Как составить уравнение гиперболы зная фокусы и расстояние между директрисами (4 видео)

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Содержание

Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
Что такое гипербола
Понятие гиперболы
Форма гиперболы
Фокальное свойство гиперболы
Директориальное свойство гиперболы
Построение гиперболы
Гипербола и её свойства
Гипербола и её форма.
📹 Видео

Видео:Написать каноническое уравнение гиперболы. Дан эксцентриситетСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Видеоурок "Гипербола"Скачать

Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения

Пример 6. Фокусы эллипса расположены на оси Ox симметрично относительно начала координат. Составить каноническое уравнение эллипса, если:

1) b = 4 , а один из фокусов в точке (5; 0)

2) действительная ось 6, расстояние между фокусами 8

3) один из фокусов в точке (-10; 0), уравнения асимптот гиперболы

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Фокусы гиперболыСкачать

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

Две симметричные ветви.
Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Сокращаем обе дроби в уме или при помощи трехэтажной дроби:

Как составить уравнение гиперболы зная фокусы и расстояние между директрисами

Выделяем квадраты в знаменателях:

Готово. Можно начертить гиперболу.

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
Воспользуемся каноническим уравнением
- Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
  Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
- Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Изобразим на чертеже полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), дополнительные C1, C2 и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединяем соответствующие точки у каждой ветви гиперболы.

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Видео:§29 Эксцентриситет гиперболыСкачать

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Видео:Фокус и директриса параболы 1Скачать

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Видео:213. Фокус и директриса параболы.Скачать

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Видео:§21 Каноническое уравнение гиперболыСкачать

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

Видео:Аналитическая геометрия: Эллипс, Парабола, Гипербола. Высшая математикаСкачать

Гипербола и её свойства

Видео:§23 Построение гиперболыСкачать

Гипербола и её форма.

Гиперболой мы назвали линию, которая в некоторой декартовой прямоугольной системе координат определяется каноническим уравнением
$$
frac<x^><a^>-frac<y^><b^>=1.label
$$

Из этого уравнения видно, что для всех точек гиперболы (|x| geq a), то есть все точки гиперболы лежат вне вертикальной полосы ширины (2a) (рис. 8.6). Ось абсцисс канонической системы координат пересекает гиперболу в точках с координатами ((a, 0)) и ((-a, 0)), называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Таким образом, гипербола состоит из двух не связанных между собой частей. Они называются ее ветвями. Числа (a) и (b) называются соответственно вещественной и мнимой полуосями гиперболы.

Рис. 8.6. Гипербола.

Для гиперболы оси канонической системы координат являются осями симметрии, а начало канонической системы — центром симметрии.

Доказательство аналогично доказательству соответствующего утверждения для эллипса.

Для исследования формы гиперболы найдем ее пересечение с произвольной прямой, проходящей через начало координат. Уравнение прямой возьмем в виде (y=kx), поскольку мы уже знаем, что прямая (x=0) не пересекает гиперболу. Абсциссы точек перечения находятся из уравнения
$$
frac<x^><a^>-frac<k^x^><b^>=1.
$$
Поэтому, если (b^-a^k^ > 0), то
$$
x=pm frac<sqrt<b^-a^k^>>.
$$
Это позволяет указать координаты точек пересечения ((ab/v, abk/v)) и ((-ab/v, -abk/v)), где обозначено (v=(b^-a^k^)^). В силу симметрии достаточно проследить за движением первой из точек при изменении (k) (рис. 8.7).

Рис. 8.7. Пересечение прямой и гиперболы.

Числитель дроби (ab/v) постоянен, а знаменатель принимает наибольшее значение при (k=0). Следовательно, наименьшую абсциссу имеет вершина ((a, 0)). С ростом (k) знаменатель убывает, и (x) растет, стремясь к бесконечности, когда (k) приближается к числу (b/a). Прямая (y=bx/a) с угловым коэффициентом (b/a) не пересекает гиперболу, и прямые с большими угловыми коэффициентами ее тем более не пересекают. Любая прямая с меньшим положительным угловым коэффициентом пересекает гиперболу.

Если мы будем поворачивать прямую от горизонтального положения по часовой стрелке, то (k) будет убывать, (k^) расти, и прямая будет пересекать гиперболу во все удаляющихся точках, пока не займет положения с угловым коэффициентом (-b/a).

К прямой (y=-bx/a) относится все, что было сказано о (y=bx/a): она не пересекает гиперболу и отделяет прямые, пересекающие ее, от не пересекающих. Из приведенных рассуждений вытекает, что гипербола имеет вид, изображенный на рис. 8.7.

Прямые с уравнениями (y=bx/a) и (y=-bx/a) в канонической системе координат называются асимптотами гиперболы.