Как снизить степень в уравнении

Решение уравнения с помощью понижения степени. Деление многочлена на многочлен столбиком

Деление многочлена на многочлен столбиком

Для решения уравнение вида Р(х)=0, где Р(х) — многочлен степени n>2, часто применяют метод понижения степени. Он основывается на таком факте: если число x=b является корнем многочлена P(x), то есть P(b)=0, то многочлен P(x) делится без остатка на двучлен x-b.

После того, как мы разделим многочлен P(x) степени n на двучлен x-b, то мы получим многочлен степени n-1, то есть на единицу меньшей исходного. И дальше процедуру можно повторить.

Если старший коэффициент многочлена P(x) равен 1, то корни многочлена P(x) мы ищем среди делителей свободного члена.

Решим уравнение Как снизить степень в уравнении

Свободный член многочлена в левой части уравнения равен 10.

Делители числа 10: 1; 2; 5; 10.

Проверим, является ли какое-либо из этих чисел корнем многочлена. Для этого последовательно подставим эти значения вместо х в многочлен.

Как снизить степень в уравнении

Как снизить степень в уравнении

Как снизить степень в уравненииявляется корнями многочлена Как снизить степень в уравнении, и он делится на двучлены Как снизить степень в уравнениии Как снизить степень в уравнениибез остатка.

Разделим многочлен Как снизить степень в уравнениина двучлен x-2 столбиком:

  • Видео:Теорема БезуСкачать

    Теорема Безу

    Решение уравнений высших степеней

    В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4 , нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4 -х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

    Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

    Видео:Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!Скачать

    Как решать уравнения высших степеней, очень лёгкий способ!!!

    Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

    Все уравнения, имеющие вид a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 , мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на a n n — 1 и осуществив замену переменной вида y = a n x :

    a n x n + a n — 1 x n — 1 + . . . + a 1 x + a 0 = 0 a n n · x n + a n — 1 · a n n — 1 · x n — 1 + … + a 1 · ( a n ) n — 1 · x + a 0 · ( a n ) n — 1 = 0 y = a n x ⇒ y n + b n — 1 y n — 1 + … + b 1 y + b 0 = 0

    Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 = 0 .

    Видео:Уравнение четвертой степениСкачать

    Уравнение четвертой степени

    Схема решения уравнения

    Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a 0 . Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x — x 1 · P n — 1 ( x ) = 0 . Здесь x 1 является корнем уравнения, а P n — 1 ( x ) представляет собой частное от деления x n + a n x n — 1 + … + a 1 x + a 0 на x — x 1 .

    Подставляем остальные выписанные делители в P n — 1 ( x ) = 0 , начав с x 1 , поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x 2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде ( x — x 1 ) ( x — x 2 ) · P n — 2 ( x ) = 0 .Здесь P n — 2 ( x ) будет частным от деления P n — 1 ( x ) на x — x 2 .

    Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m . После этого исходное уравнение можно представить как x — x 1 x — x 2 · … · x — x m · P n — m ( x ) = 0 . Здесь P n — m ( x ) является многочленом n — m -ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

    Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

    У нас в итоге получилось уравнение P n — m ( x ) = 0 , корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

    Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

    Условие: найдите решение уравнения x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = 0 .

    Решение

    Начнем с нахождений целых корней.

    У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1 , — 1 , 3 и — 3 . Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

    При x , равном единице, мы получим 1 4 + 1 3 + 2 · 1 2 — 1 — 3 = 0 , значит, единица будет корнем данного уравнения.

    Теперь выполним деления многочлена x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 на ( х — 1 ) в столбик:

    Как снизить степень в уравнении

    Значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

    Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 = 0 :

    1 3 + 2 · 1 2 + 4 · 1 + 3 = 10 ≠ 0 ( — 1 ) 3 + 2 · ( — 1 ) 2 + 4 · — 1 + 3 = 0

    У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный — 1 .

    Делим многочлен x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 на ( х + 1 ) в столбик:

    Как снизить степень в уравнении

    x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = ( x — 1 ) ( x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 ) = = ( x — 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + x + 3 )

    Подставляем очередной делитель в равенство x 2 + x + 3 = 0 , начиная с — 1 :

    — 1 2 + ( — 1 ) + 3 = 3 ≠ 0 3 2 + 3 + 3 = 15 ≠ 0 ( — 3 ) 2 + ( — 3 ) + 3 = 9 ≠ 0

    Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

    Оставшиеся корни будут корнями выражения x 2 + x + 3 .

    D = 1 2 — 4 · 1 · 3 = — 11 0

    Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x = — 1 2 ± i 11 2 .

    Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

    x iкоэффициенты многочлена
    112— 1— 3
    111 + 1 · 1 = 22 + 2 · 1 = 4— 1 + 4 · 1 = 3— 3 + 3 · 1 = 0

    В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x 4 + x 3 + 2 x 2 — x — 3 = x — 1 x 3 + 2 x 2 + 4 x + 3 .

    После нахождения следующего корня, равного — 1 , мы получаем следующее:

    x iкоэффициенты многочлена
    1243
    112 + 1 · ( — 1 ) = 14 + 1 · ( — 1 ) = 33 + 3 · ( — 1 ) = 0

    Далее мы приходим к разложению x — 1 x + 1 x 2 + x + 3 = 0 . Потом, проверив оставшиеся делители равенства x 2 + x + 3 = 0 , вычисляем оставшиеся корни.

    Ответ: х = — 1 , х = 1 , x = — 1 2 ± i 11 2 .

    Условие: решите уравнение x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 = 0 .

    Решение

    У свободного члена есть делители 1 , — 1 , 2 , — 2 , 3 , — 3 , 4 , — 4 , 6 , — 6 , 12 , — 12 .

    Проверяем их по порядку:

    1 4 — 1 3 — 5 · 1 2 + 12 = 7 ≠ 0 ( — 1 ) 4 — ( — 1 ) 3 — 5 · ( — 1 ) 2 + 12 = 9 ≠ 0 2 4 · 2 3 — 5 · 2 2 + 12 = 0

    Значит, x = 2 будет корнем уравнения. Разделим x 4 — x 3 — 5 x 2 + 12 на х — 2 , воспользовавшись схемой Горнера:

    x iкоэффициенты многочлена
    1— 1— 5012
    21— 1 + 1 · 2 = 1— 5 + 1 · 2 = — 30 — 3 · 2 = 312 — 6 · 2 = 0

    В итоге мы получим x — 2 ( x 3 + x 2 — 3 x — 6 ) = 0 .

    Проверяем делители дальше, но уже для равенства x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 , начиная с двойки.

    2 3 + 2 2 — 3 · 2 — 6 = 0

    Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x 3 + x 2 — 3 x — 6 = 0 на x — 2 :

    x iкоэффициенты многочлена
    11— 3— 6
    211 + 1 · 2 = 3— 3 + 3 · 2 = 3— 6 + 3 · 2 = 0

    В итоге получим ( x — 2 ) 2 · ( x 2 + 3 x + 3 ) = 0 .

    Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x 2 + 3 x + 3 = 0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

    Решим квадратное уравнение:

    x 2 + 3 x + 3 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 3 = — 3 0

    Получаем комплексно сопряженную пару корней: x = — 3 2 ± i 3 2 .

    Ответ: x = — 3 2 ± i 3 2 .

    Условие: найдите для уравнения x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 действительные корни.

    Решение

    x 4 + 1 2 x 3 — 5 2 x — 3 = 0 2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0

    Выполняем домножение 2 3 обеих частей уравнения:

    2 x 4 + x 3 — 5 x — 6 = 0 2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0

    Заменяем переменные y = 2 x :

    2 4 · x 4 + 2 3 x 3 — 20 · 2 · x — 48 = 0 y 4 + y 3 — 20 y — 48 = 0

    В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4 -й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y = — 2 , y = 3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x = y 2 = — 2 2 = — 1 и x = y 2 = 3 2 .

    Ответ: x 1 = — 1 , x 2 = 3 2

    Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

    Видео:КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примереСкачать

    КАК РЕШАТЬ КУБИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ | Разбираем на конкретном примере

    Урок алгебры в 10-м классе (занятие элективного курса) по теме «Методы решения уравнений высших степеней»

    Презентация к уроку

    На занятии изучается методика решения уравнений высших степеней. Рассматриваются два метода: разложение на множители и замена переменной. Понижение степени уравнений с помощью деления многочленов по схеме Горнера и приведение различных уравнений к замене переменной. Дана историческая справка исследования уравнений высших степеней. Представлена презентация урока.

    Метод разложения на множители.

    Этот метод основан на применении теоремы Безу. Если число α является корнем многочлена P(x) степени n, то его можно представить в виде P(x) = (x — α)Q(x), где Q(x) — многочлен степени (n-1).Теорема Безу: “Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен (x — α) равен P(α), т.е. значению многочлена при x = α” Таким образом, если известен хотя бы один корень уравнения Р(х)=0 степени n, то с помощью теоремы Безу можно свести задачу к решению уравнения степени (n-1), понизить степень уравнения. Теорема. Пусть несократимая дробь p/q является корнем уравнения a0x n + a1x n-1 + . + ax-1x+ an = 0 с целыми коэффициентами, тогда число p – является делителем свободного члена an, а q – делителем старшего коэффициента a0. У многочлена с целыми коэффициентами целые корни являются делителями свободного члена. Таким образом, зная корень многочлена, его легко разложить на множители, т.е. разделить P(x) на (x — α) “углом” или по схеме Горнера.

    🎦 Видео

    Химия 9 класс — Как определять Степень Окисления?Скачать

    Химия 9 класс — Как определять Степень Окисления?

    11 класс, 3 урок, Уравнения высших степенейСкачать

    11 класс, 3 урок, Уравнения высших степеней

    Математика | Кубические уравнения по методу СталлонеСкачать

    Математика | Кубические уравнения по методу Сталлоне

    Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис ТрушинСкачать

    Как решать уравнения четвёртой степени. Формула Феррари | #БотайСоМной #026 | Борис Трушин

    Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | НаучпопСкачать

    Можно ли решить уравнение 5-й степени? – математик Алексей Савватеев | Научпоп

    #635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.Скачать

    #635 НАУКА Структура вакуума. Устройство Мироздания: версия Межзвездного Союза. Юмор в разных мирах.

    ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных УравненийСкачать

    ПРОСТЕЙШИЙ способ решения Показательных Уравнений

    Как решать возвратные уравнения?Скачать

    Как решать возвратные уравнения?

    ✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Бином Ньютона. Игра в слова. Числа сочетаний | Комбинаторика | Ботай со мной #057 | Борис Трушин

    ✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис ТрушинСкачать

    ✓ Теорема Безу. Рациональные нули многочленов | Ботай со мной #119 | Борис Трушин

    #139 Урок 64. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?Скачать

    #139 Урок 64. Решение уравнений методом замены. Как понизить степень уравнения заменив переменную?

    “Законы Аллаха: Как Гравитация Становится Искусством Божьего Творения”Скачать

    “Законы Аллаха: Как Гравитация Становится Искусством Божьего Творения”

    ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравненийСкачать

    ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 10 класс решение показательных уравнений

    Показательные уравнения. 11 класс.Скачать

    Показательные уравнения. 11 класс.

    Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степенейСкачать

    Вспоминаем схему Горнера и уравнения высших степеней

    Как решать уравнения с дробной степеньюСкачать

    Как решать уравнения с дробной степенью
  • Поделиться или сохранить к себе: