Как составить нормальную систему уравнений

Система нормальных уравнений и явный вид ее решения при оценивании методом наименьших квадратов линейной модели парной регрессии

Предположим, что в ходе регрессионного анализа была установлена линейная взаимосвязь между исследуемыми переменными х и у, которая описывается моделью регрессии вида:

Как составить нормальную систему уравнений

В результате оценивания данной эконометрической модели определяются оценки неизвестных коэффициентов. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК).

Метод наименьших квадратов позволяет получить такие оценки параметров β0и β1, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от расчетных (теоретических) y˜ минимальна:

Как составить нормальную систему уравнений

В процессе минимизации функции (1) неизвестными являются только значения коэффициентов β0 и β1, потому что значения результативной и факторной переменных известны из наблюдений. Для определения минимума функции двух переменных вычисляются частные производные этой функции по каждому из оцениваемых параметров и приравниваются к нулю. Результатом данной процедуры будет стационарная система уравнений для функции (2):

Как составить нормальную систему уравнений.

Если разделить обе части каждого уравнения системы на (-2), раскрыть скобки и привести подобные члены, то получим систему нормальных уравнений для функции регрессии вида yi=β01xi:

Как составить нормальную систему уравнений

Если решить данную систему нормальных уравнений, то мы получим искомые оценки неизвестных коэффициентов модели регрессии β0 и β1:

Как составить нормальную систему уравнений

y – среднее значение зависимой переменной;

x – среднее значение независимой переменной;

xy – среднее арифметическое значение произведения зависимой и независимой переменных;

G 2 (x) – дисперсия независимой переменной;

Gcov (x, y) – ковариация между зависимой и независимой переменными.

Таким образом, явный вид решения системы нормальных уравнений может быть записан следующим образом:

Видео:Решение систем уравнений методом подстановкиСкачать

Решение систем уравнений методом подстановки

23. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных

Уравнений с постоянными коэффициентами.

При рассмотрении систем дифференциальных уравнений ограничимся случаем системы трех уравнений (n = 3). Все нижесказанное справедливо для систем произвольного порядка.

Определение. Нормальная система дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами называется Линейной однородной, если ее можно записать в виде:

Как составить нормальную систему уравнений(2)

Решения системы (2) обладают следующими свойствами:

Решения системы ищутся в виде: Как составить нормальную систему уравнений

Подставляя эти значения в систему (2) и перенеся все члены в одну сторону и сократив на Ekx, получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Для того, чтобы полученная система имела ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т. е.:

Как составить нормальную систему уравнений

В результате вычисления определителя получаем уравнение третьей степени относительно K. Это уравнение называется Характеристическим уравнением И имеет три корня K1, K2, K3. Каждому из этих корней соответствует ненулевое решение системы (2):

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Линейная комбинация этих решений с произвольными коэффициентами будет решением системы (2):

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Пример. Найти общее решение системы уравнений:

Как составить нормальную систему уравнений

Составим характеристическое уравнение:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Решим систему уравнений:

Как составить нормальную систему уравнений

Для K1: Как составить нормальную систему уравнений

Полагая Как составить нормальную систему уравнений(принимается любое значение), получаем: Как составить нормальную систему уравнений

Для K2: Как составить нормальную систему уравнений

Полагая Как составить нормальную систему уравнений(принимается любое значение), получаем: Как составить нормальную систему уравнений

Общее решение системы: Как составить нормальную систему уравнений

Этот пример может быть решен другим способом:

Продифференцируем первое уравнение: Как составить нормальную систему уравнений

Подставим в это выражение производную У¢ =2X + 2Y из второго уравнения.

Как составить нормальную систему уравнений

Подставим сюда У, выраженное из первого уравнения:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Обозначив Как составить нормальную систему уравнений, получаем решение системы: Как составить нормальную систему уравнений

Пример. Найти решение системы уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Эта система дифференциальных уравнений не относится к рассмотренному выше типу, т. к. не является однородным (в уравнение входит независимая переменная Х).

Для решения продифференцируем первое уравнение по Х. Получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Заменяя значение Z из второго уравнения получаем: Как составить нормальную систему уравнений.

С учетом первого уравнения, получаем: Как составить нормальную систему уравнений

Решаем полученное дифференциальное уравнение второго порядка.

Как составить нормальную систему уравнений

Общее решение однородного уравнения: Как составить нормальную систему уравнений

Теперь находим частное решение неоднородного дифференциального уравнения по формуле Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Общее решение неоднородного уравнения:

Как составить нормальную систему уравнений

Подставив полученное значение в первое уравнение системы, получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Пример. Найти решение системы уравнений:

Как составить нормальную систему уравнений

Составим характеристическое уравнение:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Если принять g = 1, то решения в этом случае получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Если принять g = 1, то получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Если принять g = 3, то получаем:

Как составить нормальную систему уравнений

Общее решение имеет вид:

Как составить нормальную систему уравнений

Элементы теории устойчивости.

Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений является одним из разделов Качественной теории дифференциальных уравнений, которая посвящена не нахождению какого – либо решения уравнения, а изучению характера поведения этого решения при изменении начальных условий или аргумента.

Этот метод особенно важен, т. к. позволяет делать вывод о характере решения без непосредственного нахождения этого решения. Т. е. даже в тех случаях, когда решение дифференциального уравнения вообще не может быть найдено аналитически.

Пусть имеется некоторое явление, описанное системой дифференциальных уравнений:

Как составить нормальную систему уравнений(1)

И начальные условия: Как составить нормальную систему уравнений

Для конкретного явления начальные условия определяются опытным путем и поэтому неточны.

Теорема. (о непрерывной зависимости решения от начальных условий)

Если правая часть дифференциального уравнения Как составить нормальную систему уравненийНепрерывна и по переменной у имеет ограниченную частную производную Как составить нормальную систему уравненийна области прямоугольника, ограниченного Как составить нормальную систему уравнений, то решение

Как составить нормальную систему уравнений, удовлетворяющее начальным условиям Как составить нормальную систему уравнений, непрерывно зависит от начальных данных, т. е. для любого Как составить нормальную систему уравнений, при котором если

Как составить нормальную систему уравненийто Как составить нормальную систему уравненийпри условии, что

Как составить нормальную систему уравненийгде

Как составить нормальную систему уравнений

Эта теорема справедлива как для одного дифференциального уравнения, так и для системы уравнений.

Определение. Если Как составить нормальную систему уравнений— решение системы дифференциальных уравнений, то это решение называется Устойчивым по Ляпунову, если для любого Как составить нормальную систему уравнений, такое, что для любого решения Как составить нормальную систему уравненийтой же системы, начальные условия которого удовлетворяют неравенствам

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

(Ляпунов Александр Михайлович (1857 – 1918) академик Петерб. АН)

Т. е. можно сказать, что решение j(t) устойчиво по Ляпунову, если близкие к нему по начальным условиям решения остаются близкими и при T ³ T0.

Если Как составить нормальную систему уравнений, то решение j(t) называется Асимптотически устойчивым.

Исследование на устойчивость по Ляпунову произвольного решения Как составить нормальную систему уравненийсистемы Как составить нормальную систему уравненийМожно свести к исследованию на устойчивость равного нулю решения некоторой другой системы, которая получена из данной заменой неизвестных функций:

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений(2)

Система (2) имеет тривиальное (равное нулю) решение Как составить нормальную систему уравнений

Теорема. Решение Как составить нормальную систему уравненийсистемы (1) устойчиво по Ляпунову тогда и только тогда, когда устойчиво по Ляпунову тривиальное решение системы (2).

Это тривиальное решение называется Положением равновесия Или Точкой покоя.

Определение. Точка покоя Как составить нормальную систему уравненийСистемы (2) устойчива по Ляпунову, если для любого Как составить нормальную систему уравненийтакое, что из неравенства

Как составить нормальную систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений.

Теорема. (Теорема Ляпунова). Пусть задана система

Как составить нормальную систему уравнений

Имеющая тривиальное решение Как составить нормальную систему уравнений.

Пусть существует дифференцируемая функция Как составить нормальную систему уравнений, удовлетворяющая условиям:

1) Как составить нормальную систему уравнений³0 и V = 0 только при у1 = у2 = … = уN =0, т. е. функция V Имеет минимум в начале координат.

2) Полная производная функции V Вдоль фазовой траектории (т. е. вдоль решения Yi(T) системы (1)) удовлетворяет условию:

Как составить нормальную систему уравнений при Как составить нормальную систему уравнений

Тогда точка покоя Как составить нормальную систему уравненийустойчива по Ляпунову.

Если ввести дополнительное требование, чтобы вне сколь угодно малой окрестности начала координат Как составить нормальную систему уравненийвыполнялось условие

Как составить нормальную систему уравнений

Где B — постоянная величина, то точка покоя Как составить нормальную систему уравненийасимптотически устойчива.

Функция V называется Функцией Ляпунова.

Классификация точек покоя.

Рассмотрим систему двух линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Как составить нормальную систему уравнений

Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:

Как составить нормальную систему уравнений

Рассмотрим следующие возможные случаи:

1) Корни характеристического уравнения действительные, отрицательные и различные.

Как составить нормальную систему уравнений

Точка покоя Как составить нормальную систему уравненийбудет устойчива. Такая точка покоя называется Устойчивым узлом.

2) Корни характеристического уравнения действительны и

Как составить нормальную систему уравненийили Как составить нормальную систему уравнений.

В этом случае точка покоя также будет устойчива.

3) Хотя бы один из корней Как составить нормальную систему уравненийположителен.

В этом случае точка покоя Как составить нормальную систему уравненийНеустойчива, и такую точку называют Неустойчивым седлом.

4) Оба корня характеристического уравнения положительны Как составить нормальную систему уравнений.

В этом случае точка покоя Как составить нормальную систему уравненийНеустойчива, и такую точку называют Неустойчивым узлом.

Если полученного решения Как составить нормальную систему уравненийСистемы исключить параметр T, то полученная функция Как составить нормальную систему уравненийдает траекторию движения в системе координат XOY.

Возможны следующие случаи:

Как составить нормальную систему уравненийb b

Устойчивый узел. Неустойчивый узел. Седло.

5) Корни характеристического уравнения комплексные Как составить нормальную систему уравнений.

Если Р = 0, т. е. корни чисто мнимые, то точка покоя (0, 0) устойчива по Ляпунову.

Такая точка покоя называется Центром.

Если P 0, то точка покоя неустойчива и называется Неустойчивым фокусом.

Уравнения математической физики.

Уравнения в частных производных.

Определение. Дифференциальным уравнением в частных производных Называется уравнение относительно неизвестной функции нескольких переменных, ее аргументов и ее частных производных различных порядков.

Как составить нормальную систему уравнений

Порядком Дифференциального уравнения в частных производных называется порядок старшей производной, входящей в это уравнение. Решением Уравнения будет некоторая функция Как составить нормальную систему уравнений, которая обращает уравнение в тождество.

Видео:15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решенийСкачать

15. Однородная система линейных уравнений / фундаментальная система решений

Как решать систему уравнений

Как составить нормальную систему уравнений

О чем эта статья:

8 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Видео:Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ. | МатематикаСкачать

Cистемы уравнений. Разбор задания 6 и 21 из ОГЭ.  | Математика

Основные понятия

Алгебра в 8 и 9 классе становится сложнее. Но если изучать темы последовательно и регулярно практиковаться в тетрадке и онлайн — ходить на уроки математики будет не так страшно.

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в исходное уравнение получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем 3 + 4 = 7. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 7 = 7.

Уравнением можно назвать, например, равенство 3 + x = 7 с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Система уравнений — это несколько уравнений, для которых надо найти значения неизвестных, каждое из которых соответствует данным уравнениям.

Так как существует множество уравнений, составленных с их использованием систем уравнений также много. Поэтому для удобства изучения существуют отдельные группы по схожим характеристикам. Рассмотрим способы решения систем уравнений.

Видео:Система уравнений. Метод алгебраического сложенияСкачать

Система уравнений. Метод алгебраического сложения

Линейное уравнение с двумя переменными

Уравнение вида ax + by + c = 0 называется линейным уравнением с двумя переменными x и y, где a, b, c — числа.

Решением этого уравнения называют любую пару чисел (x; y), которая соответствует этому уравнению и обращает его в верное числовое равенство.

Теорема, которую нужно запомнить: если в линейном уравнение есть хотя бы один не нулевой коэффициент при переменной — его графиком будет прямая линия.

Вот алгоритм построения графика ax + by + c = 0, где a ≠ 0, b ≠ 0:

Дать переменной 𝑥 конкретное значение x = x₁, и найти значение y = y₁ при ax₁ + by + c = 0.

Дать x другое значение x = x₂, и найти соответствующее значение y = y₂ при ax₂ + by + c = 0.

Построить на координатной плоскости xy точки: (x₁; y₁); (x₂; y₂).

Провести прямую через эти две точки и вуаля — график готов.

Нужно быстро привести знания в порядок перед экзаменом? Записывайтесь на курсы ЕГЭ по математике в Skysmart!

Видео:ФСР. Система однородных уравнений. Общее решениеСкачать

ФСР.  Система однородных уравнений.  Общее решение

Система двух линейных уравнений с двумя переменными

Для ax + by + c = 0 можно сколько угодно раз брать произвольные значение для x и находить значения для y. Решений в таком случае может быть бесчисленное множество.

Система линейных уравнений (ЛУ) с двумя переменными образуется в случае, когда x и y связаны не одним, а двумя уравнениями. Такая система может иметь одно решение или не иметь решений совсем. Выглядит это вот так:

Из первого линейного уравнения a₁x + b₁y + c₁ = 0 можно получить линейную функцию, при условии если b₁ ≠ 0: y = k₁x + m₁. График — прямая линия.

Из второго ЛУ a₂x + b₂y + c₂ = 0 можно получить линейную функцию, если b₂ ≠ 0: y = k₂x + m₂. Графиком снова будет прямая линия.

Можно записать систему иначе:

Множеством решений первого ЛУ является множество точек, лежащих на определенной прямой, аналогично и для второго ЛУ. Если эти прямые пересекаются — у системы есть единственное решение. Это возможно при условии, если k₁ ≠ k₂.

Две прямые могут быть параллельны, а значит, они никогда не пересекутся и система не будет иметь решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ ≠ m₂.

Две прямые могут совпасть, и тогда каждая точка будет решением, а у системы будет бесчисленное множество решений. Это возможно при следующих условиях: k₁ = k₂ и m₁ = m₂.

Видео:Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.Скачать

Математика без Ху!ни. Метод Гаусса.

Метод подстановки

Разберем решение систем уравнений методом подстановки. Вот алгоритм при переменных x и y:

Выразить одну переменную через другую из более простого уравнения системы.

Подставить то, что получилось на место этой переменной в другое уравнение системы.

Решить полученное уравнение, найти одну из переменных.

Подставить поочередно каждый из найденных корней в уравнение, которое получили на первом шаге, и найти второе неизвестное значение.

Записать ответ. Ответ принято записывать в виде пар значений (x; y).

Потренируемся решать системы линейных уравнений методом подстановки.

Пример 1

Решите систему уравнений:

x − y = 4
x + 2y = 10

Выразим x из первого уравнения:

x − y = 4
x = 4 + y

Подставим получившееся выражение во второе уравнение вместо x:

x + 2y = 10
4 + y + 2y = 10

Решим второе уравнение относительно переменной y:

4 + y + 2y = 10
4 + 3y = 10
3y = 10 − 4
3y = 6
y = 6 : 3
y = 2

Полученное значение подставим в первое уравнение вместо y и решим уравнение:

x − y = 4
x − 2 = 4
x = 4 + 2
x = 6

Ответ: (6; 2).

Пример 2

Решите систему линейных уравнений:

x + 5y = 7
3x = 4 + 2y

Сначала выразим переменную x из первого уравнения:

x + 5y = 7
x = 7 − 5y

Выражение 7 − 5y подставим вместо переменной x во второе уравнение:

3x = 4 + 2y
3 (7 − 5y) = 4 + 2y

Решим второе линейное уравнение в системе:

3 (7 − 5y) = 4 + 2y
21 − 15y = 4 + 2y
21 − 15y − 2y = 4
21 − 17y = 4
17y = 21 − 4
17y = 17
y = 17 : 17
y = 1

Подставим значение y в первое уравнение и найдем значение x:

x + 5y = 7
x + 5 = 7
x = 7 − 5
x = 2

Ответ: (2; 1).

Пример 3

Решите систему линейных уравнений:

x − 2y = 3
5x + y = 4

Из первого уравнения выразим x:

x − 2y = 3
x = 3 + 2y

Подставим 3 + 2y во второе уравнение системы и решим его:

5x + y = 4
5 (3 + 2y) + y = 4
15 + 10y + y = 4
15 + 11y = 4
11y = 4 − 15
11y = −11
y = −11 : 11
y = −1

Подставим получившееся значение в первое уравнение и решим его:

x − 2y = 3
x − 2 (−1) = 3
x + 2 = 3
x = 3 − 2
x = 1

Ответ: (1; −1).

Видео:9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравненийСкачать

9 класс, 11 урок, Методы решения систем уравнений

Метод сложения

Теперь решим систему уравнений способом сложения. Алгоритм с переменными x и y:

При необходимости умножаем почленно уравнения системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами.

Складываем почленно левые и правые части уравнений системы.

Решаем получившееся уравнение с одной переменной.

Находим соответствующие значения второй переменной.

Запишем ответ в в виде пар значений (x; y).

Видео:ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод ПодстановкиСкачать

ПОСМОТРИ это видео, если хочешь решить систему линейных уравнений! Метод Подстановки

Система линейных уравнений с тремя переменными

Системы ЛУ с тремя переменными решают так же, как и с двумя. В них присутствуют три неизвестных с коэффициентами и свободный член. Выглядит так:

Решений в таком случае может быть бесчисленное множество. Придавая двум переменным различные значения, можно найти третье значение. Ответ принято записывать в виде тройки значений (x; y; z).

Если x, y, z связаны между собой тремя уравнениями, то образуется система трех ЛУ с тремя переменными. Для решения такой системы можно применять метод подстановки и метод сложения.

Видео:Неоднородная система линейных уравненийСкачать

Неоднородная система линейных уравнений

Решение задач

Разберем примеры решения систем уравнений.

Задание 1. Как привести уравнение к к стандартному виду ах + by + c = 0?

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y = 4x − 9y + 3

5x − 8y − 4x + 9y = 3

Задание 2. Как решать систему уравнений способом подстановки

Выразить у из первого уравнения:

Подставить полученное выражение во второе уравнение:

Найти соответствующие значения у:

Задание 3. Как решать систему уравнений методом сложения

  1. Решение систем линейных уравнений начинается с внимательного просмотра задачи. Заметим, что можно исключить у. Для этого умножим первое уравнение на минус два и сложим со вторым:
  1. Решаем полученное квадратное уравнение любым способом. Находим его корни:
  1. Найти у, подставив найденное значение в любое уравнение:
  1. Ответ: (1; 1), (1; -1).

Задание 4. Решить систему уравнений

Решим второе уравнение и найдем х = 2, х = 5. Подставим значение переменной х в первое уравнение и найдем соответствующее значение у.

Задание 5. Как решить систему уравнений с двумя неизвестными

При у = -2 первое уравнение не имеет решений, при у = 2 получается:

📸 Видео

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений графическим методом. 7 класс.

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить YСкачать

Решение систем уравнений. Методом подстановки. Выразить Y

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение систем уравнений методом сложения

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.Скачать

Решение системы линейных уравнений с двумя переменными способом подстановки. 6 класс.

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.Скачать

Решение систем уравнений второго порядка. 8 класс.

Решение системы уравнений методом ГауссаСкачать

Решение системы уравнений методом Гаусса

Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУСкачать

Фундаментальная система решений системы линейных уравнений ФСР СЛАУ

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnlineСкачать

Как решать систему уравнений графическим методом? | Математика | TutorOnline

Решение систем уравнений методом сложенияСкачать

Решение систем уравнений методом сложения

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"Скачать

Видеоурок "Системы дифференциальных уравнений"

Матричный метод решения систем уравненийСкачать

Матричный метод решения систем уравнений
Поделиться или сохранить к себе: