Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать
Примеры решений по аналитической геометрии на плоскости
В этом разделе вы найдете бесплатные примеры решений задач по аналитической геометрии на плоскости об исследовании треугольника (заданного вершинами или сторонами): уравнения сторон, углы, площадь, уравнения и длины высот, медиан, биссектрис и т.п.
Видео:найти уравнение высоты треугольникаСкачать
Решения задач о треугольнике онлайн
Задача 1. Даны вершины треугольника $A (-2, 1), B (3, 3), С (1, 0)$. Найти:
а) длину стороны $AB$;
б) уравнение медианы $BM$;
в) $cos$ угла $BCA$;
г) уравнение высоты $CD$;
д) длину высоты $СD$;
е) площадь треугольника $АВС$.
Задача 2. Найти длину высоты $AD$ в треугольнике с вершинами $A(3,2), B(2,-5), C(-6,-1)$ и написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точки $C$ на прямую $AB$.
Задача 3. Даны вершины $A(1,1), B(7,5), C(4,5)$ треугольника. Найти:
1) длину стороны $AB$;
2) внутренний угол $A$ в радианах с точностью до 0,01;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину $C$;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину $C$;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины $C$;
7) систему линейных неравенств, определяющую внутреннюю область треугольника.
Сделать чертеж.
Задача 4. Даны уравнения двух сторон треугольника $4x-5y+9=0$ и $x+4y-3=0$. Найти уравнение третьей стороны, если известно, что медианы этого треугольника пересекаются в точке $P(3,1)$.
Задача 5. Даны две вершины $A(-3,3)$, $B(5,-1)$ и точка $D(4,3)$ пересечения высот треугольника. Составить уравнения его сторон.
Задача 6. Найти углы и площадь треугольника, образованного прямыми $у = 2х$, $y = -2х$ и $у = х + 6$.
Задача 7. Найти точку пересечения медиан и точку пересечения высот треугольника: $А(0, — 4)$, $В(3, 0)$ и $С(0, 6)$.
Задача 8. Вычислить координаты точек середины отрезков, являющихся медианами треугольника $ABC$, если $A(-6;1)$, $B(4;3)$, $C(10;8)$.
Видео:Уравнение прямой и треугольник. Задача про высотуСкачать
Задача 17886 Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7).
Условие
Даны две вершины A(3; -1), B(5; 7) треугольника ABC и точка N(4; -1) пересечения его высот. Составить уравнения сторон этого треугольника.
Решение
Уравнение прямой АВ составим как уравнение прямой, проходящей через две точки:
(х-x_(A))/(x_(B)-x_(A))=(y-y_(A))/(y_(B)-y_(A))
Составим уравнение прямой AN
A(3; –1),N(4; –1)
Так как вторые координаты одинаковые, то значит прямая AN характеризуется тем свойством, что на ней расположены точки, у которых вторая координата равны -1.
Уравнение такой прямой имеет вид:
у=-1
Прямая ВС перпендикулярна прямой АN, значит уравнение этой прямой имеет вид
х=с ( с- константа)
Значит прямая ВС характеризуется тем свойством,что на ней расположены точки, у которых первая координата одинаковая.
Так как у точки В первая координата 5, то значит с=5
х=5 — уравнение прямой ВС.
Уравнение прямой ВN — уравнение прямой, проходящей через две точки:
(х-x_(B))/(x_(N)-x_(B))=(y-y_(B))/(y_(N)-y_(B))
(х-5)/(4-5)=(y-7)/(-1-7)
-8*(x-5)=-1*(y-7)
8x+y-47=0 — уравнение прямой BN.
Прямая АС перпендикулярна BN и проходит через точку А.
Если прямые у=k1x+b1 и y=k2x+b2 перпендикулярны, то
k1*k2=-1
y=(1/8)x+b — уравнение прямых, перпендикулярных BN.
Чтобы выделить из них прямую AC, подставим координаты точки А и найдем b.
y=(1/8)x-(11/8) или умножим на 8
8у=х-11
х-8у-11=0 — уравнение прямой АС
О т в е т.
4х-у-13=0 — уравнение прямой АВ
х-8у-11=0 — уравнение прямой АС
х=5 — уравнение прямой ВС
🎥 Видео
Уравнения прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать
Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать
Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать
Аналитическая геометрия на плоскости. Решение задачСкачать
Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать
Вычисляем угол через координаты вершинСкачать
Как составить уравнение прямой, проходящей через две точки на плоскости | МатематикаСкачать
Метод координат. Как найти медиану треугольника, если известны координаты его вершин?Скачать
Математика без Ху!ни. Уравнение плоскости.Скачать
Составляем уравнение прямой по точкамСкачать
19. Решение типовых задач по теме "Прямая на плоскости"Скачать
Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать
7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать
9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать
КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать