Кроме разделения уравнений по количеству неизвестных, уравнения также разделяются по степеням неизвестных: уравнения первой степени, уравнения второй степени и так далее.
Чтобы определить степень уравнения, в нём нужно предварительно сделать следующие преобразования:
- раскрыть скобки,
- освободить уравнение от дробных членов,
- перенести все неизвестные члены в одну из частей уравнения,
- сделать приведение подобных членов.
После выполнения всех этих преобразований, степень уравнения определяется по следующим правилам:
Степенью уравнения с одним неизвестным называется показатель при неизвестном в том члене уравнения, в котором этот показатель наибольший.
10 — x = 2 — уравнение первой степени с одним неизвестным;
x 2 + 7x = 16 — уравнение второй степени с одним неизвестным;
x 3 = 8 — уравнение третьей степени с одним неизвестным.
Степенью уравнения с несколькими неизвестными называется сумма показателей при неизвестных в том члене уравнения, в котором эта сумма наибольшая.
Для примера возьмём уравнение
Для наглядности расставим показатели первой степени (которые обычно не ставят):
3x 2 y 1 + x 1 y 1 + 25 1 = 0.
Теперь посчитаем суммы показателей для тех членов уравнения, в которых присутствуют неизвестные:
3x 2 y 1 — сумма показателей равна 2 + 1 = 3;
x 1 y 1 — сумма показателей равна 1 + 1 = 2.
Сумма показателей у первого члена уравнения больше, чем у второго, значит, при определении степени уравнения будем ориентироваться на сумму показателей первого члена. Это значит, что про данное уравнение можно сказать, что это уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
2xy — x = 25 — уравнение второй степени с двумя неизвестным,
xy 2 — 2xy + 8y = 0 — уравнение третьей степени с двумя неизвестными.
Видео:397 Алгебра 9 класс. Степень УравненияСкачать
Степенные или показательные уравнения.
Для начала вспомним основные формулы степеней и их свойства.
Произведение числа a само на себя происходит n раз, это выражение мы можем записать как a•a•…•a=a n
3. a n • a m = a n + m
5. a n b n = (ab) n
7. a n /a m = a n — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях (или показателях), а основанием является число.
Примеры показательных уравнений:
В данном примере число 6 является основанием оно всегда стоит внизу, а переменная x степенью или показателем.
Приведем еще примеры показательных уравнений.
2 x *5=10
16 x — 4 x — 6=0
Теперь разберем как решаются показательные уравнения?
Возьмем простое уравнение:
Такой пример можно решить даже в уме. Видно, что x=3. Ведь чтобы левая и правая часть были равны нужно вместо x поставить число 3.
А теперь посмотрим как нужно это решение оформить:
Для того, чтобы решить такое уравнение, мы убрали одинаковые основания (то есть двойки) и записали то что осталось, это степени. Получили искомый ответ.
Теперь подведем итоги нашего решения.
Алгоритм решения показательного уравнения:
1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.
2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
Теперь прорешаем несколько примеров:
Начнем с простого.
Основания в левой и правой части равны числу 2, значит мы можем основание отбросить и приравнять их степени.
x+2=4 Получилось простейшее уравнение.
x=4 — 2
x=2
Ответ: x=2
В следующем примере видно, что основания разные это 3 и 9.
Для начала переносим девятку в правую сторону, получаем:
Теперь нужно сделать одинаковые основания. Мы знаем что 9=3 2 . Воспользуемся формулой степеней (a n ) m = a nm .
Получим 9 х+8 =(3 2 ) х+8 =3 2х+16
3 3х = 3 2х+16 теперь видно что в левой и правой стороне основания одинаковые и равные тройке, значит мы их можем отбросить и приравнять степени.
3x=2x+16 получили простейшее уравнение
3x — 2x=16
x=16
Ответ: x=16.
Смотрим следующий пример:
2 2х+4 — 10•4 х = 2 4
В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (a n ) m = a nm .
4 х = (2 2 ) х = 2 2х
И еще используем одну формулу a n • a m = a n + m :
2 2х+4 = 2 2х •2 4
Добавляем в уравнение:
2 2х •2 4 — 10•2 2х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 2 2х ,вот и ответ — 2 2х мы можем вынести за скобки:
2 2х (2 4 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Все уравнение делим на 6:
Представим 4=2 2 :
2 2х = 2 2 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.
2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаем
х = 1
Ответ: х = 1.
9 х – 12*3 х +27= 0
Преобразуем:
9 х = (3 2 ) х = 3 2х
Получаем уравнение:
3 2х — 12•3 х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решить методом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
Тогда 3 2х = (3 х ) 2 = t 2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t 2 — 12t+27 = 0
Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:
D=144-108=36
t1 = 9
t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
3 х = 9
3 х = 3 2
х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:
t2 = 3 = 3 х
3 х = 3 1
х2 = 1
Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
На сайте Вы можете в разделе ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ задавать интересующие вопросы мы Вам обязательно ответим.
Видео:Степень уравнения. Как определить степень уравнения?Скачать
Алгебра
План урока:
Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать
Целое уравнение и его степень
Ранее мы уже изучали понятие целого выражения. Так называют любое выражение с переменной, в котором могут использоваться любые арифметические операции, а также возведение в степень. Однако есть важное ограничение – в целом выражении переменная НЕ может находиться в знаменателе какой-нибудь дроби или быть частью делителя. Также переменная не может находиться под знаком корня. Для наглядности приведем примеры целых выражений:
(n 3 + 7)/5 (в знаменателе находится только число, без переменной);
А вот примеры нецелых выражений:
Отличительной особенностью целых выражений является то, что в них переменная может принимать любое значение. В нецелых же выражениях возникают ограничения на значения переменной, ведь знаменатель дроби не должен равняться нулю, в выражение под знаком корня не должно быть отрицательным.
Введем понятие целого уравнения.
Приведем примеры целых ур-ний:
0,75х 7 + 0,53х 6 – 45х = 18
Напомним, что в математике существует понятие равносильных уравнений.
Когда мы решаем ур-ния, мы в каждой новой строчке записываем ур-ние, равносильное предыдущему. Для этого используются равносильные преобразования (перенос слагаемых через знак «=» с противоположным знаком, деление обоих частей равенства на одинаковые числа и т. д.).
Можно доказать (мы этого делать не будем), что любое целое ур-ние можно возможно преобразовать так, чтобы получилось иное, равносильное ему ур-ние, где в левой части будет находиться многочлен, а справа – ноль. Для этого надо лишь раскрыть скобки и умножить ур-ние на какое-нибудь число, чтобы избавиться от дробей.
Пример. Преобразуйте целое ур-ние
так, чтобы слева стоял многочлен, а справа – ноль.
Решение. В ур-нии есть дроби со знаменателями 5 и 4. Если умножить обе части на 20 (это наименьшее общее кратное чисел 5 и 4), то дроби исчезнут:
Теперь раскроем скобки:
4(5х 3 – 3х 4 + 45х – 27х 2 ) – 40 = 10х 2 + 5х + 35
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 = 10х 2 + 5х + 35
Осталось перенести все слагаемые влево и привести подобные слагаемые:
20х 3 – 12х 4 + 180х – 108х 2 – 40 – 10х 2 – 5х – 35 = 0
– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
Получили ур-ние в той форме, которую и надо было найти по условию.
Ответ:– 12х 4 + 20х 3 – 118х 2 + 175х – 75 = 0
В математике любой полином можно обозначить как Р(х). Если ур-ние привели к тому виду, когда в одной части многочлен, а в другой ноль, то говорят, что получили ур-ние вида Р(х) = 0.
Получается, что решение целого уравнения всегда можно свести к решению равносильного ему ур-ния Р(х) = 0. Именно поэтому многочлены играют такую большую роль в математике
Напомним, что степенью многочлена называется максимальная степень входящего в его состав одночлена. Это же число является и степенью целого уравнения Р(х) = 0, а также степенью любого равносильного ему целого ур-ния.
Пример. Определите степень ур-ния
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
Решение. Приведем ур-ние к виду Р(х) = 0. Для этого раскроем скобки:
(х 3 – 5)(2х + 7) = 2х 4 + 9
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 = 2х 4 + 9
Перенесем все слагаемые влево и приведем подобные слагаемые:
2х 4 + 7х 3 – 10х – 35 – 2х 4 – 9 = 0
7х 3 – 10х – 44 = 0
Получили в левой части многочлен 3-ей степени. Следовательно, и исходное ур-ние имело такую же степень
Приведем примеры ур-ний первой степени:
5,4568у + 0,0002145 = 0
Все они являются линейными ур-ниями, метод их решения изучался ранее. Они имеют 1 корень.
Приведем примеры ур-ний второй степени:
6t 2 + 98t – 52 = 0
Это квадратные ур-ния. У них не более двух действительных корней. Для их нахождения в общем случае надо вычислить дискриминант и использовать формулу
Квадратные и линейные ур-ния умели решать ещё в Древнем Вавилоне 4 тысячи лет назад! А вот с ур-ния 3-ей степени (их ещё называют кубическими уравнениями) оказались значительно сложнее. Приведем их примеры:
2х 3 + 4х 2 – 19х + 17 = 0
Лишь в 1545 году итальянец Джералимо Кардано опубликовал книгу, в которой описывался общий алгоритм решения кубических ур-ний. Он достаточно сложный и не входит в школьный курс математики. Его ученик, Лодовико Феррари, предложил метод решения ур-ний четвертой степени. В качестве примера такого ур-ния можно привести:
5х 4 + 6х 3 – 2х 2 – 10х + 1 = 0
Лишь в XIX веке было доказано, что для ур-ний более высоких степеней (5-ой, 6-ой и т. д.) не существует универсальных формул, с помощью которых можно было бы найти их корни.
Отметим, что если степень целого ур-ния равна n, то у него не более n корней (но их число может быть и меньше). Так, количество корней кубического уравнения не превышает трех, а у ур-ния 4-ой степени их не более 4.
Чтобы доказать это утверждение, сначала покажем способ составления уравнения Р(х) = 0, имеющего заранее заданные корни. Пусть требуется составить ур-ние, имеющее корни k1, k2,k3,…kn. Приравняем к нулю следующее произведение скобок:
Составленное ур-ние имеет все требуемые корни и никаких других корней. Действительно, произведение множителей может равняться нулю только в случае, если хотя бы один из множителей нулевой. Поэтому для решения ур-ния
надо каждую скобку приравнять к нулю:
х – k1 = 0 или х – k2 = 0 или х – k3 = 0 или…х – kn = 0
Перенесем второе слагаемое вправо в каждом равенстве и получим:
Чтобы вместо произведения скобок слева стоял многочлен, надо просто раскрыть скобки.
Пример. Составьте уравнение в виде Р(х) = 0, имеющее корни 1, 2, 3 и 4.
Запишем целое ур-ние, имеющее требуемые корни:
(х – 1)(х – 2)(х – 3)(х – 4) = 0
Будем поочередно раскрывать скобки, умножая 1-ую скобку на 2-ую, полученный результат на 3-ю и т.д.:
(х 2 – 3х + 2)(х – 3)(х – 4) = 0
(х 3 – 6х 2 + 11х – 6)(х – 4) = 0
х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Получили ур-ние вида Р(х) = 0. Для проверки вычислений можно подставить в него числа 1, 2, 3 и 4 и убедиться, что они обращают ур-ние в верное равенство.
Ответ: х 4 – 10х 3 + 35х 2 – 50х +24 = 0
Заметим, что в рассмотренном примере, когда мы перемножали многочлены, мы получали новый полином, чья степень увеличивалась на единицу. Мы перемножили 4 скобки (х – k1), а потому получили полином 4 степени. Если бы мы перемножали, скажем, 10 таких скобок, то и многочлен бы получился 10-ой степени. Именно поэтому ур-ние n-ой степени не более n корней.
Действительно, предположим, что какое-то ур-ние n-ой степени имеет хотя бы (n + 1) корень. Обозначим эти корни как k1, k2,k3,…kn, kn+1 и запишем уравнение:
Оно, по определению, равносильно исходному ур-нию, ведь оно имеет тот же набор корней. Слева записаны (n + 1) скобок, поэтому при их раскрытии мы получим полином степени (n + 1). Значит, и исходное ур-ние на самом деле имеет степень n + 1, а не n. Получили противоречие, которое означает, что на самом деле у уравнения n-ой степени не более n корней.
Особо акцентируем внимание на том факте, что если корнями уравнения являются некоторые числа k1, k2,k3,…kn, то этому ур-нию равносильна запись (х – k1)(х – k2)(х – k3)…(х – kn) = 0
Этот факт будет использован далее при решении ур-ний.
Видео:Математика| СтепениСкачать
Решение уравнений методом подбора корня
Необязательно преобразовывать ур-ние, чтобы найти его корни. Одним из приемов решения целых уравнений является метод подбора корня. Ведь если надо доказать, что какое-то число – это корень ур-ния, достаточно просто подставить это число в ур-ние и получить справедливое равенство!
Пример. Докажите, что корнями ур-ния
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
являются только числа (– 1), 1 и 2.
Решение. Подставим в ур-ние каждую из предполагаемых корней и получим справедливое равенство. При х = – 1 имеем:
(– 1) 3 – 2(– 1) 2 – (– 1) + 2 = 0
При х = 1 получаем:
1 3 – 2•1 2 – 1 + 2 = 0
Наконец, рассмотрим случай, когда х = 2
2 3 – 2•2 2 – 2 + 2 = 0
Исходное ур-ние имеет 3-ю степень, поэтому у него не более 3 корней. То есть других корней, кроме (– 1), 1 и 2 , у него нет.
Конечно, просто так подобрать корни довольно тяжело. Однако есть некоторые правила, которые помогают в этом. Для начала введем понятие коэффициентов уравнения.
Понятно, что ур-ние Р(х) = 0 в общем виде можно записать так:
Числа а0, а1, а2,…аnи называют коэффициентами уравнений.
Например, для уравнения
5х 4 – 7х 3 + 9х 2 – х + 12 = 0
Если одна из слагаемых «пропущено» в уравнении, то считают, что коэффициент перед ним равен нулю. Например, в ур-нии
нет слагаемого с буквенной частью х 2 . Можно считать, что ур-ние равносильно записи
х 3 + 0х 2 + 2х – 15 = 0
где слагаемое х 2 есть, но перед ним стоит ноль. Тогда коэффициент а1 = 0.
Для обозначения первого коэффициента а0 может использоваться термин старший коэффициент, а для последнего коэффициента аn – термин «свободный член» или «свободный коэффициент».
Изучение коэффициентов ур-ния помогает быстрее подобрать корень. Существует следующая теорема:
Докажем это утверждение. Пусть m – это целый корень уравнения с целыми коэффициентами
Тогда можно подставить туда число m и получить верное равенство:
Поделим обе его части на m и получим
Справа – целое число (ноль), значит, и сумма чисел слева также целая. Все числа а0m n –1 , a1m n –2 , аn–1, очевидно, целые (так как и целыми являются и m, и все коэффициенты). Значит, и число аn/m должно быть целым. Но это возможно лишь в том случае, если m является делителем числа аn.
Из доказанной теоремы следует, что при подборе корней ур-ния достаточно рассматривать только те из них, которые являются делителями свободного члена. При этом следует учитывать и отрицательные делители.
Пример. Найдите целые корни уравнения
2х 4 – х 3 – 9х 2 + 4х + 4 = 0
Решение. Все коэффициенты ур-ния – целые, а потому целый корень должен быть делителем свободного члена, то есть числа 4. Делителями четверки являются 1 и (– 1), 2 и (– 2), 4 и (– 4). Подставляя каждое из этих чисел в ур-ние, получим верные равенства только для чисел 1, 2 и (– 2):
2•1 4 – 1 3 – 9•1 2 + 4•1 + 4 = 2 – 1 – 9 + 4 + 4 = 0
2•2 4 – 2 3 – 9•2 2 + 4•2 + 4 = 32 – 8 – 36 + 8 + 4 = 0
2•(– 2) 4 – (– 2) 3 – 9•(– 2) 2 + 4(– 2) + 4 = 32 + 8 – 36 – 8 + 4 = 0
Таким образом, только эти числа и могут быть целыми корнями ур-ния. Так как мы рассматриваем ур-ние 4 степени, то, возможно, у него помимо 3 целых корней есть ещё один дробный.
Пример. Решите ур-ние
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
Решение. У ур-ния дробные коэффициенты. Умножим обе части равенства на 2 и получим ур-ние с целыми коэффициентами:
0,5х 3 + 0,5х + 5 = 0
(0,5х 3 + 0,5х + 5)•2 = 0•2
Попытаемся подобрать целый корень ур-ния. Он должен быть делителем свободного члена, то есть десятки. Возможными кандидатами являются числа 1 и (– 1), 2 и (– 2), 5 и (– 5), 10 и (– 10). Подходит только корень х = – 2:
(– 2) 3 + (– 2) + 10 = – 8 – 2 + 10 = 0
Обратим внимание, что в левой части ур-ния стоит сумма функций, возрастающих на всей числовой прямой: у = х 3 и у = х + 10. Значит, и вся левая часть х 3 + х + 10 монотонно возрастает. Это значит, что у ур-ния есть только один корень, и мы его нашли ранее подбором.
Ещё быстрее можно узнать, является ли единица корнем уравнения.
Докажем это. Подставим в ур-ние
значение х = 1. Так как единица в любой степени равна самой единице, то получим:
Получили равенство, в котором слева стоит сумма коэффициентов, в справа – ноль. Если сумма коэффициентов действительно равна нулю, то равенство верное, а, значит, единица является корнем ур-ния.
Пример. Укажите хотя бы 1 корень ур-ния
499х 10 – 9990х 7 + 501х 6 – 10х 5 + 10000х 4 – 1000 = 0
Решение. Заметим, что при сложении коэффициентов ур-ния получается 0:
499 – 9990 + 501 – 10 + 10000 – 1000 = (499 + 501 – 1000) + (10000 – 9990 – 10) = 0 + 0 = 0
Следовательно, единица является его корнем.
Видео:АЛГЕБРА 9 класс: Целое уравнение и его корни | ВидеоурокСкачать
Решение уравнений с помощью разложения многочлена на множители
Если в уравнении вида P(x) = 0в левой части удается выполнить разложение многочлена на множители, то дальше каждый из множителей можно отдельно приравнять к нулю.
Пример. Решите ур-ние
Решение. Степень х 4 можно представить как (х 2 ) 2 , а 16 – как 4 2 . Получается, что слева стоит разность квадратов, которую можно разложить на множители по известной формуле:
(х 2 – 4)(х 2 + 4) = 0
Приравняем каждую скобку к нулю и получим два квадратных ур-ния:
х 2 – 4 = 0 или х 2 + 4 = 0
х 2 = 4 или х 2 = – 4
Первое ур-ние имеет два противоположных корня: 2 и (– 2). Второе ур-ние корней не имеет.
Предположим, что у ур-ния 3-ей степени есть 3 корня, и подбором мы нашли один из них. Как найти оставшиеся корни? Здесь помогает процедура, известная как «деление многочленов в столбик». Продемонстрируем ее на примере. Пусть надо решить ур-ние
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
Можно заметить, сумма всех коэффициентов ур-ния равна нулю:
100 – 210 + 134 – 24 = 0
Следовательно, первый корень – это 1.
Предположим, что у исходного ур-нияР(х) = 0 есть 3 корня, k1, k2и k3. Тогда ему равносильно другое ур-ние
Мы нашли, что первый корень k1 = 1, то есть
Обозначим как P1(x) = 0 ещё одно ур-ние, корнями которого будут только числа k2 и k3. Очевидно, что корнями ур-ния
Будут числа 1, k2 и k3. Его корни совпадают с корнями исходного ур-ния, а потому запишем
(х – 1)•P1(x) = 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24
Поделим обе части на (х – 1):
Итак, если «поделить» исходное ур-ние на х – 1, то получим какой-то многочлен Р1(х), причем решением уравнения P1(x) = 0 будут оставшиеся два корня, k2и k3. Деление можно выполнить в столбик. Для этого сначала запишем «делимое» и «делитель», как и при делении чисел:
Смотрим на первое слагаемое делимого. Это 100х 3 . На какой одночлен нужно умножить делитель (х – 1), чтобы получился полином со слагаемым 100х 3 ? Это 100х 2 . Действительно, (х – 1)100х 2 = 100х 3 – 100х 2 . Запишем слагаемое 100х 2 в результат деления, а результат его умножения на делитель, то есть 100х 3 – 100х 2 , вычтем из делимого:
Теперь вычтем из делимого то выражение, которое мы записали под ним. Слагаемые 100х 3 , естественно, сократятся:
(100х 3 – 210х 2 ) – (100х 3 – 100х 2 ) = 100х 3 – 210х 2 – 100х 3 + 100х 2 = – 110х 2
Далее снесем слагаемое 134х вниз:
На какое слагаемое нужно умножить (х – 1), что получился полином со слагаемым (– 110х 2 ). Очевидно, на (– 110х):
(х – 1)(– 110х 2 ) = –110х 2 + 110х
Запишем в поле «ответа» слагаемое (– 110х 2 ), а под делимый многочлен – результат его умножения на (х – 1):
При вычитании из (–110х 2 + 134х) полинома (–110х 2 + 110х) остается 24х. Далее сносим последнее слагаемое делимого многочлена вниз:
Выражение х – 1 нужно умножить на 24, чтобы получить 24х – 24. Запишем в поле «ответа» число 24, а в столбике произведение 24(х –1) = 24х – 24:
В результате в остатке получился ноль. Значит, всё сделано правильно. С помощью деления столбиком мы смогли разложить полином 100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 на множители:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = (х – 1)(100х 2 – 110х + 24)
Теперь перепишем исходное ур-ние с учетом этого разложения:
100х 3 – 210х 2 + 134х – 24 = 0
(х – 1)(100х 2 – 110х + 24) = 0
Теперь каждую отдельную скобку можно приравнять нулю. Получим ур-ние х – 1 = 0, корень которого, равный единице, мы уже нашли подбором. Приравняв к нулю вторую скобку, получим квадратное ур-ние:
100х 2 – 110х + 24 = 0
D =b 2 – 4ас = (– 110) 2 – 4•100•24 = 12100 – 9600 = 2500
Итак, мы нашли три корня ур-ния: 1; 0,3 и 0,8.
В данном случае мы воспользовались следующим правилом:
Пример. Решите уравнение
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
Решение. Все коэффициенты целые, а потому, если у уравнения есть целый корень, то он должен быть делителем 16. Перечислим эти делители: 1, – 1, 2, – 2, 4, – 4, 8, – 8, 16, – 16. Из всех них подходит только двойка:
2•2 3 – 8•2 2 + 16 = 16 – 32 + 16 = 0
Итак, первый корень равен 2. Это значит, что исходный многочлен можно разложить на множители, один из которых – это (х – 2). Второй множитель найдем делением в столбик. Так как в многочлене 2х 3 – 8х 2 + 16 нет слагаемого с буквенной часть х, то искусственно добавим её:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 2х 3 – 8х 2 + 0х + 16
Теперь возможно деление:
Получили, что 2х 3 – 8х 2 + 16 = (х – 2)(2х – 4х – 8)
С учетом этого перепишем исходное ур-ние:
2х 3 – 8х 2 + 16 = 0
(х – 2)(2х – 4х – 8) = 0
х – 2 = 0 или 2х – 4х – 8 = 0
Решим квадратное ур-ние
D =b 2 – 4ас = (– 4) 2 – 4•2•(– 8) = 16 + 64 = 80
В 8 классе мы узнали, что если у квадратного ур-ния ах 2 + bx + c = 0 есть два корня, то многочлен ах 2 + bx + c можно разложить на множители по формуле
где k1 и k2– корни квадратного ур-ния. Оказывается, такое же действие можно выполнять с многочленами и более высоких степеней. В частности, если у кубического ур-ния есть 3 корня k1, k2 и k3, то его можно разложить на множители по формуле
Пример. Разложите на множители многочлен 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4.
Решение. Целые корни этого многочлена (если они есть), должны быть делителем четверки. Из всех таких делителей подходят три: 1, (– 1) и 2:
2•1 3 – 4•1 2 – 2•1 + 4 = 2 – 4 – 2 + 4 = 0
2•(– 1) 3 – 4•(– 1) 2 – 2•(– 1) + 4 = – 2 – 4 + 2 + 4 = 0
2•2 3 – 4•2 2 – 2•2 + 4 = 16 – 16 – 4 + 4 = 0
Значит, многочлен можно разложить на множители:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Возникает вопрос – почему перед скобками нужна двойка? Попробуем сначала перемножить скобки без ее использования:
(х + 1)(х – 1)(х – 2) = (х 2 – 1)(х – 2) = х 3 – 2х 2 – х + 2
Получили не тот многочлен, который стоит в условии. Однако ур-ние
х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0
имеет те же корни (1, 2 и (– 1)), что и ур-ние
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0
Дело в том, что это равносильные ур-ния, причем второе получено умножением первого на два:
2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4
Надо понимать, что хотя ур-ния 2х 3 – 4х 2 – 2х + 4 = 0 и х 3 – 2х 2 – х + 2 = 0, по сути, одинаковы, многочлены в их левой части различны. Заметим, что при перемножении скобок (х – k1), (х – k2), (х – k3) и т.д. всегда будет получаться полином, у которого старший коэффициент равен единице. Поэтому, чтобы учесть этот самый коэффициент, надо домножить произведение скобок на него:
2х 3 – 4х 2 – 2х + 4= 2•(х 3 – 2х 2 – х + 2) = 2(х + 1)(х – 1)(х – 2)
Ответ: 2(х + 1)(х – 1)(х – 2).
Видео:Целое уравнение и его корни. Алгебра, 9 классСкачать
Графический метод решения уравнений
Любое ур-ние с одной переменной можно представить в виде равенства
где у(х) и g(x) – некоторые функции от аргумента х.
Построив графики этих функций, можно примерно найти точки их пересечений. Они и будут соответствовать корням уравнения.
Пример. Решите графически уравнение
Решение. Строить график уравнения х 3 – х 2 – 1 = 0 довольно сложно, поэтому перенесем слагаемое (– х 2 – 1) вправо:
Построим графики у = х 3 и у = х 2 + 1 (второй можно получить переносом параболы у = х 2 на единицу вверх):
Видно, они пересекаются в точке, примерно соответствующей значению х ≈ 1,4. Если построить графики уравнения более точно (с помощью компьютера), то можно найти, что х ≈ 1,46557.
Ответ: х ≈ 1,46557
Конечно, графический метод решения уравнений не является абсолютно точным, однако он помогает быстро найти примерное положение корня. Также с его помощью можно определить количество корней уравнения. В рассмотренном примере был только 1 корень.
Пример. Определите количество корней уравнений
б) х 3 – 2х + 0,5 = 0
Решение. Перенесем два последних слагаемых вправо в каждом ур-нии:
Построим графики функций у = х 3 , у = х + 3 и у = 2х – 0,5:
Видно, что прямая у = х + 3 пересекает график у = х 3 в одной точке, поэтому у первого ур-ния будет 1 решение.Прямая у = 2х – 0,5 пересекает кубическую параболу в трех точках, а потому у второго ур-ния 3 корня.
Ответ: а) один корень; б) три корня.
Видео:Алгебра 9 класс (Урок№16 - Целое уравнение и его корни.)Скачать
Решение дробно-рациональных уравнений
До этого мы рассматривали только целые ур-ния, где переменная НЕ находится в знаменателе какого-нибудь выражения. Однако, если в ур-нии есть выр-ние, содержащее переменную в знаменателе, или присутствует деление на выр-ние с переменной, то его называют дробно-рациональным уравнением.
Приведем несколько примеров ур-ний, считающихся дробно-рациональными:
С помощью равносильных преобразований любое дробно-рациональное ур-ние возможно записать в виде отношения двух полиномов:
Дробь равна нулю лишь тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – не равен. Таким образом, нужно сначала решить ур-ние Р(х) = 0 и потом проверить, что полученные корни не обращают полином Q(x) в ноль.
Обычно для решения дробно-рациональных уравнений используют такой алгоритм:
1) Приводят все дроби к единому знаменателю, умножают на него ур-ние и получают целое ур-ние.
2) Решают полученное целое ур-ние.
3) Исключают из числа корней те, которые обращают знаменатель хотя бы одной из дробей в ноль.
Пример. Решите ур-ние
Умножим обе части равенства на знаменатель 1-ой дроби:
2х 2 – 3х – 2 = х 2 (х – 2)
Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:
2х 2 – 3х – 2 = х 3 – 2х 2
х 3 – 2х 2 – 2х 2 + 3х + 2 = 0
х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = 0
У ур-ния могут быть только те целые корни, которые являются делителями двойки. Из кандидатов 1, – 1, 2 и – 2 подходит только двойка:
2 3 – 4•2 2 + 3•2 + 2 = 8 – 16 + 6 + 2 = 0
Нашли один корень, а потому исходный многочлен можно поделить в столбик на (х – 2):
Получили, что х 3 – 4х 2 + 3х + 2 = (х – 2)(х 2 – 2х – 1)
Тогда ур-ние примет вид:
(х – 2)(х 2 – 2х – 1) = 0
х – 2 = 0 или х 2 – 2х – 1 = 0
Решим квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (– 2) 2 – 4•1•(– 1) = 4 + 4 = 8
Мы нашли все 3 корня кубического ур-ния. Теперь надо проверить, не обращают ли какие-нибудь из них знаменатели дроби в исходном ур-нии
в ноль. Очевидно, что при х = 2 знаменатель (х – 2) превратится в ноль:
Это значит, что этот корень надо исключить из списка решений. Такой корень называют посторонним корнем ур-ния.
Также ясно, что два остальных корня не обращают знаменатель в ноль, а потому они НЕ должны быть исключены из ответа:
Пример. Найдите все корни ур-ния
Решение. Если сразу привести выражение слева к общему знаменателю 4(х 2 + х – 2)(х 2 + х – 20), то получится очень длинное и неудобное выражение. Однако знаменатели довольно схожи, поэтому можно провести замену. Обозначим х 2 + х как у:
Тогда уравнение примет вид
Приведем дроби к общему знаменателю 4(у – 2)(у – 20):
Знаменатель должен равняться нулю:
4(у – 20) + 28(у – 2) + (у – 2)(у – 20) = 0
4у – 80 + 28у – 56 + у 2 – 20у – 2у + 40 = 0
у 2 + 10у – 96 = 0
Решаем квадратное ур-ние:
D =b 2 – 4ас = (10) 2 – 4•1•(– 96) = 100 + 384 = 484
Получили, что у1 = – 16, а у2 = 6. Произведем обратную замену:
х 2 + х = – 16 или х 2 + х = 6
х 2 + х + 16 = 0 или х 2 + х – 6 = 0
Дискриминант 1-ого ур-ния отрицателен:
D =b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(16) = 1– 64 = – 63
А потому оно не имеет решений. Решим 2-ое ур-ние:
D = b 2 – 4ас = (1) 2 – 4•1•(– 6) = 1+ 24 = 25
Нашли два корня: 2 и (– 3). Осталось проверить, не обращают ли они знаменатели дробей в ур-нии
в ноль. Подстановкой можно убедиться, что не обращают.
При решении дробно-рациональных ур-ний может использоваться и графический метод.
Пример. Сколько корней имеет уравнение
Решение. Построим графики функций у = х 2 – 4 и у = 2/х:
Видно, что графики пересекаются в 3 точках, поэтому ур-ние имеет 3 корня.
🔥 Видео
Решение биквадратных уравнений. 8 класс.Скачать
СТЕПЕНЬ С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ | алгебра 7 | ПОКАЗАТЕЛЬ СТЕПЕНИ | свойства степенейСкачать
СтепениСкачать
Степень уравненияСкачать
Степень с целым показателем. 7 класс.Скачать
ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать
Корень n-ой степени. Алгебра, 9 классСкачать
8 класс, 6 урок, Степень с целым отрицательным показателемСкачать
Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать
Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать
Уравнение четвертой степениСкачать
Целое уравнение и его корни. Видеоурок 10. Алгебра 9 классСкачать
Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать
