Как упростить уравнение 7 класс алгебра многочлены (7 видео)

Многочлен. Упрощение, степень, стандартный вид, нуль-многочлены

Содержание

Содержание
Упрощение многочленов
Стандартный вид многочленов
Степень многочлена
Коэффициенты многочленов
Нуль-многочлены
Как упростить уравнение 7 класс алгебра многочлены
Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Преобразование выражений. Часть 1. Раскрытие скобок, разложение на множители, выделение полного квадрата
🔥 Видео

Видео:Алгебра 7 класс. Многочлены. Упрощение многочленов.Скачать

Содержание

Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:

Данные выражения не являются одночленами — в первом у нас представлена сумма одночленов $2a$ и $b^$, а во втором — их разность.

Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто — такие примеры называют многочленами.

Многочлены — это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.

Видео:Задание №1 "Упростить выражение" по теме "Умножение и сложение многочленов и одночленов". Алгебра 7Скачать

Упрощение многочленов

Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:

Многочлены состоят из одночленов, которые, в свою очередь, называются членами многочлена. Таким образом, в выражении $11x-2x$ всего 2 одночлена: $11x$ и $-2x$. Многочлены, которые состоят из 2 членов, называются двучленами, а состоящие из 3 — трехчленами. Если в примере содержится обычное число без переменных, то его называют свободным членом многочлена.

В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:

Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:

Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой — с меньшим количество членов.

Видео:Многочлены. 7 класс.Скачать

Стандартный вид многочленов

Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.

Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:

Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:

Мы можем получить выражение стандартного вида:

Видео:№358 стр 72 Алгебра 7 класс Мерзляк Полонский Якир 2019 гдз Упростите выражениеСкачать

Степень многочлена

Рассмотрим многочлен стандартного вида:

Данное выражение составлено из одночленов: $2x^y$, $-x^y^$, $5x^y$, $y$ и $-2$. Их степени соответственно равны числам $4$, $4$, $3$, $1$, $0$. Наибольшая степень из этих степеней равна числу $4$, поэтому в таком случае говорят, что степень всего многочлена равна $4$.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.

Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:

$color3x^-xy+5y^$ — степень равна двум

$color 3x^y^$ — степень равна шести

$color 3$ — степень равна нулю

Видео:Произведение многочленов. Разложение многочлена на множители способом группировки. 7 класс.Скачать

Коэффициенты многочленов

Зачастую многочлен состоит из множества частей, каждая из который имеет свой коэффициент. Они указываются перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена будет равен $1$. Рассмотрим на примере:

Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.

Видео:Сложение и вычитание многочленов. Алгебра, 7 классСкачать

Нуль-многочлены

Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:

Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.

Видео:7 класс, 20 урок, Многочлены. Основные понятияСкачать

Как упростить уравнение 7 класс алгебра многочлены

Выражение представляет собой сумму одночленов . Такие выражения называют многочленами.

Определение. Многочленом называется сумма одночленов.

Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так, многочлен состоит из членов .

Если многочлен состоит из двух членов, его называют двучленом, если из трех членов — трехчленом. Одночлены считают многочленами, состоящими из одного члена.

В многочлене члены являются подобными слагаемыми, так как они имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными слагаемыми являются и члены 2 и — 7, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена.

Сумму подобных членов можно заменить одним членом, сложив их коэффициенты и оставив ту же буквенную часть. Такое тождественное преобразование многочленов называют приведением подобных членов.

Выполнив приведение подобных членов в многочлене , получим:

Многочлен не содержит подобных членов, и каждый его член является одночленом стандартного вида. Такой многочлен называют многочленом стандартного вида.

Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные члены.

Членами многочлена стандартного вида служат одночлены второй, пятой и нулевой степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью многочлена. Таким образом, многочлен стандартного вида является многочленом пятой степени.

Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов. Степенью многочлена, не записанного в стандартном виде, называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.

Например, чтобы выяснить, какова степень многочлена , приведем его к стандартному виду:

Степень многочлена равна двум, поэтому и степень многочлена равна двум.

СЛОЖЕНИЕ И ВЫЧИТАНИЕ МНОГОЧЛЕНОВ

Составим сумму многочленов

Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим:

Сумму многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, сумму любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Составим разность многочленов :

После раскрытия скобок и приведения подобных членов получим:

Разность многочленов мы представили в виде многочлена . Вообще, разность любых многочленов можно представить в виде многочлена.

Таким образом, при сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.

Иногда требуется несколько членов многочлена заключить в скобки. Тогда:

если перед скобками ставят знак «плюс», то члены, которые заключают в скобки, пишут с теми же знаками;

если перед скобками ставят знак «минус», то члены, заключаемые в скобки, пишут с противоположными знаками.

Полученные равенства являются тождествами. Убедиться в этом можно, раскрыв скобки в правой части каждого равенства.

УМНОЖЕНИЕ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН

Составим произведение одночлена и многочлена

Преобразуем это произведение, используя распределительное свойство умножения:

Произведение одночлена и многочлена мы преобразовали в многочлен , умножив одночлен на каждый член многочлена и сложив полученные результаты.

Вообще, произведение одночлена и многочлена можно представить в виде многочлена.

При умножении одночлена на многочлен пользуются правилом:

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить.

При умножении одночлена на многочлен запись можно вести короче. Например,

Умножение одночлена на многочлен применяется при решении уравнений. Приведем примеры.

Пример 1. Решим уравнение Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись правилом умножения одночлена на многочлен. Получим уравнение

Пример 2. Решим уравнение

Умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 18, получим:

ВЫНЕСЕНИЕ ОБЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ ЗА СКОБКИ

Каждый член многочлена можно заменить произведением двух множителей, один из которых равен :

Полученное выражение на основе распределительного свойства можно представить в виде произведения двух множителей. Один из них — общий множитель , а второй — сумма :

Представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов (среди которых могут быть и одночлены) называют разложением многочлена на множители. Такое преобразование используется при решении уравнений, в вычислениях и в других случаях.

Примененный нами способ разложения многочлена на множители называют вынесением общего множителя за скобки.

Пусть требуется разложить на множители многочлен . Члены этого многочлена имеют различные общие множители: и другие. Целесообразно вынести за скобки . Вынесем за скобки, например, :

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена.

выносят с наименьшим показателем» который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

Покажем, как вынесение множителя за скобки применяется при решении уравнений.

Решим, например, уравнение

В выражении вынесем за скобки множитель . Получим:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, т. е. когда

Решая уравнение , находим:

Следовательно, произведение обращается в нуль при и при т. е. уравнение

Видео:Произведение многочленов. 7 класс.Скачать

Повторение и систематизация курса алгебры 7-9 класса. Преобразование выражений. Часть 1. Раскрытие скобок, разложение на множители, выделение полного квадрата

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Математические модели задач могут содержать громоздкие выражения.

Чтобы решать уравнения, неравенства и их системы, нужно научиться упрощать такие выражения. Кроме того, упрощение необходимо для того, чтобы уменьшить количество операций для вычисления значения выражения как вручную, так и при помощи компьютерных алгоритмов.

На этом уроке мы вспомним все изученные ранее методы упрощения выражений и систематизируем их.