Как сократить квадратное уравнение по теореме виета
Обновлено
Поделиться
Теорема Виета, обратная формула Виета и примеры с решением для чайников
Теорема Виета помогает решать квадратные уравнения путём подбора. В этой статье даны определения, доказательства, формулы и примеры решений квадратных уравнений для чайников.
Теорема Виета нужна для быстрого решения квадратных уравнений (простыми словами).
Если более подробно, то т еорема Виета – это сумма корней данного квадратного уравнения равняется второму коэффициенту, который взят с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену. Это свойство обладает любым приведённым квадратным уравнением, у которого есть корни.
При помощи теоремы Виета можно легко решать квадратные уравнения путём подбора, поэтому скажем “спасибо” этому математику с мечем в руках за наш счастливый 7 класс.
Нужна помощь в написании работы?
Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.
Чтобы доказать теорему, можно воспользоваться известными формулами корней, благодаря которым составим сумму и произведение корней квадратного уравнения. Только после этого мы сможем убедиться, что они равны и, соответственно, .
Допустим у нас есть уравнение: . У этого уравнения есть такие корни: и . Докажем, что , .
По формулам корней квадратного уравнения:
, .
1. Найдём сумму корней:
.
Разберём это уравнение, как оно у нас получилось именно таким:
= .
Шаг 1 . Приводим дроби к общему знаменателю, получается:
= = .
Шаг 2 . У нас получилась дробь, где нужно раскрыть скобки:
= = . Сокращаем дробь на 2 и получаем:
.
Мы доказали соотношение для суммы корней квадратного уравнения по теореме Виета.
2. Найдём произведение корней:
=
= = = = = .
Докажем это уравнение:
.
Шаг 1 . Есть правило умножение дробей, по которому мы и умножаем данное уравнение:
.
Шаг 2 . Далее выполняется умножение скобку на скобку (в числителе). Можно воспользоваться формулой сокращённого умножения (ФСУ) – формула разности, откуда получается:
.
Теперь вспоминаем определение квадратного корня и считаем:
= .
Шаг 3 . Вспоминаем дискриминант квадратного уравнения: . Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем , тогда получается:
= .
Шаг 4 . Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые к дроби:
.
Шаг 5 . Сокращаем «4a» и получаем .
Вот мы и доказали соотношение для произведения корней по теореме Виета.
ВАЖНО! Если дискриминант равняется нулю, тогда у квадратного уравнения всего один корень.
По теореме, обратной теореме Виета можно проверять, правильно ли решено наше уравнение. Чтобы понять саму теорему, нужно более подробно её рассмотреть.
Если числа и такие:
и , тогда они и есть корнями квадратного уравнения .
Видео:Алгебра 8 класс (Урок№30 - Решение приведённых квадратных уравнений. Теорема Виета.)Скачать
Доказательство обратной теоремы Виета
Шаг 1. Подставим в уравнение выражения для его коэффициентов:
Шаг 2. Преобразуем левую часть уравнения:
;
.
Шаг 3 . Найдём Корни уравнения , а для этого используем свойство о равенстве произведения нулю:
или . Откуда и получается: или .
Видео:Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.Скачать
Примеры с решениями по теореме Виета
Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней квадратного уравнения , не находя корней уравнения.
Шаг 1 . Вспомним формулу дискриминанта . Подставляем наши цифры под буквы. То есть, , – это заменяет , а . Отсюда следует:
. Получается:
0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»13″ width=»170″ style=»vertical-align: -1px;» />. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение .
Выразим сумму квадратов корней через их сумму и произведение:
.
Решите уравнение . При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.
У данного уравнения есть корни, которые по дискриминанту (D) больше нуля. Соответственно, по теореме Виета сумма корней этого уравнения равна 4, а произведение – 5. Сначала определяем делители числа , сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.
и
Задание
Найдите, если это возможно, сумму и произведение корней уравнения:
Решение
. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.
Ответ
Задание
Составьте уравнение, каждый корень которого в два раза больше соответствующего корня уравнения:
Решение
По теореме Виета сумма корней данного уравнения равна 12, а произведение = 7. Значит, два корня положительны.
Сумма корней нового уравнения будет равна:
, а произведение .
По теореме, обратной теореме Виета, новое уравнение имеет вид:
Ответ
Получилось уравнение, каждый корень которого в два раза больше:
Итак, мы рассмотрели, как решать уравнение при помощи теоремы Виета. Очень удобно пользоваться данной теоремой, если решаются задания, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. То есть, если в формуле свободный член – число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.
А если свободный член – отрицательное число, и если в квадратном уравнении есть действительные корни, тогда оба знака будут разными. То есть, если один корень положительный, тогда другой корень будет только отрицательный.
Полезные источники:
Дорофеев Г. В., Суворова С. Б., Бунимович Е. А. Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2016 – 318 с.
Рубин А. Г., Чулков П. В. – учебник Алгебра 8 класс:Москва “Баласс”, 2015 – 237 с.
Никольский С. М., Потопав М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – Алгебра 8 класс: Москва “Просвещение”, 2014 – 300
Видео:Квадратные уравнения от «А» до «Я». Классификация, решение и теорема Виета | МатематикаСкачать
Квадратное уравнение — это ax 2 + bx + c = 0, где a — первый коэффициент, не равный нулю, b — второй коэффициент, c — свободный член.
Существует три вида квадратных уравнений:
не имеют корней;
имеют один корень;
имеют два различных корня.
Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение, нужно обратить внимание на дискриминант. Формула для его поиска записывается так: D = b 2 − 4ac. Его свойства:
если D 0, есть два различных корня.
В случае, когда второй коэффициент четный, можно воспользоваться формулой нахождения дискриминанта , где .
В математике теоремой принято называть утверждение, у которого ранее было сформулировано доказательство.
Если в школьной геометрии чаще всего используется теорема Пифагора, то в школьной алгебре ведущую роль занимают формулы Виета. Теорема звучит так:
Рассмотрим квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен 1: . Такие уравнения называют приведенными квадратными уравнениями. Сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.
Если дано x 2 + bx + c = 0, где x₁ и x₂ являются корнями, то справедливы два равенства:
Знак системы, который принято обозначать фигурной скобкой, означает, что значения x₁ и x₂ удовлетворяют обоим равенствам.
Пока неизвестно, какие корни имеет данное уравнение. Но в соответствии с теоремой можно записать, что сумма этих корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком. Он равен четырем, значит будем использовать минус четыре:
Произведение корней по теореме соответствует свободному члену. В данном случае свободным членом является число три. Значит:
Необходимо проверить равна ли сумма корней −4, а произведение 3. Для этого найдем корни уравнения x 2 + 4x + 3 = 0. Воспользуемся формулами для чётного второго коэффициента: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»215″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/E_X403ETh_88EANRWdQN03KRT8yxP2HO4HoCrxj__c8G0DqmNJ1KDRqtLH5Z1p7DtHm-rNMDB2tEs41D7RHpEV5mojDTMMRPuIkcW33jVNDoOe0ylzXdHATLSGzW4NakMkH2zkLE» width=»393″>
Получилось, что корнями уравнения являются числа −1 и −3. Их сумма равняется второму коэффициенту с противоположным знаком, а значит решение верное. 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh5.googleusercontent.com/VzGPXO9B0ZYrr9v0DpJfXwuzeZtjYnDxE_ma76PUC8o7jVWwa8kZjTJhq2Lof0TiJXAp_ny3yRwI_OyRzeucv9xUZ63yoozGPP4xd4OxvElVT7Pt-d6xL5w17e_mQNs5qZJQiwfG» width=»125″>
Произведение корней −1 и −3 по теореме Виета должно равняться свободному члену, то есть числу 3. Это условие также выполняется: 2 + 4x + 3 = 0″ height=»52″ src=»https://lh4.googleusercontent.com/Cq-LCFmY3YGNSan1VF3l3CqIeojoJYAvGAiTBWnzyoZu_xJFrF5NfQ3xCe59apJklw6uYbmQ4lAkBTeC-TJmEGicN3rgGtsezhuqdNiOWjZT39NziOB5uOmQr3cr9-5fNnepdZDo» width=»112″>
Результат проделанных вычислений в том, что мы убедились в справедливости выражения:
Обучение на курсах по математике помогает быстрее разобраться в новых темах и подтянуть оценки в школе.
Дано квадратное уравнение x 2 + bx + c = 0. Если его дискриминант больше нуля, то оно имеет два корня, сумма которых равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:
Докажем, что следующие равенства верны
x₁ + x₂ = −b,
x₁ * x₂ = c.
Чтобы найти сумму корней x₁ и x₂ подставим вместо них то, что соответствует им из правой части формул корней. Напомним, что в данном квадратном уравнении x 2 + bx + c = 0 старший коэффициент равен единице. Значит после подстановки знаменатель будет равен 2.
Объединим числитель и знаменатель в правой части.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим дробь полученную дробь на 2, остается −b:
Мы доказали: x₁ + x₂ = −b.
Далее произведем аналогичные действия, чтобы доказать о равенстве x₁ * x₂ свободному члену c.
Подставим вместо x₁ и x₂ соответствующие части из формул корней квадратного уравнения:
Перемножаем числители и знаменатели между собой:
Очевидно, в числителе содержится произведение суммы и разности двух выражений. Поэтому воспользуемся тождеством (a + b) * (a − b) = a 2 − b 2 . Получаем:
Далее произведем трансформации в числителе:
Нам известно, что D = b2 − 4ac. Подставим это выражение вместо D.
Далее раскроем скобки и приведем подобные члены:
Сократим:
Мы доказали: x₁ * x₂ = c.
Значит сумма корней приведённого квадратного уравнения x 2 + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком (x₁ + x₂ = −b), а произведение корней равно свободному члену (x₁ * x₂= c). Теорема доказана.
Когда дана сумма и произведение корней квадратного уравнения, принято начинать подбор подходящих корней. Теорема, обратная теореме Виета, при таких условиях может быть главным помощником. Она формулируется так:
Обратная теорема Виета
Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Обратные теоремы зачастую сформулированы так, что их утверждением является заключение первой теоремы. Так, при доказательстве теоремы Виета стало понятно, что сумма x₁ и x₂ равна −b, а их произведение равно c. В обратной теореме это является утверждением.
Корни x₁ и x₂ обозначим как m и n. Тогда утверждение будет звучать следующим образом: если сумма чисел m и n равна второму коэффициенту x 2 + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену, то числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Зафиксируем, что сумма m и n равна −b, а произведение равно c.
Чтобы доказать, что числа m и n являются корнями уравнения, нужно поочередно подставить буквы m и n вместо x, затем выполнить возможные тождественные преобразования. Если в результате преобразований левая часть станет равна нулю, то это будет означать, что числа m и n являются корнями x 2 + bx + c = 0.
Выразим b из равенства m + n = −b. Это можно сделать, умножив обе части на −1:
Подставим m в уравнение вместо x, выражение −m − n подставим вместо b, а выражение mn — вместо c:
При x = m получается верное равенство. Значит число m является искомым корнем.
Аналогично докажем, что число n является корнем уравнения. Подставим вместо x букву n, а вместо c подставим m * n, поскольку c = m * n.
При x = n получается верное равенство. Значит число n является искомым корнем.
Мы доказали: числа m и n являются корнями уравнения x 2 + bx + c = 0.
Видео:5 способов решения квадратного уравнения ➜ Как решать квадратные уравнения?Скачать
Примеры
Для закрепления знаний рассмотрим примеры решения уравнений по теореме, обратной теореме Виета.
Дано: x 2 − 6x + 8 = 0.
Для начала запишем сумму и произведение корней уравнения. Сумма будет равна 6, так как второй коэффициент равен −6. А произведение корней равно 8. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»59″ src=»https://lh6.googleusercontent.com/tFokx3SM93Hwlr7ZM9BqX1xiHKv_2dUIB9MoNa8RAwSTmQKXdCcqcFXxTZmxNGw7bOVek-RzRXqBkoCqnYMiqIYVwKhfnHeU-7mA03feEqJTlyKB7e-OsTTKgPaOlddfiaTGszcv» width=»99″>
Имея эти два равенства можно подобрать подходящие корни, которые будут удовлетворять как равенству обоим равенствам системы.
Подбор корней удобнее выполнять с помощью их произведения. Число 8 можно получить путем перемножения чисел 4 и 2 либо 1 и 8. Но значения x₁ и x₂ надо подбирать так, чтобы они удовлетворяли и второму равенству тоже.
Можно сделать вывод, что значения 1 и 8 не подходят, так как они не удовлетворяют равенству x₁ + x₂ = 6. Значения 4 и 2 подходят обоим равенствам:
Значит числа 4 и 2 являются корнями уравнения x 2 − 6x + 8 = 0. 2 − 6x + 8 = 0″ height=»57″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/rohB7Bvd-elMhTxEUuOhKqLJjqLAvo9VlJxZvOnMeDAHARfKT-SYOWb1WXTTWEN2h0oKbLl6wH7lc0IWL_vH3Si2AJGAGXVn8TPFDT_J1Wu2WeoQ-WP1qgXjCnZ99tWUkK2BOvF2″ width=»64″>
Видео:Алгебра 8. Урок 10 - Теорема Виета и её применение в задачахСкачать
Неприведенное квадратное уравнение
Теорема Виета выполняется только тогда, когда квадратное уравнение является приведённым, то есть его первый коэффициент равен единице:
ax 2 + bx + c = 0, где а = 1.
Если квадратное уравнение не является приведенным, но задание связано с применением теоремы, нужно обе части разделить на коэффициент, который располагается перед x 2 .
Получилось следующее приведенное уравнение:
Получается, второй коэффициент при x равен, свободный член —. Значит сумма и произведение корней будут иметь вид:
Рассмотрим пример неприведенного уравнения: 4x 2 + 5x + 1 = 0. Разделим обе его части на коэффициент перед x 2 , то есть на 4.
Получилось приведённое квадратное уравнение. Второй коэффициент которого равен, а свободный член.
Тогда в соответствии с теоремой Виета получаем:
Метод подбора помогает найти корни: −1 и
Видео:Теорема Виета за 4 минуты с примерами. Как решать квадратные уравнения быстрее учителя.Скачать
Теорема Виета, формулы Виета
В квадратных уравнениях существует целый ряд соотношений. Основными являются отношения между корнями и коэффициентами. Также в квадратных уравнениях работает ряд соотношений, которые задаются теоремой Виета.
В этой теме мы приведем саму теорему Виета и ее доказательство для квадратного уравнения, теорему, обратную теореме Виета, разберем ряд примеров решения задач. Особое внимание в материале мы уделим рассмотрению формул Виета, которые задают связь между действительными корнями алгебраического уравнения степени n и его коэффициентами.
Формула корней квадратного уравнения a · x 2 + b · x + c = 0 вида x 1 = — b + D 2 · a , x 2 = — b — D 2 · a , где D = b 2 − 4 · a · c , устанавливает соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a . Это подтверждает и теорема Виета.
В квадратном уравнении a · x 2 + b · x + c = 0 , где x 1 и x 2 – корни, сумма корней будет равна соотношению коэффициентов b и a , которое было взято с противоположным знаком, а произведение корней будет равно отношению коэффициентов c и a , т. е. x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .
Предлагаем вам следующую схему проведения доказательства: возьмем формулу корней, составим суму и произведение корней квадратного уравнения и затем преобразуем полученные выражения для того, чтобы убедиться, что они равны — b a и c a соответственно.
Составим сумму корней x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a . Приведем дроби к общему знаменателю — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a . Раскроем скобки в числителе полученной дроби и приведем подобные слагаемые: — b + D + — b — D 2 · a = — b + D — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a . Сократим дробь на: 2 — b a = — b a .
Так мы доказали первое соотношение теоремы Виета, которое относится к сумме корней квадратного уравнения.
Теперь давайте перейдем ко второму соотношению.
Для этого нам необходимо составить произведение корней квадратного уравнения: x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a .
Вспомним правило умножения дробей и запишем последнее произведение следующим образом: — b + D · — b — D 4 · a 2 .
Проведем в числителе дроби умножение скобки на скобку или же воспользуемся формулой разности квадратов для того, чтобы преобразовать это произведение быстрее: — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 .
Воспользуемся определением квадратного корня для того, чтобы осуществить следующий переход: — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · c отвечает дискриминанту квадратного уравнения, следовательно, в дробь вместо D можно подставить b 2 − 4 · a · c :
b 2 — D 4 · a 2 = b 2 — ( b 2 — 4 · a · c ) 4 · a 2
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Если сократить ее на 4 · a , то остается c a . Так мы доказали второе соотношение теоремы Виета для произведения корней.
Запись доказательства теоремы Виета может иметь весьма лаконичный вид, если опустить пояснения:
x 1 + x 2 = — b + D 2 · a + — b — D 2 · a = — b + D + — b — D 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a , x 1 · x 2 = — b + D 2 · a · — b — D 2 · a = — b + D · — b — D 4 · a 2 = — b 2 — D 2 4 · a 2 = b 2 — D 4 · a 2 = = D = b 2 — 4 · a · c = b 2 — b 2 — 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
При дискриминанте квадратного уравнения равном нулю уравнение будет иметь только один корень. Чтобы иметь возможность применить к такому уравнению теорему Виета, мы можем предположить, что уравнение при дискриминанте, равном нулю, имеет два одинаковых корня. Действительно, при D = 0 корень квадратного уравнения равен: — b 2 · a , тогда x 1 + x 2 = — b 2 · a + — b 2 · a = — b + ( — b ) 2 · a = — 2 · b 2 · a = — b a и x 1 · x 2 = — b 2 · a · — b 2 · a = — b · — b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так как D = 0 , то есть, b 2 — 4 · a · c = 0 , откуда b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .
Чаще всего на практике теорема Виета применяется по отношению к приведенному квадратному уравнению вида x 2 + p · x + q = 0 , где старший коэффициент a равен 1 . В связи с этим и формулируют теорему Виета именно для уравнений такого вида. Это не ограничивает общности в связи с тем, что любое квадратное уравнение может быть заменено равносильным уравнением. Для этого необходимо поделить обе его части на число a , отличное от нуля.
Приведем еще одну формулировку теоремы Виета.
Сумма корней в приведенном квадратном уравнении x 2 + p · x + q = 0 будет равна коэффициенту при x , который взят с противоположным знаком, произведение корней будет равно свободному члену, т.е. x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q .
Если внимательно посмотреть на вторую формулировку теоремы Виета, то можно увидеть, что для корней x 1 и x 2 приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 будут справедливы соотношения x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q . Из этих соотношений x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q следует, что x 1 и x 2 – это корни квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 . Так мы приходим к утверждению, которое является обратным теореме Виета.
Предлагаем теперь оформить это утверждение как теорему и провести ее доказательство.
Если числа x 1 и x 2 таковы, что x 1 + x 2 = − p и x 1 · x 2 = q , то x 1 и x 2 являются корнями приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Замена коэффициентов p и q на их выражение через x 1 и x 2 позволяет преобразовать уравнение x 2 + p · x + q = 0 в равносильное ему x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 .
Если в полученное уравнение подставить число x 1 вместо x , то мы получим равенство x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство при любых x 1 и x 2 превращается в верное числовое равенство 0 = 0 , так как x 1 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0 . Это значит, что x 1 – корень уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , и что x 1 также является корнем равносильного ему уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Подстановка в уравнение x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 числа x 2 вместо x позволяет получить равенство x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = 0 . Это равенство можно считать верным, так как x 2 2 − ( x 1 + x 2 ) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0 . Получается, что x 2 является корнем уравнения x 2 − ( x 1 + x 2 ) · x + x 1 · x 2 = 0 , а значит, и уравнения x 2 + p · x + q = 0 .
Теорема, обратная теореме Виета, доказана.
Видео:Как решать квадратные уравнения без дискриминантаСкачать
Примеры использования теоремы Виета
Давайте теперь приступим к разбору наиболее типичных примеров по теме. Начнем с разбора задач, которые требуют применения теоремы, обратной теореме Виета. Ее можно применять для проверки чисел, полученных в ходе вычислений, на предмет того, являются ли они корнями заданного квадратного уравнения. Для этого необходимо вычислить их сумму и разность, а затем проверить справедливость соотношений x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = a c .
Выполнение обоих соотношений свидетельствует о том, что числа, полученные в ходе вычислений, являются корнями уравнения. Если же мы видим, что хотя бы одно из условий не выполняется, то данные числа не могут быть корнями квадратного уравнения, данного в условии задачи.
Какая из пар чисел 1 ) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , или 2 ) x 1 = 1 — 3 , x 2 = 3 + 3 , или 3 ) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2 является парой корней квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 ?
Решение
Найдем коэффициенты квадратного уравнения 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0 . Это a = 4 , b = − 16 , c = 9 . В соответствии с теоремой Виета сумма корней квадратного уравнения должна быть равна — b a , то есть, 16 4 = 4 , а произведение корней должно быть равно c a , то есть, 9 4 .
Проверим полученные числа, вычислив сумму и произведение чисел из трех заданных пар и сравнив их с полученными значениями.
В первом случае x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2 . Это значение отлично от 4 , следовательно, проверку можно не продолжать. Согласно теореме, обратной теореме Виета, можно сразу сделать вывод о том, что первая пара чисел не является корнями данного квадратного уравнения.
Во втором случае x 1 + x 2 = 1 — 3 + 3 + 3 = 4 . Мы видим, что первое условие выполняется. А вот второе условие нет: x 1 · x 2 = 1 — 3 · 3 + 3 = 3 + 3 — 3 · 3 — 3 = — 2 · 3 . Значение, которое мы получили, отлично от 9 4 . Это значит, что вторая пара чисел не является корнями квадратного уравнения.
Перейдем к рассмотрению третьей пары. Здесь x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 — 7 2 = 4 и x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 — 7 2 = 2 2 — 7 2 2 = 4 — 7 4 = 16 4 — 7 4 = 9 4 . Выполняются оба условия, а это значит, что x 1 и x 2 являются корнями заданного квадратного уравнения.
Ответ: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 — 7 2
Мы также можем использовать теорему, обратную теореме Виета, для подбора корней квадратного уравнения. Наиболее простой способ – это подбор целых корней приведенных квадратных уравнений с целыми коэффициентами. Можно рассматривать и другие варианты. Но это может существенно затруднить проведение вычислений.
Для подбора корней мы используем тот факт, что если сумма двух чисел равна второму коэффициенту квадратного уравнения, взятому со знаком минус, а произведение этих чисел равно свободному члену, то эти числа являются корнями данного квадратного уравнения.
В качестве примера используем квадратное уравнение x 2 − 5 · x + 6 = 0 . Числа x 1 и x 2 могут быть корнями этого уравнения в том случае, если выполняются два равенства x 1 + x 2 = 5 и x 1 · x 2 = 6 . Подберем такие числа. Это числа 2 и 3 , так как 2 + 3 = 5 и 2 · 3 = 6 . Получается, что 2 и 3 – корни данного квадратного уравнения.
Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для нахождения второго корня, когда первый известен или очевиден. Для этого мы можем использовать соотношения x 1 + x 2 = — b a , x 1 · x 2 = c a .
Рассмотрим квадратное уравнение 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0 . Необходимо найти корни данного уравнения.
Решение
Первым корнем уравнения является 1 , так как сумма коэффициентов этого квадратного уравнения равна нулю. Получается, что x 1 = 1 .
Теперь найдем второй корень. Для этого можно использовать соотношение x 1 · x 2 = c a . Получается, что 1 · x 2 = − 3 512 , откуда x 2 = — 3 512 .
Ответ: корни заданного в условии задачи квадратного уравнения 1 и — 3 512 .
Подбирать корни, используя теорему, обратную теореме Виета, можно лишь в простых случаях. В остальных случаях лучше проводить поиск с использованием формулы корней квадратного уравнения через дискриминант.
Благодаря теореме, обратной теореме Виета, мы также можем составлять квадратные уравнения по имеющимся корням x 1 и x 2 . Для этого нам необходимо вычислить сумму корней, которая дает коэффициент при x с противоположным знаком приведенного квадратного уравнения, и произведение корней, которое дает свободный член.
Напишите квадратное уравнение, корнями которого являются числа − 11 и 23 .
Решение
Примем, что x 1 = − 11 и x 2 = 23 . Сумма и произведение данных чисел будут равны: x 1 + x 2 = 12 и x 1 · x 2 = − 253 . Это значит, что второй коэффициент — 12 , свободный член − 253.
Составляем уравнение: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .
Ответ: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .
Мы можем использовать теорему Виета для решения заданий, которые связаны со знаками корней квадратных уравнений. Связь между теоремой Виета связана со знаками корней приведенного квадратного уравнения x 2 + p · x + q = 0 следующим образом:
если квадратное уравнение имеет действительные корни и если свободный член q является положительным числом, то эти корни будут иметь одинаковый знак « + » или « — » ;
если квадратное уравнение имеет корни и если свободный член q является отрицательным числом, то один корень будет « + » , а второй « — » .
Оба этих утверждения являются следствием формулы x 1 · x 2 = q и правила умножения положительных и отрицательных чисел, а также чисел с разными знаками.
Являются ли корни квадратного уравнения x 2 − 64 · x − 21 = 0 положительными?
Решение
По теореме Виета корни данного уравнения не могут быть оба положительными, так как для них должно выполняться равенство x 1 · x 2 = − 21 . Это невозможно при положительных x 1 и x 2 .
Ответ: Нет
При каких значениях параметра r квадратное уравнение x 2 + ( r + 2 ) · x + r − 1 = 0 будет иметь два действительных корня с разными знаками.
Решение
Начнем с того, что найдем значения каких r , при которых в уравнении будет два корня. Найдем дискриминант и посмотрим, при каких r он будет принимать положительные значения. D = ( r + 2 ) 2 − 4 · 1 · ( r − 1 ) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8 . Значение выражения r 2 + 8 положительно при любых действительных r , следовательно, дискриминант будет больше нуля при любых действительных r . Это значит, что исходное квадратное уравнение будет иметь два корня при любых действительных значениях параметра r .
Теперь посмотрим, когда корни будут иметь разные знаки. Это возможно в том случае, если их произведение будет отрицательным. Согласно теореме Виета произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену. Значит, правильным решением будут те значения r , при которых свободный член r − 1 отрицателен. Решим линейное неравенство r − 1 0 , получаем r 1 .
Ответ: при r 1 .
Видео:Уравнения и задачи с одной неизвестной. Тема№ 3 Теорема Виета и обратная ей теорема.Скачать
Формулы Виета
Существует ряд формул, которые применимы для осуществления действий с корнями и коэффициентами не только квадратных, но также кубических и других видов уравнений. Их называют формулами Виета.
Для алгебраического уравнения степени n вида a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n = 0 считается, что уравнение имеет n действительных корней x 1 , x 2 , … , x n , среди которых могут быть совпадающие: x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n — 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n — 2 · x n — 1 · x n = — a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = ( — 1 ) n · a n a 0
Получить формулы Виета нам помогают:
теорема о разложении многочлена на линейные множители;
определение равных многочленов через равенство всех их соответствующих коэффициентов.
Так, многочлен a 0 · x n + a 1 · x n — 1 + . . . + a n — 1 · x + a n и его разложение на линейные множители вида a 0 · ( x — x 1 ) · ( x — x 2 ) · . . . · ( x — x n ) равны.
Если мы раскрываем скобки в последнем произведении и приравниваем соответствующие коэффициенты, то получаем формулы Виета. Приняв n = 2 , мы можем получить формулу Виета для квадратного уравнения: x 1 + x 2 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .
Формула Виета для кубического уравнения: x 1 + x 2 + x 3 = — a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = — a 3 a 0
Левая часть записи формул Виета содержит так называемые элементарные симметрические многочлены.
💡 Видео
Разложение квадратного трехчлена на множители. 8 класс.Скачать
Квадратный Трехчлен / Разложение квадратного трехчлена на множители, Как решать Квадратные УравненияСкачать
и, соответственно, 
.
. У этого уравнения есть такие корни: 
и 
. Докажем, что 
, 
.
, 
.
.
= 
.
= 
.
= 
. Сокращаем дробь на 2 и получаем:
.
=
= 
= 
= 
= 
.
.
.
.
= 
.
. Поэтому в последнюю дробь вместо D (дискриминанта) мы подставляем 
, тогда получается:
= 
.
.
.
, тогда они и есть корнями квадратного уравнения 
;
.
или 
. Откуда и получается: 
или 
.
, не находя корней уравнения.
. Подставляем наши цифры под буквы. То есть, 
, 
– это заменяет 
, а 
. Отсюда следует:
. Получается:
0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»13″ width=»170″ style=»vertical-align: -1px;» />. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма 
, а произведение 
.
.
. При этом не применяйте формулы квадратного уравнения.
, сумма которых равняется 4. Это числа «5» и «-1». Их произведение равно – 5, а сумма – 4. Значит, по теореме, обратной теореме Виета, они являются корнями данного уравнения.
. Так как дискриминант меньше нуля, значит у уравнения нет корней.
, а произведение 
.
свободный член 
– число положительное, и если в квадратном уравнении имеются действительные корни, тогда они оба могут быть либо отрицательными, либо положительными.
