Как строить графики функций из квадратного уравнения

Квадратичная функция и ее график

В этой статье мы поговорим о том, что такое квадратичная функция, научимся строить ее график и определять вид графика в зависимости от знака дискриминанта и знака старшего коэффициента.
Итак.

Функция вида Как строить графики функций из квадратного уравнения, где Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»a0″/> Как строить графики функций из квадратного уравненияназывается квадратичной функцией.

В уравнении квадратичной функции:

aстарший коэффициент

bвторой коэффициент

ссвободный член.

Графиком квадратичной функции является квадратичная парабола, которая для функции Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет вид:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Обратите внимание на точки, обозначенные зелеными кружками — это, так называемые «базовые точки». Чтобы найти координаты этих точек для функции Как строить графики функций из квадратного уравнения, составим таблицу:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Внимание! Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент Как строить графики функций из квадратного уравнения, то график квадратичной функции имеет ровно такую же форму, как график функции Как строить графики функций из квадратного уравненияпри любых значениях остальных коэффициентов.

График функции Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет вид:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Для нахождения координат базовых точек составим таблицу:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Обратите внимание, что график функции Как строить графики функций из квадратного уравнениясимметричен графику функции Как строить графики функций из квадратного уравненияотносительно оси ОХ.

Итак, мы заметили:

Если старший коэффициент a>0 , то ветви параболы напрaвлены вверх .

Если старший коэффициент a , то ветви параболы напрaвлены вниз .

Второй параметр для построения графика функции — значения х, в которых функция равна нулю, или нули функции. На графике нули функции Как строить графики функций из квадратного уравнения— это точки пересечения графика функции Как строить графики функций из квадратного уравненияс осью ОХ.

Поскольку ордината (у) любой точки, лежащей на оси ОХ равна нулю, чтобы найти координаты точек пересечения графика функции Как строить графики функций из квадратного уравненияс осью ОХ, нужно решить уравнение Как строить графики функций из квадратного уравнения.

В случае квадратичной функции Как строить графики функций из квадратного уравнениянужно решить квадратное уравнение Как строить графики функций из квадратного уравнения.

В процессе решения квадратного уравнения мы находим дискриминант: Как строить графики функций из квадратного уравнения, который определяет число корней квадратного уравнения.

И здесь возможны три случая:

1. Если Как строить графики функций из квадратного уравненияКак строить графики функций из квадратного уравнения,то уравнение Как строить графики функций из квадратного уравненияне имеет решений, и, следовательно, квадратичная парабола Как строить графики функций из квадратного уравненияне имеет точек пересечения с осью ОХ. Если Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»a>0″/>Как строить графики функций из квадратного уравнения,то график функции выглядит как-то так:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

2. Если Как строить графики функций из квадратного уравненияКак строить графики функций из квадратного уравнения,то уравнение Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет одно решение, и, следовательно, квадратичная парабола Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет одну точку пересечения с осью ОХ. Если Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»a>0″/>Как строить графики функций из квадратного уравнения,то график функции выглядит примерно так:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

3 . Если Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»D>0″/>Как строить графики функций из квадратного уравнения,то уравнение Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет два решения, и, следовательно, квадратичная парабола Как строить графики функций из квадратного уравненияимеет две точки пересечения с осью ОХ:

Как строить графики функций из квадратного уравнения, Как строить графики функций из квадратного уравнения

Если Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»a>0″/>Как строить графики функций из квадратного уравнения,то график функции выглядит примерно так:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Следовательно, зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, мы уже можем в общих чертах определить, как выглядит график нашей функции.

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Следующий важный параметр графика квадратичной функции — координаты вершины параболы:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Прямая, проходящая через вершину параболы параллельно оси OY является осью симметрии параболы.

И еще один параметр, полезный при построении графика функции — точка пересечения параболы Как строить графики функций из квадратного уравненияс осью OY.

Поскольку абсцисса любой точки, лежащей на оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы Как строить графики функций из квадратного уравненияс осью OY, нужно в уравнение параболы вместо х подставить ноль: Как строить графики функций из квадратного уравнения.

То есть точка пересечения параболы с осью OY имеет координаты (0;c).

Итак, основные параметры графика квадратичной функции показаны на рисунке:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. В зависимости от того, каким образом задана квадратичная функция, можно выбрать наиболее удобный.

1. Функция задана формулой Как строить графики функций из квадратного уравнения.

Рассмотрим общий алгоритм построения графика квадратичной параболы на примере построения графика функции Как строить графики функций из квадратного уравнения

1. Направление ветвей параболы.

Так как Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»a=2>0″/>Как строить графики функций из квадратного уравнения,ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения0″ title=»D=b^2-4ac=9-4*2*(-5)=49>0″/> Как строить графики функций из квадратного уравненияКак строить графики функций из квадратного уравнения

Дискриминант квадратного трехчлена больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ.

Для того, чтобы найти их координаты, решим уравнение: Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения, Как строить графики функций из квадратного уравнения

3. Координаты вершины параболы:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения

4. Точка пересечения параболы с осью OY: (0;-5),и ей симметричная относительно оси симметрии параболы.

Нанесем эти точки на координатную плоскость, и соединим их плавной кривой:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Этот способ можно несколько упростить.

1. Найдем координаты вершины параболы.

2. Найдем координаты точек, стоящих справа и слева от вершины.

Воспользуемся результатами построения графика функции

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Кррдинаты вершины параболы

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Ближайшие к вершине точки, расположенные слева от вершины имеют абсциссы соответственно -1;-2;-3

Ближайшие к вершине точки, расположенные справа имеют абсциссы соответственно 0;1;2

Подставим значения х в уравнение функции, найдем ординаты этих точек и занесем их в таблицу:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Нанесем эти точки на координатную плоскость и соединим плавной линией:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

2 . Уравнение квадратичной функции имеет вид Как строить графики функций из квадратного уравнения— в этом уравнении Как строить графики функций из квадратного уравнения— координаты вершины параболы

или в уравнении квадратичной функции Как строить графики функций из квадратного уравненияКак строить графики функций из квадратного уравнения, и второй коэффициент — четное число.

Построим для примера график функции Как строить графики функций из квадратного уравнения.

Вспомним линейные преобразования графиков функций. Чтобы построить график функции Как строить графики функций из квадратного уравнения, нужно

  • сначала построить график функции Как строить графики функций из квадратного уравнения,
  • затем одинаты всех точек графика умножить на 2,
  • затем сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • а затем вдоль оси OY на 4 единицы вверх:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Теперь рассмотрим построение графика функции Как строить графики функций из квадратного уравнения. В уравнении этой функции Как строить графики функций из квадратного уравнения, и второй коэффициент — четное число.

Выделим в уравнении функции полный квадрат: Как строить графики функций из квадратного уравнения

Следовательно, координаты вершины параболы: Как строить графики функций из квадратного уравнения. Старший коэффициент равен 1, поэтому построим по шаблону параболу с вершиной в точке (-2;1):

Как строить графики функций из квадратного уравнения

3 . Уравнение квадратичной функции имеет вид y=(x+a)(x+b)

Построим для примера график функции y=(x-2)(x+1)

1. Вид уравнения функции позволяет легко найти нули функции — точки пересечения графика функции с осью ОХ:

(х-2)(х+1)=0, отсюда Как строить графики функций из квадратного уравнения

2. Координаты вершины параболы: Как строить графики функций из квадратного уравнения

Как строить графики функций из квадратного уравнения

3. Точка пересечения с осью OY: с=ab=(-2)(1)=-2 и ей симметричная.

Нанесем эти точки на координатную плоскость и построим график:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

График квадратичной функции.

Перед вами график квадратичной функции вида Как строить графики функций из квадратного уравнения.

