При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:
1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:
2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.
Например: 
3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.
Например: 
4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.
Решим несколько задач из Задания В11 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , воспользовавшись этим правилом.
1 . Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения 
.
Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:
Ответ: 1.
2 . Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения 
Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:
Ответ: 5.
3 . Задание В10( 26749) Найдите значение выражения 
.
Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:
Ответ: 20.
4 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения 
.
Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.
Ответ: 42.
5 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения 
при 
0″ title=»m>0″/>.
1. Запишем корни в виде степени:
2. Воспользуемся свойствами степени, получим:
Иррациональные выражения
Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.
— иррациональные выражения.
Сложение и вычитание корней
При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.
В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.
Умножение и деление корней
При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:
При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:
Возведение корня в степень
Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:
При возведении 
в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:
Извлечение корня
Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:
, так как 
С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.
Сокращение корней
Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:
так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.
На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.
Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.
Приведение корней к общему показателю
Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:
- Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.
Рассмотрим три выражения:
,
Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:
Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.
Рассмотрим два выражения:
,
НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:
При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.
Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
В начале урока мы повторим основные свойства квадратных корней, а затем рассмотрим несколько сложных примеров на упрощение выражений, содержащих квадратные корни.
Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Упрощение выражений»