Как с помощью уравнения регрессии найти экстремум функции отклика (6 видео)

Содержание

Поиск экстремума функции отклика
Определение стратегии поиска
Оптимизация функции отклика по методу Бокса-Уилсона. Методические указания к выполнению курсового проекта
Стратегия поиска
💥 Видео

Видео:Найти точки экстремума функцииСкачать

Поиск экстремума функции отклика

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума ФункцииСкачать

Определение стратегии поиска

Если линейная модель наблюдений описывает некоторые процессы, то ставится задача нахождения набора входных параметров, при которых выходной параметр будет экстремальным либо будет находиться в определенной области значений. Например, линейная модель описывает технологический процесс и необходимо определить набор условий (входных факторов), при которых производительность процесса будет максимальной, либо набор условий, при которых выход бракованных изделий сведен к минимуму. Формально задача сводится к отысканию вектора Х=(х1,х2. хk)G при условии

Для нахождения экстремума функции отклика необходимо исследовать поверхность отклика посредством проведения изменений поверхности в различных точках факторного пространства.

Стратегия поиска состоит в том, чтобы число измерений (опытов) было сведено к минимальному значению, т. к. каждый опыт — это эксперимент на функционирующем объекте.

Наибольшее распространение получили градиентные методы поиска экстремума, при которых движение по поверхности отклика происходит в направлении оценки градиента. Оценка градиента gradf(х1,х2. хk) в точке (х1,х2. хk) происходит по результатам измерений, проводимым в окрестностях этой точки в факторном пространстве.

Бокс и Уильсон [15, с. 410] предложили использовать последовательный «шаговый» метод изучения поверхности отклика. При этом ставится небольшая серия опытов для локального описания поверхности отклика полиномом первой степени. Далее движение осуществляется по поверхности отклика в направлении градиента линейного приближения. Если одного линейного приближения достаточно, то ставится новая небольшая серия опытов и находится новое направление движения по поверхности отклика. Такой процесс движения продолжается, пока исследователь не попадет в почти стационарную область, где линейное приближение оказывается недостаточным. В этой области ставится большая серия опытов и поверхность отклика описывается полиномом второго и третьего порядка.

Метод Бокса и Уильсона состоит в повторении процедуры:

— построение факторного эксперимента в окрестности некоторой точки;
— вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента;
— крутое восхождение в направлении оценки градиента;
— нахождение оценки экстремального значения функции отклика по этому направлению.

Видео:Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.Скачать

Оптимизация функции отклика по методу Бокса-Уилсона. Методические указания к выполнению курсового проекта

по курсу “Планирование и анализ эксперимента”

редакция 2012 год

Оптимизация функции отклика по методу Бокса-Уилсона

Методические указания к выполнению курсового проекта

Применение метода математического моделирования различных процессов позволяет изучить свойства объектов и определять оптимальные условия их функционирования. При этом возможно использовать либо детерминированные модели, достаточно точно описывающие сущность процесса, либо статистические модели, в которых используются простые формы уравнений. Как одни, так и другие модели связывают входные и выходные переменные объекта системой уравнений, параметры которых определяются на основе экспериментальных исследований

При построении детерминированных моделей необходимо детально знать сущность исследуемых процессов и иметь математический аппарат, описывающий их. Это не всегда возможно для сложных систем, поэтому чаще прибегают к построению статистических моделей, базирующихся на принципе «черного ящика» – модели, когда известны только входные и выходные переменные, а процесс их взаимодействия описывается простыми статистическими зависимостями.

Основное допущение при статистическом моделировании заключается в том, что выходные переменные являются случайными величинами, подчиняющимися закону нормальною распределения, вероятностный характер которых обусловлен случайными неконтролируемыми факторами.

Однако не всегда необходимо строить сложные математические модели. Иногда достаточно провести анализ экспериментальных данных для получения некоторого «оптимального» значения выходной переменной. Такой процесс называется оптимизацией.

Задача оптимизации состоит в нахождении такой точки исследуемого пространства входных переменных, в которой значение выходкой переменной принимает «экстремальное» (максимальное или минимальное) значение.

Оптимизация объекта на основе детерминированного моделирования обычно проводится во всем диапазоне изменения его входных параметров.

Оптимизация объекта на основе статистического моделирования (например, метод Бокса-Вильсона) предполагает последовательное уточнение области, в которой строится математическая модель объекта. При этом процесс оптимизации обычно делится на два этапа:

1) движение к «почти стационарной области», близкой к экстремальному;

2) уточнение положения экстремума в ней.

Быстрое движение к почти стационарной области возможно осуществить градиентными методами с использованием полиномов низших степеней, а уточнение положения экстремума в области необходимых условий его существования требует применения полиномов более высокой степени.

Немаловажное значение играет и тот факт, что анализ направления движения к оптимальному значению функции производится на небольших участках факторного пространства, что позволяет избежать необходимости получения большого количества экспериментальных данных. Этому же способствует применение на первом этапе полиномов низших степеней и, соответственно, полного факторного эксперимента (ПФЭ).

В области, близкой к оптимальной, производится анализ функции отклика с помощью центрального композиционного планирования (ЦКП), что так же минимизирует затраты на эксперимент. Область исследования вблизи оптимальной точки также имеет минимальные размеры.

Таким образом, двухэтапная оптимизация позволяет существенно уменьшить общее количество экспериментов и увеличить скорость нахождения оптимальных режимов исследуемого объекта.

1. Основные понятия и определения

Независимые переменные величины, влияющие на протекание процесса, принято называть факторами. Так, факторами могут быть температура, давление, состав реакционной смеси и т. п. Эти величины обозначают буквами .

Протекание процесса количественно характеризуется одной или несколькими величинами, например, производительностью оборудования, себестоимостью продукции и т. п. Такие величины в теории планирования эксперимента называют функциями отклика и обозначают буквами . Функции отклика зависят от влияющих факторов, т. е.

Геометрический образ, соответствующий функции отклика, называют поверхностью отклика (рис. 1). Координатное пространство, по осям которого отложены факторы, называют факторным пространством.

Рис. 1. Поверхность отклика

Для удобства рассмотрения поверхность отклика может быть представлена на факторной плоскости линиями постоянных значений функции отклика (аналогично изображению рельефа местности на географических картах). На рис. 2 изображены некоторые типы поверхностей отклика.

На рис. 2, а поверхность отклика имеет вид «вершины» и соответствует области значений факторов, где расположен максимум величины у. Очевидно, аналогичный вид имеют линии постоянного уровня и в случае минимума функции у.

Поверхность, изображенная на рис. 2, б характеризует плавное возрастание функции отклика с уменьшением фактора и увеличением . Такую поверхность принято называть «стационарным возвышением».

Поверхность, показанная на рис. 2, в называется «хребтом». Его вершина соответствует наибольшим значениям функции отклика. Аналогично располагаются линии постоянных значений у и в случае «оврага», дно которого соответствует минимальным значениям функции отклика.

Наконец, на рис. 2, г изображена поверхность, называемая «седлом». На двух участках этой поверхности наблюдается возрастание функции отклика, а на двух других — убывание.

Следует отметить, что на практике встречаются поверхности отклика и с более сложной конфигурацией.

Рис. 2. Типы поверхностей отклика.

Если число влияющих факторов больше двух, то для изображения поверхности отклика пользуются ее двумерными сечениями. С этой целью каждый раз фиксируют все факторы, кроме двух.

2. Проверка воспроизводимости опытов

Прежде чем приступить к планированию эксперимента, необходимо убедиться в том, что опыты воспроизводимы. Для этой цели проводят несколько серий параллельных опытов в рассматриваемой области изменения влияющих факторов. Результаты этих опытов сводят в табл. 1.

Для каждой серии параллельных опытов вычисляют среднее арифметическое значение функции отклика

где k – число параллельных опытов, проведенных при одинаковых условиях.

Затем вычисляют оценку дисперсии для каждой серии параллельных опытов:

Для проверки воспроизводимости опытов находят отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех оценок дисперсий:

Эта величина называется расчетным значением критерия Кохрена.

Значения критерия Кохрена G приведены в Приложении 1.

Для нахождения G необходимо знать общее количество оценок дисперсий N и число степеней свободы f, связанных с каждой из них, причем . Если выполняется условие:

(1)

то опыты считаются воспроизводимыми, а оценки дисперсий – однородными.

Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться достигнуть воспроизводимости выявлением и устранением источников нестабильности эксперимента, а также использованием более точных методов и средств измерений.

Наконец, если никакими способами невозможно достигнуть воспроизводимости, то математические методы планирования к такому эксперименту применять нельзя.

3. Вычисление погрешности эксперимента

Оценки однородных (условии (1) выполнено) дисперсий нескольких серий параллельных опытов можно усреднить и найти величину

называемую оценкой дисперсии воспроизводимости. С ней связано число степеней свободы .

Оценку дисперсии среднего значения рассчитывают по формуле:

С ней также связано число степеней свободы .

Если при проведении эксперимента опыты дублируют и пользуются средними значениями функции отклика у, то при обработке экспериментальных данных следует использовать . В тех случаях, когда из-за недостатка времени, трудоемкости или высокой стоимости эксперимента опыты не дублируются, при обработке экспериментальных данных используют .

4. Полный факторный эксперимент

Метод полного факторного эксперимента (ПФЭ) дает возможность получить математическое описание исследуемого процесса в некоторой локальной области факторного пространства, лежащей в окрестности выбранной точки с координатами . Перенесем начало координат факторного пространства в эту точку (рис. 3).

Рис. 3. Введение кодированных переменных.

С этой целью введем новые переменные:

где – масштаб по оси (интервал варьирования, на рис. 3 обозначен как ).

Иногда величину называют кодированной переменной, а величину называют физической переменной.

Функцию отклика в окрестности нового начала координат разложим в ряд Тейлора:

, (2)

где значение функции отклика в начале координат,

и т. д.

Метод полного факторного эксперимента служит для получения математического описания процесса в виде отрезка ряда Тейлора (2). При этом обычно ограничиваются линейной частью разложения и членами, содержащими произведения факторов в первой степени. Таким образом, удается находить уравнение локального участка поверхности отклика, если его кривизна не слишком велика.

Следует отметить, что коэффициенты искомого уравнения определяются на основе экспериментальных данных и, следовательно, несут на себе отпечаток погрешностей эксперимента. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, в уравнении вместо символов , обозначающих истинные значения коэффициентов, пишут , подразумевая под этим соответствующие выборочные оценки.

Итак, с помощью ПФЭ ищут математическое описание процесса в виде уравнения регрессии:

(3)

Основным, или нулевым, уровнем фактора называют его значение, принятое за исходное в плане эксперимента. Сочетание основных уровней принимают за исходную точку для построения плана эксперимента, состоящего из экспериментальных точек, симметричных относительно центра плана.

Интервалом варьирования фактора называют число (свое для каждого фактора), прибавление которого к основному уровню дает верхний уровень фактора, а вычитание — нижний.

Для удобства вычислений коэффициентов регрессии все факторы в ходе ПФЭ варьируют на двух уровнях, соответствующих значениям кодированных переменных +1 и — 1.

Таким образом, ПФЭ называется система опытов, содержащая все возможные неповторяющиеся комбинации уровней варьирования факторов.

Число опытов ПФЭ определяется выражением:

где n— число факторов.

На основании полного факторного эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь МНК оцениванием параметров регрессии.

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми – незначимыми. Чтобы установить, значим коэффициент или нет, необходимо прежде всего вычислить оценку дисперсии, с которой он определяется:

(или – если есть параллельные опыты).

Следует отметить, что с помощью полного факторного эксперимента все коэффициенты определяются с одинаковой погрешностью,

Значимость каждого коэффициента уравнения регрессии устанавливают с помощью критерия Стьюдента, вычисляя его расчетное значение:

где b — коэффициент уравнения регрессии, для которого устанавливается значимость.

Каждое рассчитанное значение сравнивают с табличным значением критерия Стьюдента, которое выбирают для заданного уровня значимости p при числе степеней свободы .

Если выполняется условие:

то коэффициент считается значимым. В противном случае коэффициент регрессии незначим, и соответствующий член можно исключить из уравнения регрессии.

Получив уравнение регрессии, следует проверить его адекватность с помощью критерия Фишера, который представляет собой отношение:

где – оценка дисперсии адекватности, которая вычисляется как:

где m – число коэффициентов регрессии искомого уравнения, включая и свободный член; – среднее экспериментальное и расчетное значение функции отклика в j-м опыте; N – число опытов ПФЭ. С оценкой дисперсии адекватности связано число степеней свободы .

Уравнение регрессии считается адекватным, если выполняется условие:

(4)

где F – значение критерия Фишера с числом степеней свободы, связанных с числителем и знаменателем выражения (3).

Если гипотеза об адекватности отвергается (условие (4) не выполняется), необходимо перейти к более сложной форме и (если это возможно) провести эксперимент с меньшим интервалом варьирования факторов.

5.Оптимизация функции отклика по методу Бокса-Уилсона

Решение разнообразных задач управления, проектирования и планирования в той или иной мере связано с оптимизацией, т. е. нахождением наилучших в определенном смысле значений различных факторов.

Обычно задается либо выбирается некоторый параметр оптимизации у, зависящий от факторов. Задача оптимизации сводится к отысканию таких значений факторов, при которых этот параметр достигает экстремума (минимума или максимума).

Параметр оптимизации у (критерий оптимизации, целевая функция) должен количественно характеризовать исследуемый технологический процесс и иметь ясный физический смысл.

В качестве целевой функции могут быть использованы экономические (прибыль, себестоимость, рентабельность), технико-экономические (производительность, выход продукции, надежность) и технико-технологические параметры (пищевые, медико-биологические, механические, теплофизические и другие характеристики).

Следует отметить, что целевая функция и факторы могут меняться только в определенных пределах. Так, дозировки рецептурных компонентов не могут быть отрицательными, температура и давление в технологическом аппарате не могут превышать безопасных пределов, себестоимость продукции должна быть не выше плановой и т. п. Следовательно, оптимизацию осуществляют в условиях ограничений, налагаемых на факторы и целевую функцию.

Оптимизация процесса представляет собой целенаправленный поиск значений влияющих факторов, при которых достигается экстремум критерия оптимальности (с учетом ограничений, наложенных на все влияющие факторы и функции отклика).

Д. Бокс и К. Уилсон предложили использовать для оптимизации результаты ПФЭ.

Оптимизация по методу Бокса-Уилсона состоит из двух этапов. Первый этап – крутое восхождение с целью скорейшего достижения области оптимума. При этом используется линейное планирование. Линейный план может использоваться один или несколько раз в зависимости от интенсивности продвижения.

Первый этап заключается в постановке ряда опытов в которых с помощью найденного градиента по определенным правилам одновременно изменяют значения всех факторов до тех пор пока значения критерия оптимальности не начнет ухудшаться. Полученное наилучшее значение факторов является либо оптимумом, либо началом следующей ступени крутого восхождения, состоящей из тех же двух этапов. Такое «ступенчатое» движение по поверхности отклика продолжают до тех пор, пока не будет найдено оптимальное значение критерия оптимальности. В этом случае дальнейшее крутое восхождение становится невозможным.

Второй этап – описание области оптимума методами нелинейного планирования. При эффективном крутом восхождении весьма часто удается быстро приблизиться к области оптимума (совершить крутое восхождение один раз). Исследователь попадает в область оптимума, которая не может быть описана линейным приближением, и движение по методу крутого восхождения заканчивается. Завершается первый этап оптимизации. Метод крутого восхождения не решает вопроса о самой лучшей точке поверхности отклика, об экстремуме. Чтобы изучить область оптимума, необходимо перейти ко второй стадии планирования – к исследованию почти стационарной области.

5.1 Оптимизация методом «Крутое восхождение»

Последовательность действий при методекрутого восхожденияможно образно сравнить с тем, как поступает человекс завязанными глазами, поставивший перед собой задачувзобраться на возвышенность при минимальном числе ощупываний тросточкой поверхности земля. Очевидно, этот человек сначала исследует участок поверхности, на котором стоит. Определив направление подъема, он сделает несколько шагов в этом направления и снова исследует участок поверхности. Так он будет поступать до тех пор, пока не заберется на вершину холма.

Пусть, например, целевая функция задана в виде уравнения регрессии первого порядка (3), полученного по результатам полного или дробного факторного эксперимента. Уравнение регрессии адекватно описывает функцию отклика в области значений факторов от -1 до +1.

Для нахождения экстремума уравнения (3) следует осуществлять движение по градиенту, т. к. оно обеспечивает наиболее короткий путь к экстремуму, т. е. направление градиента — это направление самого крутого склона, ведущего от данной точки к экстремуму функции.

Движение по градиенту осуществляют с некоторым шагом (приращением значения фактора), причем его минимальная величина должна быть больше ошибки, с которой фиксируют фактор. Максимальную величину шага ограничивает область определения фактора. Необходимо учитывать, что при движении к оптимуму малый шаг потребует значительного числа опытов, а большой может привести к проскоку области оптимума.

При выборе шага движения один из факторов принимают за базовый и для него выбирают шаг движения. Для всех остальных факторов шаг движения рассчитывают по формуле:

где — шаг движения для i — ого фактора; — шаг движения для базового фактора l; и – коэффициенты регрессионного уравнения вида (3), , – интервал варьирования.

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который использовался для получения математического описания функции отклика. Значения факторов на каждом новом шаге находят путем прибавления к соответствующим предыдущим значениям:

На каждом шаге рассчитывают мысленные опыты (не производя непосредственного измерения функции отклика), соответствующие наиболее крутому направлению для движения в область оптимума. Поскольку реализация всех мысленных опытов часто связана со значительными экономическими или ресурсными затратами, то реализуют не все такие опыты. Реализация части мысленных опытов дает возможность сделать несколько шагов в направлении оптимума. Так осуществляется оптимизация по методу крутого восхождения.

Если же ищется минимум функции у, то новые значения факторов находят из предыдущих путем вычитания :

Такой способ оптимизации называют методом наискорейшего спуска.

Движение к оптимуму прекращают в следующих случаях:

1. Значения (одного или нескольких) факторов или функций отклика вышли на границы допустимых значений.

2. Достигнут экстремум критерия оптимальности у.

В первом случае на этом оптимизация заканчивается, а во втором – в области экстремума функции у ищут ее новое математическое описание, используя ПФЭ. Если удается получить адекватное описание этой функции в виде (3), то продолжают оптимизацию методом крутого восхождения (рис. 4). Очевидно, оптимум, найденный в результате первого крутого восхождения, был локальным.

Рис. 4. Оптимизация по методу крутого восхождения.

Если же в области оптимума не удается получить адекватного уравнения регрессии вида (3), то переходят к планированию эксперимента для получения математического описания функции у в виде многочлена второй степени. Методика проведения таких экспериментов описана в следующем пункте.

Один из примеров практического применения метода крутого восхождения был связан с поиском оптимума в трехмерном пространстве. Оптимизировался химико-технологический процесс, эффективность которого зависела от трех факторов: концентрации реагента (с), температуры (t) и времени (). Целью работы являлось отыскание таких условий проведения процесса, которые обеспечивали бы максимум критерия оптимизации () По теоретическим соображениям величина критерия оптимизации могла достигать 95%, а на практике (до проведения рассматриваемой работы) она была почти в два раза меньше.

Для получения информации об объекте исследований проводили ПФЭ типа 23 из восьми опытов. Матрица планирования, интервалы и уровни факторов, а также результаты эксперимента (средние показатели) приведены в табл. 2.

После обработки экспериментальных данных была получена следующая линейная модель:

Проверка значимости коэффициентов регрессии показала, что все линейные коэффициенты существенно влияют на величину критерия оптимизации. Однако линейная модель не является адекватной.

В области эксперимента значения критерия оптимизации не превышают 50%. Это показывает, что область оптимума должна быть сравнительно далека от области эксперимента, отчего переходить к планированию второго порядка в области эксперимента не имело смысла.

При выборе шага движения по градиенту за основу был принят шаг, характеризующий изменение наиболее существенного фактора. Здесь учитывали, что значения критерия оптимизации в области эксперимента далеки от оптимальных, поэтому был выбран шаг, обеспечивающий быстрый выход за пределы этой области.

После выбора шага для фактора величину шагов для двух других факторов определяли с учетом соответствующих произведений :

Анализ результатов крутого восхождения показал, что оно оказалось эффективным: величину критерия оптимизации удалось повысить до 72,5%, Дальнейшее движение по градиенту в этой серии опытов не проводилось, так как в следующем (после оптимального) опыте результаты были хуже.

Найденный оптимум являлся локальным, поскольку ожидаемого эффекта не достигли. В связи с этим далее рассматривался вопрос о продолжении поиска оптимума. Такое продолжение можно считать целесообразным, потому что разница в значениях критерия оптимизации в локальном и ожидаемом оптимумах весьма существенна – более 20%. Сказанное доказывает, что ожидаемый оптимум не находится вблизи рассматриваемой области факторного пространства и переход к описанию объекта исследований моделью порядка является преждевременным.

Поиск оптимума продолжался методом крутого восхождения. При выборе плана нового эксперимента нулевую точку перенесли ближе к предполагаемой области оптимума путем изменения значений факторов и , которые наиболее существенно влияли на величину критерия оптимизации. Интервалы варьирования факторов и сохранили неизменными, а величину увеличили, но в небольшой степени, чтобы расширить диапазон изменения наиболее существенного фактора.

На первой стадии работы было установлено, что увеличение значения фактора ведет к росту величины критерия оптимизации, но в небольшой степени. Поэтому не ожидалось, что дальней шее увеличение данного фактора приведет к большому эффекту. С технической точки зрения увеличение фактора было нежелательно, В связи с этим на следующей стадии работы интервал его изменения был смещен в область меньших значений

Изложенное выше учитывалось при построении матрицы, при веденной в табл. 3. Здесь же указаны экспериментальные данные и результаты крутого восхождения

Все линейные коэффициенты новой линейной модели оказались значимыми. Однако и эта модель оказалась неадекватной. Крутое восхождение в данном случае являлось целесообразным, так как лучшее значение критерия оптимизации в плане (82,4%) заметно отличалось от того, к которому стремились. Крутое восхождение являлось интересным с технологической точки зрения, поскольку, учитывая знак коэффициента должно было быть связано с уменьшением величины фактора а это, как говорилось, желательно.

Важность учета фактора повлияла на его выбор в качестве основного при расчете шагов движения по градиенту

После выбора шага для фактора значения шагов для других факторов нашли расчетным путем:

Анализ результатов крутого восхождения показал, что оно менее эффективно (по сравнению с первой стадией поиска), если судить по величине критерия оптимизации. Локальный оптимум равен 84,8%. Однако этот результат является хорошим, если учесть, что до проведения рассматриваемой работы критерий оптимизации был почти в два раза меньше. Полученный результат был интересен с практической точки зрения, так как на второй стадии удалось не только повысить значение критерия оптимизации, но и одновременно уменьшить до минимума величину фактора (расход реагента), а это считалось желательным.

Поскольку область оптимума оказал ась близкой к области эксперимента, в дальнейшем имело смысл переходить к планированию второго порядка с целью получения адекватной модели объекта исследований

Алгоритмдвижения к почти стационарной области

на основе использования метода крутого восхождения

1. Выбор одного из факторов за базовый и выбор для него шага движения.

Выбор интервалов варьирования , .

Выбор числа параллельных измерений в точках ПФЭ.

Выбор начального приближения .

2. Проведение измерений функции отклика в точке , рассчитать ,

3. Перенос начала координат факторного пространства (т. е. кодированных переменных) в точку – это точка будет центром плана.

В точках ПФЭ провести по измерений функции отклика.

Проведение ПФЭ в пространстве кодированных переменных. Расчет ОМП оценок , проверка значимости , .

4. Если все незначимы или , то необходимо перейти к шагу 10.

(Если все коэффициенты, соответствующие влиянию факторов (но не взаимодействию), незначимы, то градиент равен нулю и никуда не направлен. Следовательно, поиск в направлении градиента невозможен и следует перейти ко второму этапу метода Бокса-Уилсона)

Иначе рассчитать шаги

При необходимости использовать преобразование для базового шага:

5. Проверить адекватность модели.

Сделать мысленный шаг Принять решение о его реализации.

Особого внимания заслуживает порядок реализации мысленных опытов (опытов, которые связаны с движением по градиенту)

При использовании адекватной линейной модели целесообразно реализовать только те мысленные опыты, которые заходят за область ПФЭ хотя бы по одному из учитываемых факторов. Если крутое восхождение ведется с помощью линейной модели, которая не является адекватной, то часть (1–3) мысленных опытов осуществляют в области ПФЭ, а остальные, если это разумно, за пределами этой области

Значения критерия оптимизации в области эксперимента находят простым расчетом , а за ее пределами реализуют часть мысленных опытов. Выполнять все мысленные опыты подряд, как правило, не рекомендуется.

Повторять шаг до тех пор, пока не примется решение о реализации мысленного опыта.

7. Реализовать мысленный опыт, проведя в точке , которая соответствует , измерений функции отклика, рассчитать ,

8. Если шаг удачен, т. е. , , то перейти на шаг 6.

Иначе: если число удачных шагов меньше 2, то перейти к шагу 10. Если число удачных шагов больше 2, то перейти на шаг 9.

9. Подготовка к новой итерации ( – номер последнего удачного шага): , .

Перейти на шаг 3.

10. Второй этап метода Бокса-Уилсона – описание области оптимума методами нелинейного планирования с переносом начала координат факторного пространства в точку .

Следует помнить, что оценка коэффициентов регрессии по ПФЭ получается для кодированных переменных, это относится и к вычислению оценки .

Для получения значения функции (истинной) отклика в какой-либо точке, эта точка должна быть физической переменной.

1. Незначимые факторы при движении в область оптимума не учитываются, эти факторы стабилизируют на любом удобном уровне – чаще всего на нулевом уровне. В движении по градиенту эти факторы не участвуют.

2. При расчете условий мысленных опытов часто обнаруживается быстрое достижение границы возможного варьирования одних факторов при условии, что другие имеет смысл продолжать изменять. В таких ситуациях рекомендуется зафиксировать одни факторы на оптимальном уровне и продолжать движение с учетом изменения других факторов.

3. При оценке эффективности поиска методом крутого восхождения следует учитывать, что этот метод служит лишь для поиска области оптимума и обычно не решает вопроса о самой лучшей точке факторного пространства.

4. Функция, величины коэффициентов которой различаются не существенно, называется симметричной относительно коэффициентов. Движение по градиенту для симметричной функции наиболее эффективно. Удачным выбором интервалов варьирования можно сделать симметричной любую линейную функцию для значимых факторов.

На первом этапе планирования не всегда удается получить симметричную функцию. Если функция резко асимметрична (коэффициенты различаются на порядок), то выгоднее вновь поставить эксперимент, изменив интервалы варьирования, а не двигаться по градиенту.

5. Крутое восхождение может считаться эффективным, если хотя бы один из реализованных опытов даст лучший результат по сравнению с наилучшим опытом из ПФЭ.

5.2 Исследование области оптимальных условий

(второй этап метода Бокса-Уилсона)

Процесс оптимизации приводит в область факторного пространства, где кривизна поверхности отклика велика и вследствие этого поверхность не может быть описана многочленом вида (3). Для адекватного математического описания здесь требуется многочлен более высокой степени, например, отрезок ряда Тейлора (2), содержащий члены с квадратами переменных:

С этой целью используют центральное композиционное планирование эксперимента (ЦКП). Различают два вида ЦКП – ортогональное и ротатабельное.

Уравнение регрессии, полученное с помощью ортогонального или ротатабельного ЦКП, позволяет не только предсказать значение функции отклика для заданных условий проведения эксперимента, но и дает информацию о форме поверхности отклика. Исследование этой поверхности необходимо для выбора оптимального режима технологического процесса.

Для ротатабельных построений стандартная ошибка одинакова для равноудаленных от центра области точек. Такие построения существуют для любого числа факторов и представляют собой регулярные и полурегулярные геометрические фигуры с центральными точками.

При ротатабельном ЦКП для вычисления коэффициентов регрессии и соответствующих оценок дисперсий находят следующие константы:

где – число факторов;

– общее число опытов ротатабельного ЦКП;

– число опытов в центре плана.

Замечание: далее в формулах вместо использовать . В каждой точке проводить параллельных опытов.

На основании результатов эксперимента вычисляют следующие суммы:

Формулы для расчета коэффициентов регрессии имеют вид:

Оценки дисперсий в определении коэффициентов регрессии вычисляют по следующим формулам:

В ротатабельном ЦКП принято считать, что коэффициент значим, если , где . Аналогичные условия значимости справедливы и для других коэффициентов регрессии.

Оценку дисперсии адекватности рассчитывают по формуле:

С ней связано число степеней свободы:

Проверку адекватности уравнения регрессии осуществляют с помощью критерия Фишера.

Матрица планирования для ротатабельного ЦКП для двух факторов приведена в табл. 4.

Каноническая форма уравнения регрессии

Для изучения конфигурации поверхности отклика уравнение регрессии приводят к так называемой канонической форме, которая имеет вид:

(5)

где – функция отклика, – новые переменные величины, – коэффициенты канонической формы.

Приведение уравнения (5) к канонической форме соответствует переносу начала координат в новую точку факторного пространства и повороту координатных осей на некоторый угол . – это значение функции отклика в новом начале координат.

Чтобы привести уравнение (5) к каноническому виду, следует найти частные производные функции отклика по всем факторам, приравнять их к нулю и решить полученную систему уравнений:

Если эта система имеет решение (обозначим его ), то поверхность называется центральной, а числа являются координатами ее центра. Подставляя в уравнение (5), находят .

Решая характеристическое уравнение:

(где ), находят его корни . Эти корни являются коэффициентами искомой квадратичной формы. Корни найдены правильно, если выполняется условие:

Рассмотрим методику нахождения зависимости между переменными и . Сначала решают систему уравнений:

, (6)

где .

Другими словами, систему уравнений (6) решают раз, каждый раз при новом значении . В результате решения находят:

Следует отметить, что решения системы уравнений (6) могут быть найдены только с точностью до числового множителя. Далее вычисляют величины:

Искомая зависимость между переменными имеет вид:

При числе факторов приведение уравнения к каноническому виду требует значительного объема вычислений, поэтому его следует осуществлять с помощью вычислительных машин.

Все многообразие поверхностей отклика, описываемых уравнением вида (5), можно разделить на три класса.

К первому классу относятся поверхности, имеющие экстремум (см. рис. 2, а). В этом случае все коэффициенты канонической формы имеют одинаковые знаки, а центр поверхности находится вблизи центра эксперимента. Анализ таких поверхностей заканчивается после приведения уравнения регрессии к канонической форме. Исследователю необходимо только поставить несколько опытов вблизи центра поверхности и убедиться, что значения функции отклика, предсказанные уравнением регрессии, достаточно хорошо совпадают с экспериментальными данными.

Ко второму классу относятся поверхности типа «стационарного возвышения» (см. рис. 2, б). В этом случае некоторые коэффициенты канонической формы близки к нулю.

К третьему классу относятся поверхности типа «седло» (см. рис. 2, г). Они характеризуются тем, что коэффициенты канонической формы имеют разные знаки, а центр поверхности находится поблизости от центра эксперимента.

Имея дело с поверхностями отклика типа «стационарное возвышение» или «седло», исследователь должен пользоваться методами вычислительной математики и средствами вычислительной техники для нахождения условного экстремума критерия оптимальности с учетом ограничений, наложенных на влияющие факторы и остальные функции отклика.

Цель:изучение методики оптимизации функции отклика по методу Бокса-Уилсона

Задание на курсовой проект

1. Решение варианта.

Написать программу (любой язык), которая позволяет:

1.1. Выбрать значение параметров (одного из факторов за базовый и выбор для него шага движения, интервалов варьирования, числа параллельных измерений, начального приближения ); (обязательно) (4 балла)

1.2. Используя алгоритм движения к почти стационарной области на основе использования метода крутого восхождения найти такую область. (обязательно) (10 баллов)

1.3. Описать найденную область уравнением регрессии 2-ого порядка(10 баллов)

1.4. Привести уравнение регрессии к канонической форме(10 баллов)

1.5. Определить тип поверхности (5 баллов)

1.6. Просматривать протокол решения (выводить в виде таблиц, аналогичных табл. 2-3) (обязательно) (1 балл)

2. Оформить отчет

3. Защитить курсовой проект.

Требования к отчету.

Отчет включает в себя:

2. Постановка задачи (обязательно) (1 балл)

3. Необходимые математические выкладки (1 балл)

4. Протокол решения (обязательно) (2 балла)

5. Найденное регрессионное уравнение для описания почти стационарной области (5 баллов)

6. Приведенное к канонической форме регрессионное уравнение для описания почти стационарной области (5 баллов)

7. Вывод о типе поверхности почти стационарной области (1 балл)

8. Вывод по проделанной работе (обязательно) (1 балл)

9. Код программы (обязательно) (1 балл)

10. Графическое отображение точек, в которых проводились эксперименты (снятие значения отклика). (2 балла)

Курсовой проект должен быть сдан и защищен преподавателю в течение семестра. В ходе защиты студент должен продемонстрировать понимание используемого метода решения и работоспособность программы. Пояснительная записка и защита оцениваются преподавателем по системе ECTS.

КП включает в себя задания 2-х уровней.

Для получения минимального количества баллов (50) необходимо:

1. Сделать задания – только обязательные пункты (оценивается в 15 баллов)

2. Оформить отчет – только обязательные пункты (оценивается в 5 баллов).

3. Защитить курсовой проект:

a. Беседа по отчету и демонстрация работы программы (с пониманием того, что сделано) (оценивается в 20 баллов).

b. По контрольным вопросам и заданиям (оценивается в 10 баллов)

Для получения максимального количества баллов (100) необходимо:

1. Сделать задания (оценивается в 40 баллов)

2. Грамотно и подробно оформить отчет (оценивается в 20 баллов).

3. Защитить курсовой проект:

a. Беседа по отчету и демонстрация работы программы (с пониманием того, что сделано) (оценивается в 30 баллов)

b. По контрольным вопросам и заданиям (оценивается в 10 баллов)

Плагиат (чужой отчет), не свой вариант, чужой код программы и т. д.= -100 баллов

Таблица соответствия «буквенных» оценок и шкалыECTS.

Во всех вариантах:

Число параллельных опытов

Рис. 5. Вид незашумленного отклика для вариантов 1-2

Рис. 6. Вид незашумленного отклика для вариантов 3-11

Рис. 7. Вид незашумленного отклика для вариантов 12-16

Рис. 8. Вид незашумленного отклика для вариантов 17-21

Рис. 9. Вид незашумленного отклика для вариантов 22-25

1 вариант(см. рис.5)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

2 вариант(см. рис.5)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

3 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

4 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

4 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

5 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

6 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

7 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

8 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

9 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

10 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

11 вариант(см. рис.6)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

12 вариант (см. рис.7)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

13 вариант(см. рис.7)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

14 вариант(см. рис.7)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

15 вариант(см. рис.7)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

16 вариант(см. рис.7)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

17 вариант(см. рис.8)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

18 вариант(см. рис.8)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

19 вариант(см. рис.8)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

20 вариант(см. рис.8)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

21 вариант(см. рис.8)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

22 вариант(см. рис.9)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

23 вариант(см. рис.9)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

24 вариант(см. рис.9)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

25 вариант(см. рис.9)

Начальная точка:

Ограничения на факторы: ,

Условие:

Контрольные вопросы и задания к защите.

1. Расчет по алгоритму движения к почти стационарной области (согласно варианту задания) – аналогично примеру из методических указаний с приведение подробных таблиц решения (см. табл.2.-3)

Выполнить обработку экспериментальных данных, проверить воспроизводимость опытов, вычислить коэффициенты уравнения регрессии, проверить их значимость и установить адекватность полученного уравнения. Используя метод крутого восхождения или наискорейшего спуска (см. вариант из табл. 5) выполнить рассчитать несколько мысленных опытов.

В таблицах приведены характеристики планирования (первая таблица в каждом варианте) и матрица планирование (вторая таблица в каждом варианте). Во второй таблице y1 и y2 – это результаты параллельных опытов.

Моделируется процесс брожения теста. В качестве функции отклика > принят удельный объем хлеба (см3/100 г); в качестве независимых факторов x1 — количество вносимого сахара (%); x2 — количество сывороточно-белкового концентрата (%), вносимого в тесто при его замесе.

Моделируются структурно-механические свойства желейной массы. В качестве функции отклика у принято предельное напряжение сдвига желейной массы (кПа); в качестве независимых факторов x1 — массовая доля агароида (%); x2 — массовая доля желатина (%).

Моделируются структурно-механические свойства желейного мармелада. В качестве функции отклика y принято предельное напряжение сдвига желейного мармелада (кПа); в качестве независимых факторов x1 — массовая доля желатина (%); x2 — ед. pH активированной воды.

Моделируются физико-химические свойства мармеладной массы. В качестве функции отклика у принята кислотность мармеладной массы (ед. pH); в качестве независимых факторов x1 — массовая доля желатина (%); x2 — ед. pH активированной воды.

В задании моделируются структурно-механические свойства помадной конфетной массы. В качестве функции отклика у принята эффективная вязкость помадной массы (кПас ); в качестве независимых факторов x1 — температура уваривания помадного сиропа (°С); x2 — массовая доля патоки по отношению к сахару (%) .

Моделируются структурно-механические свойства кекса. В качестве функции отклика у принята пористость кекса (%); в качестве независимых факторов x1 — количество порошкообразного яблочно-паточного полуфабриката (%); x2 — влажность теста (%) .

Моделируются структурно-механические свойства кекса. В качестве функции отклика у принята общая деформация мякиша кекса (ед. прибора); в качестве независимых факторов x1 — количество порошкообразного яблочно-паточного полуфабриката (%); x2 — влажность теста (%) .

В задании моделируются структурно-механические свойства мякиша хлеба. В качестве функции отклика у принята общая деформация сжатия мякиша хлеба (ед. прибора); в качестве независимых факторов x1 — твердость жирового продукта (%); x2 — количество жирового продукта (%)

Исходные данные для оптимизации

Значения критерия Кохрена. P=0,95

1. Попов методы планирования эксперимента: методические указания к лабораторным работам для студентов IV-го курса ФПМИ / , ;Новосиб. гос. техн. ун-т. — Новосибирск.

2. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА В ХИМИИ И ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

С. И. Сayтин, Планирование эксперимента в химии и химической технологии. Л., «Химия», 19стр.

3. Моделирование и оптимизация технологических процессов пищевых производств. Практикум : учеб. пособие / , , ; Воронеж. гос. технол. акад. — Воронеж : ВГТА, 20с.

4. , , Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий: Наука, Москва 1976

5. , , Никитина для начинающего исследователя-химика. Химия. 19с

6. Тихомиров и анализ эксперимента (при проведении исследований в легкой и текстильной промышленности) М., «Легкая индустрия», 19с.

7. , , Муромцев методов планирования эксперимента для оптимизации режимов и рецептур на лабораторных и пилотных установках

8. (ред.) Статистическая обработка результатов активного эксперимента

Видео:Нахождение условного экстремума функции двух переменных. Метод Лагранжа.Скачать

Стратегия поиска

Поиск экстремума функции отклика происходит путем исследования поверхности отклика. Это исследование осуществляется посредством измерения поверхности отклика в различных точках факторного пространства.

Воспользоваться с этой целью непосредственно известными методами поиска экстремума функции многих переменных невозможно, поскольку измерения функции отклика в каждой точке факторного пространства, где ставится опыт, происходит с ошибкой. Однако эти методы составляют основу методов поиска экстремума функции отклика.

В настоящее время при решении задач планирования эксперимента наибольшее распространение получили алгоритмы поиска, использующие градиентные методы. Их особенность состоит в том, что движение при поиске (при нахождении максимума) происходит в направлении не самого градиента, который нам неизвестен, а его оценки. Оценка градиента grad/CXj, Х₂, . Х_к) в точке (Х_г, Х₂, Х_кУ факторного пространства при этом находится по результатам измерений, проводимым в ее окрестности. Задачей исследователя является построение разумного плана с центром в точке (Х^, Х₂. Х_кУ для определения в ней оценки градиента.

Одним из наиболее известных в классе градиентных методов поиска экстремума функции отклика в практике планирования эксперимента можно считать метод, разработанный в 1951 г. Боксом и Уильсоном [39—40]. Идея его заключается в использовании метода крутого восхождения (наискорейшего подъема) в сочетании с последовательно планируемым факторным экспериментом для нахождения оценки градиента. Изложению метода Бокса и Уильсона посвещены основные разделы главы. При применении градиентных методов поиска экстремума функции отклика одной из наиболее важных является задача статистического оценивания составляющих градиента. Поэтому при изложении метода Бокса и Уильсона эта задача рассматривается наиболее полно. Исследование вопросов статистического оценивания градиента при поиске имеет большое значение для понимания особенностей использования градиентных методов при планировании эксперимента.

В общем виде метод Бокса и Уильсона состоит в повторении процедуры:

• построение факторного эксперимента в окрестности некоторой точки;
• вычисление оценки градиента в этой точке по результатам эксперимента;
• нахождение оценки максимума (минимума) функции отклика по этому направлению.

Хотя изучение методов оптимизации не является нашей задачей, однако ниже для удобства восприятия материала приводится краткое изложение метода крутого восхождения [12—16].