Кликните по чертежу.
Подвигайте движки.
Исследуйте зависимость
— ширины графика функции Как строить графики функций из квадратного уравненияот значения коэффициента Как строить графики функций из квадратного уравнения,
— сдвига графика функции Как строить графики функций из квадратного уравнениявдоль оси Как строить графики функций из квадратного уравненияот значения Как строить графики функций из квадратного уравнения,

— сдвига графика функции Как строить графики функций из квадратного уравнениявдоль оси Как строить графики функций из квадратного уравненияот значения Как строить графики функций из квадратного уравнения
— направления ветвей параболы от знака коэффициента Как строить графики функций из квадратного уравнения
— координат вершины параболы Как строить графики функций из квадратного уравненияот значений Как строить графики функций из квадратного уравненияи Как строить графики функций из квадратного уравнения:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.Как строить графики функций из квадратного уравнения

Видео:Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnlineСкачать

Всё о квадратичной функции. Парабола | Математика TutorOnline

Квадратичная функция. Построение параболы

Как строить графики функций из квадратного уравнения

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график ПараболаСкачать

ЭЛЕМЕНТАРНО, ВАТСОН! Квадратичная Функция и ее график Парабола

Основные понятия

Функция — это зависимость «y» от «x», при которой «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию означает определить правило в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ. Помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ: наглядно.
  • Аналитический способ, через формулы. Компактно и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить в функцию произвольные значения и найти координаты этих точек.

Еще быстрее разобраться в теме и научиться строить график квадратичной функции можно на курсах по математике в онлайн-школе Skysmart.

Видео:Построение графика квадратичной функцииСкачать

Построение графика квадратичной функции

Построение квадратичной функции

Квадратичная функция задается формулой y = ax 2 + bx + c, где x и y — переменные, a, b, c — заданные числа, обязательное условие — a ≠ 0. В уравнении существует следующее распределение:

  • a — старший коэффициент, который отвечает за ширину параболы. Большое значение a — парабола узкая, небольшое — парабола широкая.
  • b — второй коэффициент, который отвечает за смещение параболы от центра координат.
  • с — свободный член, который соответствует координате пересечения параболы с осью ординат.

График квадратичной функции — парабола, которая имеет следующий вид для y = x 2 :

Точки, обозначенные зелеными кружками называют базовыми точками. Чтобы найти их координаты для функции y = x 2 , нужно составить таблицу:

x

y

Если в уравнении квадратичной функции старший коэффициент равен единице, то график имеет ту же форму, как y = x 2 при любых значениях остальных коэффициентов.

График функции y = –x 2 выглядит, как перевернутая парабола:

Зафиксируем координаты базовых точек в таблице:

x

y

Посмотрев на оба графика можно заметить их симметричность относительно оси ОХ. Отметим важные выводы:

  • Если старший коэффициент больше нуля a > 0, то ветви параболы напрaвлены вверх.
  • Если старший коэффициент меньше нуля a 2 + bx + c, для построения которой нужно решить квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. В процессе найдем дискриминант D = b 2 — 4ac, который даст нам информацию о количестве корней квадратного уравнения.

Рассмотрим три случая:

  1. Если D 0,то график выглядит так:
  1. Если D = 0, то уравнение имеет одно решение, а парабола пересекает ось ОХ в одной точке. Если a > 0, то график имеет такой вид:
  2. Если D > 0, то уравнение имеет два решения, а парабола пересекает ось ОХ в двух точках, которые можно найти следующим образом:

Если a > 0, то график выглядит как-то так:

0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/8ryBuyxmK9S2EbnsNc4AE5PEl_NpIg0RAM_Y_V8wUP-zREEHNgi9QoQTl8FXxoujjWRAvf3s-MPRsXsoepaLLSTHDX-ReGtrsnLQp4dW3WaEyPF2ywjVpYFXlDIpAEHoIiwlxiB7″ width=»602″>

На основе вышеизложенного ясно, что зная направление ветвей параболы и знак дискриминанта, у нас есть понимание, как будет выглядеть график конкретной функции.

Координаты вершины параболы также являются важным параметром графика квадратичной функции и находятся следующим способом:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Ось симметрии параболы — прямая, которая проходит через вершину параболы параллельно оси OY.

Чтобы построить график, нам нужна точка пересечения параболы с осью OY. Так как абсцисса каждой точки оси OY равна нулю, чтобы найти точку пересечения параболы y = ax 2 + bx + c с осью OY, нужно в уравнение вместо х подставить ноль: y(0) = c. То есть координаты этой точки будут соответствовать: (0; c).

На изображении отмечены основные параметры графика квадратичной функции:

Видео:Квадратичная функция за 5 минутСкачать

Квадратичная функция за 5 минут

Алгоритм построения параболы

Рассмотрим несколько способов построения квадратичной параболы. Наиболее удобный способ можно выбрать в соответствии с тем, как задана квадратичная функция.

Видео:ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 классСкачать

ГРАФИК ФУНКЦИЙ — Сдвиги Графика Функции, Как строить Графики Функции // Алгебра 8 класс

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = ax 2 + bx + c.

Разберем общий алгоритм на примере y = 2x 2 + 3x — 5.

Как строим:

  1. Определим направление ветвей параболы. Так как а = 2 > 0, ветви параболы направлены вверх.
  2. Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 + 3x — 5.

D = b 2 — 4ac = 9 — 4 * 2 * (-5) = 49 > 0

В данном случае дискриминант больше нуля, поэтому парабола имеет две точки пересечения с осью ОХ. Чтобы найти их координаты, решим уравнение:

2x 2 + 3x — 5 = 0 2 + 3x — 5 = 0″ png;base64,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»>

  1. Координаты вершины параболы:
  1. Точка пересечения с осью OY находится: (0; -5) и ей симметричная.
  2. Нанести эти точки на координатную плоскость и построить график параболы:
    2 + 3x — 5 = 0″ height=»671″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/TYyA5dFfh0ZKINaPSps3Y_X1mCv8Mhv_8bNG3_dPbZud1AEsvo7UBFmVQNm1GcR1CQFo6HE1lNjYaAgepQUTQiK_ay_Fnuv7LEsB53woHkFO66W0R1PP8QfGsFcYzaR_h4AJdLxC» width=»602″>

Видео:Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | МатематикаСкачать

Задание 23 из ОГЭ Построение графиков функций с модулем | Математика

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = a * (x — x₀) 2 + y₀

Координаты его вершины: (x₀; y₀). В уравнении квадратичной функции y = 2x 2 + 3x — 5 при а = 1, то второй коэффициент является четным числом.

Рассмотрим пример: y = 2 * (x — 1) 2 + 4.

Как строим:

  1. Воспользуемся линейным преобразованием графиков функций. Для этого понадобится:
  • построить y = x 2 ,
  • умножить ординаты всех точек графика на 2,
  • сдвинуть его вдоль оси ОХ на 1 единицу вправо,
  • сдвинуть его вдоль оси OY на 4 единицы вверх.
  1. Построить график параболы для каждого случая. 2 + y₀» height=»431″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/_zgF-CXWf4Yy0p2OnBYSJkUm0zO-mNetq5feU6LIPEbIgSrO9kdr2ti_tr7Gg3yTMOlJVnuZgG0HleAFfAzG7yr7ELHT6KSMqMrRHkHqt-VcgIiSZx80cVj0zlPMBzEM0wAWQ-L6″ width=»602″>

Видео:Построение графика квадратичной функции. Алгебра, 9 классСкачать

Построение графика квадратичной функции. Алгебра, 9 класс

Уравнение квадратичной функции имеет вид y = (x + a) × (x + b)

Рассмотрим следующий пример: y = (x − 2) × (x + 1).

Как строим:

Данный вид уравнения позволяет быстро найти нули функции:

(x − 2) × (x + 1) = 0, отсюда х₁ = 2, х₂ = −1.

Определим координаты вершины параболы:

Как строить графики функций из квадратного уравнения

Найти точку пересечения с осью OY:

с = ab = (−2) × (1) = −2 и ей симметричная.

Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим плавной прямой.

Видео:Квадратичная функция и ее график. 8 класс.Скачать

Квадратичная функция и ее график. 8 класс.

Как построить параболу? Что такое парабола? Как решаются квадратные уравнения?

Урок: как построить параболу или квадратичную функцию?

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Парабола — это график функции описанный формулой ax 2 +bx+c=0.
Чтобы построить параболу нужно следовать простому алгоритму действий:

1 ) Формула параболы y=ax 2 +bx+c,
если а>0 то ветви параболы направленны вверх,
а 2 +bx+c=0;

a) Полное квадратное уравнение имеет вид ax 2 +bx+c=0 и решается по дискриминанту;
b) Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0:
ax 2 +bx=0,
х(ax+b)=0,
х=0 и ax+b=0;
c)Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a);

4) Найти несколько дополнительных точек для построения функции.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

И так теперь на примере разберем все по действиям:
Пример №1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=3. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4-8+3=-1 вершина находится в точке (-2;-1)
Найдем корни уравнения x 2 +4x+3=0
По дискриминанту находим корни
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3
Как строить графики функций из квадратного уравнения
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=-2

х -4 -3 -1 0
у 3 0 0 3

Подставляем вместо х в уравнение y=x 2 +4x+3 значения
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=-2

Пример №2:
y=-x 2 +4x
c=0 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=0. Ветви параболы смотрят вниз так как а=-1 -1 2 +4*2=-4+8=4 вершина находится в точке (2;4)
Найдем корни уравнения -x 2 +4x=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +bx=0. Чтобы его решить нужно вынести х за скобки, потом каждый множитель приравнять к 0.
х(-x+4)=0, х=0 и x=4.
Как строить графики функций из квадратного уравнения
Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=2
х 0 1 3 4
у 0 3 3 0
Подставляем вместо х в уравнение y=-x 2 +4x значения
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=2

Пример №3
y=x 2 -4
c=4 значит парабола пересекает OY в точке х=0 у=4. Ветви параболы смотрят вверх так как а=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 вершина находится в точке (0;-4)
Найдем корни уравнения x 2 -4=0
Неполное квадратное уравнение вида ax 2 +c=0. Чтобы его решить нужно неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. x =±√(c/a)
x 2 =4
x1=2
x2=-2

Возьмем несколько произвольных точек, которые находятся рядом с вершиной х=0
х -2 -1 1 2
у 0 -3 -3 0
Подставляем вместо х в уравнение y= x 2 -4 значения
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Видно по значениям функции,что парабола симметрична относительно прямой х=0

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE, чтобы быть в курсе всех новинок и готовится с нами к экзаменам.

📺 Видео

18 вариант-ЕГЭпрофиль-Реальный-с Оформлением на 100Скачать

18 вариант-ЕГЭпрофиль-Реальный-с Оформлением на 100

ФУНКЦИЯ y = √¯x ( корень из х ) МАТЕМАТИКАСкачать

ФУНКЦИЯ y = √¯x ( корень из х ) МАТЕМАТИКА

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.Скачать

Решение квадратных неравенств графическим методом. 8 класс.

Парабола. Квадратичная функцияСкачать

Парабола. Квадратичная функция

ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ГРАФИК ФУНКЦИИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Графики функций за 10 секунд #огэ #математика #shortsСкачать

Графики функций за 10 секунд #огэ #математика #shorts

Алгебра 9 класс (Урок№10 - Построение графика квадратичной функции.)Скачать

Алгебра 9 класс (Урок№10 - Построение графика квадратичной функции.)

Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Графики функций. Задание №11 | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

АЛГЕБРА 8 класс : Графическое решение квадратных уравнений | ВидеоурокСкачать

АЛГЕБРА 8 класс : Графическое решение квадратных уравнений | Видеоурок

Функция y=√x, ее свойства и график. 8 класс.Скачать

Функция y=√x, ее свойства и график. 8 класс.

График квадратичной функции с модулемСкачать

График квадратичной функции с модулем

Функция y=x2 и её график – 8 класс алгебраСкачать

Функция y=x2 и её график – 8 класс алгебра
Поделиться или сохранить к себе: