определение токов. Электротехника

Решение задачи. Расчет электрической цепи по законам КирхгофаСкачать

Решение задачи. Расчет электрической цепи по законам Кирхгофа

50. Правила КирхгофаСкачать

50. Правила Кирхгофа

Урок 263. Правила КирхгофаСкачать

Урок 263. Правила Кирхгофа

Метод узловых и контурных уравненийСкачать

Метод узловых и контурных уравнений

Урок 14. Законы Кирхгофа простыми словами с примерамиСкачать

Урок 14. Законы Кирхгофа простыми словами с примерами

Разветвленные цепи. Правила КирхгофаСкачать

Разветвленные цепи. Правила Кирхгофа

решение задачи составлением уравнений по правилам киргофа. Законы киргофа кратко на практикеСкачать

решение задачи составлением уравнений по правилам киргофа. Законы киргофа кратко на практике

Применение правил Кирхгофа для анализа резистивных цепейСкачать

Применение правил Кирхгофа для анализа резистивных цепей

Правило КирхгофаСкачать

Правило Кирхгофа
Поделиться или сохранить к себе: