Как сократить дробь с квадратным уравнением в числителе и знаменателе

Данная статья продолжает тему преобразования алгебраических дробей: рассмотрим такое действие как сокращение алгебраических дробей. Дадим определение самому термину, сформулируем правило сокращения и разберем практические примеры.

Видео:Квадратный трехчлен . Сократить дробь.Скачать

Смысл сокращения алгебраической дроби

В материалах об обыкновенной дроби мы рассматривали ее сокращение. Мы определили сокращение обыкновенной дроби как деление ее числителя и знаменателя на общий множитель.

Сокращение алгебраической дроби представляет собой аналогичное действие.

Сокращение алгебраической дроби – это деление ее числителя и знаменателя на общий множитель. При этом, в отличие от сокращения обыкновенной дроби (общим знаменателем может быть только число), общим множителем числителя и знаменателя алгебраической дроби может служить многочлен, в частности, одночлен или число.

К примеру, алгебраическая дробь 3 · x 2 + 6 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 может быть сокращена на число 3 , в итоге получим: x 2 + 2 · x · y 6 · x 3 · y + 12 · x 2 · y 2 . Эту же дробь мы можем сократить на переменную х , и это даст нам выражение 3 · x + 6 · y 6 · x 2 · y + 12 · x · y 2 . Также заданную дробь возможно сократить на одночлен 3 · x или любой из многочленов x + 2 · y , 3 · x + 6 · y , x 2 + 2 · x · y или 3 · x 2 + 6 · x · y .

Конечной целью сокращения алгебраической дроби является дробь более простого вида, в лучшем случае – несократимая дробь.

Видео:Преобразование выражений, содержащих кв. корни. Сокращение дробей. Практическая часть. 8 класс.Скачать

Все ли алгебраические дроби подлежат сокращению?

Опять же из материалов об обыкновенных дробях мы знаем, что существуют сократимые и несократимые дроби. Несократимые – это дроби, не имеющие общих множителей числителя и знаменателя, отличных от 1 .

С алгебраическими дробями все так же: они могут иметь общие множители числителя и знаменателя, могут и не иметь. Наличие общих множителей позволяет упростить исходную дробь посредством сокращения. Когда общих множителей нет, оптимизировать заданную дробь способом сокращения невозможно.

В общих случаях по заданному виду дроби довольно сложно понять, подлежит ли она сокращению. Конечно, в некоторых случаях наличие общего множителя числителя и знаменателя очевидно. Например, в алгебраической дроби 3 · x 2 3 · y совершенно понятно, что общим множителем является число 3 .

В дроби — x · y 5 · x · y · z 3 также мы сразу понимаем, что сократить ее возможно на х , или y , или на х · y . И все же гораздо чаще встречаются примеры алгебраических дробей, когда общий множитель числителя и знаменателя не так просто увидеть, а еще чаще – он попросту отсутствует.

Например, дробь x 3 — 1 x 2 — 1 мы можем сократить на х — 1 , при этом указанный общий множитель в записи отсутствует. А вот дробь x 3 — x 2 + x — 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 подвергнуть действию сокращения невозможно, поскольку числитель и знаменатель не имеют общего множителя.

Таким образом, вопрос выяснения сократимости алгебраической дроби не так прост, и зачастую проще работать с дробью заданного вида, чем пытаться выяснить, сократима ли она. При этом имеют место такие преобразования, которые в частных случаях позволяют определить общий множитель числителя и знаменателя или сделать вывод о несократимости дроби. Разберем детально этот вопрос в следующем пункте статьи.

Видео:Сократить дробь алгебра 8 классСкачать

Правило сокращения алгебраических дробей

Правило сокращения алгебраических дробей состоит из двух последовательных действий:

• нахождение общих множителей числителя и знаменателя;
• в случае нахождения таковых осуществление непосредственно действия сокращения дроби.

Самым удобным методом отыскания общих знаменателей является разложение на множители многочленов, имеющихся в числителе и знаменателе заданной алгебраической дроби. Это позволяет сразу наглядно увидеть наличие или отсутствие общих множителей.

Само действие сокращения алгебраической дроби базируется на основном свойстве алгебраической дроби, выражаемой равенством undefined , где a , b , c – некие многочлены, причем b и c – ненулевые. Первым шагом дробь приводится к виду a · c b · c , в котором мы сразу замечаем общий множитель c . Вторым шагом – выполняем сокращение, т.е. переход к дроби вида a b .

Видео:Действия с алгебраическими дробями | Математика | TutorOnlineСкачать

Характерные примеры

Несмотря на некоторую очевидность, уточним про частный случай, когда числитель и знаменатель алгебраической дроби равны. Подобные дроби тождественно равны 1 на всей ОДЗ переменных этой дроби:

5 5 = 1 ; — 2 3 — 2 3 = 1 ; x x = 1 ; — 3 , 2 · x 3 — 3 , 2 · x 3 = 1 ; 1 2 · x — x 2 · y 1 2 · x — x 2 · y ;

Поскольку обыкновенные дроби являются частным случаем алгебраических дробей, напомним, как осуществляется их сокращение. Натуральные числа, записанные в числителе и знаменателе, раскладываются на простые множители, затем общие множители сокращаются (если таковые имеются).

К примеру, 24 1260 = 2 · 2 · 2 · 3 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2 3 · 5 · 7 = 2 105

Произведение простых одинаковых множителей возможно записать как степени, и в процессе сокращения дроби использовать свойство деления степеней с одинаковыми основаниями. Тогда вышеуказанное решение было бы таким:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 — 2 3 2 — 1 · 5 · 7 = 2 105

(числитель и знаменатель разделены на общий множитель 2 2 · 3 ). Или для наглядности, опираясь на свойства умножения и деления, решению дадим такой вид:

24 1260 = 2 3 · 3 2 2 · 3 2 · 5 · 7 = 2 3 2 2 · 3 3 2 · 1 5 · 7 = 2 1 · 1 3 · 1 35 = 2 105

По аналогии осуществляется сокращение алгебраических дробей, у которых в числителе и знаменателе имеются одночлены с целыми коэффициентами.

Задана алгебраическая дробь — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Необходимо произвести ее сокращение.

Решение

Возможно записать числитель и знаменатель заданной дроби как произведение простых множителей и переменных, после чего осуществить сокращение:

— 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 · 3 · 3 · a · a · a · a · a · b · b · c · z 2 · 3 · a · a · b · b · c · c · c · c · c · c · c · z = = — 3 · 3 · a · a · a 2 · c · c · c · c · c · c = — 9 · a 3 2 · c 6

Однако, более рациональным способом будет запись решения в виде выражения со степенями:

— 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 · a 5 · b 2 · c · z 2 · 3 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 3 3 2 · 3 · a 5 a 2 · b 2 b 2 · c c 7 · z z = = — 3 3 — 1 2 · a 5 — 2 1 · 1 · 1 c 7 — 1 · 1 = · — 3 2 · a 3 2 · c 6 = · — 9 · a 3 2 · c 6 .

Ответ: — 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z = — 9 · a 3 2 · c 6

Когда в числителе и знаменателе алгебраической дроби имеются дробные числовые коэффициенты, возможно два пути дальнейших действий: или отдельно осуществить деление этих дробных коэффициентов, или предварительно избавиться от дробных коэффициентов, умножив числитель и знаменатель на некое натуральное число. Последнее преобразование проводится в силу основного свойства алгебраической дроби (про него можно почитать в статье «Приведение алгебраической дроби к новому знаменателю»).

Задана дробь 2 5 · x 0 , 3 · x 3 . Необходимо выполнить ее сокращение.

Решение

Возможно сократить дробь таким образом:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 2 5 3 10 · x x 3 = 4 3 · 1 x 2 = 4 3 · x 2

Попробуем решить задачу иначе, предварительно избавившись от дробных коэффициентов – умножим числитель и знаменатель на наименьшее общее кратное знаменателей этих коэффициентов, т.е. на НОК ( 5 , 10 ) = 10 . Тогда получим:

2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 10 · 2 5 · x 10 · 0 , 3 · x 3 = 4 · x 3 · x 3 = 4 3 · x 2 .

Ответ: 2 5 · x 0 , 3 · x 3 = 4 3 · x 2

Когда мы сокращаем алгебраические дроби общего вида, в которых числители и знаменатели могут быть как одночленами, так и многочленами, возможна проблема, когда общий множитель не всегда сразу виден. Или более того, он попросту не существует. Тогда для определения общего множителя или фиксации факта о его отсутствии числитель и знаменатель алгебраической дроби раскладывают на множители.

Задана рациональная дробь 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 . Необходимо ее сократить.

Решение

Разложим на множители многочлены в числителе и знаменателе. Осуществим вынесение за скобки:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · ( a 2 + 14 · a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 )

Мы видим, что выражение в скобках возможно преобразовать с использованием формул сокращенного умножения:

2 · b 2 · ( a 2 + 14 · a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 ) = 2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 )

Хорошо заметно, что возможно сократить дробь на общий множитель b 2 · ( a + 7 ) . Произведем сокращение:

2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 ) = 2 · ( a + 7 ) b · ( a — 7 ) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Краткое решение без пояснений запишем как цепочку равенств:

2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · b 2 · ( a 2 + 14 a + 49 ) b 3 · ( a 2 — 49 ) = = 2 · b 2 · ( a + 7 ) 2 b 3 · ( a — 7 ) · ( a + 7 ) = 2 · ( a + 7 ) b · ( a — 7 ) = 2 · a + 14 a · b — 7 · b

Ответ: 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 — 49 · b 3 = 2 · a + 14 a · b — 7 · b .

Случается, что общие множители скрыты числовыми коэффициентами. Тогда при сокращении дробей оптимально числовые множители при старших степенях числителя и знаменателя вынести за скобки.

Дана алгебраическая дробь 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 . Необходимо осуществить ее сокращение, если это возможно.

Решение

На первый взгляд у числителя и знаменателя не существует общего знаменателя. Однако, попробуем преобразовать заданную дробь. Вынесем за скобки множитель х в числителе:

1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2

Теперь видна некая схожесть выражения в скобках и выражения в знаменателе за счет x 2 · y . Вынесем за скобку числовые коэффициенты при старших степенях этих многочленов:

x · 1 5 — 2 7 · x 2 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = x · — 2 7 · — 7 2 · 1 5 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 1 5 · 3 1 2 = = — 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10

Теперь становится виден общий множитель, осуществляем сокращение:

— 2 7 · x · — 7 10 + x 2 · y 5 · x 2 · y — 7 10 = — 2 7 · x 5 = — 2 35 · x

Ответ: 1 5 · x — 2 7 · x 3 · y 5 · x 2 · y — 3 1 2 = — 2 35 · x .

Сделаем акцент на том, что навык сокращения рациональных дробей зависит от умения раскладывать многочлены на множители.

Видео:Дробно-рациональные уравнения. 8 класс.Скачать

Как сокращать алгебраические дроби?

О чем эта статья:

Видео:Как сокращать дроби ( Математика - 5 класс )Скачать

Определение

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и/или знаменателе которой стоят алгебраические выражения (буквенные множители). Вот так:

Алгебраическая дробь содержит буквенные множители и степени.

Необыкновенной алгебраическую дробь делают буквы. Если заменить их на цифры, то карета превратится в тыкву — алгебраическая дробь тут же станет обыкновенной.

Если вы засомневались, что должно быть сверху — числитель или знаменатель — переходите по ссылке и освежите знания по теме обыкновенных дробей.

Видео:Сократить дробь. Пример 08.Скачать

Сокращение алгебраических дробей

Сократить алгебраическую дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на общий множитель. Общий множитель числителя и знаменателя в алгебраической дроби — многочлен и одночлен.

Сокращение дробей с буквами и степенями проходит в три этапа:

Определите общий множитель.

Поделите все числители и все знаменатели на общий множитель.

Для сокращения степеней в дробях применяем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

Пример сокращения дроби со степенями и буквами:

Следуя формуле сокращения степеней в дробях, сокращаем x 3 и x 2

Всегда делим на наименьшее значение в степени

Получаем сокращенную дробь.

Запоминаем: сокращать можно только одинаковые буквенные множители. Иными словами, сокращать можно только дроби с одинаковыми буквами.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Примеры сокращения алгебраических дробей с одночленами:

Пример сокращения №1.

Общий множитель для числителя и знаменателя — 8.

Х и x 2 делим на x и получаем ответ.

Получаем сокращенную алгебраическую дробь.

Пример сокращения №2.

Общий множитель для числителя и знаменателя — 7.

b 3 и b делим на b.

Вычитаем: 3 — 1 и получаем ответ.

Получаем сокращенную дробь.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Алгебра 7 класс №1 Контрольная работа В-1 К-4 сократите дробьСкачать

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Чтобы верно сократить алгебраическую дробь с многочленами, придерживайтесь двух главных правил:

сокращайте многочлен в скобках только с таким же многочленом в скобках;

сокращайте многочлен в скобках целиком — нельзя сократить одну его часть, а другую оставить. Не делайте из многочленов одночлены.

❌ Так нельзя	✅ Так можно

Запомните: многочлены в алгебраической дроби находятся в скобках. Между этими скобками вклиниться может только знак умножения. Всем остальным знакам там делать нечего.

Примеры сокращения алгебраических дробей с многочленами:

Последовательно сокращаем: сначала x, затем (x+c), далее сокращаем дробь на 6 (общий множитель).

Сокращаем многочлены a+b (в дроби их 3).

Видео:Сокращение дробей | ПримерыСкачать

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

При сокращении алгебраических дробей иногда не хватает одинаковых многочленов. Для того, чтобы они появились, вынесите общий множитель за скобки.

Чтобы легко и непринужденно выносить множитель за скобки, пошагово выполняйте 4 правила:

Найдите число, на которое делятся числа каждого одночлена.

Найдите повторяющиеся буквенные множители в каждом одночлене.

Вынесите найденные буквенные множители за скобку.

Далее работаем с многочленом, оставшимся в скобках.

Алгебра не терпит неточность. Всегда проверяйте, верно ли вынесен множитель за скобки — сделать это можно по правилу умножения многочлена на одночлен.

Пример 1.

Выносим общий множитель 6

Сокращаем получившиеся одинаковые многочлены.

Пример 2.

Как решаем: в числителе выносим общий множитель a за скобки, в знаменателе выносим общий множитель c за скобки и сокращаем оставшиеся в скобках многочлены.

Видео:Разложение квадратного трехчлена на множители. 8 класс.Скачать

Сокращение дробей. Формулы сокращенного умножения

Перед формулами сокращенного умножения не устоит ни одна дробь — даже алгебраическая.

Чтобы легко ориентироваться в формулах сокращенного умножения, сохраняйте и заучивайте таблицу. Формулы подскажут вам, как решать алгебраические дроби.

Примеры сокращения дробей с помощью формул сокращенного умножения:

Применяем формулу разности квадратов a 2 − b 2 = (a − b) (a + b) и сокращаем одинаковые многочлены.

Чтобы раскрыть тему сокращения алгебраических дробей и полностью погрузиться в мир числителей и знаменателей, решите следующие примеры для самопроверки.

Примеры сокращения дробей за 7 и 8 классы

Тема сокращения алгебраических дробей достаточно обширна, и требует к себе особого внимания. Чтобы знания задержалась в голове хотя бы до ЕГЭ, сохраните себе памятку по сокращению дробей. Этот алгоритм поможет не растеряться при встрече с алгебраическими дробями лицом к лицу.

Чтобы сократить дробь, найдите общий множитель числителя и знаменателя.

Поделите числитель и знаменатель на общий множитель.

Чтобы разделить многочлен на множители, вынесите общий множитель за скобку.

Второй способ разделить многочлен на множители — применить формулы сокращенного умножения.

Выучите все формулы сокращенного умножения — они помогут легко преобразовывать выражения и экономить время при решении задач.

Можно забыть свое имя, но формулу разности квадратов помнить обязательно — она будет встречаться чаще других.

Всегда проверяйте результат сокращения: алгебра — точна, коварна и не любит давать вторые шансы.

Видео:Сократить дробь. Пример 15.Скачать

Как правильно сокращать дроби — объяснение на примерах

Видео:Алгебра 8. Урок 2 - Сокращение дробейСкачать

Смысл сокращения алгебраической дроби

Алгебраическая дробь — дробь, числитель и знаменатель которой состоят из многочленов с буквенными множителями.

В алгебре принято считать, что обыкновенные дроби — частный случай алгебраических.

Из курса по обыкновенным дробям (математика за 3 — 5 классы) известно, что сокращение — это деление числителя и знаменателя на общий множитель. Это объяснение справедливо не только для обыкновенных дробей, но и для алгебраических. Разница заключается в том, что при сокращении алгебраической дроби общим делителем может быть не только число, но и переменная или выражение.

Часто алгебраическая дробь является сложной математической конструкцией. Сокращение позволяет упростить дальнейшие операции с дробью: сложение, умножение, сравнение и т. д.

Видео:Основное свойство дроби. Сокращение дробей. 5 класс.Скачать

Правило сокращения алгебраических дробей

При сокращении дроби руководствуются следующим правилом: числитель и знаменатель можно делить на одинаковое число, одноименные буквы или на одинаковые множители — многочлены.

Нельзя сокращать дробь на разноименные буквенные обозначения. Также нельзя делить числитель и знаменатель на переменную или цифру, входящую в многочлен, если ее нельзя вынести как общий множитель выражения.

Приведем пример правильного сокращения дроби:

Видео:Сокращаем дроби со степенями №2. Алгебра 8 класс.Скачать

Вынесение общего множителя при сокращении дробей

Если числитель и знаменатель представляют собой многочлены, то при сокращении дробей общий множитель удобнее вынести за скобки, после чего разделить на него числитель и знаменатель.

Вынесение общего множителя — это запись выражения F в виде произведения PQ, где P — общий множитель, Q — результат деления выражения F на P.

Отметим, что общим делителем может быть как число или переменная, так и целое выражение.

Если при сокращении необходимо изменить знаки в выражении на противоположные, выносят (-1).

Видео:Сокращение дробей часть 1. Математика 5 класс.Скачать

Сокращение алгебраических дробей с помощью формул сокращенного умножения

На практике часто встречаются дроби, в числителе и знаменателе которых имеются выражения в различной степени, например, квадратные, кубические.

Для таких выражений используют формулы сокращенного умножения.

Приведем упомянутые тождества:

Разность квадратов: a 2 — b 2 = ( a — b ) ( a + b )

Квадрат суммы: ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Квадрат разности: ( a — b ) 2 = a 2 — 2 a b + b 2

Сумма кубов: a 3 + b 3 = ( a + b ) ( a 2 — a b + b 2 )

Разность кубов: a 3 — b 3 = ( a — b ) ( a 2 + a b + b 2 )

Куб суммы: ( a + b ) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3

Куб разности: ( a — b ) 3 = a 3 — 3 a 2 b + 3 a b 2 — b 3

Видео:Основное свойство дроби. Сокращение дробей. Алгебра, 8 классСкачать

Сокращение алгебраических дробей с многочленами

Сокращение алгебраической дроби, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены, сводится к вынесению общего делителя в числителе и знаменателе. При работе с такими дробями используют один (или комбинируют оба) из представленных выше способов:

• вынесение общего множителя;
• применение формул сокращенного умножения.

Однако не все многочлены можно преобразовать по формулам сокращенного умножения или поделить на общий множитель. Если дробь нельзя упростить, то говорят, что дробь несократима.

Видео:Преобразование выражений, содержащих квадратные корни, сокращение дробей. Практ. часть. 8 класс.Скачать

Пояснение на примерах

Рассмотрим решения нескольких контрольных примеров по упрощению дробей. В качестве подготовки можно попробовать решить предлагаемые примеры самостоятельно.

Тренажер. Соедините соответствующие карточки с формулами сокращенного умножения.

Упростить дробь: 5 a + 25 b + 10 a + 5 b + 2

Общий множитель выражения в числителе — число 5. Вынесем его за скобки: 5 ( a + 5 b + 2 ) a + 5 b + 2

Получили одинаковый трехчлен в числителе и знаменателе. Сократим дробь на общий делитель.

Упростить дробь: 9 x 2 + 12 x y + 4 y 2 ( 9 x + 6 y ) ( x — y )

Обратим внимание на числитель. Под корнем находится выражение, которое можно преобразовать в квадрат суммы. В знаменателе в множителе (9x+6y) можно вынести за скобку число 3. Выполним перечисленные операции:

( 3 x + 2 y ) 2 3 ( 3 x + 2 y ) ( x — y )

Вынесем квадрат суммы из-под корня, получим:

3 x + 2 y 3 ( 3 x + 2 y ) ( x — y )

Теперь у числителя и знаменателя есть общий делитель (3x+2y), сократим на него дробь.

Ответ: 1 3 ( x — y )

( 4 a b — a 2 — 4 b 2 ) ( 5 a — 10 b ) 5 ( a 3 b — 6 a 2 b 2 + 6 a b 3 — 8 b 4 )

Начнем с преобразования числителя. Из первого выражения в скобках можно получить формулу квадрата разности. Для этого вынесем (-1) за скобку и поменяем знаки на противоположные. Из второго выражения можно вынести общий множитель — число 5. Перепишем дробь в виде:

( — 1 ) · 5 ( a — 2 b ) 2 ( a — 2 b ) 5 ( a 3 b — 6 a 2 b 2 + 6 a b 3 — 8 b 4 )

В числителе получили два одинаковых выражения, при их умножении показатели степени складываются, то есть:

— 5 ( a — 2 b ) 3 5 ( a 3 b — 6 a 2 b 2 + 6 a b 3 — 8 b 4 )

Теперь преобразуем знаменатель. Вынесем общий множитель выражения в скобках — переменную b:

— 5 ( a — 2 b ) 3 5 b ( a 3 — 6 a 2 b + 6 a b 2 — 8 b 3 )

Теперь многочлен в скобках представляет собой формулу куба разности. Перепишем дробь:

— 5 ( a — 2 b ) 3 5 b ( a — 2 b ) 3

У числителя и знаменателя два общих делителя: число 5 и куб разности. Сократим дробь на общие множители.

a 2 + 3 a 3 + 5 b 2 b — 5 a + 11 a c

В числителе и знаменателе нет формул сокращенного умножения, также у числителя и знаменателя нет общего делителя. Дальнейшие преобразования невозможны.

📹 Видео

29 Алгебра 8 класс Разложите на множители числитель и знаменатель дроби и Сократите еёСкачать

Сократить дробь. Пример 09.Скачать

Сокращение дробей. 9 класс.Скачать