Как составить уравнение функции по графику гиперболы (4 видео)

Функция y = k/x и её график. Гипербола

Содержание

Определение обратной пропорциональности
График обратной пропорциональности
Гипербола
Гипербола: формулы, примеры решения задач
Определение гиперболы, решаем задачи вместе
Решить задачи на гиперболу самостоятельно, а затем посмотреть решения
💡 Видео

Определение обратной пропорциональности

Допустим, что у нас есть 1000 руб. Спрашивается, сколько тетрадей мы сможем купить, в зависимости от их цены. Составим таблицу:

Цена 1 тетради, руб.

Графическое представление полученных результатов:

Результат вполне ожидаемый: чем больше цена, тем меньше то количество, которое мы можем себе позволить за определённую ограниченную сумму.

Можно привести и другие примеры, где зависимость между величинами будет аналогичной:

время, которое придётся потратить на дорогу между двумя городами (при заданном расстоянии), в зависимости от скорости;
длина фанерного листа в зависимости от ширины при заданной площади;
время заполнения бассейна (заданный объём) в зависимости от количества открытых труб, и т.п.

Если обобщить формулы, описывающие подобные зависимости, то получаем:

$$<left< begin -infty lt x lt +infty — аргумент, quad любое quad действительное quad число \ k = const neq 0-параметр, quad константа \ y = frac — функция end right.>$$

Функция такого вида называется обратной пропорциональностью .

Если $k gt 0$, то чем больше x, тем меньше y – функция убывает.

Если $k lt 0$, то чем больше x, тем больше y – функция возрастает.

(Сравните с прямой пропорциональностью – см. §37 справочника для 7 класса)

График обратной пропорциональности

Графиком обратной пропорциональности является кривая, которую называют гиперболой.

Чтобы построить гиперболу, нужно 1) составить таблицу, в которой рассчитать значения y=k/x для некоторых значений x, 2) отметить полученные точки на координатной плоскости и 3) соединить их плавной кривой.

Видео:Графики функций. Гиперболы.Скачать

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Видео:Гипербола. Функция k/x и её графикСкачать

Гипербола: формулы, примеры решения задач

Видео:Новая задача №9 на гиперболу из ЕГЭ 2022 по математикеСкачать

Определение гиперболы, решаем задачи вместе

Определение гиперболы. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, таких, для которых модуль разности расстояний от двух точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид:

где a и b — длины полуосей, действительной и мнимой.

На чертеже ниже фокусы обозначены как и .

На чертеже ветви гиперболы — бордового цвета.

При a = b гипербола называется равносторонней.

Пример 1. Составить каноническое уравнение гиперболы, если его действительная полуось a = 5 и мнимая = 3.

Решение. Подставляем значения полуосей в формулу канонического уравения гиперболы и получаем:

Точки пересечения гиперболы с её действительной осью (т. е. с осью Ox) называются вершинами. Это точки (a, 0) (- a, 0), они обозначены и надписаны на рисунке чёрным.

Точки и , где

называются фокусами гиперболы (на чертеже обозначены зелёным, слева и справа от ветвей гиперболы).

называется эксцентриситетом гиперболы.

Гипербола состоит из двух ветвей, лежащих в разных полуплоскостях относительно оси ординат.

Пример 2. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние между фокусами равно 10 и действительная ось равна 8.

Если действительная полуось равна 8, то её половина, т. е. полуось a = 4 ,

Если расстояние между фокусами равно 10, то число c из координат фокусов равно 5.

То есть, для того, чтобы составить уравнение гиперболы, потребуется вычислить квадрат мнимой полуоси b.

Подставляем и вычисляем:

Получаем требуемое в условии задачи каноническое уравнение гиперболы:

Пример 3. Составить каноническое уравнение гиперболы, если её действительная ось равна 48 и эксцентриситет .

Решение. Как следует из условия, действительная полуось a = 24 . А эксцентриситет — это пропорция и так как a = 24 , то коэффициент пропорциональности отношения с и a равен 2. Следовательно, c = 26 . Из формулы числа c выражаем квадрат мнимой полуоси и вычисляем:

Результат — каноническое уравнение гиперболы:

Если — произвольная точка левой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

Если — произвольная точка правой ветви гиперболы () и — расстояния до этой точки от фокусов , то формулы для расстояний — следующие:

На чертеже расстояния обозначены оранжевыми линиями.

Для каждой точки, находящейся на гиперболе, сумма расстояний от фокусов есть величина постоянная, равная 2a.

Прямые, определяемые уравнениями

называются директрисами гиперболы (на чертеже — прямые ярко-красного цвета).

Из трёх вышеприведённых уравнений следует, что для любой точки гиперболы

где — расстояние от левого фокуса до точки любой ветви гиперболы, — расстояние от правого фокуса до точки любой ветви гиперболы и и — расстояния этой точки до директрис и .

Пример 4. Дана гипербола . Составить уравнение её директрис.

Решение. Смотрим в уравнение директрис и обнаруживаем, что требуется найти эксцентриситет гиперболы, т. е. . Вычисляем:

Получаем уравнение директрис гиперболы:

Многие задачи на директрисы гиперболы аналогичны задачам на директрисы эллипса. В уроке «Эллипс» это пример 7.

Характерной особенностью гиперболы является наличие асимптот — прямых, к которым приближаются точки гиперболы при удалении от центра.

Асимптоты гиперболы определяются уравнениями

На чертеже асимптоты — прямые серого цвета, проходящие через начало координат O.

Уравнение гиперболы, отнесённой к асимптотам, имеет вид:

, где .

В том случае, когда угол между асимптотами — прямой, гипербола называется равнобочной, и если асимптоты равнобочной гиперболы выбрать за оси координат, то её уравнение запишется в виде y = k/x , то есть в виде уравения обратной пропорциональной зависимости.

Пример 5. Даны уравнения асимптот гиперболы и координаты точки , лежащей на гиперболе. Составить уравнение гиперболы.

Решение. Дробь в уравнении асимптот гиперболы — это пропорция, следовательно, нужно сначала найти коэффициент пропорциональности отношения . Для этого подставляем в формулу канонического уравнения гиперболы координаты точки M x и y и значения числителя и знаменателя из уравнения асимптоты, кроме того, умножаем каждую дробь в левой части на коэффициент пропорциональности k.

Теперь имеем все данные, чтобы получить каноническое уравнение гиперболы. Получаем:

Гипербола обладает оптическим свойством, которое описывается следующим образом: луч, исходящий из источника света, находящегося в одном из фокусов гиперболы, после отражения движется так, как будто он исходит из другого фокуса.

Видео:Графики функций №3 ГиперболаСкачать