Как составить и решить уравнение по таблицам (8 видео)

Использование таблиц для решения текстовых задач по математике в основной школе

«Скажи мне, и я забуду.
Покажи мне, – я смогу запомнить.
Позволь мне это сделать самому,
и я научусь».

В традиционной методике обучения математике обучение решению текстовых задач занимает значительное место. Методы и приемы работы с задачей общеизвестны и не поддаются сомнению. Однако, именно текстовые задачи зачастую служат камнем преткновения на пути к успеху в изучении математики. А значит, нам учителям математики есть над чем задуматься.

К сожалению, в учебниках математики, нет целостной системы обучения решению текстовых задач. Оформление решения задач алгебраическим способом ведется путем описания. Вводится переменная, все остальные величины выражаются через неё. Такой способ не всегда является доступным и понятным учащимся. Многие виды задач можно решить с помощью составления таблиц.

В поиске новых приемов мы часто забываем то, что было годами наработано и многократно проверено. Формируя УУД, в т.ч. познавательные универсальные действия, мы должны научить каждого ученика выполнять знаково-символические действия:

моделирование — преобразование объекта из чувственной формы в модель, где выделены существенные характеристики объекта (пространственно-графическая или знаково — символическая);
преобразование модели с целью выявления общих законов, определяющих данную предметную область.

Построение, либо предъявление модели задачи, с последующим анализом, активизирует познавательную деятельность учащихся. Поиск опорных слов, выполнение чертежей и схематических рисунков, составление таблиц, т.е. наглядное оформление задачи, может существенно определять ход мыслительного процесса.

Работа с моделью позволяет ученикам яснее увидеть зависимости между данными и искомыми величинами и оценить задачу в целом.

В статьях о моделировании при обучении решению текстовых задач мы можем ни слова не найти о таблицах. В современной методике математики «таблица представляет собой структуризацию информации, представленной в задаче. Благодаря таблице сюжетный текст превращается в информационную структуру со связями заданного вида, что помогает вплотную подойти к составлению уравнения и поиску окончательного решения». Традиционно таблицы составляют при решении задач на движение, стоимость. Я считаю, что спектр их использования намного шире. Правильно составленные таблицы являются математическими моделями. Следует отметить, что многие учителя используют таблицы при решении текстовых задач. Один и тот же прием, используя по- разному.

Основные принципы работы с таблицей

Таблица должна быть «живой», действенной моделью, создаваться самим учеником.
Принцип единообразия. Величины, занесенные в первый и третий столбики таблицы, должны находиться в прямопропорциональной зависимости.
Таблица должна помогать анализу данных, не обременять решение.
Принцип преемственности. Обучение составлению таблиц должно начинаться в период обучения решению арифметических задач в начальных классах и продолжаться в 5 — 6 классах.

В 12 ящиков можно разложить такое же количество яблок, что и в 18 корзин. Определите, сколько килограммов яблок вмещает ящик и сколько корзина, если известно, что в ящик вмещается на 3 кг яблок больше, чем в корзину.

Видео:Решение простых уравнений. Что значит решить уравнение? Как проверить решение уравнения?Скачать

Решение задач с помощью дробных рациональных уравнений табличным методом

Разделы: Математика

Математика в наши дни проникает во все сферы жизни. Овладение практически любой профессией требует тех или иных знаний по математике. Особое значение в этом смысле имеет умение смоделировать математически определённые реальные ситуации. Данное умение интегрирует в себе разнообразные специальные умения, адекватные отдельным элементам математических знаний, их системам, а также различные мыслительные приёмы, характеризующие культуру мышления.

В школьной математике знакомство с математическим моделированием основано, прежде всего, на решении текстовых задач. Текстовая задача несет в себе важные элементы математического моделирования. Решая ее, учащийся некие производственные, экономические, житейские связи зашифровывает с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму. Решая уравнения, учащийся расшифровывает результат, согласуя его со здравым смыслом. Вот почему решению текстовых задач, этому важнейшему мостику между математикой и ее приложениями должно уделяться особое внимание. При этом представляется, что техника решения текстовых задач может отрабатываться на любых задачах. Было бы наивным думать, что задача на движение, начинающаяся словами «Два автомобиля:» непременно предназначена для будущих водителей, а для школы со спортивным уклоном она должна начинаться словами «Два лыжника:».

Применение на практике различных задач на составление уравнений позволяет создавать такие учебные ситуации, которые требуют от учащегося умения смоделировать математически определённые физические, химические, экономические процессы и явления, составить план действия в решении реальной проблемы. Практика последних лет говорит о необходимости формирования умений решения задач на составление уравнений различных типов ещё и в связи с включением их в содержание ГИА и ЕГЭ.

Однако, анализ образовательной практики по данному направлению говорит о том, что значительная часть учащихся испытывает серьёзные затруднения при решении задач на составление уравнений. В большей степени это связано с недостаточной сформированностью у учащихся умения составлять план действий, алгоритм решения конкретной задачи, культурой моделирования явлений и процессов. Большинство учащихся решают такие задачи лишь на репродуктивном уровне.

Решению текстовых задач предшествует достаточно долгое время, отводимое на отработку решения уравнений. Начиная с 8 класса, как только выучены дробные рациональные выражения, решения задач по алгебре практически все сводятся к решению дробных рациональных уравнений, которые, в свою очередь, включают чаще всего решение квадратных уравнений.

В 8 классе решение задач с помощью дробных рациональных уравнений как показывает опыт эффективнее решать табличным методом, так как он является более наглядным, что важно для подготовки к ГИА в 9 классе.

Все задачи, решаемые с помощью дробных рациональных уравнений, можно разделить на несколько групп:

Задачи на движение по местности.
Задачи на движение по воде.
Задачи на работу.
Задачи на нахождение дробей и т.д.

Начинать обучение следует с простых задач, условия которых полностью соответствуют названиям основных типов, и сводящихся к решению дробных рациональных уравнений. Затем можно приступать к решению более сложных задач. Рекомендуется подобрать разноуровневые задачи по каждому типу, что дает возможность работать со школьниками разных математических способностей.

Мы стараемся научить детей строить таблицы с данными величинами задачи, слева обозначаются объекты (автомобили, лодки, пешеходы, самолеты и т.д.), сверху в колонках — величины, характеризующие данную задачу, и обязательно единицы их измерения. И дети понимают, что из трех величин, зная две, всегда можно записать третью.

Приведем пример оформления задачи:

Автобус-экспресс отправился от вокзала в аэропорт, находящийся на расстоянии 120км от вокзала. Пассажир, опоздавший на 10 минут на автобус, решил добраться до аэропорта на такси. Скорость такси на 10км/ч больше скорости автобуса. С какой скорость ехал автобус, если он приехал в аэропорт одновременно с такси?

Пусть км/ч — скорость автобуса, тогда составим и заполним таблицу:

Скорость (км/ч)	Время (ч)	Путь (км)
Автобус
Такси

Т.к. по условию задачи пассажир опоздал на автобус на 10 минут =часа, то составим и решим уравнение:

, ОДЗ: >0 (т.к. скорость положительна)

720(х+10) — 720х= х (х+10),

Далее решая квадратное уравнение, получаем:

-90 — не входит в ОДЗ, значит, скорость автобуса равна 80 км/ч.

Основная часть класса уверенно заполняет таблицу и составляет уравнение.

В зависимости от выделенного времени, обучаемым может быть предложен широкий спектр мероприятий — семинары, кружки, факультативы, индивидуальные и групповые консультации и т.д., в рамках которых обучаемые более глубоко осваивают решение задач с помощью уравнений.

Практикум по решению задач табличным методом с помощью дробных рациональных уравнений можно провести во второй половине дня на групповой консультации по математике, что целесообразно в рамках школы полного дня.

Список предлагаемых задач:

Числитель обыкновенной дроби на 4 меньше ее знаменателя. Если к числителю этой дроби прибавить 19, а к знаменателю 28, то она увеличится на . Найдите эту дробь.

Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?

Два комбайна убрали поле за 4 дня. За сколько дней мог убрать поле каждый комбайн, если одному из них для выполнения этой работы потребовалось бы на 6 дней меньше, чем другому?

Моторная лодка прошла против течения 8 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 30 мин меньше, чем при движении против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч.

Расстояние 700 км экспресс проходит на 4 часа быстрее товарного поезда, так как его скорость больше скорости товарного поезда на 20 км/ч. Определите скорость каждого из поездов, если известно, что они движутся с постоянной скоростью без остановок.

Мастеру на выполнение заказа потребуется на 5 дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на 4 дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

На участке пути длиной 300 км поезд увеличил скорость на 10 км/ч, в результате чего прибыл на конечную станцию на 1 час раньше, чем планировалось по расписанию. С какой скоростью должен был идти поезд по расписанию?

Прозаик хочет набрать на компьютере рукопись объемом 450 страниц. Если он будет набирать на 5 страниц в день больше, чем запланировал, то закончит работу на 3 дня раньше. Сколько страниц в день планирует набирать прозаик?

Дорога между пунктами А и В состоит из подъема и спуска, а ее длина равна 19 км. Пешеход прошел путь из А в В за 5 часов. Время его движения на спуске составило 4 часа. С какой скоростью пешеход шел на спуске, если скорость его движения на подъеме меньше скорости движения на спуске на 1 км/ч?

Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но через 2 часа пути вынужден был сделать остановку на 10 минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Количество решаемых задач может меняться в зависимости от отводимого на это время.

Используемая литература:

И.Л.Бродский, А.М.Видус, А.Б.Коротаев «Сборник текстовых задач по математике для профильных классов».

В.И. Жохов, Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк «Дидактические материалы по алгебре 8 класс».

Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы под редакцией С.А.Шестакова.

Ш.А.Алимов, М.Ю.Колягин и др. «Алгебра 8 класс».

А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса».

Видео:Таблица истинностиСкачать

Статья «Задачи на составление уравнений с помощью таблиц»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Актуальность создания школьных служб примирения/медиации в образовательных организациях»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Задачи на составление уравнений с помощью таблиц

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №2

Аннотация. В статье представлены различные типы решения задач на составление уравнений с помощью таблиц, а именно, задачи на работу, на сплавы, на движение.

Ключевые слова : математика, задачи через пусть х, табличный способ.

Tasks for composing equations using tables

Municipal state educational institution secondary school №2

Annotation. The article presents various types of solving problems for drawing up equations using tables, namely, tasks for work, for alloys, for movement.

Keywords: mathematics, problems through let x, tabular way.

Задачи на составление уравнений встречаются в кимах ОГЭ, ЕГЭ, ВПР как по математике, так и по другим предметам. Но многие из обучающихся не приступают к выполнению данных заданий. Возникает вопрос, что вызывает трудность? Почему ребята не решают такие задания и теряют баллы при поступлении? Каждому учителю математики очень интересна данная проблема и пути её решения.

В результате опроса среди обучающихся 5-11 классов были получены следующие данные: более 30% учеников не могут перевести текст задачи на математический язык, 53 % — не знают формул, которые помогают решить задачи на работу, концентрацию и движение, 68% — не понимают, какое выражение больше, из какого выражения нужно вычитать другое.

Таким образом, целью исследования является выявление наиболее эффективного способа решения задач на составление уравнений, который смогут освоить не только отличники.

Рассмотрим некоторые понятия, которыми будем пользоваться, при решении таких задач.

Уравнение – это равенство, которое содержит в себе переменную (переменные), значения которых требуется найти.

Корень уравнения – это значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить уравнение – значит найти все значения переменных, входящих в него, которые обращают это уравнение в верное числовое равенство, или установить, что данное уравнение решений не имеет.

Система уравнений – это несколько уравнений, объединенных фигурной скобкой, в которых одни и те же переменные обозначают одни и те же числа.

Решением системы уравнений является набор значений всех входящих в него переменных, который обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Решить систему уравнений – значит найти все её решения или установить, что таких решений не существует.

Табличный способ решения задач – это способ, который заключается в построении таблицы, строки которой соответствуют элементам одного из рассматриваемых в условии задачи множеств, столбцы — элементам другого, пересечение строки и столбца — комбинации двух элементов разных множеств.

Решить задачу – значит найти последовательность понятий, формул, правил, которая приводит к ответу.

На уроках алгебры, факультативах, внеурочных занятиях ребятам восьмых классов были предложены различные способы решения данных задач. Лучше всех справились с контрольной работой ученики того класса, с которыми был отработан табличный метод. Более 73 % из тех, кто писал контрольную работу, смогли решить задачи. 85 % обучающихся этого класса правильно составили уравнение к условию задачи (на ОГЭ заработали бы один из двух баллов). Среди этих 85 % были и те ученики, у которых в четверти стоит тройка. Кроме того, как только с ребятами другого класса был отработан этот же метод решения задач, качество знаний при написании аналогичных вариантов контрольной работы выросло на 61 %.

Рассмотрим некоторые примеры задач ОГЭ и ЕГЭ на составления уравнений, которые решим табличным способом. При заполнении таблицы к каждой задаче нужно задавать наводящие вопросы.

Задача 1. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 час 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1км/ч [3, с. 198].

Перед тем, как заполнить таблицу, ученикам было предложено решить данную задачу. С данным заданием справились только 36 %. После одного разобранного примера следующую задачу табличным методом решало 93% и справились с ней 68% обучающихся.

Ученикам задаются следующие наводящие вопросы: что нам известно? Что нужно найти? Что обозначим за х? Каким выражением будем обозначать скорость по течению и против течения? Чему равен путь по течению и против течения? Как выразить время через скорость и путь? Какую вы знаете формулу? Как только ребята отвечают на вопросы, параллельно заполняется таблица. С помощью такого метода обучающиеся начинают рассуждать и понимают принцип решения задач.

Решение: пусть х км/ч – собственная скорость катера